常见概率分布特征总结
常用概率分布
k k
2、二项分布出现阳性次 数至少为k次的概率为： n! P( X k ) P( X ) X (1 ) n X X k X k X !( n X )!
正态分布：有两个参数
1、位置参数
:描述正态分布的集中趋
势位置。 2、形态参数 ：描述正态分布的离散 程度。 越小，分布越集中，曲线越 “瘦高”； 越大，分布越离散，曲线 越“肥胖”。 记为N（ ， 2），表示均数为，标 准差为的正态分布 见图4-5。
-6
μ1
-5
-4
-3
同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白；
实验中的随机误差等。
因此，通过正态曲线下面积的分布规律：
概括地估计变量值的频数分布； 用于了解某个体值在其所属群体中占据 何种位置。
例
如：
已知某地120名20岁男大学生身高均数
＝172.90cm，标准差s=4.09cm。
（1）身高在182cm以上者占该地20岁男
则0.51～＋∞的面积为0.3050 区间（－1.93，1.51）的面积: p＝1－0.0268－0.3050＝0.6682 身高在165～175cm者占该地20岁男大学生的66.82%。
（3）求80%的男大学生身高集中在哪个范围？
大学生总数的百分数？ （2）身高在165－175cm者占该地20岁男 大学生总数的百分数？ （3）该地80%的男大学生身高集中在 哪个范围？
（1）已知身高
X ＝172.9cm
A、先做标准正态变换：
3.概率分布的特征
SX4
例3-7
某销售商汽车销售量由X表示，为了解每 天销售汽车数量，随机抽取了10天，每天 分别销售9，11，11，14，13，9，8，9， 14，12。 则 样本均值为：？？？ 样本方差为：？？？
如果我们再随机抽取一次，你认为，所得 到的样本均值与样本方差会一样吗？
二、条件期望值
•条件概率/条件概率分布/条件概率密度
•条件数学期望
三、方差：离散程度的度量
概念：随机变量取值偏离数学期望点的累积， 度量了随机变量X的取值与其期望值或均值的偏 离程度。所以，方差越大意味着随机变量变化 的区间越宽。 定义：随机变量与其期望偏差的平方的平均
一般地记Var(X)为
方差的平方根称为标准差(Standard deviation, s. d.) 例3-4 掷骰子若干次，得到期望值为3.5,求其方 差，具体见下表。
n
X
Xi n
i 1
2.样本方差
n
S X 2 i 1
( Xi X )2 n1
3.样本协方差 4.样本相关系数
Cov( X
,Y
)
( Xi X )(Yi Y
n1
)
( Xi X )(Yi Y ) /(n1) r SX SY
5.样本偏度 6.样本峰度
( Xi X )3 /(n1) s SX3
因此，方差为2.9167。标准差为1.7078。
数学期望与方差的图示
随机变量的概率分布
方差的性质
切比雪夫不等式
计算随机变量X落入某个区间的概率.
例3-5 杭电小卖部每天上午7-8点平均卖出100个肉松 蛋糕，方差为25，问：在这个时间段，卖出90-110 个肉松蛋糕的概率为多少？ 解：P(90=<X<=110)=P(|X-100|<=10)>=1-1/4 =0.75
常用的概率分布类型其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0，1，……，nX的期望 E（X）=npX的方差 D（X）=np（1-p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
概率分布基础之离散总结
概率分布基础之离散总结概率分布是描述随机变量可能取值的可能性的数学模型。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。
本文将对离散概率分布进行基础总结，包括离散概率分布的定义、特征以及常见的离散概率分布模型。
一、离散概率分布的定义离散概率分布是指在一定条件下，随机变量取不同离散数值的概率分布。
它由两部分组成：随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率必须满足两个条件：非负性和概率和为1。
二、离散概率分布的特征1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）：离散概率分布的概率质量函数是指随机变量取各个离散数值的概率。
它是一个非负函数，对于任意一个可能的取值k，概率质量函数P(k)表示随机变量取值为k的概率。
2. 期望值（Expectation）：离散概率分布的期望值是指随机变量的加权平均值，权重即为每个取值的概率。
期望值可以理解为在大量重复实验中，随机变量的平均取值。
3. 方差（Variance）：离散概率分布的方差是指随机变量取值与期望值之间的差异程度。
方差越大，随机变量的取值相对较分散；方差越小，随机变量的取值相对较集中。
三、常见的离散概率分布模型1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散概率分布模型，描述了只有两个可能结果的随机试验。
例如，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，每种可能的概率为p和1-p。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种多次伯努利试验的概率分布模型。
在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布描述了成功次数的概率分布。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布是用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布模型。
泊松分布适用于事件间独立且发生概率很小的情况，例如单位时间内发生的交通事故数、电话呼叫数等。
常见概率分布总结
x 2πσ2
x≥0
λe−λx，x ≥ 0，λ > 0
xα−1 e−x/β Г α βα
x ≥ 0，α > 0，β > 0
kλ k k−1
! xk−1e−kλx
xn /2−1 2n /2 Г n/2
e−x/2，x
≥0
μ
——
1 λ αβ 1 λ n
μ2
——
1 λ2
2
αβ 1 kλ2 2n
ejμω−μ2ω2/2
x σ2
e−(x 2 +a 2 )/2σ 2
I0
ax σ2
−∞ < ������ < ∞，a> 0
2 Гm
m Ω
m x2m−1 e(−m/Ω)x2
x>0
α α+β
——
σπ
2
1 + r I0
r 2
+
， rI1
r 2
e−r/2
r = a2/2σ2
Г m + 1/2 Ω
Гm
m
αβ α+β 2 α+β+1
∞
rq
pr
p2
1 − qejω
rq p2
N2 − 1 12
pr ejω − q
ej
N +1
ω/2
sin Nω/2 sin ω/2
C 协方差矩阵
e jm ut −uC ut /2
—— (1 − jω/λ)−1 (1 − jωβ)−α (1 − jω/kλ)−k (1 − j2ω)−n/2
韦伯分布
αx β −1 e−α x β /β x ≥ 0，α > 0，β > 0
