宁夏2020年高考数学一模试卷(理科)B卷
宁夏2020年高考数学一模试卷(理科)B卷
宁夏2020年高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·新宁模拟) 已知集合M={1，2}，N={2,3}，则M∩N中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分则k的值是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，已知b＝， c＝，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .4. （2分） (2017高一下·丰台期末) 已知n次多项式，在求fn（x0）值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算（k=2，3，4，…，n）的值需要k﹣1次乘法运算，按这种算法进行计算f3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按如图所示的框图进行运算，计算fn（x0）的值共需要次运算．（）A . 2nB . 2nC .D . n+15. （2分）(2017·衡水模拟) 设p：（）x＜1，q：log2x＜0，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2017·息县模拟) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2 ，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|﹣|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（）A . 2B .C .D .7. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若∥ ，则|2 +3 |等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·衡水月考) 设函数，则函数的零点的个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·珠海期末) 设z=1+i（i是虚数单位），则 =________．10. （1分）(2017·甘肃模拟) 设a= （cosx﹣sinx）dx，则二项式（a ﹣）6的展开式中含x2项的系数为________．11. （1分） (2018高三下·滨海模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12. （1分）(2017·奉贤模拟) 参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是________．13. （1分） (2019高三上·邹城期中) 已知函数，若，则实数的值是________．14. （1分）若对一切实数x不等式asinx﹣cos2x≤3恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2020高三下·南开月考) 设函数 .（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值与最小值.16. （5分）(2017·湖南模拟) 数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．17. （10分） (2017高二下·故城期末) 如图，四边形是等腰梯形，，，，在梯形中，，且，平面 .（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求的长.18. （10分） (2017高二上·中山月考) 设数列的前项和为，，数列的通项公式为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，①求；②若，求数列的最小项的值．19. （10分）(2017·吉安模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e= ，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x2+y2=1截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，=λ（），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．20. （10分） (2019高三上·武汉月考) 已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值及函数的单调区间；（2）若的极大值和极小值分别为，，证明：．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2020年银川市数学高考一模试卷(及答案)
（Ⅰ）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位 微信好友中，每天走路步数在 2000 8000 的人数； （Ⅱ）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽
17．已知直线 ： 轴交于 两点.则
与圆 _________.
交于 两点，过 分别作 的垂线与
x 2y 2 0
18．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
19．若函数 f (x) x2 x 1 a ln x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 a 的最小值是
A．
B．
C．
D．
9．已知 2a 3b 6 ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
A． a b ab
B． a b 4
C． a 12 b 12 2
D． a2 b2 8
10．已知复数
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应 的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方
( Ⅰ ) 讨论函数 f x 的单调区间；
( Ⅱ ) 若函数 f x 在 x 1处取得极值，对 x 0, ， f x bx 2 恒成立，求实数
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B ．2 C ．2 D ．24．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 537．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是()①②③A7i„？1s si=-1i i=+B128i„？1s si=-2i i= C7i„？12s si=-1i i=+D128i„？12s si=-2i i=A．A B．B C．C D．D8．（5分）若231()nxx+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为() A．1B．5C．10D．209．（5分）在平面区域{(,)|0}2y xM x y xx y⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P，则点P在圆222x y+=内部的概率()A．8πB．4πC．2πD．34π10．（5分）已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①//lα，//lβ，mαβ=I，则//l m；②//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．54D12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = ．14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ． 16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【解答】解：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【解答】解：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =21a a q ===． 故选：B ．4．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m …时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【解答】解：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 53【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体． 11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-2231322213=⨯-⨯ 53=故选：D ．7．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )①② ③A 7i „？ 1s s i =-1i i =+ B 128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i =- 1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯ 依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =， 此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？， 执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ． 8．（5分）若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1B ．5C ．10D ．20【解答】解：令1x =可得231()nx x+展开式的各项系数之和为232n =， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．9．（5分）在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 【解答】解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆， 则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即2184ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π． 故选：B ．10．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．114【解答】解：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-， 代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【解答】解：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m-+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【解答】解：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为85． 【解答】解：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ． 【解答】解：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ， 设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y ) 根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=， 可得022p x +=，022p x =-， Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=， |2|1p ∴-=，解得1p =或3p =，故答案为：1或3．16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ． 【解答】解：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数． 而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数， (1)220212n n -∴⨯<， 即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>．45n ∴=，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 【解答】解：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分） 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆的面积为33及3A π=， 得133sin 23bc π=，即6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以33b c +=⋯⋯（10分） 所以113b c b c bc ++==⋯⋯（12分）18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=， ∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=； （2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X ∴的分布列为X 0 1 2 3 P1612310130数学期望1131()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【解答】解：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解答】解：（1）由题意可知22216b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 设直线l 的方程为()x t y m =-，由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-， 同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=， 由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【解答】解：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+， 可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+， 切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x+-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减． 可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-， 令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1， 则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…， 则122210x x +-…， 可得1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||AB ρρ=-= [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号． ∴111a b b c+++…成立．。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(6)
里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：
① 甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；
② 乙不在原始森林，也不在远古村寨；
③ “丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；
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④ 丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．
若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（
）
A ．f（x）的图象关于 ??= - 1?2?对称
B ． f（ x）在 [0， π]上有 2 个零点
C． f（ x）在区间
(
?3?，
5?? 6)
上单调递减
11??
