高中数学2018学年金华十校高三上期末

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2016-2017学年浙江省金华十校联考高三(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年浙江省金华十校联考高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={x|x2﹣5x+6=0}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{4}3．（4分）双曲线x2﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．4．（4分）有各不相同的5红球、3黄球、2白球，事件A：从红球和黄球中各选1球，事件B：从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B发生的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．106．（4分）若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，记b n=，则（）A．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差也为dB．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差为2dC．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为dD．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为7．（4分）如图所示是函数y=f（x）的图象，则函数f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx D．8．（4分）设x1，x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是（）①＞sin；②（cosx1+cosx2）＞cos；③（tanx1+tanx2）＞tan；④（+）＞．A．①②B．③④C．①④D．②③9．（4分）设x，y∈R，下列不等式成立的是（）A．1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B．1+2|x+y|≥|x|+|y|C．1+2|xy|≥|x|+|y|D．|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|10．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，异面直线AB1与CA1所成角为θ，记线段EF中点M的轨边为L，则|L|等于（）A．|AB1|B．C．|AB1|•|CA1|•sinθB1C1的体积）D．•V（V是三棱柱ABC﹣A二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：2x﹣2y+1=0，直线l2：x+by﹣3=0，若l1⊥l2，则b=；若l1∥l2，则两直线间的距离为．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．13．（6分）已知函数f（x）=，在F（x）=f（x）+1和G（x）=f（x）﹣1中，为奇函数，若f（b）=，则f（﹣b）=．14．（6分）已知随机变量X的分布列如下：则a=，数学期望E（X）=．15．（4分）己知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为时，|AF|+4|BF|取得最小值．16．（4分）设单位向量，的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x+y|=1，xy ≥0}，都有|x+2y|≤成立，则•的最小值为．17．（4分）若函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a2+b2=．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2B=4cosB﹣3（Ⅰ）求角B的大小=，asinA+csinC=5sinB，求边b．（Ⅱ）若S△ABC19．（15分）已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF翻折至使二面角B﹣EF﹣C的所成角为60°（Ⅰ）求证：CE∥面A′DB′（Ⅱ）求直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值20．（15分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．21．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知数列{x n}按如下方式构成：x n∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴交点的横坐标为x n+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x＜x n3（Ⅱ）证明：x n+1（Ⅲ）若x 1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*）2016-2017学年浙江省金华十校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2016•延庆县一模）计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1﹣i，计算化简即可．【解答】解：===1+i故选A【点评】本题考查复数除法的运算法则，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．2．（4分）（2016秋•金华期末）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={x|x2﹣5x+6=0}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{4}【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，即B={2，3}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U B={1，4，5}，∵A={1，2}，∴A∩（∁U B）={1}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（4分）（2016秋•金华期末）双曲线x2﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用双曲线方程，求出实轴长以及焦距的长，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线x2﹣=1的实轴长为：2，焦距的长为：2=2，双曲线的离心率为：e===．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4．（4分）（2016秋•金华期末）有各不相同的5红球、3黄球、2白球，事件A：从红球和黄球中各选1球，事件B：从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B发生的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：事件A：从红球和黄球中各选1球，能推出事件B：从所有球中选取2球，是充分条件，事件B：从所有球中选取2球，推不出事件A：从红球和黄球中各选1球，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．5．（4分）（2013•广元二模）在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）【分析】由二项展开式的通项公式T r+12+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式T r=•（﹣1）r x r，+1∴该项的系数a r=（﹣1）r•，∵2a2+a n=0，﹣5∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即2+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的概念与应用，由二项展开式的通项公式得到二项式系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．6．（4分）（2016秋•金华期末）若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，记b n=，则（）A．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差也为dB．数列{b n}是等差数列，{b n}的公差为2dC．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为dD．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为【分析】证明b n是等差数列．求出公差，然后依次对个选项判断即可【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，．b n==．b n﹣b n﹣1═﹣=（常数）．故得b n的公差为，∴A，B不对．数列{a n+b n}是等差数列，{a n+b n}的公差为d+=，∴C不对．数列{a n﹣b n}是等差数列，{a n﹣b n}的公差为d﹣=，∴D对．故选D【点评】本题考查了等差数列的定义证明和判断．属于基础题．7．（4分）（2016秋•金华期末）如图所示是函数y=f（x）的图象，则函数f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx D．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的变换趋势推出结果即可．【解答】解：由函数的图形可知：函数是奇函数，可知y=（x+）sinx不满足题意；当x→+∞时，y=（x+）cosx与y=xcosx满足题意，y=不满足题意；当x→0时，y=（x+）cosx满足题意，y=xcosx不满足题意，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的应用，注意函数的奇偶性以及函数的变换趋势，是解题的关键．8．（4分）（2016秋•金华期末）设x1，x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是（）①＞sin；②（cosx1+cosx2）＞cos；③（tanx1+tanx2）＞tan；④（+）＞．A．①②B．③④C．①④D．②③【分析】分别取，x2=验证①②不成立，取x1=，x2=验证③④成立，即可得答案．【解答】解：对于①，＞sin，取，x2=，则=，故①不成立，对于②，（cosx1+cosx2）＞cos，取，x2=，则（cosx1+cosx2）=，故②不成立，对于③，（tanx1+tanx2）＞tan，取x1=，x2=，则（tanx1+tanx2）=＞，故③成立，对于④，（+）＞，取x1=，x2=，则（+）=＞，故④成立．∴不等式中成立的是：③④．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9．（4分）（2016秋•金华期末）设x，y∈R，下列不等式成立的是（）A．1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B．1+2|x+y|≥|x|+|y|C．1+2|xy|≥|x|+|y|D．|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|【分析】根据特殊值法判断B、C、D错误，根据排除法判断A正确．【解答】解：对于B，令x=100，y=﹣100，不合题意，对于C，令x=100，y=，不合题意，对于D，令x=，y=﹣，不合题意，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．10．（4分）（2016秋•金华期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，异面直线AB1与CA1所成角为θ，记线段EF中点M的轨边为L，则|L|等于（）A．|AB1|B．C．|AB1|•|CA1|•sinθB1C1的体积）D．•V（V是三棱柱ABC﹣A【分析】由题意画出图形，取特殊点得到M的轨迹为平行四边形区域，再由三角形面积求解．【解答】解：当E位于B1，A，而F在A1C上移动时，M的轨迹为平行于A1C的两条线段，当F位于A1，C，而E在AB1上移动时，M的轨迹为平行与AB1的两条线段．其它情况下，M的轨迹构成图中平行四边形内部区域．∴|L|=2×|AB1|•|CA1|•sinθ=|AB1|•|CA1|•sinθ．故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．（6分）（2016秋•金华期末）已知直线l1：2x﹣2y+1=0，直线l2：x+by﹣3=0，若l1⊥l2，则b=1；若l1∥l2，则两直线间的距离为．【分析】①由l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：①∵l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b=1．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b=﹣1．∴两条直线方程分别为：x﹣y+=0，x﹣y﹣3=0．则两直线间的距离==．故答案为：1，．【点评】本题考查了平行与相互垂直的充要条件和平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（6分）（2016•湖南模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为38+π．【分析】由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由了部分组成，上面是一个半球，下面是一个长方体．∴该几何体的体积=+4×3×1=；其表面积=2×（3×1+3×4+1×4）﹣π×12+=38+π．故答案为：；38+π．【点评】本题考查了三视图的有关计算、长方体的体积与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（6分）（2016秋•金华期末）已知函数f（x）=，在F（x）=f（x）+1和G（x）=f（x）﹣1中，G（x）为奇函数，若f（b）=，则f（﹣b）=．【分析】分别求出F（x）和G（x），根据函数的奇偶性判断即可，根据f（b）=，求出e b 的值，从而求出f（﹣b）的值即可．【解答】解：f（x）=，故F（x）=，G（x）=，而G（﹣x）=﹣G（x），是奇函数，若f（b）=，即=，解得：e b=3，则f（﹣b）===，故答案为：G（x），．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值问题，是一道基础题．14．（6分）（2016秋•金华期末）已知随机变量X的分布列如下：则a=，数学期望E（X）=．【分析】由分布列的性质可得：+a++=1，解得a．再利用数学期望计算公式即可得出E（X）．【解答】解：由分布列的性质可得：+a++=1，解得a=．E（X）=1×+2×+3×+4×=．故答案为：，．【点评】本题考查了分布列的性质、数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）（2016秋•金华期末）己知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为±2时，|AF|+4|BF|取得最小值．【分析】由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则=1，利用基本不等式可求m+4n的最小值时，m=2n．设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2=1，x1+x2=2+根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，即可得出结论．【解答】解：由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则=1，∴m+4n=（+）（m+4n）=5++≥9，当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，设直线的斜率为k，方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1，x1+x2=2+根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴x1+1=2（x2+1），联立可得k=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．16．（4分）（2016秋•金华期末）设单位向量，的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x+y|=1，xy≥0}，都有|x+2y|≤成立，则•的最小值为．【分析】设单位向量，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy≥0，得（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1；由|x+2y|≤得出[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥，令t=cosθ，得出1+≥，求不等式的解集即可得•=cosθ的最小值．【解答】解：设单位向量，的夹角为锐角θ，由|x+y|=1，xy≥0，得x2+y2+2xycosθ=1，即（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1；又|x+2y|≤，所以[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥（x+2y）2=，令t=cosθ，则1+≥，化简得64t2﹣60t+11≤0，即（16t﹣11）（4t﹣1）≤0，解得≤t≤，所以•=cosθ≥，即•的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．17．（4分）（2016秋•金华期末）若函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值为11，则a2+b2=50．【分析】化简asinx+bcosx为sin（x+α），化简bsinx﹣acosx 为﹣cos（x+α），可得f（x）的解析式，当f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+•cos（x+α+），结合题意可得1+•=11，由此求得a2+b2的值．【解答】解：∵asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+α），其中，tanα=，又bsinx﹣acosx=[（﹣cosx ）+sinx]=﹣[cosx﹣sinx]=﹣cos（x+α）．∴函数f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|=|sin（x+α）﹣1|+|cos（x+α）|f（x）达到最大值时，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+•cos（x+α+）．由于函数f（x）的最大值为11，∴1+•=11，∴a2+b2=50，故答案为：50．【点评】本题主要考查辅助角公式，三角恒等变换，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（15分）（2016秋•金华期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2B=4cosB ﹣3（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若S=，asinA+csinC=5sinB，求边b．△ABC【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式求出cosB的值，即可得出角B的大小；（Ⅱ）由三角形面积公式以及正弦、余弦定理，即可求出边b的大小．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2B=4cosB﹣3，∴2（2cos2B﹣1）=4cosB﹣3，即4cos2B﹣4cosB+1=0，解得cosB=；又B∈[0，π]，∴B=；=acsinB=acsin=，（Ⅱ）由面积公式得S△ABC解得ac=4，又asinA+csinC=5sinB，∴a2+c2=5b，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=5b﹣2×4×=5b﹣4，∴b2﹣5b+4=0，解得b=1或b=4；又a2+c2=5b≥2ac=8，∴b≥，故b=4．【点评】本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．19．（15分）（2016秋•金华期末）已知四边形ABCD为直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，且AD=3，BC=2CD=4，点E，F分别在线段AD和BC上，使FECD为正方形，将四边形ABFE沿EF 翻折至使二面角B﹣EF﹣C的所成角为60°（Ⅰ）求证：CE∥面A′DB′（Ⅱ）求直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值【分析】（I）如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．可得四边形A′EMB′是平行四边形．A′B′∥EM．同理可得A′D∥CM，可得平面EMC∥平面A′DB′，即可证明CE∥面A′DB′．（II）取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°．平面EFCD的一个法向量为=（0，0，1）．可得=．可得直线A′B′与平面FECD 所成角的正弦值=||．【解答】（I）证明：如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．∵A′E B′M，∴四边形A′EMB′是平行四边形．∴A′B′∥EM．∵A′M CD，∴四边形A′MCD是平行四边形，∴A′D∥CM，又∵CM∩EM=M，A′B′∩A′D=A′，∴平面EMC∥平面A′DB′，由CE⊂平面CME．∴CE∥面A′DB′．（II）解：取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′E D=∠B′FC=60°．则，A′，=．平面EFCD的一个法向量为=（0，0，1）．∴===﹣．∴直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值=||=．【点评】本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、平行四边形的判定与性质、线面角、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、法向量的应用，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（15分）（2016秋•金华期末）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]⇒x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）=[（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立⇒k≥（x2﹣x3）max，令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）max=h（）=；②当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，所以f（x）=﹣[（x﹣1）﹣（x﹣1）2]≤恒成立⇔k≥（x3﹣3x2+2x），x∈（1，2]．令t（x）=x3﹣3x2+2x，x∈（1，2]．则t′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，当x∈（1，1+）时，t（x）单调递减，当x∈（1+，2]时，t（x）单调递增，t（x）max=t（2）=0，∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；③当x∈（2，3]时，x﹣2∈[0，1]，令x﹣2=t∈（0，1]，则k≥（t+2）（t﹣t2）=g（t），在t∈（0，1]恒成立．g′（t）=﹣（3t2+2t﹣2）=0可得，存在t0∈[，1]，函数在t=t0时取得最大值．而t0∈[，1]时，h（t）﹣g（t）=（t2﹣t3）+（t+2）（t2﹣t）=t（1﹣t）（2t﹣1）＞0，所以，h（t）max＞g（t）max，当k≥时，k≥h（t）max＞g（t）max成立，综上所述，k≥0，即k min=0．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查分段函数的应用，突出考查分类讨论思想、函数方程思想及等价转化思想的综合运用，属于难题．21．（15分）（2016秋•金华期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，是否有最大值，利用基本不等式的性质，即可求得△FPQ′的面积是否存在最大值．判断S△TRQ【解答】解：（1）由题意可知：c=1，2a=4，即a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得y1+y2=﹣，y1•y2=；直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1=（x﹣x1）；令y=0，得x===，将①②代入上式得x=1；…9分又S=|ST|•|y1﹣y2|=•=18×=18×=18×△TRQ≤，当=，即m2=时取得“=”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目，属于中档题．22．（14分）（2016秋•金华期末）已知数列{x n}按如下方式构成：x n∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴交点的横坐标为x n+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x＜x n3（Ⅱ）证明：x n+1（Ⅲ）若x 1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*）【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；=ln（﹣1）+x n，从而证出（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1结论即可；（Ⅲ）得到b=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，则g′（x）=，故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；（Ⅱ）由f′（x）=+=，故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），=x n+f（x n）（﹣1），令y=0，则x n+1则x n=ln（﹣1）+x n，+1＜（2x n）•（﹣1）+x n=x n3；由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），∵x n＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），+k∴log a x n+k＞log a，从而b=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，∴log a+log a+…+log a=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，要证log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*），只需b0＜，即证b 0＜⇔a＜⇔x n＜，由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，故原结论成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，曲线方程问题，考查不等式的证明，是一道综合题．。

