苏教版高二数学上学期期中试卷
2020-2021学年苏教版高二数学(理)上学期期中考试模拟试题及答案解析
（新课标）最新苏教版高中数学高二年级上学期期中考试试卷（理科）考试范围：选修2-1；选修2-2，选修2-3排列组合 考试时间：120分钟；一、填空题（共10题每题5分，满分50分） 1、“2x <”是“2320x x -+<”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为232012x x x -+<⇔<<,因为122x x <<⇒<且2x <⇒12x <<,所以“2x <”是“2320x x -+<”成立的必要不充分条件,故选B.2、有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C【解析】 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)． 3、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（） A.23,p p B.12,p p C.,p p 24 D.,p p 34【答案】C 【解析】i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212， 所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.4、5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是( ) A ．－20 B ．－5C ．5 D ．20【答案】A【解析】 由题意可得通项公式rr rr y x C T )2()21(551-=-+，令r ＝3，则C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－2)3＝－20.5、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 由类比推理可知，选项C 正确．6、在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【答案】D【解析】作出各点，求出对应面积即可.7、点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） 31 31+ 51+ 51【答案】A.【解析】由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=o， 又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=o ，2160PF F ∠=o ，∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==. 8、若点P 是函数23()ln 2f x x x =-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最小距离为 （ ）5C.32D.10【答案】D【解析】法一：设P（x，23ln2x x-），点P到直线220x y--=的距离d=23|2ln2|x x x-+-=23|2ln2|x x x-+-+，设()g x=232ln22x x x-+-+，()g x'=123xx-+-=(31)(1)x xx+-，当0＜x＜1时，()g x'＜0，当x＞1时，()g x'＞0，∴()g x在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以min[()]g x=(1)g=32，∴mind，故选D.法二：函数上与直线距离最短的点即为与直线平行的切线与函数图像相切的切点，设切点为),(yx，则2)(='xf，得1=x，从而切点为)23,1(，又点到直线的距离公式得结论为D.9、在各项均不为0的数列{na}中，若1a=1，2a=13，21212n n n n n na a a a a a++++=+）（*∈Nn,则2015a=（）A.14027B.14028C.14029D.14031【答案】C【解析】∵数列{na}的各项均不为0，故将21212n n n n n na a a a a a++++=+两边同除以12n n na a a++得，12211n n na a a++=+，∴数列{1na}是首项为1，公差为2的等差数列，∴20151a=4029，∴2015a=14029，故选C.10、已知'()f x是定义在R上的函数()f x的导函数，且)5()(xfxf-=,5()'()02x f x-<若1212,5x x x x<+<，则下列结论中正确的是( )A．12()()f x f x<B．12()()0f x f x+>C ．12()()0f x f x +<D ．12()()f x f x > 【答案】D【解析】由题意知函数)(x f 图像关于25=x 对称，且在),25(+∞为增函数，在)25,(-∞为减函数，又1212,5x x x x <+<，则251<x ，25221<+x x ，结合图像可知答案D二、填空题（共5题每题5分，满分25）11、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是．【答案】2214y x -= 【解析】由渐近线2y x =±，知双曲线方程可设为：λ=-422y x ，将点代人得1=λ12、若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2. 13、()2-2|sin |x x dx ππ+=⎰=________.【答案】2【解析】由题可得,()222222sin sin x x dx xdx x dxππππππ---+=+⎰⎰⎰2002sin xdx π=+⎰()2cos cos 022π⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦,故填2.14、已知z ∈C ，且|z ﹣2﹣2i|=1，i 为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是.【答案】3【解析】设yi x z +=（R y x ∈,)，满足|z ﹣2﹣2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3.15、已知任意一个正整数的三次幂可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7911++，则我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若3n的一个“数因子”为2015，则n=【答案】45【解析】由图可知，3n可表示为n个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有(1) 123...2n nn+++++=个，因为2015210081=⨯-，故2015是第1008个奇数.而444599010082⨯=<；4546103510082⨯=>，所以344的最大“数因子”是第990个奇数，345的最大“数因子”是第1035个奇数，故第1008个奇数——2015应是345的一个“数因子”.三、解答题（共6题每满分75）16．