第四章流体动力学基本方程
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流体动力学基本方程
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
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yx
zx dz zx
zyz
xz
xz x
dx
x
z
o
dx pyy
应用动量定理
在流场中取如图所示的流体系 统,其体积为Vs，边界面为As， 作用在该系统内单位质量流体 上的质量力为 f ，作用在单位
界面面积上的表面力为 n .
n
n
dA
VS
AS
图2-3 流体系统
d
dx
注意:
A
o
yx x
z
1.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0.
2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心
轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴
线平行，因此其力矩为0. 3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0.
4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量 ，可忽略.
①定常流动的伯努利积分
②定常无旋流动的欧拉积分
两个积分的前提条件是：
(1) 定常流
x y z 0
t t t
0
t
(2) 质量力有势，即满足
fx
x
f y
y
fz
z
(3) 正压性流体，即流体的密度只与压强有关 f ( p) ( p)
九个应力分量描述了A点的的应力状态
pyy
pyy y
dy
dz
y dy
yz
yz y
dy
zx
yx
yx
pzz
xy
xy x
dx
pxx
xz
zy
zy z
dz
fz
zy
M fx
pxx
pxx x
dx
y
dy
xy AA
pzz
pzz z
dz
fy
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2 z
y 2
2 z
z 2
x
(
PF
2
2
)
0
y
(
PF
2
2
)
0
z
(
PF
2
2
)
0
物理意义为：
将上式分别乘以流场中任
意微元线段ds的三个分量 dx, dy, dz，相加，再积
pm
1 3
(
pxx
pzz
pyy )
p
2 3
( x
x
y
y
z
z
)
对于不可压缩流体， 0 pm p（p 为热力学压强）
对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体， 上述结果是正确的。
法向应力与线变形速度之间的关系
pxx
pm
2
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2z
y 2
2 z
z 2
dz
dt
对于理想流体 无粘性
fx
1
p x
dx
dt
fy
1
p y
= d y
dt
fz
1
p z
r
r
r
r
2
r
z
r
z
f
1
r
p
t
r
r
r
r
r
z
z
fz
1
p z
z
t
r
z
r
r
z
z
z
z
欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动， 但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示
旋转运动的角速度x, y, z
兰姆运动微分方程
fx
x
2
( 2
)
1
p x
x
t
2(zy
yz )
fy
y
( 2
2
)
1
p y
y
t
2(xz
zx )
fz
z
2
( ) 2
1
p z
z
t
2( yx
xy )
压强计
§4-2 实际流体中的运动微分方程
pyy
pyy y
dy
dz
yz
yz y
dy
zx
yx
yx y pzz
dy
xy
xy x
dx
y
pxx
dy
xz
zy
zy z
dz
fy
zy
xy A
pzz
pzz z
dz
fz
fx
zx
zx z
x j
(i j， = 0)
§4－3 理想流体的运动微分方程
N-S方程
fx
1
p x
v
2 x
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
dz
dt
纳维尔—斯托克斯方程 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2
t
f 1 p v2 d
dt t
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
i j k x y z
dz
dt
理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程),适用于可压 缩流体和不可压缩流体的运动
写成矢量形式为：
f 1 p ( )
t
当流体处于静止状态时
1 p
fx x 0
fy
1
p 0 y
fz
1
p z
0
问题
• 广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？ • 在何条件下 pxx pyy pzz p • N-S方程的适用条件？ • 讨论题：
两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？ 切应力分布？
ij
( i
x j
j
xi
)
(i j)
pij
p
2
i
x x y y z z
对不可压均质流体 const 则有：
PF
1
p
PF
dp ( p)
p
对等温流动的可压缩流体，由
p RT
则有：PF
dp ( p)
dp p
RT0 ln p
绝热可逆流动的可压缩流体，由
p k
C1
1
Cpk
dz
xz
xz x
dx
yx
yz
o
x
z
dx
pyy
pxx
pxx x
dx
fx
1
pxx x
1
yx
y
zx
z
dx
dt
fy
1
pyy y
1
zy
z
xy
x
d y
dt
fz
2
2
2
2
2
兰姆方程的推导 (以x方向为例)
fx
1
p x
x t
x
x x
y
x y
z
x z
y
y x
z
z x
x t
x
x x
x x
zx dz zx
zyz
xz
xz x
dx
x
z
o
dx pyy
应用动量定理
在流场中取如图所示的流体系 统,其体积为Vs，边界面为As， 作用在该系统内单位质量流体 上的质量力为 f ，作用在单位
界面面积上的表面力为 n .
n
n
dA
VS
AS
图2-3 流体系统
d
dx
注意:
A
o
yx x
z
1.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0.