高中数学导数经典100题

题401：云南省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x =+是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）已知()ln()f x x m mx =+-（1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<题403：吉林省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文）已知函数2()ln (0)f x x a x a =->（1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+>题404：西北师大附中2017届高三校内第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围;(3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式111...ln(1)ln(2)ln()()n m m m n m m n +++>++++恒成立. 题405：铜仁一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈（1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值范围.题406：宁夏固原第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln 1,a f x x a R x=+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +->题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+题408：安徽省皖西高中教学联盟2018届三上学期期末质量检测数学文已知函数1()()ln ,f x a x x a R x=--∈ （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）若对任意1x ≥，都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围题409：安徽省池州市2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数1()ln (0)1f x a x a x =+≠-在1(0,)2内有极值（1）求实数a 的取值范围；（2）若121(0,),(2,)2x x ∈∈+∞，且1[,2)2a ∈时，求证：213()()ln 24f x f x ->+ 题410：安徽省池州市2018届高三上学期期末考试数学（文）已知函数21()ln 2f x x a x =+ （1）若1a =-，求()f x 的单调增区间；（2）当1x >时，不等式()ln f x x >恒成立，求a 的取值范围题411：山东省枣庄市第八中学东校区2018届高三1月月考数学（理）已知函数21()2f x x =，()lng x a x =. （1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为6250x y --=，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有1212()()2h x h x x x +>-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00001()()()()f xg x g x f x ''+<+'成立，求实数a 的取值范围. 题412：2018年陕西省高三教学质量检测试题（一）设函数()ln ()k f x x k R x=+∈ （1）若曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任何120x x >>，1212()()f x f x x x -<-恒成立，求k 的取值范围.题413：安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟考试数学（理）已知函数2()ln 2f x ax x =++（1）若a R ∈，讨论函数()f x 的单调性；（2）曲线2()()g x f x ax =-与直线l 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，其中12x x <，若直线l 斜率为k ，求证：121x x k<< 题414：安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟考试数学（文）已知函数2()ln f x x x =-（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）在函数2()ln f x x x =-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1[,1]2上，若存在，求出这两点坐标；若不存在，请说明理由题415：河南周口市2017—2018学年度上期期末高高三抽测调研（文）已知函数()sin x f x e x =，其中,x R ∈e 是自然对数的底数（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围；题416：河南周口市2017—2018学年度上期期末高高三抽测调研（理）已知函数2()8ln ()f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值；（2）当函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，且11x ≠时，总有21112ln (1)(43)1a x m x x x >-+--成立，求m 的取值范围题417：广西南宁市第二中学2018届高三1月月考（期末）数学（文）已知函数()ln 1,a f x x a R x=+-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的最小值；（2）若关于x 的不等式1()12f x x ≤-在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围题418：江苏省徐州市王杰中学2018届高三12月月考数学试题已知函数1()ln ,()f x x axg x a x =-=+ （1）当2a =时，求()()()F x f x g x =-在(0,2)的最大值；（2）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（3）若()()0f x g x ⋅≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值集合题419：内蒙古赤峰市2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln ,()f x x x mx ϕ==（1）若函数图象有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围；（2）若1(,)2x ∈+∞，()x n e f x x x +<，求实数n 的最大值题420：河南省2018届高三中学生标准学术能力诊断性测试（2月）数学（文）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=- （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由题421：山东省青岛市城阳区2018届高三上学期学分认定考试（期末）数学（理）已知2()(21)ln ,f x ax a x x R x=-+-∈ （1）分析判断函数()f x 在定义域上的单调性情况；（2）若10a e <<，证明：方程2(21)ln 0ax a x x-+-=在区间[1,]e 上没有零根．(其中e 为自然对数的底数) 解：212(21)2154()(21)(1)0ax a x a a f x ax a x x x x-++--≤-+--=<< 题422：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷数学-（理八）已知函数21()ln (1)31f x x x x =---+- （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当1x ≥时，不等式(1)x m x m x ex +++≤恒成立，求实数m 的取值范围题423：2018年浙江省高考信息优化卷（二）已知函数2()ln f x x x x x =--（1）求证：()0f x ≥；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点1x ，且11()4f x < 题423：2018年浙江省高考信息优化卷（三）已知1()3ln (1)()f x x k x x=+-- （1）当0k =时，求函数()f x 的图象在点(1,0)P 处的切线方程；（2）若1()()(()ln )0G x x f x x x =--≥恒成立，求k 的取值范围题424：2018年浙江省高考信息优化卷（五）设21()12x f x e x =-+，正项数列{}n a 满足111,()n n a f a a +==，证明：（1）411,[0,1]2x x e x x+≤≤-+∈- （2）对于任意*n N ∈，都有132n a n n ≤≤+ 题425：河北省石家庄市2018届高三毕业班教学质量检测数学（理）已知函数()(1)(21)xf x axe a x =-+-（1）若1a =，求函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围题426：湖北省孝感一中、应城一中等五校2017-2018学年高三上学期期末联考高三数学（理）已知函数()2ln x f x ax b x=-+的图象在点(,())e f e 处的切线方程为3y ax b =-+ （1）求曲线32()y x b e x x =--+在2x =处的切线方程；（2）若存在2[,]x e e ∈，满足1()29f x e ≤+，求a 的取值范围题427：湖北省孝感一中、应城一中等五校2017-2018学年高三上学期期末联考高三数学（文）已知函数2()(1)3ln f x a x x =+-（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对任意的[1,],()2x e f x ∈<恒成立，求a 的取值范围题428：河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试数学（理）已知函数2()ln(1),f x x ax x a R =++-∈ .（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值；（2）是否存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ？若存在，取实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由题429：皖东县中联盟2017-2018学年第一学期高三期末联考（理）/山东省济南市山东师大附中2015级2017-2018学年冬季学习竞赛中期检测数学理已知函数1()ln(2)(),()()1bx f x ax a R g x b R x+=+∈=∈+ （1）讨论函数()f x 与函数()g x 的零点情况；（2）若2,()()a b f x mg x ==≥对任意1[,)2x ∈-+∞恒成立，求实数m 的取值范围解：令2(1)22,ln m t t x t t-=+≥ 题430：四川省南充高级中学2018届高三1月检测考试（12）已知函数231(),()ln 42x x f x e g x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（）题431：河南省天一大联考2018届高三阶段性测试（三）（12）已知函数32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-，若121,[,2]3x x ∀∈，12()()0f x g x -≥，则a 的取值范围（）题432：河南省天一大联考2018届高三阶段性测试（三）（21）已知函数()ln m f x x x=+ （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若()1f x m x ≥+-在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围题433：北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值. 题434：荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2018届高三联考2月文科数学试已知函数2()ln f x x x ax =-（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()f x 的两个极值点为1212,()x x x x <，求证：11()2f x >- 题435：湖北省四地七校2018年2月高三联考试卷理科数学已知a 为正的常数，函数2()ln f x ax x x =-+（1）若2a =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()()f x g x x=，求()g x 在区间[1,]e 上的最小值（e 为自然对数的底数）题436：黑龙江省双鸭山市第一中学2018届高三上学期期末考试数学（文）已知函数22()ln ,()(1)21f x x x x g x m x mx =-+=-+-（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若不等式()()f x g x ≤恒成立，求整数m 的最小值.题437：河北省鸡泽县第一中学高三理科数学押题1已知函数2()e 1ax f x x -=-（a 是常数），（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当(0,16)x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围。

