苏教版数学高一-苏教数学必修4【过关训练】第一章《三角函数》章末检测
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.3.2 Word版含解析
学业分层测评(六)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos α＋π2＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－265＝265. 【答案】 2652．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为________．【解析】 易知|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45. 【答案】 －453．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13.【答案】 －134．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________. 【导学号：06460017】【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 【答案】 －sin 2α5．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．【解析】 ∵(A ＋45°)＋(45°－A )＝90°，∴sin(45°－A )＝cos(45°＋A )， ∴sin 2(A －45°)＝sin 2(45°－A )＝cos 2(45°＋A )，∴sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)＝1.【答案】 16．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)的值是________．【解析】 由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m ，∴sin θ＝m 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－3m 2. 【答案】 －3m 27．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －28．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.【解析】 由已知3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又∵A ∈(0，π)∴A ＝π6.又cos A ＝－3·(－cos B )＝3cos B ，由cos A ＝32知cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.【答案】 π2二、解答题9．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 【解】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 能力提升]1．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 722．计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°， ∴sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝sin 244°＋cos 244°＝1，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44＋sin 245°＝44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝892.【答案】 8923．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，∴sin(α－15°)＝sin (75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，∴cos(105°－α)＝cos 180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，∴原式＝－13－13＝－23.【答案】 －234．(2016·南京高一检测)已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．【解】 (1)f (α)＝sin α·cos α·cos α(－cos α)·(－sin α)＝cos α.(2)由(1)可知f (A )＝cos A ＝35，又A 是△ABC 的内角，∴0°＜A＜90°，∴sin A＝45，tan A＝43，∴tan A－sin A＝43－45＝815.。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝________.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12.【答案】 122．若sin (π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.【答案】 －333．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________.【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.【答案】354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________．【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32. 【答案】325．设ta n(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.【答案】 m ＋1m －16．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)． ①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ； ③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 1－ 38．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝1－cos280°＝1－k2，从而tan 80°＝－1－k2 k.【答案】－1－k2 k二、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．【解】原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.10．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.能力提升]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________． 【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.【答案】 3102．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________． 【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3 a，∴3＝－3a，即a＝－ 3.【答案】－ 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.【解析】cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，①∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1 25，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－3 4.【答案】－3 44．已知tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．【解】因为tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k2－13)＝1，可得k2＝16 3.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k3＝k，所以k＞0，故k＝43 3，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝3 4，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.2
学业分层测评(六)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos α＋π2＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－265＝265. 【答案】 2652．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为________． 【解析】 易知|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45. 【答案】 －453．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13.【答案】 －134．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________. 【导学号：06460017】【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 【答案】 －sin 2α5．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．【解析】 ∵(A ＋45°)＋(45°－A )＝90°，∴sin(45°－A )＝cos(45°＋A )， ∴sin 2(A －45°)＝sin 2(45°－A )＝cos 2(45°＋A )，∴sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)＝1.【答案】 16．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)的值是________． 【解析】 由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m ，∴sin θ＝m 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－3m 2. 