第3章2_流体动力学基础-伯努利方程的应用(1)讲解
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用伯努利方程，又称为伯努利定律，是流体力学中的一个基本原理。
它描述了在稳态流动中，沿流线方向流体的总能量保持不变。
伯努利方程可以应用于各种流体系统，包括液体和气体，并在航空、水利工程等领域得到广泛应用。
1.流体是理想流体，即无黏度和无压缩性；2.流体是稳态流动，流线保持不变；3.流体受到重力和压强力的作用，无其他外力。
根据以上假设，伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
1.飞行原理：伯努利方程解释了飞机飞行的基本原理。
当飞机飞行时，上表面的气流速度大于下表面的气流速度，根据伯努利方程，气流速度增大意味着气流压强降低，因此上表面的气流压强小于下表面，形成了一个向上的升力，使得飞机能够起飞和保持在空中。
2.水力工程：伯努利方程在水流中的应用非常常见。
例如，当水流通过一条管道时，根据伯努利方程，水流速度越大，压强越小。
这一原理可以应用于水泵、水轮机等设备的设计和运行。
3.血液循环：伯努利方程被广泛应用于心脏和血管的研究。
心脏将血液推入血管中，根据伯努利方程，血液速度增加意味着血液压力下降，这有助于保持正常的血流循环。
4.涡轮机：伯努利方程被应用于涡轮机的设计和优化。
涡轮机利用流体动能转换为机械能，在伯努利方程的基础上进行流体的流动和能量转换的计算，可以进行涡轮机的性能预测和优化设计。
总之，伯努利方程是流体力学中非常重要的一个原理，它描述了流体在稳态流动中能量守恒的基本规律。
通过应用伯努利方程，可以更好地理解和解释许多与流体流动和能量转换相关的现象和实际问题。
第3章2_流体动力学基础-伯努利方程的应用(1)
【例3-7】图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面 上造成的负压，可将M容器中的积水抽出。已知：H、b、 h。试分析：吼道有效断面面积A1与喷嘴出口断面面积A2 之间应满足什么样的条件能使抽水装置开始工作(不计能 量损失)？
32
【解】 以1-1为基准面，列0-0、1-1断面的能量方程：
uA 2 g
pA p0
uA c 2 g
校正系数c由实验 确定，一般约为 0.95-1.0
pA p0
21
双孔测速管
皮托-普朗特管 把测压管和测速管结 合在一起制成的，原 理与单孔测速管相同。 经过试验，如果按图 示尺寸制造，其校正 系数c=1，使用方便。
22
【例3-5】水从立管下端泄出，立管直径为d＝50mm， 射流冲击一水平放置的半径R＝150mm的圆盘，若水层 离开盘边的厚度δ＝1mm，求流量Q及汞比压计的读数 Δh (不计水头损失) 。
11
2、节流式流量计
工业上常用的节流式流量计主要有三种类型，即孔板、喷嘴和 圆锥式（又叫文丘里管）。 节流式流量计 特点：装置中断面逐渐 收缩
12
基本原理： 当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处 流速增加，压强降低，使节流装置前后产生压差。在选择一定 的节流装置的情况下，液体流量越大，节流装置前后压差也越 大，因而可以通过测量压差来计算流量大小。
p1
p真
0.2 13.6 2.72m水柱
出水口通大气，水池液面通大气，p2=p0=0。 对断面1-1、2-2列能量方程：
p1
V12 p2 V22 H2 2g 2g
A d 50 V22 V12 1 V12 1 V12 0.198V12 A2 d 2 75
流体动力学柏努利方程应用
当被测流体密度为ρ，测压计工作介质为ρ介质：
u2
p总p 2
(介 质)gR
pa
u实
2g(介质)R
式中R—u形管内流流体动体力学的柏努高利度方程差应用
❖
必须着重指出，u 并不是管道截面上的平均速度。
皮托管只能直接测出测量点上流体的点速度。若要使
用皮托管来测量管道流量，尚须采用下述办法来确定
管道截面的平均流速。
流体动力学柏努利方程应用
1.3.8.1 测速管（皮托管）
流体动力学柏努利方程应用
❖
皮托管是一种测速仪器，能测出管道截面某一点上流体
的速度。图所示出皮托管的结构和测速原理。利用套装在一
起的同心管道，内管的顶端开一小孔角，正迎向流动着的流
体；外管前部侧壁上开有一排（同流体流动方向相垂直的）
小孔。工作时，内管将流体滞止，使速度压头变为静压头，
p(p22gv22)(p12gv12)
流体动力学柏努利方程应用
1.3.8.4 离心水泵扬程
如图所示为离心式水泵工作示意图，设离心式水泵要求
的输出体积流量为Q，把水自1－1截面处输送至2－2截面处。
在截面1－1与2－2处均为大气压Pa,吸水高度为Hg，排 水高度为Hd，吸水和排水管的总阻力损失为hw，吸水管和排 水管内径分别为d1，d2，试计算离心式水泵扬程H。
流体动力学柏努利方程应用
流体动力学柏努利方程应用
gz1p12 v12gz2p2v 222hp
流体动力学柏努利方程应用
❖
在孔板上游截பைடு நூலகம்1－1（截面积为A1，流速为v1，静压强
为p1）与孔板所在截面0－0（截面积为A0，流速为v0，静压
强为p0）之间列出柏努利方程式，先略去两截面之间的流
化工原理伯努利方程的应用.ppt
3m / s
4
u2
d1 d2
2.u1
0.25u1
0.75m /
s
H f 260mm 0.26m(水柱)
代入柏努利方程式：
p2 p1
g
u12 u22 2g
H
f
32 0.752 0.26 2 9.8
0.17m水柱
因倒U型管中为空气，若不 计空气质量，P3=P4=P
P1 P 水gh
u2
VS A
VS
d2
5
3600 0.0332
1.62m / s
4
4
由连续性方程 u1 A1 u2 A2 ∵A1>>A2,
∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。