浙江省金华十校2018届高三上学期期末调研考试

浙江省金华十校2018 届高三上学期期末调研考试历史试题2018．1 温馨提示：1．全卷共34 小题，满分为100分，考试时间90分钟。

本次考试采用闭卷笔答形式。

2. 全卷由试题卷和答题卷两部分组成，试题卷共8页，答题卷共4页。

试题卷分试卷I （选择题）和试卷n （非选择题）两部分。

试卷I和试卷n的答案必须做在答题卷的相应位置上。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。

3. 学考同学完成试卷1（选择题前面25题）和试卷n （非选择题第31、32题）；共70分。

选考同学要求完成全部试题，共100分。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

4. 请用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔在答题卷密封区内将学校、姓名、学号填写在相应位置上。

试卷I选择题部分一、选择题（本大题共30 小题，每小题 2 分，共60 分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。

1 .东汉卫宏《汉旧仪》载：“周以上千八百诸侯，其长伯为君，次仲、叔、季为卿大夫，支属为士、庶子，皆世官位。

至秦始皇帝，灭诸侯为郡县，不世官。

”该材料反映了酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。

①世官制开始于西周，结束于秦王朝②西周开始实行家国合一的政治体制③西周分封制与等级森严的宗法制结合④执政集团权力由分散逐渐走向统一①②B.②③C.①④ D .③④【答案】D2. 七月亨葵及菽。

