流体动力学基础1

二维速度剖面 u ＝u ( x, y)
u =u(x, y, z,t) 三维速度廓线 = v(x, y, z,t) v w= w x, y, z,t) (
B2 流动分析基础
B2.2.1 流量与平均速度 体积流量 质量流量 流量 不可压缩流体
Q= ∫ (v⋅ n d ) A
A
& m= ∫ ρ(v⋅ n d ) A
对抛物线分布， 对抛物线分布，由（B2.2.8a）和（B2.2.9a）式可得 B2.2.8a） B2.2.9a）
α1 =
2 R u1 16 R r rdr = 2 ∫ − 1 2 ∫ 0 V 0 R 1 R R
，
3
2 3
r rdr = −2 − 1 R
讨论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法）， 讨论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速 ），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－ 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
B2 流动分析基础
3. 直圆管一维流动修正因子 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上 动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。 动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。
12 1 & = α( V2)m ∫A(2u )dm 2 &
为平均速度， 常数, 上式中V为平均速度，设ρ=常数,截面积 A=πR2，微元圆环面积 B2.2.7)式 & dA= 2 rdr。由（B2.2.7)式，m= ρQ= ρVA。 π
&( dm r) = ρ dQ(r) = ρudA= ρu2 rdr π 1 u 3 2 R u 3 α = ∫ ( ) dA= 2 ∫ ( ) rdr AAV R 0 V
A
& m= ρ Q
Q、& 指净流出流量 、 m 体积流量
封闭曲面时
平均速度
V=
Q A
Q=V A
不可压缩流体质量流量
& m=ρVA
B2.2.1]直圆管粘性定常流动 直圆管粘性定常流动： [例B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（ 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种速度分布（ B2.2.1）， ），一种是抛物线分 的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分 另一种是1/7指数分布： 1/7指数分布 布,另一种是1/7指数分布：
R 2 4

=2
0
1/7指数分布 指数分布， B2.2.8b） (B2.2.9b)式可得 对1/7指数分布，由（B2.2.8b）和(B2.2.9b)式可得
2 u 2 120 α2 = 2 ∫ 2 rdr = 2 R 0 V R 98 2
R 3 3
r ∫0 1− R rdr =1.05838
R
3/ 7
按单位质量流体的动量计算，动量修正系数β （2）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数β定义为
& & ∫ udm= β Vm
A
可得 对抛物线分布
1 u 2 R u β = ∫A dA= 2 ∫ rdr A V R 0 V
2
R
7×7 98 = 2 R um2 π = um2πR2 = 0.8167um2πR2 15×8 120
（2）平均速度由（B2.2.4）式计算，抛物线分布和1 / 7指数分布的平 平均速度由（B2.2.4）式计算，抛物线分布和1 7指数分布的平 均速度分别为
V= 1
V = 2
Q 1 = 0.5um1 2 πR 1
B2 流动分析基础
B2.2.3 定常与不定常流动 a. 定常流动 b. 准定常流动 c.周期性谐波脉动流 c.周期性谐波脉动流 周期性非谐波脉动流（生理波） d. 周期性非谐波脉动流（生理波） e.非周期性脉动流(衰减波） e.非周期性脉动流(衰减波） 非周期性脉动流 f.随机流动（湍流） f.随机流动（湍流） 随机流动 • 不定常流与定常流的转换
流体力学
中山大学工学院朱庆勇教授 mcszqy@
B2 流动分析基础
B2.1 描述流体运动的数学方法
1.分类 1.分类 随体法 描述方法 当地法 2.比较 2.比较 拉格朗日法
分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的
β1 =
2 R u1 0 R2 ∫ V 1
R
2 2 8 R r 4 rdr = 2 ∫ − rdr = =1.333 1 R 0 R 3 2
2
2
2 u 2 120 R r 50 β2 = 2 ∫ 2 rdr = 2 ( )2 ∫ 1− rdr = ≈1.020 1/7指数分布 对1/7指数分布 R 0 V R 98 0 R 49 2
2
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讨论：将例B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下： 讨论：将例B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下： B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下
表B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正系数 平均速度/中心速度 速度分布类型 抛物线分布 1/7指数分布 动能修正系数 2.0 1.058
V /um
(a)
求解一阶常微分方程（ 求解一阶常微分方程（a）可得
x = et c +∫te−t dt = et c −(t +1 e−t = c et −t −1 ) 1 1 1 y = et c2 +∫te−t dt = et c2 −(t +1 e−t = c2et −t −1 )
[ [
Q 2 = 0.8167um2 2 πR2
由上可见， 由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一 讨论： 讨论： 1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.8167倍 指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.8167 半，而1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.8167倍， 这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。 这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。
0

R
0

R
r2 r4 = 2 um1 − 2 = 0.5um1πR2 π 2 4R 0
R
7指数分布的流量为 1 / 7指数分布的流量为
R r = ∫ um2(1− )1/7 2 rdr π Q = ∫ (v·n )dA 0 2 A R
1 )15/7 − (1−r / R)8/7 2 ( −r / R = 2 um2R π 15/ 7 8/ 7 0
] [ ] [
] ]
(b)
x =a 为积分常数， 0时刻流体质点位于 上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确 y =b 代入(b) (b)式 定 c1 = a +1 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
c2 = b +1
x = (a+1 et −t −1 ) y = (b+1 et −t −1 )
B2 流动分析基础
B2.2 速度场
• 速度场是最基本的场 v = v (x, y, z, t )
u =u(x, y, z,t) 速度分量： v 速度分量： = v(x, y, z,t) w= w x, y, z,t) (
• 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布 可用速度廓线（剖面）
r 2 u1 =um1 − 1 R
r u2 =um21− R
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上式中， 分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 上式中，um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 两种速度分布的（ 流量Q的表达式； 求：两种速度分布的（1）流量Q的表达式； 截面上平均速度V （2）截面上平均速度V。 流量由（B2.2.3）式计算，注意到dA 2πrdr， 解：（1）流量由（B2.2.3）式计算，注意到dA = 2πrdr，抛物线分布的 流量为 R R r2 r3 Q = ∫ ( v·n )dA = ∫ um11− 2 2 rdr = 2 um1∫ r − 2 dr π 1 π A
0.5 0.8167
α
动量修正系数
β
1.333 1.020
由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比，1/7指数分布 由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比，1/7指数分布 比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时， 比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取 α=β=1，即不必修正。 α=β=1，即不必修正。
& m ∫ udm= βV&
A
表B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子
速度分布类型 抛物线分布 1/7指数分布 1/7指数分布 平均速度/ 平均速度/中心速度 V /um 动能修正因子
α
动量修正因子 β
0.5 0.8167
2.0 1.058
1.333 1.020
B2.2.2]直圆管粘性定常流动 直圆管粘性定常流动： [例B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（ 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种速度分布（ B2.2.1）， ），一种是抛物线分 的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分 另一种是1/7指数分布： 1/7指数分布 布,另一种是1/7指数分布：