第一章直角三角形的边角关系重点0001
第1章 直角三角形的边角关系
知识点 方向角的定义及应用
1.航海问题. 2.导航问题.
知识点 利用三角函数解决实际问题
三角函数最早的研究可以追溯到公元前2000年,在埃及数学和巴比 伦数学中,主要用于测量.例如:如果知道测量点距泰姬陵的位置与仰角的 大小,则可以轻松地求得泰姬陵的高度.
知识点 利用三角函数解决实际问题
在常见图形中解直角三角形时,常以“公共边”为桥梁,分别在两个 直角三角形中,选择恰当的三角函数,构建关系式进行求解.
知识点 解直角三角形的类型与解法
如图所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂 直中心线的交点为A ,过B点向垂直中心线作垂线,垂足为C,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,显然可以求出∠A的正弦值,利用计算器 求出∠A的度数.
知识点 解直角三角形的类型与解法
知识点 锐角的正弦、余弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡 的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度为35 m,显然可利用∠A的正弦 求出需要准备的水管长度.
知识点 锐角的正弦、余弦
锐角的正弦和余弦是在直角三角形中定义的,sin A的值随着∠A 的增大而增大,cos A的值随着∠A的增大而减小.
第一章 直角三角形 的边角关系
6 利用三角函数测高
知识点 测量倾斜角
俗话说:工欲善其事,必先利其器,为了测量仰角和俯角,如果没有专门 的仪器,可以自制一个简易测倾器,简易测倾器由铅垂、度盘、支杆组成, 可以按如图所示的步骤组装一个简易测倾器.
知识点 测量物体的高度
“不登山可以知道山高,不过河可以知道河宽.” 为了测量东方明珠塔的高度,小林和同学们在距离东方明珠塔 200 m处的地面上,用高1.20 m的测倾器测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48',小林和同学利用解直角三角形的知识马上得出东方明珠塔的 高度约为359.06 m.
九下第1章 直角三角形的边角关系(知识清单)
九下第1章 直角三角形的边角关系知识清单一、锐角三角函数1.三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．2.在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ． 即ca A ==斜边对边sin （2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ． 即cb A ==斜边邻边cos （3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ． 即ba A ==邻边对边tan二、同角三角函数关系（1）平方关系：1cos sin 22=+αα（2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即αααcos sin tan = 三、互余两角三角函数关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 即若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ．四、 特殊角的三角函数值1. 解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．2.解直角三角形要用到的关系（1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90°（2）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（3）边角之间的关系：c a A ==斜边对边sin ，c b A ==斜边邻边cos ，b a A ==邻边对边tan （a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）六、坡度1. 坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系：i=h/l=tan α．3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．七、仰角与俯角仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
九年级下册第一章直角三角形的边角关系(单元小结)同步课件
角度
sinα
cosα
tanα
2
30°
45°
60°
1
1
知识专题
当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。
若∠A+∠B=90°时，
sinA=cosB
sinA与cosB的关系是_______________，
tanA·tanB=1
tanA与tanB的关系是_______________。
考点专练
【要点指点】 借助图形的性质, 把具体问题中
的相关边和角转化到 直角三角形中, 为在直角
三角形中运用三角函数的相关知识解决问题创
造条件.
作业布置
1、教材“复习题”中第5、6、9、12题.
2、完成练习册中本课时的练习.
上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处的仰角为30° , 然后他正对大楼方向前
进5 m到达B处, 又测得该屏幕上端C处的 仰角为45° , 广告屏幕的上端
与楼房的顶端平齐. 若该楼高26.65 m, 小杨的眼睛距离
地面1.65 m, 求广告屏幕上端与下端
之间的距离. (结果精确到0.1 m,
考点专练
考点专练
知识专题
•
由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A
1
2
∠A= 30
cos A
1
2
∠A=
tan A
3
3
∠A= 30
3
sin A
2
2
60 cos A
2
tan A 3
∠A= 60 sin A 2 ∠A= 45
2
北师大版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
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2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 <sinA< ； < cosA< ； tanA> 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝__ ___，cos A ＝___ ___，tan A ＝____ __， sin B ＝___ ___，cos B ＝_____ _，tan B ＝___ ___．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．例5.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sinB 、cosB 、tanB ．例7.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．A D ECBF例7图 例8图 例9图 例13图例8.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2． 例9.如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45类型三. 化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．例12．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（ ）A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ） A ．35 B. 45 C. 34 D. 433. 如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316；求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．7. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 28．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.9．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ） A.41 B. 31 C.21D. 110．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2CB A ABO专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 （2）︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ (5) tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α （5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是（ ） A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°<∠ A < 60°B. 30°<∠ A < 60°C. 60°< ∠A < 90°D. 30°<∠ A < 90°例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan 45(2 1.41)3-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭2.计算：1201314.330sin 21）（）（-++---π3.计算：212322cos602°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32． 计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．9. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．11.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1
∴CD＝AD·tan30°＝ 5 3 5 3 33
∴CE＝1.7+ 5 3 ≈4.6(m) 3
∴这棵树高约4.6m
11/11
B
c
a
┌
b
C
300
450
450 ┌ 600 ┌
9/11
课堂练习 习题1.3 1,2题
2.如图,河岸AD,BC相互平行,桥AB垂直于
两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹角
∠BCA=600.
