流体力学第4章
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流体力学第4章
0V
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2[ (n
1)(n 2
2) ]2
(2n
1 1)(2n
2)
§4-8 管内沿程阻力系数λ的实验研究
• 尼古拉兹进行人工粗糙管的阻力实验,他 用三种粒径为Δ的沙子贴涂在管壁上.形 成人工粗糙管.
• 对d/Δ=30, 61, 120, 252, 504, 1014 六种管道进行实验.
• 得到λ-Re对数曲线,称为尼古拉兹曲线.
可用下式近似表示：
u ( y )n ( r0 r )n
um r0
r0
平均速度：
V
1
r02
0
u 2rrdr
0
2 (n 1)(n
2) um
动能修正系数
1 0 ( u )3 2rdr 2[(n 1)(n 2)]3
1
r02 0 V
2
(3n 1)(3n 2)
动量修正系数
1
r02
0 u (
求:各管的流量
解:铸铁管，Δ=1.2mm，接阻力平方计算:
Δ/d1
λ1 Δ/d2
λ2 Δ/d3 λ3
4×10-3, 0.028, 4.8×10-3, 0.030, 6×10-3 0.032
例4-16
1
1 d1
1 2g
(4dQ121 )2
2
2 d2
1 2g
(
4Q2
d
2 2
)
2
3
3 d3
1 2g
(4dQ323 )2
hf
Q2 11 ( d2 )5 0.4842
Q1
22 d1
Q3 11 ( d3 )5 0.2400
Q1
33 d1
Q1 Q1 Q Q1 Q2 Q3 Q1(1 ) 1.7242Q1
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1)(n 2
2) ]2
(2n
1 1)(2n
2)
§4-8 管内沿程阻力系数λ的实验研究
• 尼古拉兹进行人工粗糙管的阻力实验,他 用三种粒径为Δ的沙子贴涂在管壁上.形 成人工粗糙管.
• 对d/Δ=30, 61, 120, 252, 504, 1014 六种管道进行实验.
• 得到λ-Re对数曲线,称为尼古拉兹曲线.
可用下式近似表示：
u ( y )n ( r0 r )n
um r0
r0
平均速度：
V
1
r02
0
u 2rrdr
0
2 (n 1)(n
2) um
动能修正系数
1 0 ( u )3 2rdr 2[(n 1)(n 2)]3
1
r02 0 V
2
(3n 1)(3n 2)
动量修正系数
1
r02
0 u (
求:各管的流量
解:铸铁管，Δ=1.2mm，接阻力平方计算:
Δ/d1
λ1 Δ/d2
λ2 Δ/d3 λ3
4×10-3, 0.028, 4.8×10-3, 0.030, 6×10-3 0.032
例4-16
1
1 d1
1 2g
(4dQ121 )2
2
2 d2
1 2g
(
4Q2
d
2 2
)
2
3
3 d3
1 2g
(4dQ323 )2
hf
Q2 11 ( d2 )5 0.4842
Q1
22 d1
Q3 11 ( d3 )5 0.2400
Q1
33 d1
Q1 Q1 Q Q1 Q2 Q3 Q1(1 ) 1.7242Q1
工程流体力学 第4章 粘性流体动力学基础
沿程损失水头 (hf)：
hf
LV2 D 2g
达西(Darcy)公式
λ：为沿程损失系数，与流动状态、管壁的粗糙度等有关
hf不仅与管段长度成正比，还与管道直径成反比
2020年1月10日
FESTO气动中心
局部阻力水头损失 ：当流体在运动中遇到局部障 碍（半开阀门、管道弯头、粗细管接口、滤网等）时， 流线会发生局部变形，并且由于流动分离、二次流等 原因产生漩涡运动，从而耗散一部分机械能，造成水 头损失。
2020年1月10日
FESTO气动中心
解 :（1）求管中心最大流速 umax 2V 2 6.35 12.7cm/s
（2）离管中心 r=20mm 处的流速
u
umax
p
4L
r2
当r=50mm时，管轴处u=0，则有
0 12.7 p 52
4L
p 0.51
4L