八月剥枣，十月获稻。

……九月筑场圃，十月纳禾稼。

黍稷重穆，禾麻菽麦。

”这首诗歌反映了彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。

A.西周农夫的劳动生活B.西周贵族颂扬祖先功德C.精耕细作的小农经济D .楚国农民浪漫主义情怀【答案】A3. 秦汉时期中央政府担心郡守的权力太大，与己不利。

于是每郡派一个官员去监视他。

该官员的职务是A .郡尉B .枢密使C.监御史D .刺史【答案】C4. 在中国历史上，儒家、法家和道家思想都曾经是“大一统”政体下的治国理念。

下列按其成为治国理念的先后顺序排列，正确的是謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。

2018-2019学年浙江省金华市十校高三(上)期末数学试卷解析版

2018-2019学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果全集U=R，A={y|y=x2+2,x∈R}，B={y|y=2x,x>0)，则(∁U A)∩B=()A. [1,2]B. (1,2)C. (1,2]D. [1,2)【答案】B【解析】解：全集U=R，A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=2x,x>0)={y|y>1}，∴∁U A={y|y<2}，∴(∁U A)∩B={y|1<y<2}=(1,2)．故选：B．化简集合A、B，根据补集和交集的定义写出(∁U A)∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知条件p：x>1，条件q：1x≤1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：p：x>1q：1x ≤1，1x−1≤0，1−xx≤ 0，即x≥1，或x<0于是，由p能推出q，反之不成立．所以p是q充分不必要条件故选：A．本题考查的判断充要条件的方法，先化简q，再根据充要条件的定义进行判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.若实数x，y满足约束条件{x+y−2≥03x−y−6≤0x−y≥0，则z=3x+y的最小值是()A. 6B. 5C. 4D. 92【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥03x −y −6≤0x −y ≥0，表示的平面区域(如图示：阴影部分)由{x =y x+y=2得A(1,1)，由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移y =−3x ，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以z min =3×1+1=4．故选：C ．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．4. 已知双曲线x 29−y 2m=1的一个焦点在圆x 2+y 2−4x −5=0上，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±34xB. y =±43xC. y =±2√23xD. y =±3√24x【答案】B【解析】解：由题意，双曲线x 29−y 2m=1的右焦点为(√9+m,0)在圆x 2+y 2−4x −5=0上，∴(√9+m)2−4⋅√9+m −5=0∴√9+m =5 ∴m =16∴双曲线方程为x 29−y 216=1∴双曲线的渐近线方程为y =±43x 故选：B ．确定双曲线x 29−y 2m =1的右焦点为(√9+m,0)在圆x 2+y 2−4x −5=0上，求出m 的值，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知x ∈(−π2,π2)，sinx =−35，则tan2x =( )A. 724B. −724C. 247D. −247【答案】D【解析】解：∵已知x ∈(−π2,π2)，sinx =−35，∴cosx =√1−sin 2x =45，tanx =sinxcosx =−34，则tan2x =2tanx1−tan 2x =−247，故选：D ．利用同角三角函数的基本关系，求得cosx 的值，可得tanx 的值，再利用二倍角公式求得tan2x的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．6.把函数f(x)=2cos(2x−π4)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象，则m的最小值是()A. 724π B. 1724π C. 524π D. 1924π【答案】B【解析】解：把函数f(x)=2cos(2x−π4)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到f(x)=2cos[2(x+m)−π4]=2cos(2x+2m−π4)，g(x)=2sin(2x−π3)=2cos[π2−(2x−π3)]=2cos(5π6−2x)=2cos(2x−5π6)，由2m−π4=−5π6+2kπ，得m=−7π24+kπ，∵m>0，∴当k=1时，m最小，此时m=π−7π24=17π24，故选：B．根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．7.已知(x+1)4+(x−2)8=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2…+a8(x−1)8，则a3=()A. 64B. 48C. −48D. −64【答案】C【解析】解：由(x+1)4+(x−2)8=[(x−1)+2]4+[(x−1)−1]8=a0+a1(x−1)+ a2(x−1)2…+a8(x−1)8，得a3⋅(x−1)3=C41⋅(x−1)3⋅2+C85⋅(x−1)3⋅(−1)5，∴a3=8−C85=−48．故选：C．把已知等式左边变形，再由二项展开式的通项求解．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8.若关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−3]B. [−3,+∞)C. (−∞,3]D. [3,+∞)【答案】A【解析】解：关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，等价于a(x−1)≥x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)，当x=1时，1−3−a+a+2=0≤0成立，当x<1时，x−1<0，即a≤x2−2x−2，因为y=x2−2x−2=(x−1)2−3≥−3恒成立，所以a≤−3，故选：A．关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，等价于a(x−1)≥x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出．本题考查了函数恒成立的问题，以及二次函数的性质，属于中档题9.已知向量a⃗，b⃗ 满足：|a⃗|=2，<a⃗，b⃗ >=60∘，且c⃗=−12a⃗+t b⃗ (t∈R)，则|c⃗|+ |c⃗−a⃗|的最小值为()A. √13B. 4C. 2√3D. 9√34【答案】A【解析】解：由题意可知，把a⃗看作(2,0)，<a⃗，b⃗ >=60∘，则t b⃗ 可表示为BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B在直线y=√3x上，设C(−1,0)，D(3,0)，∵c⃗=−12a⃗+t b⃗ ，t∈R，∴|c⃗|=BC，c⃗−a⃗=−32a⃗+t b⃗ ，∴|c⃗−a⃗|=|BD|，则|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值可转化为在直线y=√3x取一点B，使得BD+BC最小，作点C关于y=√3x的对称点C′，则BD+BC最小值即可求出DC′，设C′(x,y)，由{yx+1=−1√3y 2=√3⋅x−12，解得x=12，y=−√32，则C′D=√(12+3)2+(−√32−0)2=√13，故|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值为√13．故选：A．由题意可知，把a⃗看作(2,0)，根据坐标系，和向量的坐标运算，则|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值可转化为在直线y=√3x取一点B，使得BD+BC最小，作点C关于y=√3x的对称点C′，则BD+BC最小值即可求出DC′．本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．10.如图，在底面为正三角形的棱台ABC−A1B1C1中，记锐二面角A1−AB−C的大小为α，锐二面角B1−BC−A的大小为β，锐二面角C1−AC−B的大小为γ，若α>β>γ，则()A. AA1>BB1>CC1B. AA1>CC1>BB1C. CC1>BB1>AA1D. CC1>AA1>BB1【答案】C【解析】解：在底面为正三角形的棱台ABC −A 1B 1C 1中，记锐二面角A 1−AB −C 的大小为α，锐二面角B 1−BC −A 的大小为β，锐二面角C 1−AC −B 的大小为γ， ∵α>β>γ，∴三条侧棱AA 1，BB 1，CC 1中，AA 1最小，CC 1最大，∴CC 1>BB 1>AA 1．故选：C ．利用二面角的定义，数形结合能求出结果．本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z 的共轭复数z =1+i2−i ，则复数z 的虚部是______，|z|=______．【答案】−35 √105【解析】解：由z =1+i 2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+35i ，可得z =15−35i ， ∴复数z 的虚部是−35， |z|=√(15)2+(−35)2=√105．故答案为：−35；√105．利用复数代数形式的乘除运算，则复数z 的虚部可求，再由复数模的计算公式求|z|．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望E(X)=______．【答案】310 65【解析】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n =C 53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m =C 22C 31=3， ∴其中恰有2个小球颜色相同的概率是p =m n=310；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 33C 103=110，P(X =1)=C 21C 32C 103=610， P(X =2)=C 22C 31C 103=310，∴数学期望E(X)=0×110+1×610+2×310=65．故答案为：310，65．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n =C 53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E(X)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，a 2+a 2017=0，则S 2018=______；当S n 取得最大值时，n =______．【答案】0 1009或1008【解析】解：∵a 1>0，a 2+a 2017=0， ∴a 1+a 2018=a 2+a 2017=0，∴S 2018=2018(a 1+a 2018)2=0，∵a 1>0，a 2+a 2017=0， ∴2a 1+2016d =0， ∴a 1=−1008d ，∴a 1009=a 1+1008d =0，故当S n 取得最大值时，n =1009或n =1008，故答案为：0，1009或1008．根据等差数列的性质和求和公式公式可得S 2018=0，再求出a 1与d 的关系，可得a 1009=a 1+1008d =0，即可求出当n =1009或1008时，S n 取得最大值本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图(如图)所示，则这个棱柱的体积为______，此棱柱的外接球的表面积为______．【答案】36√3 64π【解析】解：由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正方形，底面积为S =12×62×sin60∘=9√3，该三棱柱的高ℎ=4，所以，该三棱柱的体积为V =Sℎ=9√3×4=36√3．由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为2r =6sin60∘=4√3，则其外接球的直径为2R =√(2r)2+ℎ2=8，则R =4，因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR 2=4π×42=64π．故答案为：36√3；64π．计算出棱柱的底面积，利用柱体体积公式可得出柱体的体积，利用正弦定理求出底面的外接圆直径2r ，再利用公式2R =√(2r)2+ℎ2可计算出外接球的半径R ，再利用球体表面积公式可得出外接球的表面积．本题考查球体表面积的计算，考查柱体体积的计算，考查公式的灵活应用，属于中等题．15. 某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．【答案】60 【解析】解：若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，则有A 21A 31A 33=36种，若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，则有A 21A 22A 32=24种，根据分类计数原理共有36+24=60种，故答案为：60．由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．本题考查了分类计数原理，关键是分类，以及特殊元素特殊处理，属于中档题．16. 已知x 2+2y 2−√3xy =1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值为______．【答案】25【解析】解：x 2+2y 2−√3xy =1(x,y ∈R)，则x 2+y 2=22x 2+2y 2−√3xy，若y =0，则x =±1，x 2+y 2=1；若y ≠0，可得x 2+y 2=1+(x y)2(x y )−√3x y+2，设xy =t ，可设z =x 2+y 2=2t 2−√3t+2，即为(z −1)t 2−√3zt +2z −1=0，若z =1，可得t =2+√3，成立；若z ≠1，则△≥0，即3z 2−4(z −1)(2z −1)≥0，解得25≤z ≤2，即有z 的最小值为25，此时t =−√33，成立．故答案为：25．由题意可得x2+y2=x2+y2x2+2y2−√3xy，讨论y=0，y≠0，分子分母同除以y，转化为关于x y 的式子，令xy=t，可得关于t的函数，再由二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式可得所求最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和二次方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．17.已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若FA⊥FB，tan∠FAB=13，则直线FA的斜率为______．【答案】34【解析】解：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，由FA⊥FB，tan∠FAB=|BF||AF|=13，可设|AF|=3t，|BF|=t，可得∠AFN=∠FBM，sin∠AFN=y A3t =sin∠FBM=pt，即有y A=3p，x A=92p，则直线AF的斜率为y Ax A−p2=3p4p=34．故答案为：34．求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A的坐标，由斜率公式计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1．(Ⅰ)求f(7π12)的值；(Ⅱ)已知锐角△ABC，f(A)=1，S△ABC=12，b+c=2√2，求边长a．【答案】解：f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1=f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，(Ⅰ)f(7π12)=2sinπ=0，(Ⅱ)由f(A)=2sin(2A−π6)=1，可得：sin(2A−π6)=12，由A∈(0,π2)，可得2A−π6∈(−π6,5π6)可得：2A−π6=π6，可得：A=π6，由于：S△ABC=12bcsinA=14bc=12，b+c=2√2，可得：bc=2，b2+c2=4，可得：a2=b2+c2−2bccosA=4−2×2×√32=4−2√3，可得：a=√4−2√3=√3−1．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，即可代入求值；(Ⅱ)由f(A)=2sin(2A−π6)=1，可得A=π6，由三角形的面积公式，余弦定理可求a的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n+1=S n+1(n∈N+).(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)记T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：32−12n≤T n<2．【答案】解：(Ⅰ)∵a n+1=S n+1①，∴当n≥2时，a n=S n−1+1②，∴①−②得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=S1+1=2，∴a2=2a1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n−1；证明：(Ⅱ)∵a n+1=2n，∴S n=2n−1，∵n≥2时，12n ≤1S n≤12n−1，∴T n=1S1+1S2+⋯+1S n≥1+14(1−12n−1)1−12=32−12n，同理：T n≤1+12(1−12n−1)1−12=2−12n<2，故：32−12n≤T n<2．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.在三棱锥P−ABC中，PA=AB=AC，H为P点在平面ABC的投影.∠PAB=∠PAC=120∘，AB⊥AC．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PHA；(Ⅱ)求AC与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：(Ⅰ)取M为BC的中点，连结PM，AM，∵PA=AB=AC，∠PAB=∠PAC=120∘，∴PM⊥BC，PB=PC，又∵H为P点在平面ABC的投影，∴HB=HC，而MB=MC，∴HM⊥BC，又AB=AC，∴AM⊥BC，∴H、A、M三点共线，从而HA⊥BC，结合条件PM⊥BC，∴BC⊥平面PHA．解：(Ⅱ)过A作AN⊥PM=N，连结CN，∵BC⊥平面PHM，∴BC⊥AN，AN⊥PM，∴AN⊥平面PBC，∴∠ACN就是直线AC与平面PBC所成角，设PA=AB=AC=2，由AB⊥AC，得BC=2√2，BM=CM=AM=√2，由∠PAB=120∘，知PB=√22+22−2×2×2×cos120∘=2√3，∴PC=PB=2√3，PM=√PC2−CM2=√(2√3)2−(√2)2=√10，∴cos∠PAM=PA2+AM2−PM22⋅PA⋅AM =−√22，∴sin∠PAM=√22，∴12×PA×AM×sin∠PAM=12×PM×AN，∴2×√2×√22=√10×AN，解得AN=√210，∴AC与平面PBC所成角的正弦值sin∠ACN=ANAC =2√102=√1010．【解析】(Ⅰ)取M为BC的中点，连结PM，AM，推导出PM⊥BC，PB=PC，HB=HC，HM⊥BC，AM⊥BC，从而H、A、M三点共线，进而HA⊥BC，结合条件PM⊥BC，能证明BC⊥平面PHA．(Ⅱ)过A作AN⊥PM=N，连结CN，推导出BC⊥AN，AN⊥PM，AN⊥平面PBC，从而∠ACN就是直线AC与平面PBC所成角，由此能求出AC与平面PBC所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)，过点P(1,0)分别作斜率为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，直线l 1交椭圆于A ，B 两点，直线l 2交椭圆于C ，D 两点，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ．(Ⅰ)若k =1，|AB|=8√25，求椭圆方程； (Ⅱ)若k 1k 2=−1，求△PMN 面积的最大值．【答案】解：(Ⅰ)由{x 2+a 2y 2−a 2=0y=x−1得(a 2+1)x 2x 2−2a 2x =0解得x 1=0，x 2=2a 2a 2+1所以|AB|=√2|x 1−x 2|=√22a 2a 2+1=8√25，解得a 2=4，故椭圆方程为：x 24+y 2=1(Ⅱ)由{x 2+a 2y 2−a 2=0y=k 1(x−1)得(a 2k 12+1)x 2−2a 2k 12x +a 2k 12−a 2=0 ∴x 1+x 2=2a 2k 12a 2k 12+1，∴中点M(a 2k 12a 2k 12+1,−k 1a 2k 12+1)，故|PM|=√1+1k 12||k 1|a 2k 12+1|，用−1k 1代k 1得|PN|=√1+k 12|1k 1a 2k 12+1|，所以S △PMN =12|PN|⋅|PM|=12√k 12+1k 12+21|a 2(k 12+1k 12)+a 4+1]，令√k 12+1k 12+2=t(t ≥2)，则S =12⋅t a 2t 2+(a 2−1)2=121a 2t+(a 2−1)2t ，所以a ≥1+√2时，S max =14a(a 2−1)；当1<a <1+√2时，S max =1(a 2+1)2．【解析】(Ⅰ)设直线方程联立方程，由弦长公式求出|AB|，与已知弦长相等，可解得a 2=4，从而可得椭圆方程；(Ⅱ)利用弦长公式求出|PM|，|PN|，然后用面积公式求出面积，再求出最大值．本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．22. 已知f(x)=a x +lnx ，g(x)=e −x ，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数．(I)若函数g(x)的切线l 经过(1,0)点，求l 的方程；(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2e )为递减函数，试判断φ(x)=f(x)−g(x)函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】解：(Ⅰ)设l 和g(x)的切点是(x 0,e −x 0)，g(x)在该点处的导数g′(x 0)=−e −x 0，它是切线l 的斜率，∵l 经过(1,0)，也过切点(x 0,e −x 0)，∴l 的斜率又可写为e −x 0x0−1，故e −x 0x 0−1=−e −x 0，故x 0−1=−1，解得：x 0=0，故直线l 的斜率为g′(x 0)=−e −x 0=−1，故l 的方程是：y =−x +1；(Ⅱ)判断：函数的零点个数是0，下面证明f(x)>g(x)恒成立，f′(x)=x−ax 2<0，故x <a ，若f(x)在(0,2e )递减，则a ≥2e ，因此，要证明f(x)=a x +lnx >g(x)=e −x 对x >0恒成立，只需证明2e⋅x +lnx >e −x 对x >0恒成立，考虑2e⋅x +lnx >e −x 等价于xlnx >xe −x −2e ，记u(x)=xlnx ，v(x)=x ⋅e −x −2e ，先看u(x)，u′(x)=lnx +1，令u′(x)>0，解得：x >1e ，令u′(x)<0，解得：0<x <1e ，故u(x)在(0,1e )递减，在(1e ,+∞)递增，u min (x)=u(1e )=−1e ，u min (x)=v max (x)，且两个函数的极值点不在同一个x 处，故u(x)>v(x)对x >0恒成立，综上，f(x)>g(x)对x >0恒成立，故函数φ(x)=f(x)−g(x)函数零点是0个．【解析】(Ⅰ)设出切点坐标，求出切线斜率，求出切线方程即可；(Ⅱ)问题等价于xlnx >xe −x −2e ，记u(x)=xlnx ，v(x)=x ⋅e −x −2e ，分别求出u(x)的最小值和v(x)的最大值，从而证明结论．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．。

