第三章 流体动力学理论基础
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工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
流体动力学基础理论
流体动力学基础理论流体动力学是研究流体运动规律及其物理现象的学科，其基础理论包括流体静力学和流体动力学两个部分。
本文将围绕流体动力学的基础理论展开论述，包括主要概念、基本方程和典型应用等内容。
一、流体动力学概述流体动力学是研究流体在受力作用下的运动规律的学科。
在研究流体动力学时，通常将流体视为连续分布的介质，分析其运动状态和受力情况。
流体动力学的研究对象包括气体、液体和等离子体等。
流体动力学的基本假设有两个，即连续介质假设和边界层假设。
连续介质假设认为流体可以被看作是连续分布的介质，从而可以用连续函数来描述其物理量。
边界层假设认为流体与物体表面之间存在一层边界层，该层内的流体性质发生较大变化，而在该层外的流体相对稳定。
二、基本方程流体动力学的基本方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三个方程。
这三个方程构成了描述流体运动规律的基本框架。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的变化情况，其数学表达式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度，∇·表示散度运算符。
质量守恒方程表明在流体中，质量的增减与流体的速度有关，通过质量守恒方程可以研究流体的质量流动和密度分布情况。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学规律，其数学表达式为：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p表示流体的压力，τ表示流体的黏性应力，g表示重力加速度。
动量守恒方程表明流体的运动受到压力、黏性应力和重力的综合作用，通过动量守恒方程可以研究流体的速度场和受力情况。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的变化情况，其数学表达式为：ρCv(∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(κ∇T) + Q其中，Cv表示流体的定压比热容，T表示流体的温度，κ表示流体的热导率，Q表示流体受到的热源项。
一元流体动力学基础
拉格朗日法表示流体质点的 速度
二、欧拉法
特点
以固定空间点为研究 对象，描述各瞬时物理量 在空间的分布来研究流体 运动的方法。
欧拉变量
变量 （x 、 y 、 z 、 t ）称为欧拉变量。
本书以下的流动描 述均采用欧拉法！
第二节 恒定流动和 非恒定流动
非恒定流动
运动不平衡的流动，在流场中各 点流速随时间变化，各点压强，粘性力 和惯性力也随着速度的变化而变化。
质点标志
把流体质点在某一时间 t0时 的坐标（ a 、 b 、c）作为该质点 的标志，则不同的（ a 、 b 、c） 就表示流动空间的不同质点。这 样，流场中的全部质点，都包含 在 （ a 、 b 、c） 变数中。
拉格朗日变量
表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ， 称为拉格朗日变量。
外力（压力）作功等于流段机械能量增加
压力作功为： (a) 动能增量为： (b)
位能增量为：
(c)
理想不可压缩流体恒定流元流能量方程(伯努利方程）:
二、恒定元流能量方程本身及 其各项含义
Z: 断面对于选定基准面的高度， 水力 学中称为位置水头，表示单位重量 的位置势能，称为单位位能。
p γ
是断面压强作用使流体沿测压管所 能上升的高度，水力学中称为压强水头， 表示压力 y 作功所能提供给单位重量流 体的能量，称为单位压能。 以断面流速 u为初速的铅直上升射流所 能达到的理论高度，水力学中称为流速 水头，表示单位重量的动能，称为单位 动能。
一、总流能量方程的应用要点：
（1）基准面是写方程中 Z 值的依据。一般通过两 断面中较低一断面的形心，使一Z 为零，而另一Z 值 为正值。 （2）两计算断面必须是均匀流或渐变流断面并包含 已知和要求参数； （3）过水断面上计算点的选取，可任取，一般： 管流－断面中心点， 明渠流－自由液面上； （4）两计算断面压强必须采用相同计算基准〕 （绝对、常用：相对压强）； （5）方程中各项单位必须统一。
三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第3章2 流体动力学基础-伯努利方程应用
17
【解】 以0-0为基准面，列1-1、2-2两个断面的伯努利方程：
V12 p2 V22 z1 z2 2g 2g p1
其中，z1 0、V1 Q A1 = (4 0.1) (3.14 0.32 ) =1.42m/s z2 z h、V2 Q A2 = (4 0.1) (3.14 0.12 ) =12.74m/s
z2
2
2
2g
z4
4
4
2g
其中，z2 0、p2 p0、V2 0， z4 0.3 1.0 1.3m、p4 0、V4 ?