（本小题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2x xf x x xx x⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩（x∈R），（1）求函数()f x的最小值；（2）已知m∈R，p：关于x的不等式2()22f x m m≥+-对任意x∈R恒成立；q：函数2(1)xy m=-是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解：（1）min 1(2)1()3(2)()=f(-2)=12151()2x x f x x x f x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩作出图像，可知 （4分）（2）22:+2-21-31:-1>1p m m m q m m m ≤⇒≤≤⇒ （8分）∵0-3m 11p q p q p q m m ≤≤⎧⎪∴≤≤⎨≤≤⎪⎩1或为真，且为假若真假时，则解得（10分）0>1<-32<-3m m p q m m m m ⎧⎪⎨⎪⎩或若假真时，则解得或故实数m的取值范围是(-,-3))∞⋃⋃∞ （12分）17．(本小题满分12分) 设()n n n f n-⎪⎭⎫⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解析】解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f 3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n4分 证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 11)111(+<++=++<k k kk k k 10分CA∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 12分 18.(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面ABC ,点A 在平面1A BC 中的投影为线段1A B 上的点D . （1）求证：BC ⊥1A B（2）点P 为AC 上一点,若AP PC =,2AD AB BC ==,求二面角C B A P --1的平面角的余弦值【解析】（1）证明:1AA ⊥Q 平面ABC 且BC ⊆平面ABC .1AA BC ∴⊥且三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱 2分AD Q ⊥平面1A BC 且BC ⊆平面1A BC∴AD BC ⊥3分又 1AA ⊆Q 平面1A AB ,AD ⊆平面1A AB ,1A A AD A =I , ∴BC ⊥平面1A AB ,1BC A B ⊥Q 5分（2）由（1）可得BC ⊥平面1A AB ,AB ⊆平面1A AB ,从而BC AB⊥,如图,以点B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -7分在Rt ABD ∆中,AD =2AB =,0sin 60AD ABDABD AB ∠==∠=, 在直三棱柱111ABC A B C -中,01tan60AA AB ==8分 则()()()(10,0,0,0,2,0,1,1,0,B A P A ,()1,1,0BP =u u u r ,(10,2,BA =u u u r ,()2,0,0BC =u u u r,设平面1PA B 的一个法向量为()1,,n x y z =u r,则有11100200x y n BP y n BA ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪=⎪⎩⎩u r u u u rg u r u u ur g ,可得(13,n -u r. 9分设面1CA B 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ,则22100n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u rg uu r u u u rg 020x y =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩,即(20,n =-u u r, 10分则121212cos ,n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u r u u r 所以二面角1P A B C --平面角的余弦值为7. 12分 19.(本小题满分13分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：[)[]321640,10,3025401600,30,50x x y x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。
2021年高二数学上学期期中质量监测试题苏教版
2021年高二数学上学期期中质量监测试题苏教版一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．.1．直线的斜率是▲．2.已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是▲_3．已知过两点的直线的斜率为1，则= ▲．4．已知球O的半径为2，则球O的表面积为___▲__.5. 已知直线,若直线在轴上的截距为,则实数的值为___▲__.6．以为圆心，半径为的圆的标准方程为▲ .7、如果AC＜0，BC＞0，那么直线不通过第▲象限8．在立体几何中，下列结论一定正确的是：▲（请填所有正确结论的序号）①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台；③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥；④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台.9．直线l：被圆x2＋y2＝4截得的弦长为▲．10. 设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题是▲ .（写出所有真命题的序号）11．方程表示一个圆，则的取值范围是：▲．12．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1 4，截取的小圆锥的母线长是cm，则圆台的母线长▲ cm．13．为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为▲．14．已知圆，过点的直线与圆相交于两点，且,则直线的方程是▲．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线．（1）若直线过点A，且与直线平行，求直线的方程；（2）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程．16. （本题满分14分）如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE 的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证GH∥平面CDE；（2）求证面ADEF⊥面ABCD.17. （本小题满分14分）如图，在五面体ABC—DEF中，四边形BCFE 是矩形，DE 平面BCFE．求证：（1）BC 平面ABED；（2）CF // AD．18．（本题满分16分）已知圆心（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点作圆C的切线，求切线的方程及切线的长.19. (本小题16分)四棱锥中，底面是边长为8的菱形，，若，平面⊥平面.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：⊥.20. （本题满分16分）已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点.xx年秋高二期中考试高二数学试卷参考答案一、填空题二、解答题：15. 