15 直线的参数方程(1)(教师版)
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
13级：第二讲(三)直线的参数方程(1)
e
O
x
思考2
是否可以根据t的值来确定向量的 M 0 M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
分析: 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0
又 sin 表示e 的纵坐标， e 的纵坐标都大于0 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 就总会向上。
3、抛物线y2=2px的参数方程
2p y 2px x t an2 由 y (为 数 参 ） t an y 2p x t an
2
x t 任一点与原点连线的斜率的倒数，即： y
4
1 若 t 令 , t (,0) (0,),则 t an x 2pt 2 t的几何意义：是抛 (t为 数 ) 参 y 2pt 物线上除顶点外的
k
7
y2 y1 x2 x1
Ax By C 0
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 把它变成y y0 ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos
求这条直线的方程.
M(x,y)
M0(x0,y0) 所以，该直线的参数方程为 e x x t cos
O
(cos ,sin )
x
10
练习1
x 3 t sin200 B （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） 0 y t cos 20 0 0 0 0 A.20 B .70 C .110 D.160
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
专题2.2 直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】(举一反三)(人教A版2019选择性必修
专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版（2019）】【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 (2)【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 (2)【题型3 直线的两点式方程及辨析】 (3)【题型4 直线的截距式方程及辨析】 (4)【题型5 直线的一般式方程及辨析】 (5)【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 (6)【题型7 求直线的方向向量】 (7)【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 (7)【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为k l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型1 直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点(0,3),(2,1)的直线方程为()A．x−y−3=0B．x+y−3=0C．x+y+3=0D．x−y+3=0【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（）A．x−y+12=0B．x+y−2=0C．x+y−12=0D．x−y+2=0【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（）A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=k(x−2)表示（）A．通过点(2,0)的所有直线B．通过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线【题型2 直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A．y=x+2B．y=x−2C．y=−x+2D．y=−x+4A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.②当().③当(2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【题型3 直线的两点式方程及辨析】【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G(1,−3)，H(−2,1)，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A(3,−5)，B(−5,5)的直线在y轴上的截距为（）【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)，则直线l的方程为（）A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过(−2,−2)、(2,4)两点，点(1348,m)在直线l上，则m的值为（）A．2021B．2022C．2023D．2024【题型4 直线的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A(5,2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（）条A．0B．1C．2D．3【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0B．x+y+3=0C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（）A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A(−2,1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（）．A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0【知识点3 直线的一般式方程】1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=它表示斜率为在y轴上的截距为线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式【题型5 直线的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（）1=0【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（）A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（）A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．1B．−1C．2D．−2【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（）A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0【知识点4 方向向量与直线的参数方程】1．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即)=t(m,n)，所以①.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型7 求直线的方向向量】【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（）A．(2,1)B．(1,2)C．(2,−1)D．(1,−2)【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（）A．(1,2)B．(2,−1)C．(2,1)D．(1,−2)【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=（）【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量(1−m,1)是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（）A．−1B．1C．2D．−1或2【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为(2,−1)，且经过点A(1,0)，则直线l的方程为（）A．x−y−1=0B．x+y−1=0C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为(2,3)，直线m过点(1,1)且与l垂直，则直线m的方程为（）A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a⃗=(3,2)，则直线l′的方程为（）A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a⃑＝(1，3)，直线l2的方向向量为b⃑⃑＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1①l2，则直线l2的方程是（）A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0。
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
x=3+4t 1.原点到直线 3 (t为参数)的距离为( y=- 2 +3t
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
x=3+4t 2.已知直线 (t为参数)，下列命题中错误的是( y=-4+3t
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】
答案：
三、解答题（共40分）
x=-3+t 10.（12分）化直线l的参数方程 (t为参数)为普通方 y=1+ 3t
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
《直线的方程》课件1(人教版必修2(A))1
5
直线L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
7. 若 直 线 l1 ： mx+2y+6=0 和 直 线 l2:x+(m-1)y+m2-
1=0平行但不重合，则m的值是___-_1__.
8．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在 第一象限，则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
(6)向量式:
OP OA t为ta参数， 为方a向向量.
(7)参数式：设直线过 点 P（0 x0，y0），v=（a，b）
是它的一个方向向量 ， P（x，y是）直线上任一点，
x
ab（t为参称数）为直线的参数方程
。
(8)点向式： x x0 y y0（ab 0a）、b称为方向数.
