第一章直角三角形2
北师版八年级数学下册作业课件 第一章 三角形的证明 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定
13．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝ 90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝ 在Rt△ABE和Rt△CBF中， 90°.
∴△ABE≌△CBF(HL)．
11．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点 E，CF⊥AD于点F，且BC＝CD.若AB＝21，
AD＝9，AC＝17，ACF的长为( )
A．8
B．8.5 C．9
D．7
12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°， AC＝10 cm，BC＝5 cm，P，Q两点分别在AC和
AC的垂线AX上移动，若PQ＝AB，5 则cm或当10AcmP＝ 时，△ABC和△APQ全等．
9．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°， EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F， BE＝DF.求证：△BCE≌△DCF.
证明：连接AC，∵AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝ 90°，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC＝DC.
∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.
(1)求证：△ABC≌△DCB； (2)判定△OBC的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC ∴△ABC≌△DBC(HL)． ＝BC，
(2)△OBC是等腰三角形，理由如下： ∵Rt△ABC≌Rt△DBC， ∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形．
在△BMF和△DME中，
∴△BMF≌△DME，∴MB＝MD，MF＝ME.
(2)上述结论能成立．证明如下：
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
第一章 直角三角形的边角关系2 30°,45°,60°角的三角函数值
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶 梯的长度是多少? 【解析】如图所示,BC=7m， B
∠A=30°
sinA=
BC 7 1 ， AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
B
c a ┌ C
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
A 30° B D 60° C【解析】104．（丹东·中考）计算：
24 . 2 (2 cos 45 sin 60 ) 4
2 3 2 6 【解析】 原式 2 (2 ) 2 2 4
6 6 2 2 2 =2.
5．（巴中·中考）已知，如图所示，在梯形ABCD中，
AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC．
B c 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. A b ┌ C a
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系
45° 30°
45°
┌
60°
┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在
我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
3 . 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= ( AD BC ) (8 16 ) =12.
1 2 1 2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
直角三角形全等的判定 优秀教案
《直角三角形全等的判定》教学设计第一章三角形的证明2．直角三角形（二）一、学情分析及内容解析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的实践活动中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。
本节课探索直角三角形全等的判定定理的过程中，通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习、合作交流的好素材。
三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段相等和角相等的主要工具。
而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。
因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础。
二、教学任务分析本节课内容是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
三、教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
②熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
②经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。
3、情感目标①让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。
②通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。
③通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
资中县八中八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案新版北师大版6
第2课时直角三角形全等的判定1．掌握并利用“HL”定理解决实际问题．2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．重点直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．难点证明“HL”定理的思路的探究和分析．一、复习导入1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．二、探究新知1．猜想师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．2．探究课件出示教材第18页“做一做”．已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.画图过程展示：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射线CM截取CB＝a；(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；(4)连接AB，得到Rt△ABC.思考：通过刚才的画图，你有什么发现？3．总结师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．4．证明师：你能证明这个命题是真命题吗？处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．证明过程展示：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC ＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)．∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)．师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”．三、举例分析例(课件出示教材第20页例题)处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B＝∠DEF.∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°.四、练习巩固1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．五、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．2．教材第21页习题1.6第1～5题．本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力二次根式的除法说课稿一、教材分析本节内容是在积的二次根式性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.二、重点难点分析：本节课是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.三、教法运用：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.2. 本节内容可以分为两阶段，第一阶段讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二阶段讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现分式或分数的情况。
八年级数学下册第一章直角三角形第2课时直角三角形全等的判定作业pptx课件新版北师大版
Rt△ABC≌Rt△DCB的是（
A.AB＝DC
B.AC＝DB
C.∠ABC＝∠DCB
D.CD＝BD
1
2
3
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5
6
7
8
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12
13
3.【教材P21习题T2变式】如图，BE＝CF，AE⊥BC，
DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加的一个条件是
（
D ）
放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，
小旭这样画的理论依据是（ B ）
A.SSA
B.HL
C.ASA
D.SSS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
6.【教材P34复习题T4变式】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足
分别为D，E，BE与CD相交于点O，连接AO，且∠1＝
∠2，则下列结论中：
＝，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.
∴DE＝DC.
∴AD＋DE＝AD＋DC＝AC＝8.
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2
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13
两三角形全等的应用
5.数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的
方法.小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平
分线.如图，取OM＝ON，把直角三角板按如图所示的位置
∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
1
2
3
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5
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8
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直角三角形(第2课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∠C′=90 °,B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到
Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
操作：已知一条直角边和斜边，作一个直角三角形
已知：线段a，c，直角α 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，BC=a，AB=c
作图步骤
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：∵△ABC中，∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）
A
A′
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′.
作图步骤
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
作图步骤
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
作图步骤
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全本题
没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
五、课堂小结
斜边、 直角边
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
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第1章《直角三角形》
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ﹣∠A ＝10°，则∠A 的度数为（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
2．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠C ＝7∠BAE ，则∠C 的度数为（ ）
A ．41°
B ．42°
C ．43°
D ．44°
3．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝8，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ．若MN ＝2，则OM 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A ．∠ACM ＝∠BCD
B ．∠ACD ＝∠B
C ．∠AC
D ＝∠BCM D ．∠ACD ＝∠MCD
5．如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ＝17，BC ＝16，点D 为BC 的中点，则点D 到AC 的距离为（ ）
A ．15
B ．6815
C ．9
D ．12017
6．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判定△ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝2，b ＝3，c ＝4
B ．a ＝2，b ＝5，c ＝5
C ．a ＝5，b ＝8，c ＝10
D ．a ＝7，b ＝24，c ＝25
7．如图，直线a ∥b ，将含有45°的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线b 上，若∠1＝ 25°，则∠2的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．25°
D ．20°
第2题图 第3题图
第3题图
第4题图
8．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A ．一锐角和斜边对应相等
B ．两条直角边对应相等
C ．斜边和一直角边对应相等
D ．两个锐角对应相等
9．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，OD ＝2，△ABC 的周长为28，则△ABC 的面积为（ ）
A ．28
B ．14
C ．21
D ．7
10．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②EF ∥AB ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ．其中正确的结论共有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，D 是BC 延长线上一点，∠ACD ＝130°，则∠A 等于 度．
12．等腰△ABC 中，底角∠B ＝15°，腰长为30cm ，则腰AB 上的高为 cm ．
13．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，点D 为△ABC 外一点，且AD ⊥BD ，连接CD ，若CD ＝4，则∠AEB 的度数为 ．
14．如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝ ．
15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD ＝CD ，延长BC 至E ，使得CE ＝CA ，连接AE ．若AB ＝5，AD ＝4，则△ABE 的周长为 ．
第7题图 第9题图
第10题图
第11题图
第13题图
第14题图
16．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．
17．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝3，则AC的长为．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
22．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
24．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：
1
2
CE BF
；
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．。