则r=20mm在处的流速 u 12.7 0.51 22 10.7cm/s
LV2
d 2g
64 / Re
2020年1月10日
FESTO气动中心
克服沿程阻力而消耗的功率
W
ghf Q
pQ
128 LQ 2 d 4
动能修正系数
1
R2
R u 32rdr 2
0 V
2020年1月10日
FESTO气动中心
例: 设有一恒定有压均匀管流，已知管径d=20mm，管长l=20m， 管 中 水 流 流 速 V=0.12m/s ， 水 温 t=10℃ 时 水 的 运 动 粘 度 ν=1.306×10-6m2/s。求沿程阻力损失
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学 第4章流动阻力和能量损失
雷诺的实验装置如图 4.1 所示，水箱 A 内水位保持不变，阀门 C 用于调节流量，容器 D 内盛有容重与相近的颜色水，容器 E 水位也保持不变，经细管 E 流入玻璃管 B，用以演 示水流流态，阀门 F 用于控制颜色水流量。
图 4.1 雷诺实验装置 ·73·
·74·
流体力学
当 B 管内流速较小时，管内颜色水成一股细直的流速，这表明各液层间毫不相混。这 种分层有规则的流动状态称为层流。如图 4.1(a)所示。当阀门 C 逐渐开大流速增加到某一 临界流速 vk 时，颜色水出现摆动，如图 4.1(b)所示。继续增大 B 管内流速，则颜色水迅速 与周围清水相混，如图 4.1(c)所示。这表明液体质点的运动轨迹是极不规则的，各部分流体 互相剧烈掺混，这种流动状态称为紊流或湍流。 能量损失在不同的流动状态下规律如何呢？雷诺在上述装置的管道 B 的两个相距为 L 的断面处加设两根测压管，定量测定不同流速时两测压管液面之差。根据伯努利方程，测 压管液面之差就是两断面管道的沿程损失，实验结果如图 4.2 所示。
流体力学
Z1 +
由均匀流的性质：
p1
γ
+
ห้องสมุดไป่ตู้
α 1v12
2g
=
= Z2 +
2 α 2 v2
p2
γ
+
2 α 2 v2
2g
+ hl1−2
α 1v12
2g
代入上式，得：
2g
hl = h f
⎛ p1 ⎞ ⎛ p2 ⎞ (4-11) ⎜ + Z1 ⎟ ⎟−⎜ ⎜ ⎟ + Z2 ⎟ hf = ⎜ ⎝γ ⎠ ⎝ γ ⎠ 上式说明，在均匀流条件下，两过流断面间的沿程水头损失等于两过流断面测压管水 头的差值，即流体用于克服阻力所消耗的能量全部由势能提供。考虑所取流段在流向上的 受力平衡条件。设两断面间的距离为 L，过流断面面积 A1=A2=A，在流向上，该流段所受 的作用力有：重力分量 γ Alcosα、断面压力 p1A 和 p2A、管壁切力 τ0.l.2πr0(τ0 为管壁切应力， r0 为圆管半径)。
流体力学第四章 水头损失
全）。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
工程流体力学第4章流体在圆管中的流动
流体在圆管中的摩擦系数
定义
表示流体在圆管中流动时， 流体与管壁之间的摩擦力 与压力梯度之间的比值。
影响因素
流体的物理性质、管道的 粗糙度、流动状态等。
测量方法
通过实验测定，常用的实 验设备有摩擦系数计和流 阻仪等。
流体在圆管中的流动效率
定义
表示流体在圆管中流动的能量转 换效率，即流体在流动过程中所 消耗的能量与流体所具有的能量
流速分布受流体粘性和密度的影响， 粘性越大、密度越小，靠近管壁处流 速降低越快。
03
流体在圆管中的流动现象
流体阻力
01
02
03
定义
流体在流动过程中，由于 流体内部以及流体与管壁 之间的摩擦力而产生的阻 力。
影响因素
流体的物理性质、流动状 态、管道的形状和尺寸等。
减小阻力措施
选择适当的流速、优化管 道设计、使用减阻剂等。
之比。
影响因素
流体的物理性质、管道的形状和尺 寸、流动状态等。
提高效率措施
优化管道设计、改善流体物性、降 低流速等。
流体பைடு நூலகம்圆管中的流动稳定性
定义
表示流体在圆管中流动时，流体的速 度和压力等参数随时间的变化情况。
影响因素
流动稳定性控制