【答案】 －3m 27．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －28．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________. 【解析】 由已知3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又∵A ∈(0，π)∴A ＝π6.又cos A ＝－3·(－cos B )＝3cos B ，由cos A ＝32知cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.【答案】 π2二、解答题9．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38，∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．【解】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 能力提升]1．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 722．计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°， ∴sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝sin 244°＋cos 244°＝1，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44＋sin 245°＝44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝892.【答案】 8923．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，∴sin(α－15°)＝sin(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，∴cos(105°－α)＝cos180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，∴原式＝－13－13＝－23.【答案】 －234．(2016·南京高一检测)已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．【解】 (1)f (α)＝sin α·cos α·cos α(－cos α)·(－sin α) ＝cos α.(2)由(1)可知f (A )＝cos A ＝35，又A 是△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°，∴sin A ＝45，tan A ＝43，∴tan A －sin A ＝43－45＝815.。
苏教版高一数学必修4第1章三角函数全章测试
三角函数全章测试测试卷（120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．若角α的终边落在直线y=-x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．0 B ．2C ．-2D ．2tg α 2．设θ∈（0，2π），若sin θ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是（ ）A ．πθπ23<< B ．4745πθπ<<C ．πθπ223<<D ．πθπ434<<3．函数12cos 32sin -+=x x y 的定义域是（ ）A ．]1211,125[ππππ++k k （k ∈Z ） B ．]3,[πππ+k k （k ∈Z ） C ．]4,12[ππππ+-k k （k ∈Z ）D ．]2,6[ππππ+-k k （k ∈Z ）4．函数)4332(sin 4cos 412ππ≤≤--+=x x x y 的值域是（ ） A ．[0，8] B ．[-3，5] C ．]122,3[--D ．[-4，5]5．已知α，β∈),2(ππ，cos α+sin β＞0，则（ ）A ．α+β＜πB ．23πβα>+ C ．23πβα=+D ．23πβα<+6．已知tan α，tan β是方程04332=++x x 的两根，且α，β∈)2,2(ππ-，则α+β等于（ ）A ．3πB ．3π或π32-C ．3π-或π32D ．π32-7．有四个函数：①x y 2sin =②y=|sinx|③2cot 2tan x x y -=④y=sin|x|，其中周期是π，且在)2,0(π上是增函数的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．函数)2tan tan 1(sin x x x y +=的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．2πD ．23π 9．22sin =x 是tanx=1成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 10．设︒-︒=6sin 236cos 21a ，︒+︒=13tan 113tan 22b ，240sin 1︒-=c 则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a11．把函数x x y sin 3cos -=的图象向左平移m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3π C ．32πD ．π12．已知函数)32sin(31π-=x y ，)32sin(42π+=x y ，那么函数21y y y +=的振幅A 的值是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．13二、填空题（每题4分，共16分）13．函数xx y 2cos 1)4tan(-+=π的最小正周期是_____________。
高中数学(苏教版,必修四)课时作业与单元检测第一章三角函数(17份)第1章 章末检测(B)
第1章 三角函数(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α＝________. 2．若sin x ·cos x <0，则角x 的终边位于第________象限．3．已知tan(－α－43π)＝－5，则tan(π3＋α)的值为________． 4．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos(α＋π2)＝________. 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________.6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是________．7．已知函数y ＝2sin (ωx ＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω＝________.8．设θ是第二象限角，则点P (sin θ，cos θ)落在第________象限．9．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π4，则θ的所有可能取值的集合是________． 10．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是______．11．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 按从小到大的顺序是________． 12.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.13．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．14．给出下列命题：(1)函数y ＝sin |x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数；(3)函数y ＝|cos 2x ＋12|的最小正周期为π2； (4)函数y ＝4sin(2x ＋π3)，x ∈R 的一个对称中心为(－π6，0)． 其中正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (α－π2)cos (3π2＋α)tan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．16．(14分)已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.17．(14分)已知sin α＋cos α＝15， 求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.18．(16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．19．(16分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤π2)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π，y min ＝－3.(1)求出此函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数m ，满足不等式A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)？若存在，求出m 的范围(或值)，若不存在，请说明理由．20．(16分)已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？第1章 三角函数(B)1．420° 2.二或四 3.54.265解析 ∵α是第四象限的角且cos α＝15. ∴sin α＝ －1－cos 2α＝－265， ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝265. 5．k π＋π2(k ∈Z ) 解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2，(k ∈Z )．6.310解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2， ∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 7．2解析 由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2. 8．四解析 由已知θ是第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，则点P (sin θ，cos θ)落在第四象限．