浙江省金华十校2018-高三第一学期期末调研考试试题含解析

1.B【解题思路】本题主要考查霜冻的成因。

晴朗的夜晚，大气逆辐射较弱，近地面空气层的温度骤降到0°C以下，水汽直接凝结成冰晶形成霜，B选项正确。

2.D【解题思路】本题主要考查雪线。

迎风坡降水较多，雪线较低，A 选项错。

雪线的高低与地形有关，雪线的分布高度受到山势和坡向的影响，B选项错。

雪线不是指山脉中有无积雪的分界线，C选项错误。

雪线是指常年积雪的下界，即年降雪量与年消融量相等的平衡线，D 选项正确。

3.D【解题思路】本题主要考查区域资源能源的开发利用。

煤炭直接销售，利润较低。

高能耗消耗能源较多，且会污染环境。

发展煤气化产业，延长了产业链，建坑口电站输出电力，减少了煤炭运输压力，同时改善了消费地区的环境质量，D选项正确。

4.D【解题思路】本题主要考查地域联系。

由图可知，我国从美国等地进口废弃塑料瓶，加工成塑料颗粒，制成打火机壳及打火机，然后销售到欧洲，整个过程包含了生产协作联系、商贸联系和信息联系，但没有包含产业集聚联系，D选项正确。

5.A【解题思路】本题主要考查工业生产。

我国进口洋垃圾，有一部分进口原料的固体废物可以弥补国内资源短缺，并且洋垃圾价格相对较低，降低了制造业原料成本，A选项正确。

由于制造业原料成本降低，制造业利润提高，B选项错。

进口洋垃圾造成一定程度的环境污染，不利于中国的可持续发展，C选项错。

进口洋垃圾与发达国家制造业产业升级无关，D选项错误。

6.A【解题思路】本题主要考查陆地自然带的分异规律。

西成高铁沿线自然景观依次为温带落叶阔叶林带和亚热带常绿阔叶林带，其递变体现了纬度地带性规律，A选项正确。

7.C【解题思路】本题主要考查山地自然带的分布。

由图可知，A附近为秦岭，地跨温带和热带，A选项错。

A附近纬度相对较低，B选项错。

由于山地垂直高差大，野生中草药各类丰富，C选项正确。

中草药丰富与病虫害少无关，D选项错误。

8.C【解题思路】本题主要考查区域自然地理特征差异比较。

由图可知，成都纬度较西安低，且成都位于四川盆地，冬季北部秦巴山地阻挡冷空气南下，气温相对较高，年均温较高，A选项错。

2018-2019学年浙江省金华市十校高三(上)期末数学试卷(解析版)

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A．（﹣∞，﹣3]
B．[﹣3，+∞）
C．（﹣∞，3]
D．[3，+∞）
9．（4 分）已知向量，满足：| |＝2，＜，＞＝60°，且＝﹣ +t （t∈R），则| |+|
﹣ |的最小值为（）
A．
B．4
C．2
D．
10．（4 分）如图，在底面为正三角形的棱台 ABC﹣A1B1C1 中，记锐二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 α，锐二面角 B1﹣BC﹣A 的大小为 β，锐二面角 C1﹣AC﹣B 的大小为 γ，若 α＞β ＞γ，则（）
A．[1，2]
B．（1，2）
C．（1，2]
D．[1，2）
2．（4 分）已知条件 p：x＞1，条件
，则 p 是 q 的（）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
3．（4 分）若实数 x，y 满足约束条件
，则 z＝3x+y 的最小值是（）
A．6
B．5
C．4
D．
4．（4 分）已知双曲线 ﹣ ＝1 的一个焦点在圆 x2+y2﹣4x﹣5＝0 上，则双曲线的渐近
（Ⅰ）求 f（）的值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC，f（A）＝1，S△ABC＝，b+c＝2 ，求边长 a．
19．（15 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝1，an+1＝Sn+1（n∈N+）．（Ⅰ）求通项公式 an；（Ⅱ）记 Tn＝ + +…+ ，求证： ﹣ ≤Tn＜2．
20．（15 分）在三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝AB＝AC，H 为 P 点在平面 ABC 的投影．∠PAB＝ ∠PAC＝120°，AB⊥AC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面 PHA；（Ⅱ）求 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值．