We=0 ， hf 30J / kg
将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：
z1
1.622 (
2
9.81103 850
30) / 9.81
4.37m
3）确定输送设备的有效功率 例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来
后 流 入 下 水 道 ， 已 知 道 管 道 内 径 均 为 0.1m ， 流 量 为 84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至 喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较 塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽 略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率。
2截面的截取两截面都应与流动方向垂直并且两截面的流体必须是连续的所求得未知量应在两截面或两截面之间截面的有关物理量zup等除了所求的物理量之外3基准水平面的选取所以基准水平面的位置可以任意选取但必须与地面平行为了计算方便通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面
伯努利方程讲解
关于伯努利方程的知识讲解把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间(图8－29)，向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？实际正好相反，两张纸会贴近(图8－30)．怎样解释上述现象呢？现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。
这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．理想流体液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．定常流动观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．伯努利方程现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1．a1处左边的流体对研究对象的压强为p1，方向垂直于S1向右．a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2．a2处右边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左．经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2．两端移动的距离分别为Δl1和Δl2．左端流入的流体体积为ΔV1=S1Δl1，右端流出的流体体积为ΔV2=S2Δl2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV1=ΔV2，记为ΔV．现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F1=p1S1，所做的功W1=F1Δl1=p1S1Δl1=p1ΔV．作用在右端的力F2=p2S2，所做的功W2=-F2Δl2=-p2S2Δl2=-p2ΔV．外力所做的总功W=W1＋W2=(p1-p2)ΔV．(1)外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2．由b1到a2这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变．这样，机械能的改变E2-E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．力势能为mgh2=ρgh2ΔV．机械能的改变为右边对这段液体的的作用力向左，而这段液体的位移向右，所以功是负值。
伯努利方程的原理和应用
伯努利方程的原理和应用1. 什么是伯努利方程伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述理想流体的运动。
它基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以通过对流体在不同位置和时间上的性质进行分析，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
2. 伯努利方程的表达形式伯努利方程可以写成以下形式：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P是流体的静压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
3. 伯努利方程的原理伯努利方程的原理即基于质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，通过分析流体在不同位置上的性质，推导出流体在各个位置上的压力、速度和高度之间的关系。
3.1 质量守恒质量守恒是指在封闭系统中，质量的总量是不变的。
在流体力学中，当流体通过一个管道或槽道时，质量的净流入量等于质量的净流出量。
3.2 动量守恒动量守恒是指在封闭系统中，动量的总量是不变的。
在流体力学中，动量的变化可以通过推导出的动量方程来描述，而伯努利方程就是基于动量守恒推导出来的。
3.3 能量守恒能量守恒是指在封闭系统中，能量的总量是不变的。
在流体力学中，能量的变化可以通过推导出的能量方程来描述，而伯努利方程也是基于能量守恒推导出来的。
