2直角三角形(一)

第一章 三角形的证明
2.直角三角形（一）
【学习目标】
（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定
理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其
逆命题不一定成立．
【学习过程】
一．认真思考（课堂互动）
1.复习引入
问题1.直角三角形的两锐角有怎样的关系？为什么？
问题2.如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
结论：1.
2.
教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出
的定理，能够证明勾股定理吗?
请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的
定理，证明勾股定理的方法．
2.探究直角三角形勾股定理及其逆定理
（一）勾股定理及其逆定理的证明．
勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a2+b2＝c2．
证明：

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量
的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
师生共同来完成．
已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．

（分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，
而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．）
证明：

勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三
角形．
（二）．互逆命题和互逆定理．
观察下面各组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
（1）直角三角形两锐角互余；
如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形
（2）在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
(3)两直线平行，内错角相等;
内错角相等，两直线平行
C

A
B

C
A
B
(4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半; 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° （5）如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎． （6）如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角． 我的发现： 重要概念： 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 请同学们判断以上六组原命题的真假．逆命题真假? 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题． （三）想一想 要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题． 请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？ 解： 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题． 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理． 3.课堂练习： （1）说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0 （2）在△ABC中，∠A＝∠B=45°，BC＝3，求AB的长.

（3）一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，
B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?

1
C
1
B

CA

B
第一章 三角形的证明
2.直角三角形（二）
【学习目标】
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
②利用“HL’’定理解决实际问题
【学习过程】
一．认真思考（课堂互动）
1.复习提问
（1）.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
（2）.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
做一做：
已知：线段a,c(a求作：RT△ABC使∠C＝α BC=a,AB=c

（3）同学们，你们做的三角形是否全等？如果全等，请证明你的结论。
定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：

二．例题分析：
例1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证: △ABC是等腰三角形.

例2.
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，两

个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系。请证明你的猜想。

三．课堂练习
1.判断下列命题的真假,并说明理由:
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
（2）斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.

小结：直角三角形全等的判定方法:

A
'

B'
C

'

C
B

A

D
B C

A
F E
2.如图,已知∠ACB=∠BDA=90° , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来. 3.如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;再过点M作OA的垂线, 过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.请你证明OP平分∠AOB.
4.如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．

5.已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边
上的中线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．

A B C
D
A
B
O ●
M

N

'C
C

ADB'''BD
A

'
D

A
'

B
'C
'
C

D
B

A