2023-2024学年浙江省金华市十校高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x ||x ﹣1|≤1}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝（） A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ≤0} C ．∅ D ．{x |x ≥0）2．2i 1+i=（） A ．1+i B ．﹣1+i C ．﹣1﹣i D ．1﹣i3．已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.33，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a4．若(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 1+a 3+a 5＝（） A ．﹣1B ．2C ．1D ．05．某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），则80分以上的人数大约是（）参考数据：若X ﹣N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827 A ．3173B ．6346C ．6827D ．136546．在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若tan2α＝3tan （α﹣β），则tan （α+β）的最大值为（）A ．√3B ．1C ．2−√3D ．√338．已知公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，则（）A ．S 2023＝2023，d ＜1B ．S 2023＝2023，d ＞1C ．S 2023＝﹣2023，d ≤1D ．S 2023＝﹣2023，d ≥1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设平面向量a →=（t ，2﹣2t ）（t ∈R ），b →=（2，﹣4）（）A ．若a →⊥b →，则t =45B ．若t ＝1，则a →⊥（b →−2a →）C ．∀t ∈R ，|a →|≥25√5D ．∃t ∈R ，使a →∥b →10．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图像经过点（0，1）与(π3，0)，则（）A ．f(−2π3)是f （x ）的最大值 B ．f(10π3)是f （x ）的最小值 C ．f(7π3)=0D ．f （x ）在(0，π6)单调递增11．已知函数g （x ）＝f （e x ），h （x ）＝e f（x ），（）A ．若f （x ）＝0，则g （x ）＝h （x ）＝0B ．若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝h （x ）C ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝x α，则α＝1D ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则a ＝e12．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在C 上（A 在第一象限），点Q 在l 上，FQ →⋅FA →=0，QB →=λBF →(λ＞0)，（） A ．若λ＝2，则|BF|=23B ．若∠AQF =π3，则|AF |＝2C ．则△AFB 的面积最小值为14D ．则△AQB 的面积大于3−2√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为． 14．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为．15．某地区上年度电价为0.8元（kW •h ），年用电量为akWh ，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/（kWh ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为μ）．该地区的电力成本价为0.3元（kW •h ）．已知μ＝0.2a ，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为元/（kWh ）．16．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，E ，F 分别是棱AA 1，BB 1上一点，且AE ＝B 1F ＝1，若三棱锥E ﹣ABC 的外接球与三棱锥F ﹣A 1B 1C 1的外接球外切，则AA 1的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）浙江省普通高中学业水平考试分ABCDE 五个等级，剔除E 等级，ABCD 等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，现从当年全省数学学考ABCD 四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（Ⅰ）分别求样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数；（Ⅱ）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件M 为抽取的4份试卷中没有D 等级的试卷，事件N 为抽取的4份试卷中有B 等级的试卷，求P （N |M ）．18．（12分）记△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A=√3，b ＝3c ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求sin A ：sin B ：sin C ．19．（12分）如图在等腰梯形ABCD ′中，AB ∥CD ′，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，E ，F ，G 分别为D ′C ，AE ，BC 的中点，现将△D ′AE 绕AE 翻折至△DAE 的位置，H 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：DF ∥平面EGH ；（Ⅱ）当平面DAE 垂直于平面ABC 时，求平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1＝3，d ≠0，且a 1，a 7，a 25构成等比数列，（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设f （n ）＝a n ，若存在数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝7，b 3＝25，且数列{f （b n ）} 为等比数列，求{a n b n }的前n 项和 S n21．（12分）已知函数f （x ）＝2lnx +ax 2﹣x （a ＞0）在定义域上不是单调函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （x ）在定义域上的极大值为M ，极小值为N ，求M +N 的取值范围．22．（12分）已知点P 是圆S ：x 2+y 2＝1的动点，过P 作PH ⊥y 轴，H 为垂足，且HQ →=tHP →，HR →=1tHP →(t ＞1)，记动点Q ，R 的轨迹分别为S 1，S 2．（Ⅰ）证明：S 1，S 2有相同的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y =kx −√22与曲线S 1交于 A ，B ，与曲线S 2交于 C ，D ，与圆S 交于MN ，当k ＞√34时，试比较|AB |2+|CD |2与2|MN |2的大小．2023-2024学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x ||x ﹣1|≤1}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝（） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≤0}C ．∅D ．{x |x ≥0）解：集合M ＝{x |x ﹣1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |＞2}，则M ∪N ＝{x |x ≥0}．故选：D ． 2．2i 1+i=（） A ．1+i B ．﹣1+iC ．﹣1﹣iD ．1﹣i解：2i 1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ．故选：A ．3．已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.33，则（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.33＜1；∴a ＜c ＜b ．故选：B ．4．若(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 1+a 3+a 5＝（） A ．﹣1B ．2C ．1D ．0解：(1+x)(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，令x ＝1，2×（2﹣1）5＝a 0+a 1+•+a 6，① 令x ＝﹣1，0＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6，② ①−②2可得，a 1+a 3+a 5=2−02=1．故选：C ．5．某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），则80分以上的人数大约是（）参考数据：若X ﹣N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827 A ．3173B ．6346C ．6827D ．13654解：根据题意，20000名考生成绩服从正态分布N （72，82），即μ＝72，σ＝8，则有P （X ≥80）=12[1﹣P （64≤X ≤80）]≈0.15865，故80分以上的人数大约是20000×0.15865≈3173．故选：A ．6．在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：0＜cos A cos B ＜sin A sin B ，则cos A ＞0，cos B ＞0， ∵A ∈（0，π），B ∈（0，π），∴角A ，角B 均为锐角，cos A cos B ＜sin A sin B ，则cos A cos B ﹣sin A sin B ＝cos （A +B ）＝﹣cos C ＜0，即cos C ＞0， C ∈（0，π），则角C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形，充分性成立，△ABC 为锐角三角形，则A ∈（0，π2），B ∈（0，π2），C ∈（0，π2），故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B ＞0，故0＜cos A cos B ＜sin A sin B ，必要性成立，综上所述，在△ABC 中，“0＜cos A cos B ＜sin A sin B ”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件．故选：C ．7．若tan2α＝3tan （α﹣β），则tan （α+β）的最大值为（） A ．√3B ．1C ．2−√3D ．√33解：已知tan2α＝3tan （α﹣β），则tan （α+β）＝tan[2α﹣（α﹣β）]=tan2α−tan(α−β)1+tan2αtan(α−β)=2tan(α−β)1+3tan 2(α−β)，要使得tan （α+β）取最大值，则tan （α﹣β）＞0，则tan （α+β）=21tan(α−β)+3tan(α−β)≤22√1tan(α−β)×3tan(α−β)=√33，当且仅当1tan(α−β)=3tan(α−β)时取等号，即tan （α+β）的最大值为√33．故选：D ．8．已知公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，则（）A ．S 2023＝2023，d ＜1B ．S 2023＝2023，d ＞1C ．S 2023＝﹣2023，d ≤1D ．S 2023＝﹣2023，d ≥1解：由公差为d 的等差数列{a n }，S n 为其前n 项和，若{a 1011+sina 1011=1a 1013+sin(a 1013−2)=1，可得a 1011+sin a 1011＝﹣[a 1013﹣2+sin （a 1013﹣2）]＝1．设f （x ）＝x +sin x ，则f ′（x ）＝1+cos x ≥0，即有f （x ）在R 上递增，且f （﹣x ）＝﹣x +sin （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ），即有f （x ）为R 上的奇函数，所以f （a 1011）＝﹣f （a 1013﹣2）＝f （2﹣a 1013），则a 1011＝2﹣a 1013，即a 1011+a 1013＝2，可得S 2023=12（a 1+a 2023）×2023=12（a 1011+a 1013）×2023＝2023，由x ＞0，f （x ）＞0；x ＜0，f （x ）＜0，可得1＞a 1011＞0，a 1013﹣2＜0，可得a 1013﹣a 1011﹣2＜0，即2d ﹣2＜0，即d ＜1．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设平面向量a →=（t ，2﹣2t ）（t ∈R ），b →=（2，﹣4）（） A ．若a →⊥b →，则t =45B ．若t ＝1，则a →⊥（b →−2a →）C ．∀t ∈R ，|a →|≥25√5D ．∃t ∈R ，使a →∥b →解：对于A ，a →⊥b →时，a →•b →=2t ﹣4（2﹣2t ）＝0，解得t =45，选项A 正确；对于B ，t ＝1时，a →=（1，0），b →−2a →=（0，﹣4），所以a →•（b →−2a →）＝0，所以a →⊥（b →−2a →），选项B 正确；对于C ，|a →|=√t 2+(2−2t)2=√5t 2−8t +4=√5(t −45)2+45≥2√55，选项B 正确；对于D ，若a →∥b →，则﹣4t ﹣2（2﹣2t ）＝0，化简得﹣4＝0，等式不成立，即a →||b →不成立，选项D 错误．故选：ABC ．10．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图像经过点（0，1）与(π3，0)，则（）A ．f(−2π3)是f （x ）的最大值 B ．f(10π3)是f （x ）的最小值 C ．f(7π3)=0D ．f （x ）在(0，π6)单调递增解：由题意得，{f(0)=2sinφ=1f(π3)=2sin(ωπ3+φ)=0，因为|φ|＜π2，ω＞0，结合五点作图法可知，πω3+φ=π，解得，φ=π6，ω=52，所以f （x ）＝2sin （52x +π6），当x =−2π3时，52x +π6=−3π2，此时函数取得最大值，A 正确；当x =10π3时，2sin （52x +π6）＝2sin 51π6=2，不是函数的最小值，B 错误； f （7π3）＝2sin （52×7π3+π6）＝0，C 正确；由0＜x ＜π6可得，π6＜52x +π6＜7π12，此时函数不单调，D 错误．故选：AC ．11．已知函数g （x ）＝f （e x ），h （x ）＝e f（x ），（）A ．若f （x ）＝0，则g （x ）＝h （x ）＝0B ．若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝h （x ）C ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝x α，则α＝1D ．对于g （x ）＝h （x ），若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则a ＝e 解：对A ：若f （x ）＝0，则g （x ）＝f （e x ）＝0，h （x ）＝e f（x ）＝e 0＝1，故A 错误；对B ：若f （x ）＝|x |，则g （x ）＝f （e x ）＝|e x |＝e x ，h （x ）＝e f（x ）＝e x |，g （x ）≠h （x ），故B 错误；对C ：若f （x ）＝x α，则g(x)=f(e x )=(e x )α=e αx ，ℎ(x)=e f(x)=e x μ，又g （x ）＝h （x ），故e ax =e r aα，故αx ＝x αx ，即ln α+lnx ＝αlnx ，即（α﹣1）lnx ＝ln α恒成立，故α＝1，故C 正确；对D ：若f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1），则g(x)=f(e x )=log a e x =xlog a e ，ℎ(x)=e f(x)=e log a x ，又g （x ）＝h （x ），故xlog a e =e log a x恒成立，即xlog a e =(1lna )x =e log a x =e lnx ln a =(e lnx)1lna =x 1lna，故lnx +ln(1lna )=1lna ⋅lnx ，即(1lna −1)⋅lnx =ln(1lna )恒成立，故1lna=1，即a ＝e ，故D 正确．