(5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及其应用
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用伯努利方程，又称为伯努利定律，是流体力学中的一个基本原理。
它描述了在稳态流动中，沿流线方向流体的总能量保持不变。
伯努利方程可以应用于各种流体系统，包括液体和气体，并在航空、水利工程等领域得到广泛应用。
1.流体是理想流体，即无黏度和无压缩性；2.流体是稳态流动，流线保持不变；3.流体受到重力和压强力的作用，无其他外力。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
1.飞行原理：伯努利方程解释了飞机飞行的基本原理。
当飞机飞行时，上表面的气流速度大于下表面的气流速度，根据伯努利方程，气流速度增大意味着气流压强降低，因此上表面的气流压强小于下表面，形成了一个向上的升力，使得飞机能够起飞和保持在空中。
2.水力工程：伯努利方程在水流中的应用非常常见。
例如，当水流通过一条管道时，根据伯努利方程，水流速度越大，压强越小。
这一原理可以应用于水泵、水轮机等设备的设计和运行。
3.血液循环：伯努利方程被广泛应用于心脏和血管的研究。
心脏将血液推入血管中，根据伯努利方程，血液速度增加意味着血液压力下降，这有助于保持正常的血流循环。
4.涡轮机：伯努利方程被应用于涡轮机的设计和优化。
涡轮机利用流体动能转换为机械能，在伯努利方程的基础上进行流体的流动和能量转换的计算，可以进行涡轮机的性能预测和优化设计。
总之，伯努利方程是流体力学中非常重要的一个原理，它描述了流体在稳态流动中能量守恒的基本规律。
通过应用伯努利方程，可以更好地理解和解释许多与流体流动和能量转换相关的现象和实际问题。
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
（2） 截面的选取 规定两截面均应与流体流动方向相垂直，并且在两截面
间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截面 之间，且截面上的Z、u、p等有关物理量，除所需求取的未知 量外，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。
结论：p2>p3>p4，而p4<p5<p6。原由：流体在等径管内流动， u一定，位能（gz）与静压能（p/ρ）反复转换的结果。
小结：
1、伯努利方程的应用。 2、伯努利方程的解题步骤。 3、特别注意衡算截面的选取及截面上压强的表示方法。
课外练习：
1、复习、预习。 2、作业：教材Pg79-80第 8、10 题。
4.432 p2 E 101.33J / kg 2 1000
解得：p2 120950Pa
（2）截面3-3’的压强
E3
gZ3
u32 2
p3
4.432 2
p3 1000
E
101.33J
/ kg,
解得：p3 91520Pa
（3）截面4-4’的压强
E4
gZ4
1.4 105
10.6
2 1000
2 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws
u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
2）确定设备间相对位置
例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维 持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经 全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水 箱内的水面将升高多少米?
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程是流体力学中的重要原理之一，描述了沿着流体流动方向的速度、压力和高度之间的关系。