9．{θ|θ＝k π－7π12，k ∈Z } 解析 将y ＝sin(x －θ)向右平移π3个单位长度得到的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π3－θ＝sin(x －π3－θ)．其对称轴是x ＝π4，则π4－π3－θ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴θ＝－k π－7π12(k ∈Z )．即θ＝k π－712π，k ∈Z . 10．2解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x 2，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．11．b <a <c解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7. 2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α.∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan 2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .12．3解析 由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3. 13.23解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x消去y 得6cos x ＝5tan x . 整理得6cos 2 x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)． 点P 2的纵坐标y 2＝23， 所以P 1P 2＝23. 14．(1)(4)解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y ＝sin |x |是偶函数，作出y 轴右侧的图象，再关于y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f (x ＋π2)＝|－cos 2x ＋12|≠f (x )，∴π2不是函数的周期；(4)由于f (－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．15．解 (1)f (α)＝sin (α－π2)cos (3π2＋α)tan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α)＝－sin (π2－α)sin α(－tan α)(－tan α)sin α＝cos αsin αtan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－265. ∴f (α)＝－cos α＝265. 16．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 17．解 (1)由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925， ∴sin α－cos α＝±75. (2)sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15， ∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝37125. 18．解 (1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT ＝2. 将点(π6，2)代入f (x )的解析式得 sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)变换过程如下：19．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π⇒T ＝10π， ∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin(15x ＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10. ∴y ＝3sin(15x ＋3π10)． (2)当2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2时，即10k π－4π≤x ≤10k π＋π时，原函数单调递增． ∴原函数的单调递增区间为[10k π－4π，10k π＋π](k ∈Z )．(3)m 满足⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋3≥0，－m 2＋4≥0， 解得－1≤m ≤2.∵－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4≤4，∴0≤－m 2＋2m ＋3≤2，同理0≤－m 2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有： A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)，只需要：－m 2＋2m ＋3>－m 2＋4，即m >12成立即可，所以存在m ∈(12，2]，使A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)成立．20．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6， 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2， 即12k －3<t <12k ＋3.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，即0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
苏教版数学高一必修四 作业 第一章《三角函数》章末检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2.答案：－23．(2011·山东高考改编)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为________．解析：由3a ＝9得，a ＝2. 所以tan a π6＝tan π3＝ 3.答案： 3 4．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋cos (360°＋45°)sin (360°＋45°)＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3. 答案：1－ 35．若α是第三象限角，且tan α＝512，则cos α的值为________．解析：∵tan α＝512，∴sin αcos α＝512，即sin α＝512cos α.又∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴(512cos α)2＋cos 2α＝1∴169144cos 2α＝1，即cos 2α＝144169. 又∵α为第三象限角，∴cos α<0. ∴cos α＝－1213.答案：－12136．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值等于________． 解析：由已知得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ＝________. 解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2 θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4.答案：π48．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z)．答案：(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z) 9．(2012·新课标全国卷改编)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2(54π－14π)＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f (π4)＝sin(π4＋φ)＝±1，f (5π4)＝sin(5π4＋φ)＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－(sin x ＋12)2＋54，又∵－1≤sin x ≤1， ∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)， 又由f (π4)＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin(3x －3π4)，则f (7π12)＝2sin(7π4－3π4)＝0.答案：012．sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________． 解析：sin 2>0，cos 1>0， tan 2<0.∵cos 1＝sin(π2－1)，sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，从而sin(π2－1)<sin(π－2)，即cos 1<sin 2. ∴tan 2<cos 1<sin 2. 答案：tan 2<cos 1<sin 213．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos(x －π3)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos(12x －π3)的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos[12(x ＋π6)－π3]＝cos(12x －π4)的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴． 答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)．(1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，求f ⎝⎛⎭⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10， f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5.