D ．函数 f（ x）图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数为奇函数
6
8．（ 5 分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百
2
2
）
√5 A．
2
√5 B．- 2
√6 C．
2
√6 D．- 2
【解答】 解：因为 ??????-(?2???)= - 1，所以 ??????=2?-? 1 ，2?????????=??-??1?，??
2
2
2
所以（ sinα﹣ cosα）2＝ 1-2??????????=??32?，???
又 ??∈(- ?2?， 0) ，
所以外接球的表面积为： 4π×( √13) 2 = 52π．
故选： C．
6．（ 5 分）数列 { an} 是公差为 2 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a1，a4，a13 成等比数列，
李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）
X 的分布列与期
望．
20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（ 1，0），若以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴相切．
2020年宁夏吴忠市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年宁夏吴忠市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则复数A. B. C. D.3.已知向量，，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 966.如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为图中阴影部分，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是A.B.C.D.7.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿A. 斗粟B. 斗粟C. 斗粟D. 斗粟8.函数的部分图象如图所示，则的值为A. B. C. D.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为若，，则用“三斜求积公式”求得的A. B. C. D.10.已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为A. B. C. D.11.设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足为坐标原点，且，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D. 512.函数的定义域为D，若满足：在D内是单调函数；存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数是“成功函数”，则t的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中的常数项为______．14.已知，且，则的值为______ ．15.设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________．16.已知定义在R上的函数满足恒成立，且为自然对数的底数，则不等式的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角AB，C的对边分别为a，b，c，已知．求证：；若，的面积为，求b．18.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．Ⅰ若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；Ⅱ若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，G为BE的中点．Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．20.设函数．若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调性和极小值其中e为自然对数的底数；若对任意的，恒成立，求k的取值范围．21.已知椭圆C：的左、右焦点为，，离心率为，点P为其上一动点，且三角形的面积的最大值为，O为坐标原点．求椭圆C的方程；若点M，N为C上的两个动点，使时，求证点O到直线MN的距离为定值，并求这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和面积的最小值．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了集合的运算问题，是基础题．根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：，，，，故选B．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：已知为虚数单位，，故选：D．3.答案：A解析：解：由，可得：，解得，“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．由，可得：，解得m，即可判断出结论、本题考查了向量共线定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为，，，验证知在点时取得最大值2当直线过点时，z最大是2，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查排列和计数原理的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于中档题．根据题意，分两种情况讨论选出参加竞赛的4人，选出的4人没有甲，选出的4人有甲，分别求出每一种情况下的参赛方案种数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分两种情况讨论：选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种参赛方案，则此时共有种参赛方案；则有种不同的参赛方案．故选D．6.答案：B解析：解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率故选：B．先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与x轴围成的区域记为M的面积为，代入几何概率的计算公式可求．本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性．7.答案：D解析：解：由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟，故选：D．由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．8.答案：D解析：解：由函数的部分图象知，，，解得；再由五点法作图可得，解得；，．故选：D．由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．根据正弦定理：由得，则由得，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由，得，由，可得，则，即，．故选：D．10.答案：C解析：解：正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，故正三棱柱的底面边长为，侧棱长为；得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径；又由正三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：，，外接球的表面积．