解：（1） ----------------------------7分（2）---------------------------------14分17.证：（1）因为DE 平面BCFE，BC 平面BCFE，所以BC DE ．…………………2 分因为四边形BCFE 是矩形，所以BC BE ．…………………4分因为DE 平面ABED，BE 平面ABED，且DE I BE E，所以BC 平面ABED． (7)分（2）因为四边形BCFE 是矩形，所以CF // BE，…………………………………9 分因为CF 平面ABED，BE 平面ABED，所以CF // 平面ABED．………………………………………………………11分因为CF 平面ACFD，平面ACFD I平面ABED AD，所以CF // AD．………………………………………………………………14分19.解：(1)过P作PM⊥AD于M∵面PAD⊥面ABCD 面PAD面ABCD=AD PM面PAD ∴PM⊥面ABCD ………………4分又PA=PD=5,AD=8∴M为AD的中点且PM=………………6分∵，AD=8∴菱形ABCD的面积=………………8分∴ =………………10分(2)证明：连接BM∵BD=BA=8， AM=DM∴AD⊥BM, ………………12分又AD⊥PM,且BMPM=M∴AD⊥平面PMB，………………16分20．解（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以|4m−29|/ 5 ＝5，即|4m-29|=25．即4m-29=25或4m-29=-25，解得m=27 / 2 或m=1，因为m为整数，故m=1，故所求的圆的方程是（x-1）2+y2=25；……………………（5分）39357 99BD 馽E67pn28557 6F8D 澍$31767 7C17 簗30789 7845 硅20689 50D1 僑O37125 9105 鄅21859 5563 啣。
江苏省盐城市高二数学上学期期中试题 文 苏教版
高二数学文科试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上.） 1. 对于命题p :x R ∃∈，使得210x x ++<．则p ⌝为 ．2. “1>x ”是“x x >2”的 条件. （填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分又不必要”） 3. 抛物线24y x =-的焦点坐标为 . 4. 函数33)(x x x f -=的单调增区间为 .5. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为__________． 6. 已知抛物线24y x =上一点),3(y P ，则点P 到抛物线焦点的距离为.7. 已知中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线方程为230x y -=，则该 双曲线的离心率为 ．8. 设曲线11-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线012=++ay x 垂直，则实数=a . 9. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到其右焦点的距离为8，则点P 到椭圆左准线的距离为 ．10. 若命题“R x ∃∈，使得04)1(2≤++-x a x ”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．11.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆的右焦点且与x 轴垂直的直线与椭圆相交于Q P ,两点，椭圆的右准线与x 轴相交于点M ，若PQM ∆为正三角形，则椭圆的离心率等于 ．12.已知函数()ln 2(1)(0)f x x xf x '=+>，其中()f x '是()f x 的导函数，则()f x 在点))1(,1(f P 处的切线方程为 ．13.若函数x x x f 12)(3-=在区间)1,1(+-k k 上不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是 ．14.如图，有一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，则 切割后所得到的梯形面积S 的最大值为 ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知双曲线过点P )2,3(-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点． （1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．16. 已知命题p ：方程22129x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率e ∈．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．17.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为1(3,0)F -，右准线方程为253x =． （1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）设P 为椭圆上第一象限的点，2F 为右焦点，若12PF F ∆为直角三角形，求12PF F ∆的 面积.18.已知函数322()f x x ax bx a =+++(R)a b ∈、．（1）当3,0-==b a 时，求函数)(x f 在[1,3]-上的最大值； （2）若函数)(x f 在1=x 处有极值10，求)(x f 的解析式；（3）当2-=a 时，若函数)(x f 在),2[∞+上是单调增函数，求b 的取值范围．19．设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点．（1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到21,F F 两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程； （2）设点P 是（1）中所得椭圆C 上的动点，且点)31,0(Q ，求线段PQ 长的最大值； （3）若F E ,是（1）中所得椭圆C 上关于原点对称的两点，M 是椭圆上任意一点，则当 直线MF ME ,的斜率都存在，并记为ME k 、MF k 时，MF ME k k ⋅是否为与点M 位置无关 的定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．20.已知函数2()ln 2f x a x x=+-)(R a ∈. （1）当2=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点，求b 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间1[, ]e e -上的最小值为2-，求a 的值.高二期中考试数学试题（文科）参考答案一、填空题1. x R ∀∈，均有21x x ++≥0 2. 充分不必要 3. )0,1(- 4. )1,1(-5. 16. 47.213或313 8. 1- 9. 25 10. )3,5(- 12. 10x y ++= 13. )3,1()1,3(Y -- 14. 2732二、解答题 15. 