4. 伯努利方程的应用伯努利方程广泛应用于流体力学和工程学中，可以用于解决多种问题。
以下是一些常见的应用情况。
4.1 流速和压力关系根据伯努利方程，当流体的速度增加时，压力会减小；当速度减小时，压力会增加。
这个关系在管道系统和飞机翼等领域起到重要作用，可以帮助我们设计高效的流体系统。
4.2 流速和高度关系当流体的速度增加时，其高度会降低；当速度减小时，高度会增加。
这个关系在水力发电站和喷气式飞机等领域有重要应用，可以帮助我们设计高效的能量转换系统。
4.3 压力和高度关系根据伯努利方程，当流体的压力增加时，其高度会降低；当压力减小时，高度会增加。
这个关系在水泵和水塔等领域常常被应用，可以帮助我们调节流体的压力和高度。
伯努利方程及其应用
1.2 伯努利方程的应用
• 设理想流体在管内作稳定流动，在水平粗、细管
等高点处的截面积、压强、流速分别为 SA、PA、vA
和 SB、PB、vB，竖直毛细管内液面高度差为 h。将 流量计水平连接到被测管路中，应用伯努利方程
得
PA
1 2
2 A
PB
1 2
B2
再根据连续性方程 SAA SBB Q
可得A 点的流速
1
'
，S2 流 ,S 2 ' 处的
截面积、压强、流速、高度等都保持不变。
流体元 S1S2在流动过程 中，受两端的大气压力 和重力作用，在 ∆t时 间段内, 相当于流体元
S根1 S据1'连流续动性到原S理2 S，2 ' 处两，个
流体元 的质量相等，
设为 m 。
1.1 伯努利方程
• 大气压力P1S1 做正功，P2S2 做负功，总功为
两截面的流速和截面SA 的压强（忽略水的可压缩性 和黏性）。
• 解：根据连续性方程 SAA SBB Q
•得
A
Q SA
0.12 100 104
12(m / s)
B
Q SB
0.12 60 104
20(m / s)
1.1 伯努利方程
• 因为在水平管中流动，h1=h2 ，再根据理想流体的伯 努利方程可知
大学物理
伯努利方程及其应用
1.1 伯努利方程 1.2 伯努利方程的应用
1.1 伯努利方程
• 博学的荷兰科学家丹尼尔•伯努利在研究流体运动 时，提出了理想流体作稳定流动时遵循的基本方 程——
• 伯努利方程。
• 下面我们从 • 功能原理的 • 角度进行推导。
第三章 基础流体动力学 伯努利方程式
第三章 基礎流體動力學 – 伯努利方程式3.1 牛頓第二運動定律流體的運動也是遵從著牛頓運動定律。
此章先假設流體內沒有粘滯度，也沒有熱傳導度，沒有熱傳行為發生。
所以，一個流體粒子是受著壓力以及體積重力的影響，而造成流體粒子的加速及運動。
粒子的運動是以其速度V 表示之。
速度是一個向量，粒子的運動軌跡則由粒子的速度決定之。
在一路徑上，粒子的位置是靠時間起點粒子的位置以及粒子沿著路徑的速度來決定。
對一個穩定流動而言，陸續通過一個位置的各個粒子都會有相同的運動路徑。
考慮在二度空間平面上，穩定流動中，每一個粒子都在其路徑上前進。
粒子的速度都在路徑的切線方向。
此路徑即稱為流線streamlines 。
在流線上，我們定義流線切線方向座標s ，以及垂直方向座標n (指向流線內側為正)。
s 即為粒子在沿路徑上前進的距離s = s(t)，而每一個位置又有當地的曲率半徑R = R(s)。
粒子在某一個位置s ，速率是V ，沿流線切線方向的加速度，V s V dt ds s V dt dV a s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂== 而垂直方向的加速度（離心加速度），RV a n 2= 一般而言，這兩個加速度都會存在，也就是說，粒子會受著一個非為零的淨力。
3.2 沿流線切線方向的牛頓第二運動定律考慮一個長為∆s ，寬為∆n 的二維空間體積，作用於s 方向的力來自體積重力以及表面壓力。
切線方向的牛頓第二運動定律成為，sV sV n n p n p s n s s s ∂∂∆∆=∆-∆+∆∆-∆+ρθγsin 化簡，sV V ds dp ∂∂=--ρθγsin dsV d ds dp ds dz )(212ργ=-- 所以，沿一個流線方向，0)(212=++dz V d dp γρ 積分成為，C gz V dp =++⎰221ρ壓力積分項需要知道密度隨壓力的變化才能求得。
假如密度為常數，（如液體，或速度不是很快的氣體），可得，E z V p =++γρ221這就是伯努利方程式。
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z1
p1
V12 2g
z2
p2
V22 2g
其中，z1 0、V1 Q A1 = (4 0.1) (3.14 0.32) =1.42m/s z2 z h、V2 Q A2 = (4 0.1) (3.14 0.12) =12.74m/s
0 p1 V12 z h p2 V22
2g 2g
当孔眼断面积为A，流速为v时，根据连续性条件：
vA v1A1 v2 A2
v1
A A1
v
v2
A A2
v
p1 p2 v22 v12 v2 [( A )2 ( A )2 ]
2g 2g A2
A1
14
v
1
2g p1 p2
( A )2 ( A )2
10
【解】 联立以上两个方程，解得
喷射高度：
V4 6.57(m / s) h V42 2.2(m)
2g
即，喷水出口流速为6.57m/s，喷射高度为2.2m。
11
2、节流式流量计
工业上常用的节流式流量计主要有三种类型，即孔板、喷嘴和 圆锥式（又叫文丘里管）。
节流式流量计 特点：装置中断面逐渐 收缩
其中，z1 1.0 2.5 3.5m、p1 0、V1 0， z3 0、p3 p0、V3 0
以2-2断面为基准面，列2-2、4-4两个断面的伯努利方
程：
z2
p2
V22 2g
z4
p4
V42 2g
其中，z2 0、p2 p0、V2 0， z4 0.3 1.0 1.3m、p4 0、V4 ?