故选：C．根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．11.答案：D解析：解：设的中点为A，则，若，即，是的中位线，，且，，，，即，则，在直角中，，，即，则，则离心率，故选：D根据得到是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的应用判断三角形是直角三角形是解决本题的关键．12.答案：D解析：【分析】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由是“成功函数”，知在其定义域内为增函数，，故，由此能求出t的取值范围．【解答】解：是“成功函数”，在其定义域内为增函数，，，，令，有两个不同的正数根，解得故选：D．13.答案：解析：解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，故开式中含常数项系数为，故答案为：．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得含常数项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14.答案：解析：解：，即，，故答案为：．由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．15.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于基础题．圆C：的圆心坐标为，半径为，利用垂径定理，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：的圆心坐标为，半径为，直线与圆C：相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，，解得：，故圆的半径．故圆的面积，故答案为．16.答案：解析：【分析】令，从而求导，从而由导数求解不等式．本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式，属于中档题．【解答】解：定义在R上的函数满足恒成立，令，则，故F是R上的单调增函数，而，不等式等价于，，即，所以，故不等式的解集为；故答案为．17.答案：证明：已知．由正弦定理可得：，可得：，．，的面积为，，解得：．由余弦定理可得：，，由于，可得：，解得：．解析：首先利用三角函数关系式的恒等变换，再利用正弦定理求出结论．利用三角形的面积公式和的结论，进一步利用余弦定理求出b的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．18.答案：解：Ⅰ设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名都选择网购”，则．Ⅱ的取值为0，1，2，，，，，．X0123P．解析：Ⅰ设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名都选择网购”，则．Ⅱ的取值为0，1，2，，即可得出．本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF，平面ABEF，，菱形ABEF中，，则为等边三角形，G为BE的中点．，又，得．，平面平面ADF，平面ADF；Ⅱ解：由Ⅰ可知AD，AF，AG两两垂直，如图所示以A为坐标原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，故A0，，，0，，，则，，，设平面ACD的法向量，由，取，得，设平面ACG的法向量，由，取，得，设二面角的平面角为，由图可知为钝角，则，二面角的余弦值为．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题．Ⅰ由已知矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，，由面面垂直的性质可得平面ABEF，进一步得到，再由已知证得，则平面ADF；Ⅱ由Ⅰ可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．20.答案：解：，，由题意可得，，即，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，令，，由，恒成立可得，所以即在上单调递减，在上恒成立，故在上恒成立，结合二次函数的性质可知，，故k的范围解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求k，结合导数与单调性及极值的关系可求；构造函数，，由，恒成立可得，即即在上单调递减，结合导数与单调性关系可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性及极值，求出参数范围问题，体现了转化思想的应用．21.答案：解：由题意可得，当P为椭圆的短轴的顶点时，三角形的面积的最大，所以，即，所以解得：，，所以椭圆的方程为：；证明：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，设，，直线MN与椭圆的方程联立，整理可得：，，即，，，所以，因为，所以，即，可得，，符合，O到直线MN的距离将代入可得为定值，当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为：，，代入椭圆的方程：，由因为，所以可得，解得，即，所以O到直线MN的距离为：，综上所述：O到直线MN的距离为定值，且定值为．解析：由题意可得P为短轴的顶点时，三角形的面积的最大，求出面积，由题意可得b，c的关系，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分直线MN的斜率存在和不存在两种情况，当直线MN的斜率存在时设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由，所以，可得参数之间的关系，求出O到直线MN的距离可得为定值，斜率不存在时也可得O到直线MN的距离为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及原点到直线的距离恒为定值的证明方法，属于中档题．22.答案：解：由为参数，消去参数t，得圆C的普通方程．由，得，所以直线l的直角坐标方程为．直线l与x轴，y轴的交点为，，化为极坐标为，，设P点的坐标为，点到直线l的距离为，，则面积的最小值是．解析：由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据，转化为直角坐标方程即可；直线l与x轴，y轴的交点为，，化为极坐标，并求出的长，根据P在圆C 上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．23.答案：解：Ⅰ不等式，即为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即，综上可得原不等式的解集为或；Ⅱ关于x的不等式的解集为R，即有的最大值，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得或．所以实数a的取值范围是解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．Ⅰ讨论当时，当时，当时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；Ⅱ由题意可得的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
）
）
1 C．
3
1 D．
4
A ．若￢（ p∧ q）为真命题，则 p， q 均为假命题
B ．命题“ ? x∈R ，ax+b≤ 0”的否定是“ ? x∈R ，ax+b≥ 0”
C．等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若“ a1＞ 0”则“ S2019＞S2018”的否命题为真命题
→→
→→
D ．“平面向量 ??与??的夹角为钝角”的充要条件是“ ?????＜0”
D．?