2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心
轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴
线平行，因此其力矩为0. 3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0.
4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量 ，可忽略.
①定常流动的伯努利积分
②定常无旋流动的欧拉积分
两个积分的前提条件是：
(1) 定常流
x y z 0
t t t
0
t
(2) 质量力有势，即满足
fx
x
f y
y
fz
z
(3) 正压性流体，即流体的密度只与压强有关 f ( p) ( p)
九个应力分量描述了A点的的应力状态
pyy
pyy y
dy
dz
y dy
yz
yz y
dy
zx
yx
yx
pzz
xy
xy x
dx
pxx
xz
zy
zy z
dz
fz
zy
M fx
pxx
pxx x
dx
y
dy
xy AA
pzz
pzz z
dz
fy
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2 z
y 2
2 z
z 2
x
(
PF
2
2
)
0
y
(
PF
2
2
)
0
z
(
PF
2
2
)
0
物理意义为：
将上式分别乘以流场中任
意微元线段ds的三个分量 dx, dy, dz，相加，再积
pm
1 3
(
pxx
pzz
pyy )
p
2 3
( x
x
y
y
z
z
)
对于不可压缩流体， 0 pm p（p 为热力学压强）
对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体， 上述结果是正确的。
法向应力与线变形速度之间的关系
pxx
pm
2
z 2
d y
dt
fz
1
p z
v
2 z
x2
2z
y 2
2 z
z 2
dz
dt
对于理想流体 无粘性
fx
1
p x
dx
dt
fy
1
p y
= d y
dt
fz
1
p z
r
r
r
r
2
r
z
r
z
f
1
r
p
t
r
r
r
r
r
z
z
fz
1
p z
z
t
r
z
r
r
z
z
z
z
欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动， 但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示
旋转运动的角速度x, y, z
兰姆运动微分方程
fx
x
2
( 2
)
1
p x
x
t
2(zy
yz )
fy
y
( 2
2
)
1
p y
y
t
2(xz
zx )
fz
z
2
( ) 2
1
p z
z
t
2( yx
xy )
压强计
§4-2 实际流体中的运动微分方程
pyy
pyy y
dy
dz
yz
yz y
dy
zx
yx
yx y pzz
dy
xy
xy x
dx
y
pxx
dy
xz
zy
zy z
dz
fy
zy
xy A
pzz
pzz z
dz
fz
fx
zx
zx z
x j
(i j， = 0)
§4－3 理想流体的运动微分方程
N-S方程
fx
1
p x
v
2 x
x2
2 x
y 2
2 x
z 2
dx
dt
fy
1
p y
v
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
dz
dt
纳维尔—斯托克斯方程 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2
t
f 1 p v2 d
dt t
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
i j k x y z
dz
dt
理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程),适用于可压 缩流体和不可压缩流体的运动
写成矢量形式为：
f 1 p ( )
t
当流体处于静止状态时
1 p
fx x 0
fy
1
p 0 y
fz
1
p z
0
问题
• 广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？ • 在何条件下 pxx pyy pzz p • N-S方程的适用条件？ • 讨论题：
两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？ 切应力分布？
ij
( i
x j
j
xi
)
(i j)
pij
p
2
i
x x y y z z
对不可压均质流体 const 则有：
PF
1
p
PF
dp ( p)
p
对等温流动的可压缩流体，由
p RT
则有：PF
dp ( p)
dp p
RT0 ln p
绝热可逆流动的可压缩流体，由
p k
C1
1
Cpk
dz
xz
xz x
dx
yx
yz
o
x
z
dx
pyy
pxx
pxx x
dx
fx
1
pxx x
1
yx
y
zx
z
dx
dt
fy
1
pyy y
1
zy
z
xy
x
d y
dt
fz
2
2
2
2
2
兰姆方程的推导 (以x方向为例)
fx
1
p x
x t
x
x x
y
x y
z
x z
y
y x
z
z x
x t
x
x x
x x