（2）若直线 则
l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，
l1// l2 A1B2—A2B1=0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所 以此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对
对 顶 角 ， 把 l1 依 逆 时 针 方 向 旋 转 到 与 l2 重 合 时
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数
1/m，则直线过定点____(_m_,_m__) __.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，
且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0，则直线PB的方程为( B )
(A) 2x-y-1=0
(B) x+y-5=0
参数方程教案
教学过程 一、复习预习1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)二、知识讲解考点1. 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化。
16 直线的参数方程(2)(教师版)
16. 直线的参数方程（2）主备： 审核：学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点：直线参数方程的简单应用，学习难点：直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程：一、课前准备：阅读教材3739P P -的内容，仔细体会例2、例3、例4三种题型的解法，并思考下列问题：1.化下列参数方程为普通方程： （1）22()12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数，答：10x y +-=.（2）222()21x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数，答：10x y +-=. （3）1()x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数，答：10x y +-=.（4）212()2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数.答：10x y +-=. 2. 上面所化成的普通方程有上面关系？那些参数方程中的参数有明显的几何意义？答：（2）、（4）的参数有明显的几何意义. 二、典型例题：【例2】经过点(1,2)M 作直线l ，交椭圆22186x y +=于两点A 、B .如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设过点(1,2)M 的直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，得22(sin3)2(3cos 8sin )50t t ααα+++-=，则1AM t =，2MB t =.M 在椭圆内，所以1202t t +=，即3cos 4sin 0αα+=， 所以3tan 4k α==-， 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=.【例3】如图所示，AB 、CD 是双曲线221x y -=的 两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与双曲线实轴长轴的夹角为α、β，且αβ=. 求证：||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅.【证明】由已知，βπα=-，设点P 坐标为00(,)x y ，则直线AB 的方程为00cos sin x x t y y t αα⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），代入双曲线方程221x y -=并整理，得222220000(cos sin )2(cos sin )(1)0t x y t x y αααα-+-+--=，由于22cos sin 0αα-≠，已知直线AB 与椭圆有两个交点，因此上述方程有个实根，设为1t 、2t ，容易得到 2200121222|1|||||||||||cos sin x y PA PB t t t t αα--⋅=⋅=⋅=-…………① 同理，对于直线CD ，将α换成πα-，即得到220022|1|||||cos ()sin ()x y PC PD παπα--⋅=---2200221||cos sin x y αα--=-…………………② 由①②得，||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅.【例4】当前台风中心P 在某海滨城市O 向东400km 处生成，并以30/km h 的速度向西偏北θ（5tan θ=）方向移动. 已知台风中心300km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到侵袭？【解析】取O 为原点，OP 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则点P 的坐是(400,0). 以O 为圆心，300km 为半径作圆O ，圆O 的方程为 222300x y +=. 当台风中心移动的位置在圆O 内或圆O 上是时，城市O 受到台风侵袭. 设过时间t 后，台风中心(,)M x y ，则由题意得，台风中心M 移动形成的直线l 的方程为40030cos()30sin()x t y t πθπθ⎧⎨⎩=+-=-（t 为参数），即240030()330x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+⨯-=（t 为参数）， 化简得40020105x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩=-=（t 为参数）.当点(40020,105)M t t -在圆O 内或圆O 上时， 有222(300(40020)105)t t +≤-，291607000t t -+≤，解得70910t ≤≤. 因此大约在7.7小时后该城市开始受到台风侵袭，受侵袭的时间大约持续2.2个小时. 三、总结提升：直线的参数方程00x x at y y bt ⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），称为直线方程的一般式；只有在221a b +=时，才会变为00cos sin x x t y y t αα⎧⎪⎨⎪⎩=+=+（t 为参数），称为标准式.标准式中的参数t 才有明显的几何意义.我们只需掌握标准式就行了.认真研读教材中的例2、例3、例4和本学案的例题，体会这几种题型的解法. 四、反馈练习：1. 曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是 （ B ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 2. 将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为 （ C ） A ．2y x =- B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤3. 直线l 经过点(1,2)，倾斜角为34π，则其参数方程可以是 （ D ）A ．12x t y t =+⎧⎨=+⎩()t 为参数 B ．12x ty t =-⎧⎨=-⎩()t 为参数 C ．3x t y t =+⎧⎨=⎩()t 为参数 D ．3x ty t=-⎧⎨=⎩()t 为参数 4. 直线l ：y x =与曲线2y x =交于A 、B 两点，若点M 坐标为(1,1)--，则||||MA MB ⋅= （ C ）A ．15B ．16C ．17D ．185. 直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为54-. 6. 过点(3,1)M 作直线l 交双曲线2212y x -=于A 、B 两点，若(3,1)M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】设直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα⎧⎨⎩=+=+（t 为参数），代入双曲线方程，得222(2cos sin )(12cos 2sin )150t t αααα-+-+=， 则1AM t =，2MB t =. 因为(3,1)M 为线段AB 的中点，所以1202t t +=， 即12cos 2sin 0αα-=，所以tan 6k α==，所以直线l 的方程为16(3)y x -=-，即6170x y --=.五、学后反思：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核：
学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；
2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程.
