伯努利方程推导

根据流体运动方程P F dt V d ∙∇+=ρ1

上式两端同时乘以速度矢量

()V P V F V dt d ∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ

1

22

右端第二项展开——

()

()V P V P V F V dt

d ∙∇∙-∙∙∇+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ρρ1122

利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程

()

E V div p V P div V

F V dt d -+∙+∙=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ ρρ1

22

右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加<--内能减少） 右第四项是粘性耗散项：动能减少-->内能增加

热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程

()()

dt

dq V P div V F V T c dt d +∙+∙=+ ρυ12/2

()

E V div p

V P div V F V dt

d -+∙+∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ ρρ122

得到

()()E V div p T c dt d dt dq dt dq E V div p T c dt d

-+=++-= ρ

ρυυ / 对于理想流体，热流量方程简化为： ()V d i v p T c dt d

dt dq ρυ+=

这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。

由动能方程推导伯努利方程：

对于理想流体，动能方程简化为：()

V div p

V P div V F V dt d ρρ+∙+∙=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛122无热流量项。

又因为()

V pdiv p V z pw y pv x pu V P div -∇∙-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++-=∙∂∂∂∂∂∂)()()(故最终理想流体的动能方

程可以写成：

p V V F V dt

d

∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ρ

22

【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不

发生任何转换。】

假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：Φ-∇=F

考虑Φ为一定常场，则有：

dt d V V F Φ-

=Φ∇∙-=∙

理想流方程体动能方程p V

V F V dt d ∇⋅-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ρ

22

假设质量力是有势力，是定常场

p V V dt

d

∇⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ρ

22

由定常条件：p V p V t p

dt dp ∇⋅-=∇⋅-∂∂-=- -->

dt dp

V dt d ρ122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+ 不可压缩条件0d dt ρ

=-->

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ+ρp dt d

V dt d 22-->022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ+ρp V dt

d

等式右端括号内部分的个体变化为零，也即：const p

V =+Φ+ρ22

定常运动:流体运动的迹线和流线是重合,于是沿流体运动的流线也有

const p

V =+Φ+ρ22

例：求水从容器壁小孔中流出时的速率。

解：水从小孔中流出时的流速可以根据伯努利方程求解。设ABC 为一条流线。A 和B 分别是这条流线在水面和小孔处的两点, 其中水面上点A 和孔口处点B 都与大气接触, 所以那里的压强都等于大气压p0。容器的横截面比小孔的截面大得多, 根据连续性方程, vA << vB , 故可以认为vA = 0。将以上条件代入上式, 即可求得小孔处的流速, 为