通过控制流体物性、流速和管道设计 等措施，保持流体在圆管中的流动稳 定性。
根据输送距离、流量和扬程要求，选择合适的水 泵。
输送效率
优化输送管道布局，降低流体阻力，提高输送效 率。
输送安全性
确保输送过程中不发生泄漏、堵塞等安全问题。
液压系统
液压元件
根据液压系统要求，选择合适的液压元件，如油泵、阀、油缸等。
系统稳定性
确保液压系统在各种工况下稳定运行，避免压力波动和振动。
流体力学课件第四章流动阻力和水头损失
l v hf d 2g
2
r w g J 2
w v 8
定义壁剪切速度（摩擦速度） 则
w v
*
v v
*
8
§4-4 圆管中的层流
层流的流动特征
du dy
du du dy dr
du dr
g J
r 2
r du g J 2 dr
层流 紊流
§4-3 沿程水头损失与剪应力的关系
均匀流动方程式
P G cos P2 T 0 1
P p1 A1 1
P2 p2 A2
T w l
G cos gAl cos gA( z1 z2 )
w l p1 p2 ( z1 ) ( z2 ) g g gA
v2 hj 2g
§4-2 粘性流体的两种流态
两种流态
v小
' c
v小
v > vc
v大 v大
临界流速。 下临界流速 vc ——由紊流转化为层流时的流速称为下 临界流速。
vc' ——由层流转化为紊流时的流速称为上 上临界流速
vv
层流 紊流
' c
紊流 层流
a-b-c-e-f f-e-d-b-a
第四章 流动阻力和水头损失
水头损失产生的原因： 一是流体具有粘滞性， 二是流动边界的影响。
§4-1 流动阻力和水头损失的分类
沿程阻力和沿程水头损失
在边界沿程无变化（边壁形状、尺寸、过 流方向均无变化）的均匀流段上，产生的流动 阻力称为沿程阻力或摩擦阻力。由于沿程阻力 做功而引起的水头损失称为沿程水头损失。均 匀流中只有沿程水头损失 h f 。
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• 广义牛顿公式的分量形式
(4.5.14)
• 不可压缩流体的广义牛顿公式为
(4.5.15)
(Hale Waihona Puke .5.16)• 4.6 流体力学基本方程组 • 4.6.1 微分形式的基本方程组 • （1）应力形式的基本方程组
(4.6.1)
• （2）张量形式的基本方程组
(4.6.2)
• （3）应变形式的基本方程组 • 应力张量的散度divP
(4.6.3)
• 运动方程可以写为矢量形式
(4.6.4)
• 运动方程（4.6.4）式
(4.6.5)
• 能量方程中，应力张量做功
(4.6.6)
• 耗散函数Φ
(4.6.7)
• 应力张量做功
(4.6.8)
(4.6.9)
• 能量方程
(4.6.10)
• 连续性方程
• 能量方程
(4.6.11)
• 基本微分方程组
(4.4.6)
(4.4.7) (4.4.8)
(4.4.9)
• 张量表示
(4.4.10)
• （4.4.9）式在直角坐标系中的形式为
(4.4.11)
• 4.5 本构方程 • 4.5.1 广义牛顿定律的基本假定 • 1)运动流体的应力张量P在流体运动停止后， 趋于静止流体的应力张量； • 2)流体中一点的应力是该点瞬时变形率的线 性函数； • 3)流体各向同性，即流体的所有物性在各个 分向上都相同； • 4)不可压缩流体的粘性，仅用动力学粘性常 数μ来表示。
• 状态方程
(4.6.18e)
• 4.6.2 积分形式的基本方程组
(4.6.19)
• 4.6.3 初始条件和边界条件 • （1）初始条件 • 当t=t0时
• 对于任一矢量函数a的体积分的随体导数
(4.1.13)
• 矢量函数a的体积分的随体导数另一形式
(4.1.14)
• 4.2 连续性方程 • 4.2.1 质量守恒定律
(4.2.1) (4.2.2)
• 4.2.2 积分形式的连续性方程 • （1）积分形式的连续性方程
(4.2.3)
• （2）控制体和控制面
• 依据假定1)
(4.5.1) (4.5.2) (4.5.3)
• 依据假定2)
(4.5.4)
• 依据假定3)
(4.5.5)
(4.5.6)
(4.5.7)