学习重点：直线参数方程的简单应用.
学习难点：直线参数方程中参数意义的理解.
学习过程：
一、课前准备：
阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题：
1.将参数方程122x t y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数）化为普通方程是250x y +-=. 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 答：一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线，方程为0
0tan ()y y x x α-=-. 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？
答：当一条直线确定了之后，唯一变化的就是直线上的点，因此，可以以某一个定点为参照，定点到动点的向量作为参数.
二、新课导学：
（一）新知：
直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？ 答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ，
所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=，
所以00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程.
(3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =.
（4）练习：①直线003sin20cos20
x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为70 ； ②直线10x y +-=
的一个参数方程是2()1x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. (二)典型例题：
【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB
的长和点
(0,3)M -到A 、B 两点的距离之积.
【解析】点(0,3)M -在直线l 上，直线l 的倾斜角为4
π，所以直线l 的参数方程为 0cos 4 3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩为参数（）
，即 3 x t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数（）， 代入抛物线方程，得2102180t t -+=，
设该方程的两个根为1t 、2t ，则1212 102 18t t t t +=⋅=，，
所以弦长为 ()22121212 4 (102)41882AB t t t t t t =-=+-=-⨯=
12||||||18MA MB t t ⋅==.
动动手：
1.试用选修1-1中的方法解例1.
【解析】将直线方程30x y --=代入抛物线方程，整理得：21090x
x -+=， 得两根为11x =，2
9x =，对应的12y =-，26y =， 所以A 、B 的坐标为(1,2)A -、(9,6)B ， 所以22||(19)(26)82AB =-+--=.
22||(01)(32)2MA =-+-+=22||(09)(36)92MB =-+--= 所以||||29218MA MB ⋅=.
2.直线00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）与曲线()y f x =交于1M 、2M ，对应的参数分别为1t 、2t . 问（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？
【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于t 的方程：
00(cos ,sin )0f x t y t αα++=，
这个方程的解为1t 、2t ，对应的点是直线与曲线的交点1M 、2M ，
所以（1）由参数的几何意义得1212||||M M t t =-.
（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是122
t t +. （同学们自己画图验证，要分000(,)M x y 在线段12M M 内和在线段12M M 外两种情况）.
3.求直线12 2 3 2
x t t y ⎧=+⎪⎨⎪⎩（为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长.
【解析】把直线参数方程为参数）（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+= 代入221x y -=
，得221(2))12t +-=，
整理得
2460t t --=，设该方程的两个根为1t 、2t ，则
6 4 2121-=⋅=+t t t t ，， 所以弦长为
12 AB t t =-===.
三、总结提升：
1．直线的参数方程与普通方程00tan ()y y x x α-=-的关系：
由00tan ()y y x x α-=-得00sin cos y y x x αα--=，令00sin cos y y x x t αα
--==， 得直线的参数方程.
2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系.
3.要了解直线参数方程中参数t 的几何意义.
4.简单应用：用参数t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长，还可以表示弦的中点对应的参数.
四、反馈练习：
1．直线3()14x at t y t =+⎧⎨=-+⎩
为参数过定点 （ C ） A . (3,1)-- B . (3,1)- C . (3,1)- D . (3,1)
2．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是 （ B ）
A .
122t t - B . 122t t + C . 12||2t t - D . 12||2
t t + 3. 直线22()32x t t y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是 （ A ） A .(3,4)-或(1,2)- B . (3,4)-或(1,2)-
C . (3,4)-或(1,2)-
D . (3,4)--或(1,2)-
4. 直线112333x t y =+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 （ D ）
A ．(3,3)-
B ．(3,3)-
C ．(3,3)-
D ．(3,3)- 5. 过点10(,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的最小值及相应的α的值． 【解析】设直线为10cos ()sin x t t y t αα⎧⎪⎨⎪=⎩
为参数
，代入曲线并整理得 223(1sin ))02
t t αα+++=， 则122321sin PM PN t t α⋅==+
所以当2sin 1α=时，即2
πα=，PM PN ⋅的最小值为34
．
五、学后反思：。