求B,C间距离(结果准确到1m).
A
D
解: 由题知
BC
ABC 90 tan BCA AB
BC
又∠BCA=600 , AB=12m,
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶 梯长度是多少? 解: 如图，
C 90,sin A BC AB
又∠A=300 , BC=7m,
1 7 2 AB
AB 2 7 14 (m)
答: 扶梯长度是14m.
7/11
随堂练习
*3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
B
∠A,∠B ,∠C对边分别是a,b,c.
证实:sin2A+cos2A=1
A
证实: C 90, sin2 A cos2 A
c a
┌ bC
sin A BC AB
BC2 AC2 AB2 AB2
cos A AC AB
BC2 AC 2
AB2
BC 2 AC 2
AB
AB
2
2
关键点
sin 2
A
BC 2 AB2
AB2 sin2A+cos2A=1它反
2
(2)sin260°+cos2600-tan45°
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第一章直角三角形的边角关系
万州第一中学刘小红
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起
课时安排
2 课时
从容说课
直角三角形中边与角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。
如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题。
本节首先从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的。
所以本节从现实情景出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA 、cosA、 tanA 表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。
本节的重点就是理解sinA 、cosA、tanA 的数学含义，并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从显示情景中理解 sinA 、cosA、tanA 的数学含义。
所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情景，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解。
第1 课时
课题
§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起
教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义教学方法
引导一一探索法
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质，那么在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决。
这节课，我们就从梯子的倾斜程度谈起。
（板书课题§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起
）
二、师生共同研究形成概念
仆梯子的倾斜程度
梯子是我们日常生活中常见的物体，我们经常说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？请同学们看下图，并回答问题
（1）在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
B 2m
C F 3m D
梯子AB比梯子EF更陡。
因为从图中很容易发现/ ABC >Z EFD所以梯子 AB比梯子EF 更陡。
还有说是因为 AC=ED，所以只要比较 BC、FD的长度即可知哪个更陡。
BC V FD，所以梯子 AB比梯子EF 更陡。
（2 ）在下图中，梯子AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
3、正切函数
（1） 明确各边的名称 • A 的对边
厶A 的邻边
B 1.5m
C F 1.3m D
我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了。
能不能从第（
1）
问中得到什么启示呢？
在第（1）问中的图形中梯子的垂直高度即 AC 和ED 是相等的，而水平宽度 BC 和FD 不一 样长，由此想到梯子的垂直高度和水平宽度的比值越大，梯子就应该越陡。
那么请同学们算一下 梯子AB 和EF 哪个更陡？
我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度， 即用倾斜角的对 边与邻边的你来描述梯子的倾斜程度。
所以在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部 分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实 现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这 节课所要学习的一一倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，
以便为后面引入正切、 正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）
☆ 想一想 书本P 3想一想
通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜
程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
直角三角形的大小无关 这一比值只与倾斜角的大小有关，而与
B
/ A 的对边 C
3
例2 如图，在△ ACB 中，/ C = 90° , AC = 6 , tan B ，求 BC 、AB 的长。
4
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
三、 随堂练习
书本P 6 随堂练习
四、 小结
本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中 的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在直角三角形中定义了
N A 的对边
tan A = ■
N A 的邻边
接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活 中是一个具有实际意义的一个重要的概念。
五、 作业
书本P 6 习题1.1 1、2。
(3) 明确要求：1)必须是直角三角形；2)是/ A 的对边与/ A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习
a 、如图，在△ ACB 中，/ C = 90° ,
1) tanA = ________; tanB = _________ ;
2) _____________________________________ 若 AC = 4 , BC =
3，贝U tanA = ________________________________ ; tanB = __________ ;
b 、如图，在△ ACB 中，tanA = _____________ 。
(不是直角三角形)
(4) tanA 的值越大，梯子越陡
4、讲解例题
例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
六、教学后记。