故选：CD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B 在C 上（A 在第一象限），点Q 在l 上，FQ →⋅FA →=0，QB →=λBF →(λ＞0)，（） A ．若λ＝2，则|BF|=23B ．若∠AQF =π3，则|AF |＝2C ．则△AFB 的面积最小值为14D ．则△AQB 的面积大于3−2√2解：对于A ，如图1，设点B 在准线l 上的投影为D ，准线l 与x 轴交于点E ，又|QB |＝2|BF |，|BD |＝|BF |，则|QB||QF|=|BD||EF|=|BF|1=23，所以|BF|=23，故A 正确；对于B ，设点A 在准线l 上的投影为点M ，易证△AQF ≅△AQM ，又∠AQF =π3，∴∠FAQ =∠MAQ =π6，即∠MAF =π3，又|AM |＝|AF |，则△AMF 为等边三角形，所以∠MFE =π3，且|EF |＝1，∴|MF |＝|AF |＝2，故B 正确；对于C ，分两种情况：当点A ，B 都在第一象限，如图1所示，设∠AFx =α，α∈(0，π2]，由焦半径公式可得|AF|=11−cosα，|BF|=11−cos(π2+α)=11+sinα， ∴S △ABF =12(1−cosα)(1+sinα)，令f （α）＝（1+sin α）（1﹣cos α）＝1+sin α﹣cos α﹣sin αcos α，设t =sinα−cosα=√2sin(α−π4)∈(−1，1]，且t 2＝1﹣sin2α，∴S △ABF =12(1+t−1−t 22)=1(t+1)2≥14，当且仅当α=π2时取得最小值．当点B 在第四象限时，如图2所示，设∠AFO =β，β∈(0，π2)，则|AF|=11+cosβ，|BF|=11+sinβ，所以S △ABF =12(1+cosβ)(1+sinβ)，同理令t =sinβ+cosβ=√2sin(β+π4)∈(1，√2]，且t 2＝1+sin2β，∴2(1+cosβ)(1+sinβ)=(t +1)2≤3+2√2，所以S △ABF ≥3+22=3−2√2＜14，当且仅当β=π4时取得最小值，综上，△AFB 面积的最小值为3−2√2，故C 错误；对于D ，当点A ，B 都在第一象限，如图1所示，|QF|=1sinα，|BF|=11+sinα，则|QB|=1sinα(1+sinα)，所以|QB||BF|=1sinα≥1，即|QB |≥|BF |，∴S AQB ≥S △AFB ≥14，当点B 在第四象限时，如图2所示，同理可得|QB||BF|=1sinβ＞1，即|QB |＞|BF |，∴S △AQB ＞S △AFB ≥3−2√2，综上，△AQB 的面积大于3−2√2，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 y ＝±2x ．解：双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是：y ＝±2x ．故答案为：y ＝±2x ．14．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为π3．解：根据题意，该圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为1的扇形，则其侧面展开图的面积S =12×（2π3）×12=π3．故该圆锥的侧面积为π3．故答案为：π3．15．某地区上年度电价为0.8元（kW •h ），年用电量为akWh ，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/（kWh ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为μ）．该地区的电力成本价为0.3元（kW •h ）．已知μ＝0.2a ，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为 0.6 元/（kWh ）．解：设下调后的电价为x 元/（kW ⋅h ），依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a ），则新增用电量为0.2ax−0.4，即用电量增至0.2a x−0.4+a ，所以今年收益y =(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)，（0.55≤qx ≤0.75），要保证收益增长率不低于20%，则y ≥[a ×（0.8﹣0.3）]（1+20%），即(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)≥[a ×（0.8﹣0.3）]（1+20%），整理得：x 2﹣1.1x +0.3≥0，解得：x ≥0.6或x ≤0.5，又0.55≤qx ≤0.75，所以0.60≤qx ≤0.75，即x min ＝0.6．故答案为：0.6．16．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，E ，F 分别是棱AA 1，BB 1上一点，且AE ＝B1F＝1，若三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球外切，则AA1的长为4．解：如图所示，取BC，B1C1中点D，D1，连接DD1，由题意可得DD1⊥平面ABC且DD1⊥平面A1B1C1，AD=12BC=12√22+22=√2，B1D1=12√22+22=√2，在线段DD1上取DO=D1O1=12AE=12B1F=12，由∠BAC＝90°，故∠B1A1C1＝90°，故点D、D1分别是△ABC与△A1B1C1外接圆圆心，又DO=D1O1=12AE=12B1F=12，AE⊥平面ABC、B1F⊥平面A1B1C1，故点O到三棱锥E﹣ABC四个顶点距离相等，点O1到三棱锥F﹣A1B1C1四个顶点距离相等，即点O、O1分别为三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球球心，则三棱锥E﹣ABC的外接球半径为r=√AD2+OD2=√(√2)2+(12)2=32，三棱锥F﹣A1B1C1的外接球半径为r1=√B1D12+O1D12=√(√2)2+(12)2=32，由三棱锥E﹣ABC的外接球与三棱锥F﹣A1B1C1的外接球外切，故AA1=12+12+32+32=4．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）浙江省普通高中学业水平考试分ABCDE五个等级，剔除E等级，ABCD等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，现从当年全省数学学考ABCD四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（Ⅰ）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；（Ⅱ）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件M为抽取的4份试卷中没有D 等级的试卷，事件N 为抽取的4份试卷中有B 等级的试卷，求P （N |M ）．解：（Ⅰ）因为ABCD 等级的比例分别是5%，15%，40%，40%，所以20×5%＝1，20×15%＝3，20×40%＝8，20×40%＝8，即样本中A ，B ，C ，D 各等级的试卷份数分别是1，3，8，8；（Ⅱ）由题意可得，P(M)=C 124C 204，P(MN)=C 124−C 94C 204，所以P(N|M)=P(MN)P(M)=C 124−C 94C124=4155． 18．（12分）记△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A=√3，b ＝3c ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求sin A ：sin B ：sin C ．解：（Ⅰ）：1+sin2A−cos2A 1+sin2A+cos2A =2sinAcosA+2sin 2A 2sinAcosA+2cos 2A=tanA ，所以tanA =√3，而A ∈（0，π），则A =π3；（Ⅱ）因为b ＝3c ，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝7c 2，所以a =√7c ，所以a ：b ：c =√7：3：1，由正弦定理可得：sinA ：sinB ：sinC =√7：3：1．19．（12分）如图在等腰梯形ABCD ′中，AB ∥CD ′，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，E ，F ，G 分别为D ′C ，AE ，BC 的中点，现将△D ′AE 绕AE 翻折至△DAE 的位置，H 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：DF ∥平面EGH ；（Ⅱ）当平面DAE 垂直于平面ABC 时，求平面DAE 与平面HGE 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝120°，所以∠BAD '＝120°，∠ADE ＝∠BCD '＝60°，又E 为D ′C 的中点，所以△AED ′，△BEC 及△AEB 均为正三角形，而AB ＝BC ＝2，所以CD ＝4．因为F 为AE 的中点，所以B ，F ，D 三点共线，BD ⊥AE ．又G 为BC 的中点，所以BF ∥EG ．又BF ⊄平面EGH ，EG ⊂平面EGH ，所以BF ∥平面EGH ，连接BD ，BF ，因为G ，H 分别为BC ，CD 的中点，所以GH ∥BD ， BD ⊄平面EGH ，GH ⊂平面EGH ，所以BD ∥平面EGH ，又BD ∩BF ＝B ，所以平面FBD ∥平面HGE ，又DF ⊂平面FBD ，所以DF ∥平面HGE ．（Ⅱ）因为平面DAE ⊥平面ABC ，AE 为交线，DF ⊥AE ，所以DF ⊥平面ABC ．以F 为坐标原点，FB ，F A ，FD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，D(0，0，√3)，E （﹣1，0，0），H （﹣1，√32，√32），所以EH →=(0，√32，√32)，EG →=(0，√3，0)，设平面HGE 的法向量为m →=（x ，y ，2），则有{m →⋅EH →=√32y +√32z =0m →⋅EG →=√3y =0，令x ＝1，所以m →=（1，0，﹣1），易知平面DAE 的法向量为n →=（0，1，0），设平面DAE 与平面HGE 的夹角为θ，则有cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2×1=0．20．（12分）已知数列{a n }是等差数列，a 1＝3，d ≠0，且a 1，a 7，a 25构成等比数列，（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设f （n ）＝a n ，若存在数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝7，b 3＝25，且数列{f （b n ）} 为等比数列，求{a n b n }的前n 项和 S n解：（Ⅰ）∵{a n } 是等差数列，a 1＝3，d ≠0， ∴a 7＝a 1+6d ，a 25＝a 1+24d ． ∵a 1，a 7，a 25构成等比数列， ∴(a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)，化简可得 a 1＝3d ＝3，∴d ＝1， ∴a n ＝n +2．（Ⅱ）∵f （b 1）＝f （1）＝a 1＝3，f （b 2）＝f （7）＝a 7＝9，f （b 3）＝f （25）＝a 25＝27，又数列 {f （b n ）} 为等比数列，f(b n )=3n ，而 f(b n )=a b n =b n +2， ∴3n ＝b n +2， ∴b n =3n −2，∴a n b n =(n +2)3n −2(n +2)，设数列 {（n +2）3n } 的前n 项和为T n ，则T n ＝3×3+4×32+5×33+…+（n +2）3n ， 3T n ＝3×32+4×33+…+（n +1）3n +（n +2）3n +1，相减可得：﹣2T n ＝3×3+（32+33+ (3)）﹣（n +2）3n +1＝6+3(3n−1)3−1−（n +2）3n +1，化为T n =(2n+3)×3n+1−94，又∵等差数列（2（n +2））的前n 项和为 n 2+5n ，综上可得 S n =(2n+3)×3n+1−94−(n 2+5n)．21．（12分）已知函数f （x ）＝2lnx +ax 2﹣x （a ＞0）在定义域上不是单调函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （x ）在定义域上的极大值为M ，极小值为N ，求M +N 的取值范围．解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， ∴f ′(x)=2x +2ax −1=2ax 2−x+2x，由f '（x ）＝0得：2ax 2﹣x +2＝0，设u （x ）＝2ax 2﹣x +2，∵函数f （x ）不是单调函数，∴u （x ）＝0在（0，+∞）有两正实根，又a ＞0，设u （x ）＝0的两根为x 1，x 2，则由{x 1+x 2=12a ＞0x 1x 2=1a ＞0Δ=1−16a ＞0可得：u （x ）＝0有两个正实根，∴a ∈(0，116)．（Ⅱ）M +N =f(x 1)+f(x 2)=2ln(x 1x 2)+a(x 1+x 2)2−2ax 1x 2−(x 1+x 2)=2ln 1a −14a −2，令t =1a (t ＞16)，所以M +N =g(t)=2lnt −14t −2，因为g ′(t)=2t −14＜−18＜0，所以g （t ）在（16，+∞）上单调递减，所以g （t ）＜g （16）＝8ln 2﹣6，故M +N ∈（﹣∞，8ln 2﹣6）．22．（12分）已知点P 是圆S ：x 2+y 2＝1的动点，过P 作PH ⊥y 轴，H 为垂足，且HQ →=tHP →，HR →=1tHP →(t ＞1)，记动点Q ，R 的轨迹分别为S 1，S 2．（Ⅰ）证明：S 1，S 2有相同的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y =kx −√22与曲线S 1交于 A ，B ，与曲线S 2交于 C ，D ，与圆S 交于MN ，当k ＞√34时，试比较|AB |2+|CD |2与2|MN |2的大小．解：（Ⅰ）证明：设P （a ，b ），Q （x ，y ），由HQ →=tHP →，得a =xt，b ＝y ，因为a 2+b 2＝1，所以(x t )2+y 2=1，即S 1的轨迹方程为x 2t2+y 2=1；同理可得S 2的轨迹方程为t 2x 2+y 2＝1，所以S 1的离心率e 1=√t 2−1t=√1−1t 2，S 2的离心率e 2=1√1−1t2=√1−1t 2，所以e 1＝e 2，所以S 1，S 2有相同的离心率；（Ⅱ）联立{x 2t 2+y 2=1y =kx −√22，消去y 得(1+t 2k 2)x 2−√2kt 2x −12t 2=0，则Δ=4t 2(t 2k 2+12)＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=√2kt 21+t 2k2，x 1x 2=−12t21+t 2k2，则|AB |2＝（1+k 2）|x 1﹣x 2|2＝（1+k 2）[(x 1+x 2)2−4x 1x 2 ]＝（1+k 2）[(√2kt 21+t 2k 2)2+2t 21+t 2k2]=4t 2(k 2+1)(k 2t 2+12)(k 2t 2+1)2，同理可得|CD|2=4(k 2+1)(k 2+12t 2)(k 2+t 2)2，当t ＝1时，|AB ＝|CD |＝|MN |，所以|AB|2+|CD|2=4t 2(k 2+1)(k 2t 2+12)(k 2t 2+1)2+4(k 2+1)(k 2+12t 2)(k 2+t 2)2 =2(k 2+1)(t 2(2k 2t 2+1)(k 2t 2+1)2+2k 2+t 2(k 2+t 2)2)，令k 2＝a ，t 2＝x ，f （x ）=2ax 2+x (ax+1)2+x+2a(x+a)2，x ≥1，则f ′(x)=3ax+1(ax+1)3−x+3a (x+a)3=(3ax+1)(x+a)3−(x+3a)(ax+1)3(ax+1)3⋅(x+a)3=(x2−1)⋅(3a−a3)(x2+1)+(6a2−3a4+1)x(ax+1)3⋅(x+a)3，因为x≥1且k＞√34，所以a2＝k4＞3，3a﹣a3＜0，6a2﹣3a4+1＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，f（x）＜f（1），所以|AB|2+|CD|2＜2|MN|2．。