该方程是瑞士科学家丹尼尔·伯努利在18世纪中叶所提出的，并以他的名字命名。
伯努利方程原理基于流体的连续性和能量守恒定律，可以用来解决许多与流动相关的问题。
其基本形式可以表示为：P + 1/2ρv^2 + ρgh =常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，h表示流体的高度，g表示重力加速度。
此方程表明，在沿着流体流动方向的区域中，压力、速度和高度之间存在一种平衡关系，当一方发生变化时，其他两方也会随之发生相应的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将介绍其在多个领域中的具体应用。
1.液体流动伯努利方程可以应用于液体在管道和河流中的流动问题。
例如，在水力工程中，可以根据伯努利方程来计算水的压力和速度，从而确定水流是否顺畅。
此外，伯努利方程还可以应用于液体泵抽水的计算和涡轮机工作原理的分析，以及血液在动脉和静脉中的流动研究等。
2.汽车空气动力学伯努利方程在汽车设计中有重要的应用。
例如，在高速行驶时，汽车前进方向上的气流速度会增加，根据伯努利方程，气流速度增加就意味着压力降低。
这就解释了为什么汽车行驶时，车顶、车窗等地方的压力较低，从而产生了吸力，有利于汽车行驶稳定。
3.飞行器气动力学伯努利方程在飞行器气动力学中的应用非常重要。
在飞行过程中，飞机可以通过改变机翼形状和改变进气口的面积来调节气流速度和压力的分布，从而实现升力和稳定性的控制。
伯努利方程提供了一种描述飞行器气动表现的重要工具。
4.涡旋产生与气旋的形成伯努利方程也可以解释涡旋的产生和气旋的形成。
当流体经过结构物表面或物体尖部时，流体速度会增加，从而使压力降低。
这种速度增加和压力降低导致了涡旋产生。
类似地，大气中气流速度和气压的变化也会导致气旋的形成。
伯努利方程的应用还远不止于上述几个领域，例如喷射器的工作原理、风力发电工程中的风能转换等。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
伯努利方程教案定
伯努利方程教案定教案概述本节教学内容为伯努利方程，重点介绍伯努利方程的基本概念和应用，通过理论讲解和实例演示相结合的方式进行教学，以提高学生对伯努利方程的理解和掌握程度。
教学目标1.了解伯努利方程的基本概念及其应用；2.能够理解和应用伯努利方程求解与流体运动相关的问题；3.培养学生的实际操作能力和综合分析问题的能力。
教学重点1.伯努利方程的概念和应用；2.流体运动中的问题求解。
教学难点1.伯努利方程的理论推导；2.应用伯努利方程解决实际问题。
教学方法1.讲授法：通过理论讲解，介绍伯努利方程的基本概念和推导过程；2.演示法：通过实际演示流体运动过程，让学生观察和分析现象；3.实验法：通过实验验证伯努利方程的有效性和应用。
教学过程一、导入（10分钟）1.引入流体力学的概念，让学生了解流体力学的研究内容和重要性；2.复习流体静力学的知识，回顾流体的压强、静力平衡等基本概念。
二、讲授伯努利方程（30分钟）1.引入伯努利方程的概念，介绍伯努利方程的基本原理；2.通过理论推导，给出伯努利方程的详细形式；3.讲解伯努利方程的应用范围和意义，以及在实际问题中的运用。
三、实例演示（30分钟）1.选择一具体的流体运动问题，通过演示和解析，引导学生理解和掌握伯努利方程的求解方法；2.给出多个实例，让学生通过实际操作和分析，独立解决流体运动问题，培养其分析问题和解决问题的能力。
四、实验验证（30分钟）1.设计一个简单的实验，验证伯努利方程的有效性；2.通过实验观测和数据分析，引导学生探究流体运动的实际规律，并与理论结合。
五、讲解拓展（20分钟）1.讲解伯努利方程的改进形式及应用场景，如对流动粘性流体的改进伯努利方程；2.介绍其他与流体运动有关的重要方程和概念，如连续性方程、动量方程等。
六、总结与延伸（10分钟）1.总结本节课的重点内容和学习要点；2.引导学生思考伯努利方程的应用前景和可能存在的问题；3.提出课后拓展题目，帮助学生加深理解和巩固知识。
流体力学-04-2 伯努利方程的应用.