10
【解】 联立以上两个方程，解得
V4 6.57(m / s)
喷射高度：
V4 2 h 2.2(m) 2g
即，喷水出口流速为6.57m/s，喷射高度为2.2m。
3
【解】
流量Q=VA，管径A已知，只需求出流速V。 基准面取在管道处，取1-1和2-2两个断面，列伯努 利方程。
V12 p2 V22 z1 z2 h12 2g 2g p1
1 1断面：z1 H 7m，p1 0，V1 0； 2 2断面：z2 0，p2 0.5atm 50662.5Pa，V2 ？，h12 1.5m。
11流体动力学基础流体动力学基础n伯努利方程的应用伯努利方程的应用n泵对液流能量的增加泵对液流能量的增加2伯努利方程的应用伯努利方程的应用11一般的水力计算一般的水力计算22节流式流量计节流式流量计33驻压强和测速管驻压强和测速管44流动吸力问题流动吸力问题311一般的水力计算一般的水力计算例例3131从水池接一管路如图所示
第三章流体动力学基础(1)
A Control Volume is a region in space, mass can cross its boundary 8
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流体力学基础
第三章 流体动力学基础
§2 流体运动中的几个基本概念
一、物理量的质点导数（全导数） • 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、 密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称 为物理量N的质点导数。 • 流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念； • 质点导数是针对某一物理量； • 质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的 导数
流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标 （a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所 研究的流体微团彼此区别开即可
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流体力学基础
2
第三章 流体动力学基础
• 拉格朗日变数 ： ( a, b, c ) 和 t • 任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x， y，z）
r t
(2)
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流体力学基础
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第三章 流体动力学基础
• 欧拉参数转换为拉格朗日参数
若已知欧拉法表示的速度场为 v = v (r, t) = v (x, y, z, t ) 利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t) 或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) 设此组常微分方程组的解为： x = x(c1, c2, c3, t) y = y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t) 由起始条件确定积分常数，t=t0时有： a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0) 积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏 参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v [x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t] = v (a,b,c,t) 完成欧氏参数向拉氏参数转换 流体力学基础 17
流体运动学基础(new)
二、一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
流体动力学理论基础第三章解析
az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情 况，得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
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一般情况下，二条流 线是不能相交的，除非 这个相交点，流体质点 的速度为零。如图3.6， 两条流线在 A 、 B 点相交， 通常将 A 和 B 分别称为前 驻点和后驻点。 在流场中，某时刻 过任意一点都可以作 出一条相应的流线。 如图3.7所示。
A
B
图 3.6 绕二维圆柱体的流线图 图 3 . 6绕 二 维 圆 柱 体 的 流 线 图
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② 用欧拉法表示的流体质点的加速度 速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标， 它不是独立变数，而是时间t的函数，即
流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法来求：
a dv v v dx v dy v dz dt t x dt y dt z dt v v v v u v w t x y z
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
流体动力学理论基础
描述流体运动的方法 研究流体运动的若干基本概念 流体运动的连续性方程 理想流体的运动微分方程及其积分 伯努利方程
§3-6
§3-7
动量方程
流体微团运动的分析
§3-8
理想流体无旋流动简介
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§3-2-1
如果该水箱有来水补充，水位H保持不变。 该质点的加速度:
u ax u x
H x
图3.3是水箱内水经等 截面直管流出，若水位
H不变即:
图 3.2 等直径直管出流 图 3.3 等直径直管出流
ax 0
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D 推广到求任意物理量的质点导数，引入算子符号 Dt :
v v为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均
匀性引起的
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图3.2是水箱内的水经收缩管流出
若水箱无来水补充
H u x
质点的加速度是这两项之和
即
u u ax u t x
图3图 .1 收缩管出流 3.2 收缩管出流
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恒定流和非恒定流
流体运动可以分为恒定流动（定常流动）和非恒定流
动（非定常流动）。
所谓恒定流动是指在任何固定的空间点来观察流体质点 的运动，流体质点的流体参数皆不随时间变化。反之即为 非恒定流动。 对于恒定流动，流场方程为
v v ( x, y , z ) p p ( x, y , z ) ( x, y , z )
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其中:
a ax i ayБайду номын сангаасj az k
u 2 x ax t t 2 ax (a, b, c, t ) v 2 y 2 a y (a, b, c, t ) 其中 a y t t w 2 z 2 az (a, b, c, t ) az t t 流体质点的密度场ρ、压强场p也可用拉氏坐标表示:
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由于:
x y aet 2 x y be t 2
将上式代入，得:
x y x y u y 2 2 v x y x y x 2 2
即:
u y v x
此为欧拉法表达的流体质点运动。
朗日表达式。
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【例2】已知流体质点运动用欧拉表达式为
u 2x v 2 y
试将上式转换成拉格朗日表达式?