浙江省金华市南马中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析

浙江省金华市南马中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或偶函数”是“是偶函数”的………………………………………………………………（）充分非必要条件. 必要非充分条件.充要条件. 既非充分又非必要条件参考答案：A略2. 已知向量为单位向量，且它们的夹角为，则A. B. C. D.参考答案：A3. 执行如图所示的程序框图，若输出s的值为16，那么输入的n值等于（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1，s=1时，不满足输出条件，执行循环体后，s=1，i=2；当i=2，s=1时，不满足输出条件，执行循环体后，s=2，i=3；当i=3，s=2时，不满足输出条件，执行循环体后，s=4，i=4；当i=4，s=4时，不满足输出条件，执行循环体后，s=7，i=5；当i=5，s=7时，不满足输出条件，执行循环体后，s=11，i=6；当i=1，s=11时，不满足输出条件，执行循环体后，s=17，i=7；当i=7，s=16时，满足输出条件，故i＜7时，满足进行循环的条件，故输入的n值为7，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）A. 海里 B.海里 C. .海里 D. 海里参考答案：A略5. 若函数的图象如下图，其中为常数，则函数的大致图象是（）参考答案：D6. 已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A.，B. ，C. ，D. ，参考答案：B略7. 若点是的外心，且，，则实数的值为A． B． C． D．参考答案：C取AB中点D，则,则P,D,C三点共线，用几何性质得D为PC中点故选C8. 已知集合，，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：9. 已知是实数，则“或”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知直角△ABC的斜边AB长为4，设P是以C为圆心的单位圆的任意一点，则的取值范围为．参考答案：[﹣3，5]．12. 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是参考答案：413. 图中阴影部分的面积等于．参考答案：1略14. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围.参考答案：15. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是 .参考答案：4试题分析：考点：三棱锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 已知命题“若为任意的正数，则”．能够说明是假命题的一组正数的值依次为．参考答案：1,2,3 （只要填出，的一组正数即可）17. 已知圆与圆交于两点，则所在直线的方程为参考答案：2x+y=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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2018学年金华十校高三上期末
一、选择题：本大题共10小题，共40分
1. 如果全集U =R ，{}22,A y y x x ==+∈R ，{}
2,0x B y y x ==>，则()U C A B =I （） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．(]1,2
D ．[)1,2
2. 已知条件p ：1x >，条件q ：1
1x
<，则p 是q 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3. 若实数,x y 满足约束条件20
3600x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
，则3z x y =+的最小值为（）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．
92
4. 已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在圆22+450x y x --=上，则双曲线的渐近线方程为（）
A ．34y x =±
B ．4
3
y x =± C
．y = D
．y x =
5. 已知,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，3sin 5x =-，则tan 2x =（）
A ．724
B ．724-
C ．247
D ．247-
6. 把函数()2cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移m （0m >）个单位，得到函数()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图
象，则m 的最小值是（）
A ．724π
B ．1724π
C ．524π
D ．1924π
7. 已知()()()()()4
8
2
8
012812111x x a a x a x a x L ++-=+-+-++-，则3a =（）
A ．64
B ．48
C ．48-
D ．64-
8. 若关于x 的不等式32320x x ax a --++≤在上恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A ．(],3-∞-
B ．[)3,-+∞
C ．(],3-∞
D ．[)3,+∞
9. 已知向量,a b r r 满足：2a =r ，,60a b =︒r r ，且()12
c a tb t R =-+∈r r r
，则c c a +-r r r 的最小值为（）
A
B ．4 C
．D
10. 如图，在底面为正三角形的棱台111ABC A B C -中，记锐二面角1A AB C --的大小为α，锐二面角
1B BC A --的大小为β，锐二面角1C AC B --的大小为γ，若αβγ>>，则（） A ．111AA BB CC >>
B ．111AA C
C BB >>
C ．111CC BB AA >>
D ．111CC AA BB >>
C 1
B 1
A 1
C
B
A
二、填空题：本大题共7小题，共36分
11. 已知复数z 的共轭复数1i
2i
z +=-r ，则复数z 的虚部是，z = ．
12. 一个口袋里装有大小相同的5各小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同，现从中任意取出3个
小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X = ．
13. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220170,0a a a >+=，则2018S = ；当n S 取得最大值
时，n = ．
14. 一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图（如图）所示，则这个棱柱的体
积为，此棱柱的外接球的表面积为．
15. 某高中高三某班上午安排五门学科（语文、数学、英语、化学、生物）上课，一门学科一节课，要
求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是． 16.
已知()2221,x y x y R +=∈，则22x y +的最小值为．
17. 已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点
都在x 轴的上方. 若FA FB ⊥，1
tan 3
FAB ∠=，则直线FA 的斜率为．
三、解答题：本大题共5小题，共74分
18. （14分）已知函数(
)2cos 2cos 1f x x x x =-+．
（1）求712f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）已知锐角ABC △，()1f A =，1
2ABC S △=
，b c +=a ．
俯视图
侧视图
正视图
19. （15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,1n n a a S +==+．
（1）求通项公式n a ；
（2）记12111n n T S S S =+++L ，求证：31
222n n T -≤<．
20. （2018学年金华十校高三上期末20）在三棱锥-P ABC 中，==PA AB AC ，H 为P 点在平面ABC 的
投影，120∠=∠=︒PAB PAC ，⊥AB AC ．（1）证明：⊥BC 平面PHA ；
（2）求AC 与平面PBC 所成角的正弦值．
H
C
B
A
P
21. （2018学年金华十校高三上期末21）已知椭圆()2
22:11x C y a a
+=>，过点()1,0P 分别作斜率为1k ,2k
的两条直线1l ,2l ，直线1l 交椭圆于A ,B 两点，直线2l 交椭圆于C ,D 两点，线段AB 的中点为M ，线段
CD 的中点为N ．（1）若11k =
，AB =
（2）若121k k =-，求PMN △面积的最大值．
22. （2018学年金华十校高三上期末22）已知()ln a
f x x x
=
+，()x g x e -=．其中a R ∈， 2.718e =L 为自然对数的底数．
（1）若函数()g x 的切线l 经过（1，0），求l 的方程；
（2）若函数()f x 在20,e ⎛⎫
⎪⎝⎭为递减函数，试判断()()()x f x g x ϕ=-函数零点的个数，并证明你的结
论．。