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式，流动系统的力学第一定律表达式系统内能变化系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面是单位质量流体从截面1-1到截面2-2流体通过环境直接获得的热量，Q e(1)流体通过环境直接获得的热量流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的，则则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是一常数。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用1. 什么是伯努利方程？伯努利方程是流体力学中的一个基本定律，描述了在无粘度、无旋流体中的流动情况。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理推导而来的，并且广泛应用于航空、航天、水利工程等领域。
2. 伯努利方程的表达式伯努利方程的表达式如下：P + ρgh + 1/2ρv^2 = 常数其中：•P表示流体的压力；•ρ表示流体的密度；•g表示重力加速度；•h表示流体的高度；•v表示流体的速度。
这个方程表明，在无粘度、无旋的条件下，沿着流体的流向，在任意两点之间，流体的总能量保持不变。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理可以通过以下几点来解释：3.1 流体的连续性根据质量守恒定律，单位时间内通过任意横截面的流体质量是不变的。
根据这个原理，可以得出流体的连续性方程。
3.2 流体的动量守恒根据动量守恒定律，流体流动时，外力对流体的加速度产生一个作用力，这个作用力可以通过压强的变化来描述。
当流体的速度增大时，压强减小，反之亦然。
3.3 流体的能量守恒根据能量守恒定律，流体的动能和势能之和保持不变。
当流体速度增大时，动能增加，而势能减小，反之亦然。
综合考虑以上几点，可以得出伯努利方程的原理。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：4.1 管道流动伯努利方程可以用来分析和计算管道中的流体流动情况，如水流、气流等。
通过测量不同位置的压力和速度，可以计算流体的流速、流量以及阻力等参数，对管道的设计和优化具有重要意义。
4.2 飞机和汽车的空气动力学在飞机和汽车的设计中，伯努利方程被广泛应用于空气动力学的分析。
通过伯努利方程可以计算流体在机翼或车身表面的压力分布，从而确定升力和阻力的大小，对飞机和汽车的性能进行评估和改进。
4.3 水利工程伯努利方程在水利工程中也有重要应用。
例如，在水流中测量水压和流速，可以根据伯努利方程计算水流的高度、速度和流量，对水库、水泵和水轮机等的设计和运行进行分析和优化。
伯努利方程及其应用
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
五、总结
1、伯努利方程的形式
p1 1 1 V12 gz1 p2 V2 2 gz2 2 2
I、
物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。 II、
V12 p1 V2 2 p2 gz1 gz2 2 2
物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面 到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空 air , oil 气流量。设空气与汽油的密度分别为： 欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即： (a)
截面C处的真空度又与流过该截面的空气 流量有关。写出B与C截面的伯努利方程： (b) 连续方程：
(c)
由 (a)： 由 (b)： 另外，由
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(功)
不能直接转变成输送流体的机械能
要寻求一个过程中所发生 各种形式能量之间的转化 关系需要进行能量衡算
1、流体流动的总能量衡算
1）流体本身具有的能量 ①内能： 物质内部能量的总
和称为内能。
条件：定态流动
单位质量流体的内能以U表 示，单位J/kg。
1、流体流动的总能量衡算
②位能：流体因处于重力场内而具有的能量。
在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心
线作基准水平面。
由于两截面无外功加入，We=0。
能量损失可忽略不计Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
gZ1
u12 2
P1
gZ2
u
2 2
2
P2
式中： Z1=Z2=0
P1=3335Pa（表压） ，P2= - 4905Pa（表压 ）
m
gZ1
u12
2
p1
We
gZ2
u22
2
p2
hf
[pa]
静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强 值代入
3、柏努利方程式的讨论
6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的 绝对压强变化小于原来压强的20%，即：p1 p2 ＜20%时
p1 仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间 流体的平均密度ρm代替 。
1）确定流体的流量
分析：
已知d
求流量Vh
Vh
3600u
4
d2
求u
直管 任取一截面
气体
判断能否应用？
柏努利方程
1）确定流体的流量
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’ 截面1-1’处压强 ：
P1 Hg gR 136009.810.025 3335Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
二、定态流动与非定态流动
流动系统
定态流动
流动系统中流体的流速、压强、 密度等有关物理量仅随位置而改 变，而不随时间而改变
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间 变化的流动。
示意图
二、定态流动与非定态流动
二、定态流动与非定态流动
三、连续性方程
依 据：物料衡算 条 件：定态流动系统
WS1 WS 2
1、应用柏努利方程的注意事项
4）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算
成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要 求单位一致外，还要求表示方法一致。
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量 例：20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路