解：（1）由题意，椭圆224936x y +=的焦点为)0,5(),0,5(21F F - ………… 1分设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-51492222b a ba ………… 4分解得：32=a ，22=b所以所求的双曲线的方程为22132x y -=． ………… 7分 （2）由（1）知，双曲线的右准线方程为5x =． ………… 9分设抛物线的标准方程为px y 22-=)0(>p ，则2p p ==………… 12分 所以所求的抛物线方程为2y x =. ………… 14分 16. 解：p 真，则有920m m ->>，即03m <<． ………… 3分q 真，则有22230,11,252b m m e a ⎛⎫>=+=+∈ ⎪⎝⎭且，即552m <<． ………… 6分若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 一真一假．①若p 真、q 假，则03m <<，且552m m ≥≤或，即0m <≤52； ………… 9分②若p 假、q 真，则30m m ≥≤或，且552m <<，即3≤5m <． ………… 12分故实数m 的取值范围为0m <≤52或3≤5m <． ………… 14分17.解：（1）由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>由左焦点为1(3,0)F -，右准线方程为253x =，得23,253c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩ ………… 3分解得：5,3,a c =⎧⎨=⎩从而4b =． ………… 5分所以所求椭圆标准方程为2212516x y +=，离心率53=e ． ………… 7分（2）①当2190PF F ∠=o 时，由⑴可知右焦点为2(3,0)F ，所以此时P 点坐标为16(3,)5，于是12PF F ∆的面积为12116486255PF F S ∆=⨯⨯=， ………… 11分 ②当2190F PF ∠=o时，由椭圆定义和勾股定理得221212(1)(2)36,10,PF PF PF PF ⎧+=⎨+=⎩L L L L L⑵式的平方减去⑴式得：1232PF PF ⋅=，又21212)25≤(2PF PF PF PF +⋅=，所以这种情况不存在．综合①②得：12485PF F S ∆=． ………… 14分(注：当2190F PF ∠=o时，若直接求出12PF F ∆的面积，而没进行取舍扣2分)18.解: (1)当0a =，3b =-时，3()3f x x x =-，所以'2()33f x x =-， ………………2分 令 ,0)('=x f 解得 11x =-，21x = ………………4分（2）因为2()32f x x ax b '=++，由已知条件,得⎩⎨⎧==.10)1(,0)1('f f 即 ⎩⎨⎧=+++=++.101,0322b a a b a ………………8分解得 ⎩⎨⎧-==;11,4b a ⎩⎨⎧=-=.3,3b a ………………10分 下面分别检验：①当,4=a 11-=b 时, ,16114)(23+-+=x x x x f ,1183)(2'-+=x x x f令,0)('=x f 即 ,011832=-+x x 解得 ,3111-=x ,12=x 列表：由上表可知，)(x f 在1=x 处取极小值10，符合题意． ……………11分 ②当,3-=a 3=b 时, ,933)(23++-=x x x x f,0)1(3)12(3363)(222'≥-=+-=+-=x x x x x x f )(x f 为增函数, 不合题意，舍去．所以当,4=a 11-=b 时, 16114)(23+-+=x x x x f 为所求函数的解析式． 综上所述, 所求函数的解析式为16114)(23+-+=x x x x f ． ……………12分（3）当2-=a 时, ,42)(23++-=bx x x x f 2()34,f x x x b '=-+因为函数)(x f 在),2[∞+上单调递增，所以(2)0,f '≥ ……………14分 即 ,024232≥+⨯-⨯b 解得,4-≥b所以，b 的取值范围是).,4[∞+- ……………16分 （注：第（2）小题对b a ,的值没有取舍，扣2分）19．解：（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到1F 、2F 两点的距离之和 是4，得：42=a ，即2=a ． ………………2分又点)23,1(A 在椭圆上，所以1)23(21222=+b，得32=b所以椭圆C 的方程为13422=+y x ． ………………5分 （2）设),(y x P ，则13422=+y x ，即22344y x -=． 9132344)31(22222+-+-=-+=y y y y x PQ940)1(31937323122++-=+--=y y y ………………8分 又33≤≤-y Θ∴当1-=y 时，3102max =PQ . ………………10分 （3）MF ME k k ⋅是与点M 位置无关的定值，且定值为43-. ………………11分设点E 的坐标为),(n m ，则点F 的坐标为),(n m --，其中13422=+n m . 又设点M 的坐标为),(y x ，则13422=+y x . 由mx ny k m x n y k MF ME ++=--=,得: 2222m x n y m x n y m x n y k k MF ME --=++⋅--=⋅ . ………………13分 22433x y -=将，22433m n -=，代入得： ………………14分43)(432222-=--=⋅mx x m k k PN PM . ………………16分20.解：（1）当2=a 时，2()2ln 2f x x x=+-，)(x f 的定义域为(0,)+∞ 22222(1)'()x f x x x x-=-+=. ………………1分 当)1,0(∈x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ．所以()f x 的减区间为)1,0(，增区间为),1(+∞． ………………4分（2）当1=a 时，2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得：1x >；由()0g x '<解得：01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.∴ 当1=x 时，()g x 取最小值，且b g x g -==1)1()(min ． ………………6分 ∵ 当1a =时，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点 ∴01)(min <-=b x g ，即1>b ．∴ 实数b 的取值范围为),1(+∞． ……………… 8分（3）由题意，2222()a ax f x x x x -'=-+=)0(>x ．①若0≤a ，则0)(≤'x f ，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减；∴222)()(min -=-+==a e e f x f ，即ea 2-=，适合题意．………………10分②若e a 120≤<，即e a 2≥，则0)(>'x f ，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递增；∴222)1()(min -=--==a e ef x f ，即e a 2=，适合题意．………………12分③若e a e <<21，即e a e 22<<，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a e 2,1上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,2上单调递增；∴222ln )2()(min -=-+==aa a a f x f ，即e a 2=（舍）．………………14分④若e a ≥2，即e a 20≤<，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减；∴222)()(min -=-+==a e e f x f ，即ea 2-=，不合题意．综上所述，e a 2=或ea 2-=． ……………… 16分。