∴f (99π5)＝f (20π－π5)＝a sin(20π－π5)＋b tan(20π－π5)＋1＝a sin(－π5)＋b tan(－π5)＋1＝f (－π5)＝－5.17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin (π2－α)＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ＋2b sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象过点(0,1)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为22－1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解：(1)由f (0)＝1，∴a ＋2b sin π4＝1即a ＋b ＝1.①又x ＋π4∈[π4，34π]，∴x ＋π4＝π2时，f (x )有最大值．∴a ＋2b ＝22－1.②由①②知a ＝－1，b ＝2， f (x )＝22sin(x ＋π4)－1.(2)可以，因为将图象沿x 轴右移π4个单位再向上平移一个单位得函数f (x )＝22sin x 的图象．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值． 解：(1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)．故φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)因为x ∈[0，π12]，所以2x ＋π6∈[π6，π3]．所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本小题满分16分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一条对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)，由题意得2k π＋π2≤2x －3π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.故k π＋5π8≤x ≤k π＋9π8，k ∈Z.所以函数y ＝sin(2x －3π4)的单调减区间为[k π＋5π8，k π＋9π8]，k ∈Z.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22[]故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象如图所示．。
苏教版必修4第一章三角函数测试题
第一章三角函数单元测验（一）高一年级数学一、选择题：每小题5分，共40分。
1．下列各式中,值为12的是 （ ）A ．sin15cos15B ．22cos112π- C D ．2tan 22.51tan 22.5-2．若α是锐角，且满足1sin()63πα-=，则cos α的值为 （ ）A ．16B ．16C ．14D ．143．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．不存在无穷多个角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-B ．存在这样的角α和β,使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．对于任意角α和β,都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D ．不存在这样的角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+≠+4．如果3tan()4αβ+=，1tan()42πβ-=，那么tan()4πα+的值为 （ ）A ．1011B ．211C ．25D ．25．已知1tan 21A -=++cot()A π+的值为 （ ）A ．2-B ．2-C ．2D ．2+6．已知1cos()cos()444ππθθ+-=，则44sin cos θθ+的值等于（ ）A ．58B ．56C ．34D ． 327．把sin cos cos sin αβαβ-中的α换成4πα+，β换成4πβ-后，可化简为 （ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+C ． cos()αβ-D ．cos()αβ+8．函数12sin cos y x x=++的最大值为（ ）2222二、填空题：每小题5分，共20分。
9．已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角,则 2sin 22cos ββ- 的值等于 ．10．若锐角α,β满足(1)(1)4αβ=，则αβ+= ．11．计算sin10sin 20cos30cos10sin 20sin 30+-，其值为 ．12．已知函数212cos 2()2tan sin cos 22xf x x x x -=-，那么()12f π的值等于 ． 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。
苏教版2018-2019高一数学必修4 第1章 三角函数 综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．72°＝________rad.解析：72°＝72·π180 rad ＝2π5.答案：2π52.若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________．解析：由三角函数定义得tan α＝－21＝－2.答案：－23.若c os(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝________．解析：cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23.答案：－234.某扇形的面积为1 cm ，它的弧长为2 cm ，那么该扇形圆心角弧度数为________．解析：由⎩⎨⎧12lr ＝1，|α|＝l r，得α＝2.答案：25.设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，有下列图象：其中，函数d ＝f (l )的图象大致是________．解析：令AP ︵所对的圆心角为θ，由OA ＝1，知l ＝θ，sin θ2＝d 2，所以d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)．结合四个图象可知填③.答案：③6.函数y ＝tan(x －π6)的定义域是________．解析：由x －π6≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x≠2π3＋k π(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠k π＋2π3，k ∈Z7.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 答案：y ＝1＋cos 2x8.为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．解析：由函数图象可知，要出现50次最大值，至少需要4914个周期．∴T ≤1－04914＝4197.∴ω＝2πT ≥2π4197＝197π2.答案：197π29.若0≤α≤2π，sin α>3cos α，则α的取值范围是________． 解析：∵sin α>3cos α，∴⎩⎨⎧cos α>0，tan α>3，或⎩⎨⎧cos α<0，tan α<3，或⎩⎨⎧cos α＝0，sin α>0.又∵0≤α≤2π，∴π3<α<π2或π2<α<4π3或x ＝π2，即x ∈(π3，4π3)．答案：(π3，4π3)10.已知函数f (x )＝3sin πxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期为________．解析：T ＝2π⎪⎪⎪⎪πk ＝2|k |.由题意知⎝⎛⎭⎫k 2，3在圆上， 得k 24＋3＝k 2， 所以|k |＝2，所以T ＝4. 答案：411.先将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________．解析：因为函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π3，所以ω＝3.又因为将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，可得函数y ＝sin(x －π3)的图象，故可判断函数y ＝sin(ωx ＋φ)中φ＝－π3. 答案：3 －π312.方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－3，2]． 作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3与y ＝1－2a 在[0，π]上的图象(图略)，当3≤1－2a <2时，原方程有两个不等的实根，故－12<a ≤1－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 13.函数f (x )＝2cos(x －π4)－1在区间(0，π)内的零点是________．解析：函数f (x )＝2cos(x －π4)－1的零点即方程2cos(x －π4)＝1的解，也就是方程cos(x －π4)＝12的解，∴x －π4＝2k π±π3(k ∈Z )，即x ＝2k π＋7π12或x ＝2k π－π12(k ∈Z )，∴在区间(0，π)内的解是x ＝7π12.答案：7π1214.函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C .①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是________．解析：①f (11π12)＝3sin(116π－π3)＝3sin 32π＝－3，∴直线x ＝1112π为对称轴，①对；②由－π12＜x ＜5π12⇒－π2＜2x －π3＜π2，由于函数y ＝3sin x 在(－π2，π2)内单调递增，故函数f (x )在(－π12，5π12)内单调递增，②对；③∵f (x )＝3sin 2(x －π6)，∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin2(x －π3)的图象，得不到图象C ，③错．答案：2二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)用五点法作出函数f (x )在一个周期内的图象．解：(1)∵f (x )＝cos(2x ＋π3)，∴T ＝π.16.