中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银 U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入 水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压 差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少 m3/h?当地大气压强为101.33×103Pa。
p1
gZ2
u22 2
p2
——柏努利方程
3、柏努利方程式的讨论
对理想流体 hf 0
1） 无外功加入 We 0
E gZ u2 p cons
2
即：1kg理想流体在没外功加入时，各截面上的总机械能 相等，但各种形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。
实际流体 2）
无外功加入
W 体积流量和质量流量的关系是： S
VS
一、流量与流速
2、流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
单位为：m/s。 u VS A
流量与流速的关系为： VS uA WS uA
质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量 用G表示，单位为kg/(m2.s)。
G Ws VS u AA
质量为m流体的位能 mgZ(J) 单位质量流体的位能 gZ (J/kg)
③动能： 流体以一定的流速流动而具有的能量。
质量为m，流速为u的流体所具有的动能 1 mu2 (J ) 2
单位质量流体所具有的动能 1 u2 (J/kg) 2
1、流体流动的总能量衡算
④静压能（流动功） 通过某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量
u1
4
d12
u2
4
d22
u1 u2
d2 d1
2
表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
能量种类
在流动体系 中主要表现
机械能、内能 特点
电能、核能等 相互转变
动能
遵循能量守恒定律
机械能
位能
特点
相互转变
内能（热） 压力能
1、流体流动的总能量衡算
2）系统与外界交换的能量
①热： 单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为 qe(J/kg)； 质量为m的流体所吸的热=mqe[J]。 当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。
1、流体流动的总能量衡算
②功： 单位质量流体通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg) 质量为m的流体所接受的功= mWe (J) 流体接受外功时，We为正，向外界做功时, We为负。
化学 工程 重要 问题
一维流动
第一章 流体流动
1.3 流体流动的基本方程 1.3.1 流量与流速 1.3.2 定态流动与非定态流动 1.3.3 连续性方程式 1.3.4 能量衡算方程式 1.3.5 伯努利方程式的应用
一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。
体积流量VS；单位为：m3/s。 质量流量WS；单位：kg/s。
hf 0 E1 E2
We 0
即：上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
3、柏努利方程式的讨论
流体在管道流动时的压力变化规律
3、柏努利方程式的讨论
3）式中各项的物理意义
截面上流体本身具有的能量
gz、u2 、p
2
截面间流体所获得或消耗的能量 We和Σhf：
We：输送设备对单位质量流体所做的有效功， Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率
Ne We Ws We Vs ρ
3、柏努利方程式的讨论
4）流体静止时 u 0, hf 0,We 0
gz1
p1
gz2
p2
即：流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
5）柏努利方程的不同形式 a) 若以单位重量的流体为衡算基准
Z1
u12 2g
p1
g
We g
五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项 1）作图并确定衡算范围
根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体 的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的 衡算范围。
1、应用柏努利方程的注意事项
2）截面的选取 两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流
体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截
M T0 Pm 22.4 TP0
1）确定流体的流量
29 273[101330 1/ 2(3335 4905)]
22.4
293101330
1.20kg / m3
u12 3335 u22 4905 2 1.20 2 1.2
化简得：
u22 u12 13733
流体在截面处所具有的压力
F pA
流体通过截面所走的距离为
l V / A
1、流体流动的总能量衡算
流体通过截面的静压能 Fl pA V pV (J )
A
单位质量流体所具有的静压能 p V pv(J/kg) m
单位质量流体本身所具有的总能量为 ：
U gz 1 u2 pv(J / kg) 2
pdv
p2 p1
vdp
代入上式得：
gZ
u 2 2
p2 p1
vdp
We
hf
——流体在定态流动过程中的机械能衡算式
2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程
2）柏努利方程（Bernalli）
p2 p1
vdp
v p2
p1
条件：定态流动 不可压缩
gZ
u 2 2
面之间，截面的有关物理量Z、u、p等除了所求的
物理量之外 ，都必须是已知的或者可以通过其它 关系式计算出来。
1、应用柏努利方程的注意事项
3）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与
地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过 衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范 围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线， ΔZ=0。
P2 gh 10009.810.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
1）确定流体的流量
3600 0.082 7.34
4
132.8m3 / h
2）确定容器间的相对位置
化工原理
化学化工学院 吴红军
2016年 3 月
第一章 流体流动
1.1 概述 1.2 静力学基本方程 1.3 流体流动的基本方程 1.4 流体流动现象 1.5 流体在管内的流动阻力 1.6 管路计算 1.7 流量测量