(4.5.8)
(4.5.9)
(4.5.10) (4.5.11)
• 4.5.2 广义牛顿公式 • 在斯托克斯假设下，广义牛顿公式:
(4.5.12) (4.5.13)
(4.6.12)
• 应力张量P
• （4）粘性不可压缩均质流体的基本微分方 程组
(4.6.13)
• （5）理想流体的基本微分方程组
(4.6.14)
(4.6.15)
• （6）静力学平衡微分方程
(4.6.16)
• （7）基本微分方程组在直角坐标系中的形式
• 连续性方程：
(4.6.17a)
• 运动方程
(4.3.8)
• （1）积分形式的动量矩定理 • 流体动量矩体积分的随体导数
• 动量矩定理
(4.3.9)
• （2）微分形式的动量矩定理
• 流体动量矩的变化率
• 微分形式的动量矩定理
(4.3.10)
• 4.4 能量方程 • 4.4.1 能量守恒定律 • 能量守恒定律可以写为：
(4.4.1)
• 4.4.2 积分形式的能量方程
• 线段元δr的随体导数
(4.1.4)
• （2）体积元的随体导数 • 体积元 的随体导数是体积元的变化率
• 速度散度的定义
• 考虑到速度通量等于体积元 速度散度的定义式
的变化率，
(4.1.5)
• 体积元的随体导数
(4.1.6)
• （3）面积元的随体导数 • 柱体微元体积
• 面积元δS的随体导数
(4.1.7)
• (4.1.7)式的张量表示为
(4.1.8)
• 4.1.2 线积分、面积分和体积分的随体导数 • （1）线积分的随体导数
(4.1.9)
• （2）流体面积分的随体导数
(4.1.10)
• （3）流体体积分的随体导数 • 任一标量函数 的体积分的随体导数
(4.1.11)
(4.1.12)
• 4.3.3 微分形式的动量方程 • (1)运动方程 • 流体动量的变化率
• 应用奥高公式有
(4.3.4)
(4.3.5)
• (2)直角坐标形式的运动方程
(4.3.6)
• (3)兰姆-葛罗米柯(
)运动方程
• 于是速度的随体导数变成
(4.3.7)
• (4.3.7)式称为兰姆-葛罗米柯运动方程。 • 4.3.4 动量矩定理的表达式 • 动量矩定理的表达式
(4.4.2)
• 4.4.3 微分形式的能量方程 • (1)微分形式的能量方程 • 内能和动能总和的体积分的随体导数
(4.4.3)
• 上式是微分形式的能量方程。 • 微分形式的能量方程可用张量表示
(4.4.4)
• （2）直角坐标形式的能量方程
(4.4.5)
• （3）微分形式的能量方程的另一种形式
图4.1 控制体和控制面
• 4.2.3 微分形式的连续性方程 • （1）微分形式的连续性方程
图4.2 流管
(4.2.4)
(4.2.5)
• （2）直角坐标形式的连续性方程
(4.2.6)
• （3）定常运动的连续性方程
(4.2.7)
• （4）不可压缩流体的连续性方程
(4.2.8)
• （5）流管中平均运动的连续性方程
(4.2.9) (4.2.10)
• 两个应用公式 • 由质量守恒定理，微元质量 导数为零，即
的时间
• 两个应用公式
(4.2.11)
(4.2.12)
• 4.3 运 动 方 程 • 4.3.1 动量定理的表达式 • 动量定理的表达式
(4.3.1)
• 4.3.2 积分形式的动量方程
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.6.17b)
• 能量方程
(4.6.17c)
• 本构方程：
(4.6.17d)
• 状态方程：
(4.6.17e)
• 其中耗散函数为
• （8）基本微分方程组在正交坐标系中的形式 • 连续性方程：
(4.6.18a)
• 运动方程：
(4.6.18b)
• 能量方程：
(4.6.18c)
• 本构方程
(4.6.18d)
第4章 流体力学基本方程组
• • • • 4.1 物质积分的随体导数 4.1.1 线段元、体积元和面积元的随体导数 （1）线段元的随体导数 在流场中任取一线段元δr，它是矢径r和r0 之差
(4.1.1)
• 线段元δr的随体导数为
(4.1.2)
• 根据梯度定理，速度分量的微分可以表示为
(4.1.3)