江苏省扬州市高二数学上学期期中试题苏教版
2013.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“21,->->b a b a 则若”的逆否命题为 ▲2． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．3. “2x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）4．已知一个球的表面积为236cm π，则这个球的体积为 ▲ 3cm .5.已知抛物线的准线方程为错误！未找到引用源。
，则抛物线的标准方程为 ▲ ．6．已知双曲线2219x y a-=的右焦点为(13,0)，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ . 7. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ▲ .8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号为 ▲ ． 9.已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1的长为6，且AC 1与底面所成角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．（第9题） (第10题)10．如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于B A ,点）直线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四个命题：(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC (3)OC ⊥平面PAB; （4）PC BC ⊥ 其中正确的命题是 ▲ .11.已知点错误！未找到引用源。
在抛物线错误！未找到引用源。
最新苏教版高二数学上学期期中考试模拟试题及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第一学期期中考试高二年级数学试题本卷共 题，时间 分钟，满分 分；分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分 注意：答案全部写在答卷上第Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答卷相应位置. 1．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是 ▲ .2．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定 ▲ 个平面. 3．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为 ▲ .4．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为A 型号1200辆、B 型号6000辆和C 型号2000辆. 为检验这三种型号轿车的质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，那么C 型号的轿车应抽取 ▲ 辆.5．阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2S ←S+IEnd for Print S End输出的结果是 ▲ .6．“x = 1”是“x 2 = 1”的 ▲ 条件.（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）7．若k 1，k 2，…，k 8的方差为4，则3(k 1 – 2)，3(k 2 – 2)，…，3(k 8 – 2)的方差为 ▲ . 8．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是 ▲ .9．将一根均匀的木棒在任意点处折成两段，则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率 为 ▲ .10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率是 ▲ . 11．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是 ▲ .12．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是 ▲ .13．设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下面四个命题：①若α⊥m ，β//n ，βα//，则n m ⊥；②若n m ⊥，βα//，α⊥m ，则β//n ；③若n m ⊥，βα//，α//m ，则β⊥n ；④若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ．其中正确命题的编号是 ▲ .14．正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 的中点，四边形EFGH 面积记为()S x ，则()S x 的取值范围是 ▲.（第11题图）第Ⅱ卷二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知2:8200p x x --≤；:21(0).q m x m m -≤≤+>若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点. （1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1； （2）求证：A 1C//平面AB 1D.17．（本小题满分15分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，2x＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（本小题满分15分）为了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高进行了一次随机抽样测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（单位：cm）分组频数频率[)150.5,154.510.02[)154.5,158.540.08[)158.5,162.5200.40[)162.5,166.5150.30[)166.5,170.580.16[)170.5,174.5m n（1）求出表中m、n、M、N所表示的数值；（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该校女生身高小于162.5 cm的百分比.0.02150.519．（本小题满分16分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D－AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．合计M NGMFED CB A20．（本小题满分16分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．（1）求两数字之和为6的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．