第七章不可压缩流体动力学基础

一、物理模型
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
A
D
vx dxdt
单位时x间单位长度的伸长：vx
B
C
x
同理y向线变形速度：
v y y
流体力学
3.角变形运动
B、C在y方向有速度差：
A
vBy
vCy
vy x
dx
d
在dt时间内BC线段将旋转：
d
tan d
vy x
dx dt
vy
dt
B
dx
x
同理，AB在dt时间线段将旋转： vx dt y
流体力学
第七章 不可压缩流体动力学基础
参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题， 就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多 维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提 供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定 必要的基础。
流体力学
第一节 流体微团运动的分解
——纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
流体力学
N-S方程的另一种形式为（不可压缩流体的运动）：
流体力学
以上三式加上不可压缩流体的连续方程：
vx vy vz 0 x y z
共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中
的四个未知数 vx、vy、vz 和p。但是，实际上由于流体流动
选取一微元体，中心点为 M（x，y，z），密度为ρ， 边长分别为δx，δy，δz，且 分别平行于x，y，z轴。
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
M点速度：
v
vxi
vy
j
vz
k
N点坐标： (x x / 2, y, z)
N点密度： ( x )
x 2
N点x方向速度分量：
vx
vx x
x
2
通过以N点为中心流入微元体的质量流量
现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的 运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克 斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dv x dt
fy
1
➢斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的 质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。
流体力学
第三节 微分形式的连续性方程
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。它表示在 控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率 等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
流体力学
例 三维不可压缩流场，已知 Vx x2 y2z3 ,
Vy (xy yz zx) 且已知 z 0 处 Vz 0 , 试求流场中Vz的
表达示。
解：对不可压缩流场
dρ dt
0
,
V 0
而
Vx x
2x
,
Vy y
x z
即 Vx Vy Vz 0
x y z
代入上式得
x
z
Vz z
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
此即欧拉平衡方程——流体平衡微分方程。
流体力学
第八节 流体运动的初始条件及边界条件
一、定解条件
方程组的封闭问题
连续方程 1个 4个
运动方程 3个
未知量 vx , vy , vz , p, 5个
还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。
对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体 ( p)
0
Vz
Vz dz (z x)dz z2 xz c
z
2
流体力学
代入条件 z 0 , Vz 0 , 得
∴
Vz
xz
z2 2
c0
流体力学 第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程
一、黏性流体的内应力(应力状态)
流体力学
静止状态
流体力学
粘性流体运动状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
vy x
dx 2
D
B点速度:
y
vBX
vx
vx y
dy 2
vBY
vy
vy y
dy 2
0
x
流体力学
二、物理意义（以平面流动进行分析）
1.平移运动
向左移动 vxdt
向上移动 vydt
v x dt
vx vy vydt
流体力学
2.线变形运动 每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
B、C在x方向有速度差
(ρ
ρx δ2x)(Vx
Vx x
δx 2
)δyδz
O点坐标： (x x / 2, y, z)
O点密度：
(
x
x ) 2
x方向速度分量：
Vx
Vx x
δx 2
通过以O点为中心流出微元体的质量流量
ZY X
C
G
D N
.
B
.M
H
.O
F
A
E
(ρ
ρx δ2x)(Vx
Vx x
δx 2
)δyδz
净流入＝流入－流出＝
xy yx yz zy zx xz
dvx d
dy dt
d
dt
d
dt
d
dt
vy x
vx y
2z
假若流体的粘度
xy
yx
v y x
vx y
•
2 z
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第五节 应力和变形速度的关系 一、切应力和角应变速度的关系
三元流牛顿内摩擦定律，由一元流牛顿内摩擦定律推广得：
流体力学
1.涡量场
xi
y
j
zk
1 2
V
i jk
1 2 x y z
vx
vy
2
vz
x
i
y
j
z
k
u
涡量连续性方程的表示：
x y z 0 x y z
流体力学
2.涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场中任 取一不是涡线的封闭曲线， 通过封闭曲线上每一点作涡 线，这些涡线形成一个管状 表面，称为涡管。涡管中充 满着作旋转运动的流体，称 为涡束。
Vx x
Vy y
Vz z
)
0
—— 直角坐标系下连续性方程的一般形式。
讨论：
1） 对恒定流动
ρ t
0
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
（表明对恒定流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）
2） 对不可压缩流体流动
dρ dt
0
Vx x
Vy y
Vz z
0
或
V 0
(流速矢量的散度)
（很多工程上问题可看成不可压缩流体，因此在很多推导中会用到此结果）