1-2??
2．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ?? = 1 + ?，? 则 |z|＝（
）
√5 A．
2 3．（ 5 分）已知椭圆
3 √2 B．
2
√10 C．
2
D． √3
??2 E：??2 +
??2 ??2 =
1(??＞??＞0)
过点
√2 ??( 2
，
√3 2)
，椭圆
E 的离心率为
2020 年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（ 1）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|（ x﹣ 1）（x+1 ）＜ 0} ， B＝ { y|y＝ 2x， x∈R } ，则 A∩ B＝（
）
A ．（﹣ 1， 0]
B ．（﹣ 1， 1）
C．（ 0， 1）
19．（ 12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的
用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了
9 个数据作为样本，
得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） ．若用时不超过 40（分钟），则称这个工人为优秀 员工．
2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=（ ）A ．()4,1B ．()4,2C ．()3,2D ．()4,32. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A.B. 2C.D.3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<=（ ） A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -= （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5. 函数f （x ）＝xe﹣|x|的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 正方体A 1C 中，E 、F 为AB 、B 1B 中点，则A 1E 、C 1F 所成的角的正弦值为（ ）A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或18. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 4009. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A. -6B.C. -1D. 610. 等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 811. 已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年宁夏中卫市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）1. 设集合，，若，，则( )A. B. C. 1 D. 32. 若复数，则z的共轭复数( )A. B. C. D.3. 已知，，，则的值为( )A. B. C. D.4. 已知，，，则( )A. B. C. D.5. 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊.”羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半.”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了斗.( )A. B. C. 3 D.6. 若x，y满足约束条件则的最小值是( )A. B. C. 0 D. 27. 如图是函数的图象的一部分，设函数，，则是( )A. B. C. D.8. 已知函数，则( )A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增9. 过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有( )A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足若为锐角三角形，且，则面积最大为( )A. B. C. D.11.设双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线交双曲线E的左支于点N，若，则点M与点N 的横坐标的绝对值之比为( )A. B. C. 4 D.12. 利用“”可得到许多与且有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 已知，平面向量，若，则实数m的值是______ .14.已知的展开式为，若，则______ .15. P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为______ .16. “蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”是最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，且满足，，则该“鞠”的表面积为______ 17.已知数列的前n项和为，求的通项公式；若求数列的前n项和；18. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望.附：，k19. 如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面ABC，D为AC中点，求证：；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：20. 在直角坐标系xOy中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大求动点M的轨迹方程；当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数讨论的单调性；若，求a的取值范围.22. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系求圆C及直线l的直角坐标方程；若射线分别与圆C和直线l交于P，Q两点，其中，求的最大值.23. 已知，，函数的最小值为求的值；求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，，，，，解得故选：利用子集、交集定义、集合中元素的性质直接求解．本题考查子集、交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用诱导公式求得，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．【解答】解：已知，，，，，则，故选：4.【答案】D【解析】解：，，故故选：先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小．本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】B【解析】解：由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，设猪的主人赔偿的粟斗数为x，则，解得：，故马主人赔偿的粟斗数为，所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为故选：问题可转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数．本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：作出x，y满足的可行域如下所示，联立，解得，，即，可化为，当直线经过点A时，有，所以，即z的最小值为故选：根据不等式组作出可行域，把目标函数转化为，再结合其几何意义，得解．