高二年级数学试题答案本卷共题，时间分钟，满分分；分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分注意：答案全部写在答卷上第Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答卷相应位置.1．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是 ▲ .2,10x R x x ∃∈++≤2．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定 ▲ 个平面.3 3．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为 ▲ .34．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为A 型号1200辆、B 型号6000辆和C 型号2000辆. 为检验这三种型号轿车的质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，那么C 型号的轿车应抽取 ▲ 辆.105．阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2S ←S+IEnd for Print S End输出的结果是 ▲ .106．“x = 1”是“x 2 = 1”的 ▲ 条件.（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）充分而不必要7．若k 1，k 2，…，k 8的方差为4，则3(k 1 – 2)，3(k 2 – 2)，…，3(k 8 – 2)的方差为 ▲ .36 8．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是 ▲ .49．将一根均匀的木棒在任意点处折成两段，则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为 ▲ .2310．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率是 ▲ .1411．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是 ▲ .π33 12．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是 ▲ .03a a <≥或 13．设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下面四个命题：①若α⊥m ，β//n ，βα//，则n m ⊥；②若n m ⊥，βα//，α⊥m ，则β//n ；③若n m ⊥，βα//，α//m ，则β⊥n ；④若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ．其中正确命题的编号是 ▲ .①④14．正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 的中点，四边形EFGH面积记为()S x ，则()S x 的取值范围是 ▲ .(312a 2,+∞)第Ⅱ卷二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知2:8200p x x --≤；:21(0).q m x m m -≤≤+>若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.（第11题图）15、(本小题满分14分)解：2:8200p x x --≤∴:210p x -≤≤.............................................................................6分.又p 是q 成立的一个充分不必要件，∴ 11022m m +≥⎧⎨-≤-⎩，∴91m m ≥⎧⎨≥⎩，……………………………………………12分∴9m ≥……………………………………………………………………14分16．(本小题满分14分)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点. （1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1； （2）求证：A 1C//平面AB 1D.证明：（1）因为ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，所以B 1B ⊥平面ABC……………………2分 因为AD ⊆平面ABC ，所以B 1B ⊥AD.……………………4分因为△ABC 是正三角形，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC.……………………5分因为BC 及B 1B 是平面BCC 1B 1内两条相交直线，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.……………………7分（2）连结A1B交AB1于点E，边结DE，……………………8分因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以E为A1B的中点，……………………9分所以DE是△BA1C的中位线，所以DE//A1C. ……………………11分因为DE⊆平面AB1D，A1C平面AB1D，……………………13分所以A1C//平面AB1D. ……………………14分17．（本小题满分15分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，2x＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．17．由题p真且q真1’p真:∀x∈[1,2]，x2≥a, 又1≤x2≤4 ∴a≤1 6’q真: △≥0 ∴a≥1或a≤−2 11’∴“a≤1”且“a≥1或a≤−2”∴a≤−2或a=1 15’18．（本小题满分15分）为了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高进行了一次随机抽样测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（单位：cm）分组频数频率[)150.5,154.510.02[)154.5,158.540.08（1）求出表中m 、n 、M 、N 所表示的数值； （2）绘制频率分布直方图；（3）估计该校女生身高小于162.5 cm 的百分比.0.02150.5解：（1）1(0.020.080.40.30.16)0.04n =-++++=， 2m = ……………2分M=50, N=1……………4分(2) 频率分布直方图请参照教材必修三第54页图2-2-4. 此项共8分。
江苏省淮安市楚州区范集中学高二数学上学期期中试题苏教版