(本小题满分14分)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求1cos 2x －sin 2x 的值．解：(1)法一：联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1. ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0. ∵－π2＜x ＜0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.所以sin x －cos x ＝－75.法二：∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝(15)2，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.③又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，∴sin x －cos x ＜0.④由③④可知sin x －cos x ＝－75.(2)由已知条件及(1)可知⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.∴tan x ＝－34.∴1cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2xcos 2x cos 2x －sin 2xcos 2x＝tan 2x ＋11－tan 2x ＝（－34）2＋11－（－34）2＝257. 17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)先把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x的图像，再把y ＝sin 2x 图象上所有点向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32的图象． 18.(本小题满分16分)(1)已知角α终边上一点P (－3，y )且sin α＝24y ，求cos α的值．(2)若f (x )＝sin πx6，试求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)的值．解：(1)由y 3＋y 2＝24y 解得y ＝±5或y ＝0；当y ＝±5时cos α＝－64； 当y ＝0时，x ＝－3，r ＝3＋y 2＝3，故cos α＝x r ＝－33＝－1，∴cos α＝－64或－1. (2)∵f (x )＝sin πx6的周期为T ＝12，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (12)， f (13)＋f (14)＋…f (24)，…，f (1 993)＋f (1 994)＋…＋f (2 004)是相等的，把它们看成一个个整体，则有： f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝167[f (1)＋f (2)＋…＋f (12)]＋f (2 005)＋…＋f (2 015)，∵f (1)＋f (2)＋…f (12)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋…＋sin 12π6＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝167×0＋f (2 004＋1)＋…＋f (2 004＋11)＝f (1)＋…＋f (11)＝0.19.(本小题满分16分)设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤174对一切x∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝(1－sin 2x )＋sin x ＋a －1＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－(sin x －12)2＋a ＋14.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时f (x )max ＝a ＋14；当sin x ＝－1时，f (x )min ＝a －2. ∵1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，∴f (x )max ≤174且f (x )min ≥1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，得3≤a ≤4，故a 的取值范围是[3，4]． 20.(本小题满分16分)求关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值． 解：设cos x ＝t ，则函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)即为关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)(－1≤t ≤1)；该二次函数图象关于t ＝a2对称，故分三种情况讨论：(1)当a2≤－1即a ≤－2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为增函数，所以t ＝－1时y min ＝2＋2a －(2a ＋1)＝1；(2)当－1<a 2<1即－2<a <2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，a2]上为减函数、在区间[a 2，1]上为增函数，所以t ＝a 2时，y min ＝2×a 24－2a ×a 2－(2a ＋1)＝－a22－2a－1；(3)当a2≥1即a ≥2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为减函数，所以t ＝1时，y min ＝2－2a －(2a ＋1)＝1－4a ；综上知：原函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤－2，－a22－2a －1，－2<a <2，1－4a ，a ≥2.。
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章末检测
一、填空题
1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α＝________. 2．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在第______象限．
3．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________.
4．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是________． 5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm.
6．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系是________．
7．若函数f (x )＝2tan ⎝
⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 8．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈)的图象和直线y ＝12
的交点个数是________．
10．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7
，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________． 11．方程sin πx ＝14
x 的解的个数是________． 12．已知函数y ＝sin πx 3
在区间上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________． 13．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12
)＝________.
二、解答题
15．已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α)
. (1)化简f (α)；
(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15
，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．
16．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．
17．已知sin α＋cos α＝15
. 求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.
18．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；
(3)画出函数y ＝f (x )在区间上的图象．
19．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2
)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2
，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．
20．如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2
)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A (π2
，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈π2
，π0，π－1,2． 20．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，
得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2， 所以θ＝π6
. 由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ
＝2. (2)因为点A (π2
，0)，Q (x 0，y 0)是PA 的中点， y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)． 又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π2
≤x 0≤π， 所以cos(4x 0－5π6)＝32
， 且7π6≤4x 0－5π6≤19π6
， 从而得4x 0－5π6＝11π6
，
或4x 0－5π6＝13π6
， 即x 0＝2π3，或x 0＝3π4.。