本题考查线性规划，熟练掌握目标函数的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由于函数和都是奇函数，它们的图象关于原点对称，由的图象可得是奇函数，结合所给的选项，是偶函数，故排除A；是偶函数，故排除B，而，当且x趋于0时，函数的值趋于负无穷大，故排除C；是奇函数，故选：根据的图象可得是奇函数，根据在0点右侧的函数值，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性，奇函数与偶函数的图象特征，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，周期，的单调递减区间为，单调递增区间为，对于A，在上单调递增，故A错误，对于B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误，对于C，在上单调递减，故C正确，对于D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：利用二倍角公式化简得，周期，根据余弦函数的单调性可得的单调递减区间为，单调递增区间为，进而逐个判断各个选项的正误即可．本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；故选拔测试的安排方案有种．故选：根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数．本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：，，即，，，，又，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，即面积最大为故选：根据已知条件结合正弦定理以及余弦定理，即可求解，结合A的范围可求A，结合正弦定理以及三角函数的恒等变换公式，三角形的面积公式即可求解．本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查转化能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如下图所示：根据题意可知，，，设，，由可知：，所以，即，所以，即，所以，联立，解得；所以，即，点M与点N的横坐标的绝对值之比为故选：根据题意可得，，A三点坐标，由可利用相似比得，代入M，N 两点坐标并联立，解之即可求得结果．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】C【解析】解：令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，，故，当且仅当时，等号成立，对于①，令，所以，故，其中，所以，故①正确；对于②，将中的x替换为，可得，，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中所以，故②正确；对于③，将中的x替换为，显然，则，故，故，故③错误；对于④，将中的x替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立，则，故④正确．故选：先证明出，当且仅当时，等号成立，对于①，令，得到，累加后得到①正确；对于②，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到②正确；对于③，推导出，累加后得到③错误；对于④，将中的x替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到④正确．本题主要考查归纳推理，不等式的证明，导数的应用，考查逻辑推理能力，属于难题．13.【答案】2【解析】解：，平面向量，，，可得，解得舍，即实数m的值是故答案为：直接根据向量共线的性质即可求得结论．本题主要考查向量平行时的坐标关系，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，则，即，令，则，即，由题意可得，即，解得或，故答案为：或利用二项式定理即可得解．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，则不妨设，，，，则A，B为椭圆的焦点，，又，则，且，在以C、D为焦点的椭圆上，且，解得，为椭圆上一点，联立，解得，则，故P到x轴的距离为，故答案为：首先表示出A，B，C，D的坐标，依题意得，即可得到P为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由已知得，均为等边三角形，如图所示，设球心为O，的中心为，取BD中点F，连接AF，CF ，OB，，AO，则，，而，平面ACF，且求得，而，，则，在平面AFC中，过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面ACF，得，故平面BCD，过点O作于点G，则四边形是矩形，而，，设球的半径为R，，则由，，得，，解得，，故三棱锥外接球的表面积为由题意画出图形，可得，均为等边三角形，设球心为O，的中心为，取BD中点F，连接AF，CF，OB，，AO，构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：时，化为：时，，解得数列是等比数列，公比为数列的前n项和……，……，相减可得：……，解得【解析】时，，时，，解得利用等比数列的通项公式即可得出．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：有题可得对业务水平满意的有人，对服务水平满意的有人，得列联表对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300经计算得，所以没有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；的可能值为0，1，2，又，，，所以X的分布列如下：X012P则X的期望【解析】利用题意可完成列联表，然后根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；根据题意结合超几何分布求分布列和期望．本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．19.【答案】证明：因为，D为AC中点，所以，又因为面面ABC，面面，面ABC，所以平面，又平面，所以；解：选①，取的中点E，连接，CE，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，E为的中点，所以，又，，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因为，所以，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，由，得，，则，，，，则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，设平面的法向量为，则有，可取，则，由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为；选②，取的中点E，连接，CE，DE，则且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为，所以，又，所以，则，在中，因为，所以，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，下同选①的答案．【解析】根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；选①，取的中点E，连接，CE，证明，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；选②，取的中点E，连接，CE，DE，利用勾股定理证明，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为，则，所以，所以，当时，满足条件．