伯努利方程推导

根据流体运动方程P F dt V d ∙∇+=ρ1
上式两端同时乘以速度矢量
()V P V F V dt d ∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ
1
22
右端第二项展开——
()
()V P V P V F V dt
d ∙∇∙-∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ρρ1122
利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程
()
E V div p V P div V
F V dt d -+∙+∙=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ρρ1
22
右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加
热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程
()()
dt
dq V P div V F V T c dt d +∙+∙=+ ρυ12/2
()
E V div p
V P div V F V dt
d -+∙+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ ρρ122
得到
()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d
-+=++-= ρ
ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d
dt dq ρυ+=
这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。

由动能方程推导伯努利方程：
对于理想流体，动能方程简化为：()
V div p
V P div V F V dt d ρρ+∙+∙=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛122无热流量项。

又因为()
V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -∇∙-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-=∙∂∂∂∂∂∂)()()(故最终理想流体的动能方
程可以写成：
p V V F V dt
d
∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ρ
22
【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不
发生任何转换。

】
假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-∇=F
考虑Φ为一定常场，则有：
dt d V V F Φ-
=Φ∇∙-=∙
理想流方程体动能方程p V
V F V dt d ∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ
22
假设质量力是有势力，是定常场
p V V dt
d
∇⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ρ
22
由定常条件：p V p V t p
dt dp ∇⋅-=∇⋅-∂∂-=- -->
dt dp
V dt d ρ122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ 不可压缩条件0d dt ρ
=-->
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Φ+ρp dt d
V dt d 22-->022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+ρp V dt
d
等式右端括号内部分的个体变化为零，也即：const p
V =+Φ+ρ22
定常运动:流体运动的迹线和流线是重合,于是沿流体运动的流线也有
const p
V =+Φ+ρ22
例：求水从容器壁小孔中流出时的速率。

解：水从小孔中流出时的流速可以根据伯努利方程求解。

设ABC 为一条流线。

A 和B 分别是这条流线在水面和小孔处的两点, 其中水面上点A 和孔口处点B 都与大气接触, 所以那里的压强都等于大气压p0。

容器的横截面比小孔的截面大得多, 根据连续性方程, vA << vB , 故可以认为vA = 0。

将以上条件代入上式, 即可求得小孔处的流速, 为。