zA
pA
VA2 2g
zC
pC
VC2 2g
hAC
其中，zA 0、pA 2atm 202650Pa， zC 3.2m、pC 0，hAC 0.5 0.1 0.6m
根据连续性方程
VA AA VC AC
所以，解出
2
VA =
AC AA
3
【解】
流量Q=VA，管径A已知，只需求出流速V。
基准面取在管道处，取1-1和2-2两个断面，列伯努 利方程。
z1
p1 V12 2g Nhomakorabeaz2
p2
V22 2g
h12
11断面：z1 H 7m，p1 0，V1 0； 2 2断面：z2 0，p2 0.5atm 50662.5Pa，V2 ？，h12 1.5m。
即水管的流量为 1.99 102(m3 / s)
5
【例3-2】如图所示为一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位 置如图。泵出口A压力为2atm(表压)，泵排出管断面直径 50mm，喷嘴出口C直径20mm；水龙带水头损失为 0.5m；喷嘴水头损失0.1m。试求喷嘴出口流速、泵排量 和B点压强。
6
【解】 以A所在位置为基准面，列A、C两个断面的伯努利方程：
2g
2g
h
1
(
p1
p2
z)
V12 2g
V22 2g
8
【例3-3】有一喷水装置如
图所示。已知h1=0.3m， h2=1.0m，h3=2.5m， p0
为表压，求喷水出口流速及
水流喷射高度h(注：不计水
头损失)。
练习题
9
【解】
以3-3断面为基准面，列1-1、3-3两个断面的伯努利方
程：
z1
p1
V12 2g
z3
p3
V32 2g
流体动力学基础
伯努利方程的应用 泵对液流能量的增加
1
伯努利方程的应用 1、一般的水力计算 2、节流式流量计 3、驻压强和测速管 4、流动吸力问题
2
1、一般的水力计算
【例3-1】从水池接一管路，如图所示。H=7m，管内 径D=100mm，压力表读数0.5 atm，从水池到压力表 之间的水头损失是1.5m，求流量。
代入伯努利方程
7 0 0 0 50662.5 V22 1.5 9800 2g
4
【解】
解出
V2 2*9.8*(7 1.5 5.17) 2.54(m / s)
流量
Q
V2
A V2
*
4
D2
2.54 *
4
* (0.1)2
1.99 102 (m3 / s)
12
基本原理：
当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处 流速增加，压强降低，使节流装置前后产生压差。在选择一定 的节流装置的情况下，液体流量越大，节流装置前后压差也越 大，因而可以通过测量压差来计算流量大小。
气体
△h
1
2
D
1
2
d
13
因孔板在水平管路上，位置水头相等，列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
A2
A1
Q理论 Av
A 流量 2g p1 p2 A
( A )2 ( A系)2数
2g p1 p2
压差
水头
A2
A1
Q d 2 2g p1 p2 d 2 2g p
4
4
15
对于液-气压差计
对于水-汞压差计
p h
p
Hg 水
1 h
16
【例3-4】如图所示，一U型水银压差计连接于一直角弯 管处。已知，水平段管径d1=300mm，垂直段管径d2 =100mm。管中的流量为Q=100L/s。试问：压差计∆h 读数等于多少？（不计水头损失）
17
【解】 以0-0为基准面，列1-1、2-2两个断面的伯努利方程：
zB
pB
VB2 2g
hAB
其中，zA 0、pA 2atm 202650Pa zB 3m、pB ?、VB VA，hAB 0.5m
可以求出 pB 108350(Pa)
所以，水龙带出口速度为19.85m/s，该泵排量为 0.00623m3/s，B点的压力为108350Pa。
VC
dC dA
VC
0.16VC
泵排量
VC 19.85(m / s)
Q
VC
AC
=19.85
（0.2）2 4
0.00623(m3
/
s)
7
B点的压强可通过列A、B或B、C断面的伯努利方程求 解。例如，列A、B断面的伯努利方程：
zA
pA
VA2 2g