综上所述，轨迹方程为：时，；时，，；设直线PQ的方程为，，，联立方程，整理得：，，，，直线OP的方程为，同理：直线OQ的方程为，令得，，设AB中点T的坐标为，则，，所以，圆的半径为，所以AB为直径的圆的方程为，展开可得，令，可得，解得或所以以AB为直径的圆经过定点和【解析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案；设直线PQ的方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算中点坐标为，半径为，得到圆方程为，取得到定点．本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：的定义域为当时，，则，当时，可知在上单调递增，当时，令，得，今，得因为，所以为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，；令，可得，令，则当时，，显然成立．当时，，在区间上单调递增，若，由，可得，有，与矛盾．当时，令，可得，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可得若，则必有，可化为，令，由，可得，令，得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，则，可知综上，a的取值范围为【解析】求函数的导数，分或两种情况讨论；由，令，，分，或三种情况讨论．本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为，，所以由可得，，化为普通方程为，，即由可得，，由，，可得解：将代入圆C和直线l的极坐标方程可得：，，所以，则，，所以，因为，所以，当，即时，有最大值为【解析】直接利用转换关系式，把极坐标方程转换成直角坐标方程；将代入可得与表达式，得到，化简得到，根据的范围，即可得到最大值．本题考查极坐标与参数方程的应用，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．23.【答案】解：，当且仅当，等号成立，又，，故，解得；证明：由可知，，，，则，当且仅当，，即，时，等号成立，故，所以，即，即【解析】根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解；根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
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宁夏2020年高考数学一模试卷（理科）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一下·伊春期末) 设集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高一下·高安期中) 命题“ ”的否定为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高一上·天津期中) 函数f（x）= +lg（x﹣1）+（x﹣3）0 的定义域为（）
A . {x|1＜x≤4}
B . {x|1＜x≤4且x≠3}
C . {x|1≤x≤4且x≠3}
D . {x|x≥4}
4. （2分）由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2 ，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．则方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为（）
A . 1.2
B . 1.3
C . 1.4
D . 1.5
6. （2分）已知，，，则x，y，z大小关系为（）
A . x＜y＜z
B . z＜x＜y
C . z＜y＜x
D . y＜z＜x
7. （2分） (2020高二上·兰州期末) 关于命题p：若，则与的夹角为锐角；命题q：存在x∈R,使得sin x＋cos x＝ .下列说法中正确的是（）
A . “p∨q”是真命题
B . “p∧q”是假命题
C . 为假命题
D . 为假命题
8. （2分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A . y=x+1
B .
C .
D .
9. （2分） (2018高三上·吉林期中) 函数的零点个数为（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
10. （2分） (2019高一上·揭阳月考) 已知二次函数满足，则
（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高三下·鸡西开学考) 已知函数f（x）= （a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣1）
B . （﹣∞，0）
C . （﹣1，0）
D . [﹣1，0）
12. （2分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）
A . f（x）是偶函数
B . f（x）是增函数
C . f（x）是周期函数
D . f（x）的值域为[﹣1，+∞）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一上·温州期末) 已知集合M={（a，b）|a≤﹣1，且 0＜b≤m}，其中m∈R．若任意（a，b）∈M，均有alog2b﹣b﹣3a≥0，求实数m的最大值________
14. （1分） (2016高一上·叶县期中) 已知f（x）= ，若f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=________.
15. （1分） (2020高二上·厦门月考) 已知动点满足，为坐标原点，则
的最大值为________.
16. （1分） (2019高三上·株洲月考) 若曲线在点处的切线与直线
垂直，则 ________.
三、解答题 (共8题；共65分)
17. （5分） (2017高二上·石家庄期末) 设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18. （10分） (2016高一上·茂名期中) 若函数f（x）=（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数，
（1）求k，b的值；
（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）
19. （5分） (2017高三上·浦东期中) 函数 f（x）=2x﹣的定义域为（0，1]（a为实数）．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．
20. （10分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）= ﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
21. （10分） (2018高二下·佛山期中) 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
22. （10分）如图所示，AB是圆O的直径，PC是圆O的一条割线，且交圆O于C、D两点，AB⊥PC，PE是圆O的一条切线，切点为E，AB与BE分别交PC于M、F两点．
（1）证明：△PEF为等腰三角形；
（2）若PF=5，PD=3，求DC的长度．
23. （10分） (2017·湖北模拟) 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（，）．（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线C2：x2+y2=4上运动，求|PB|2+|PC|2的取值范围．
24. （5分）(2017·息县模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共65分) 17-1、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、20-2、21-1、
21-2、
22-1、22-2、23-1、
23-2
、
24-1、
第11 页共11 页。