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【解】 由于
x u 2x t
dx dx 上式可表示为 2x ， 2dt dt x
' 两边积分 ln x 2t C1
u v w x u ( a , b, c , t ) t y v(a, b, c, t ) t z w(a, b, c, t ) t
然后以欧拉坐标 ( x, y, z ) 代替式中的拉氏坐标 (a, b, c)，也就 是求拉氏法的反函数。便得欧拉表达式。
工程流体力学
第三章 流体动力学 理论基础
主讲：王光进
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
流体动力学理论基础
描述流体运动的方法 研究流体运动的若干基本概念 流体运动的连续性方程 理想流体的运动微分方程及其积分 伯努利方程
§3-6
§3-7
动量方程
流体微团运动的分析
§3-8
理想流体无旋流动简介
故
x c1e 2 t 2 t y c e 2
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当t=0时（即初始时刻）
x c1 a
y c2 b
代入上式得到
x ae 2 t 2 t y b e
即为拉格朗日表达式。
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第三章
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§3-2-2
一元流、二元流与三元流
流体运动可分为一元、二元和三元流动。 流场中的运动参数（以速度为主）都可以表示为三个 空间坐标（及时间）的函数， v v ( x, y, z, t ) ，称这种流动是 三元流动，或空间流动。如果速度场可简化表示为两个空 间坐标的函数，称这种流动为二元流动（平面流动）；可 简化为一个空间坐标的函数，称这种流动为一元流动。 图3.4所示为理想流体绕一个无限长圆柱体的流动。
v A B d l 2 l Ad 1
C
v B
Dv C Ev d l D 3 d l 4 v E
图 3 . 7过 一 点 的 流 线
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图3.7 过一点的流线
流线的微分方程：
在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量 dr ，
v 为该点的速度矢量（图3.8），两者方向一致。 z
D u v w Dt t x y z
物理量 B( x, y, z, t )的质点导数(随体导数)定义为:
DB B B B B u v w Dt t x y z
等式右边第一项表示当地（局部）变化率，其他三项
表示迁移（变位）变化率。
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欧拉（Euler）法
① 欧拉法又称当地法。它是在选定的一个空间点，观察先后经 过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个 空间点转移到另一个空间点……便能了解整个流场或部分流场的 运动情况。
流体质点的速度场表示为
v v ( x, y, z, t )
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（2）设已给的是欧拉表达式
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y , z , t )
首先对两边进行积分，得:
x x(c1 , c2 , c3 , t ) y y (c1 , c2 , c3 , t ) z z (c , c , c , t ) 1 2 3
在直角坐标系中 ：
v A B y o x
图图 3.8 流线方程 3 .8 流线方程
dr dxi dyj dzk
v ui vj wk
dr v 0
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【例1】已知流体质点运动拉格朗日表达式为
x ae t be t t t y a e b e
试用欧拉法来表示流体质点的运动? 【解】 流体运动为二维（平面）流动，首先对上式两边 进行微分 x t t u a e b e t v y aet be t t
引进汉米顿（Hamilton）算子符号:
i j k x y z
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可表示为
dv v a v v dt t
加速度各项的物理意义是,流体质点的加速度由两部分组成。 称 称
v 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的 t
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
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② 用拉格朗日法表示的流体质点的速度和加速度。
v ui vj wk
u v w x u ( a , b, c , t ) t y v(a, b, c, t ) t z w(a, b, c, t ) t
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整个流场只需用x和y方向的两个坐标表示，即 v v ( x, y, t ) ，属于二维流动， 又称为平面流动。
y
x
图 3.4 二维圆柱绕流 图 3 .3 二维圆柱绕流
在实际工程中，当流动管道或渠道流束的纵向尺寸远大于横向尺寸，当不 考虑过流截面上速度分布时，为简化计算，工程上常将流速取断面的平均 流速V，那么，流动也可视为一维流动 V V (s, t )
两种表示方法的互相转换
拉格朗日法和欧拉法，它们之间是可以互相转换的。 （1）设已给的是拉格朗日表达式
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
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首先将上式两边微分后得到
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工程流体力学
§3-2-3 1.流线的定义
流线和迹线
流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有 空间点上的流体质点速度方向和该曲线相切。 这曲线就称 为该瞬时的流线（图3.5）。