概率分布的特征与计算
概率分布的特征与计算概率分布是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的取值和其对应概率的关系。
概率分布的特征包括均值、方差、偏度和峰度等，在统计学和实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍概率分布的特征以及如何计算它们。
一、概率分布的特征1. 均值：概率分布的均值是衡量随机变量取值集中趋势的指标。
对于离散型随机变量，均值的计算公式是E(X) = Σ(xP(x))，其中 x 为随机变量的取值，P(x) 为对应取值的概率。
对于连续型随机变量，均值的计算公式是 E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中 f(x) 为概率密度函数。
2. 方差：概率分布的方差衡量随机变量取值的离散程度。
方差的计算公式为 Var(X) = E((X-E(X))^2)，其中 E(X) 为随机变量的均值。
3. 偏度：概率分布的偏度描述了分布曲线的对称性。
偏度为0表示分布为对称分布，大于0表示分布右偏，小于0表示分布左偏。
计算偏度的公式为 Skewness = E((X-E(X))^3)/(Var(X))^1.5。
4. 峰度：概率分布的峰度衡量了分布曲线的陡峭程度。
峰度大于3表示分布尖峭，峰度小于3表示分布平坦。
计算峰度的公式为 Kurtosis = E((X-E(X))^4)/(Var(X))^2。
二、概率分布的计算1. 二项分布：二项分布用于描述在 n 次重复且相互独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
计算二项分布的均值的公式是 E(X) = np，方差的公式是 Var(X) = np(1-p)，其中 n 为试验次数，p 为每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
计算泊松分布的均值和方差的公式都是λ，其中λ 表示单位时间或单位面积内事件平均发生次数。
3. 正态分布：正态分布是自然界中常见的分布，也称为高斯分布。
正态分布的均值、方差、偏度和峰度都具有特定的数值。
均值为μ，方差为σ^2，偏度为0，峰度为3。
概率分布知识点归纳总结
概率分布知识点归纳总结一、概率分布的基本概念1. 随机变量随机变量是指对随机现象的结果进行数量化时，所得的变量。
它反映了随机现象的数量特征，可以是离散变量或连续变量。
离散变量是只能取有限个或可数多个数值的变量，如掷骰子所得点数；连续变量是在某个区间内可以取任意值的变量，如身高、体重等。
2. 概率函数概率函数描述了随机变量取值的概率情况，它可以分为离散型概率函数和连续型概率函数。
离散型概率函数通常用概率质量函数（PMF）表示，它表示了随机变量取各个可能值的概率；连续型概率函数通常用概率密度函数（PDF）表示，它表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
3. 概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，连续概率分布可以通过概率密度函数来描述。
概率分布具有一些重要的性质，如和为1、非负性等。
二、常见的概率分布1. 离散概率分布（1）① 二项分布二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
（2）② 泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数，k为事件发生的实际次数。
（3）③ 几何分布几何分布描述了第一次成功发生的概率分布，即在多次独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中k为首次成功所需的试验次数，p为成功的概率。
2. 连续概率分布（1）① 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，它在自然界和人类社会中都有广泛的应用。
它的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2 * σ^2))，其中μ为期望值，σ为标准差。
概率论 常用统计分布
由中心极限定理得
n
lim P {
n
2 n n
2n
x}
x
lim P{ i 1
n
2 X i n
n
x}
1 2
t2 e 2 dt
即 2分布的极限分布是正态 分布，也即当 n
很大时，
2 n n
2n
2 服从N (0,1), 进而 n N ( n,2n).
Y12
Y22
~ 2 ( 2)
则C1 1 2 , C2 1 4 .
2. t 分布 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景 和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”， 在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻 的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验 数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认 识，我们知道在总体均值和方差已知情况下， 样本均值的分布将随样本量 增大而接近正态分布,
n
x
1 2
e dt .
t2
2
2 证 由假设和定义5.6, n X i2 , 其中X 1 , X 2 ,, X n i 1
2 2 2 独立且每个X i ~ N (0,1),因而X1 , X2 ,, X n 独立同分布,
且
E( X i2 ) 1, D( X i2 ) 2 (i 1,2,, n)
(3) T的数字特征
E (T ) 0,
n D(T ) n2
( n 2).
例3 设总体X和Y相互独立, 且都服从N（0,9）
X 1 , X 2 ,, X 9和Y1 ,Y2 ,,Y9来自总体X ,Y的样本，
求统计量T的分布，其中
T Xi /
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设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密பைடு நூலகம்函数 在[a，b]上为常数 ，即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0，x<a，
1，x>b。
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
。
指数分布
,
0, ,
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
X的分布函数为
,
x<0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
常见概率分布特征总结
八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。