数学试题参考公式：234114,,,,333S R V R V Sh V Sh V S S S S h ππ=====⋅下下球球柱锥台上上（++） 注意事项:1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡 上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．过点()3,2P 和()6,1-Q 的直线PQ 的斜率为 ▲ ．2. 已知直线⊥a 平面α，直线//b 平面α，则直线b a ,的位置关系是 ▲_3. 两个相交平面能把空间分成 ▲ 个部分4.在平面直角坐标系中，直线01=+y 的倾斜角α的大小是___▲__.5.下列四个条件中，能确定一个平面的只有 ▲ （填序号） ①空间中的三点 ②空间中两条直线 ③一条直线和一个点 ④两条平行直线 6．已知球O 的半径为3，则球O 的表面积为___▲__.7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，AB ，CC 1的中点，给出下列 3对线段所在直线：①D 1E 与BG ；②D 1E 与C 1F ；③A 1C 与C 1F ．其中，是异面直线的对数共 有 ▲ 对．8. 如果AC ＜0，BC ＞0，那么直线0Ax By C ++=不通过第 ▲ 象限9. 已知,0≠m 则过点)1,1(-的直线023=++a my ax 的斜率为 ▲D C1A 1B 1C 1D .EBAM.10．如图，在边长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上一点， M 是棱D 1C 1上一点，则三棱锥M-DEC 的体积是 ▲11. 用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_▲__cm. 12．过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为___▲__. 13．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是 1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ， 三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲14．已知l ，m ，n 是三条不同的直线， γβα,,是三个不同的平面，下列命题： ①若l ∥m，n⊥m，则n⊥l ； ②若l ∥m，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m； ④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ。
高二数学期中考试试卷 苏教版
高二数学期中考试试卷一、选择题( 每小题5分，共10题)1、某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为 ( ) A 、70 B 、20 C 、48 D 、22、如果抛物线y 2= ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 A 、（1, 0） B 、（2, 0） C 、（3, 0） D 、（－1, 0） 3、椭圆1162522x=+y的焦点坐标为 （ ）A 、(3-，0)，(3，0)B 、(31-,0) (31,0) C 、(,0)203-,)0203(， D 、 (0,-)203(0)203， 4、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A 、324+B 、13-C 、213+ D 、13+ 5、下列说法中，正确的是 ( )A 、数据4、6、6、7、9、4的众数是4B 、一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C 、数据3，5，7，9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半D 、频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 6、已知x 、y 之间的一组数据如下：则线性回归方程bx a y+=ˆ所表示的直线必经过点 ( ) A 、（0，0） B 、（1.5,5） C 、（4,1.5） D 、（2,2）7、下列命题中正确的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题 ④“若x=123，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④8、“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 （ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分又非必要条件 9、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率3e =，一条准线方程为360x -=的双曲线方程是_ ( )A 、22134x y -=B 、22153y x -=C 、22124x y -= D 、22142y x -=10、已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是A 、 0≤k<43 B 、0<k<43 C 、 k<0或k>43 D 、0<k ≤43二、填空题（每小题5分，共6题）11、某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。
江苏省大丰市高二数学上学期期中试题 文 苏教版
高二数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
）．．．．．．．．．．1、在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则公差d 为 . 2、在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A=600，B =450，且a =3，则b = . 3、在ABC ∆中，若A b B a cos cos =，则ABC ∆的形状为 .4、在等差数列中，1082=+a a ，前n 项和为n S ，则9S = .5、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，则该数列的前100项和为_________.6、若点)2,1(和点)1,1(在直线03=+-m y x 的两侧，则m 的取值范围为________.7、等比数列{}n a 中，已知1231237,8a a a a a a ++== ，且{}n a 为递增数列， 则4a =________.8、在等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为q ，项数为n ，则其前n 项和为_______. 9、在△ABC中，已知222a b c +=，则C=___________. 10、不等式03522>-+x x 的解集．．为________. 11、若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则ba82+的最小值为________.12、若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为________.13、数列{}n a 的通项公式，211+++=n n a n 其前n 项和，23=n S ，则n =_____.14、已知不等式01222>-+-k x x 对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 二、解答题（本大题共6小题，141415151616+++++，共90分。
最新苏教版重点中学高二数学上学期期中联考试题参考答案答案
苏教版重点中学高二数学上学期 期中联考试题&参考答案答案一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题“21,->->b a b a 则若”的逆否命题为 . 2．命题“∃x R ∈，032=+-x x ”的否定是 . 3．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的充要条件是 ． 4．“1>x ”是“a x >”的充分没必要要条件，则实数a 的取值范围是 .5．直线0=-+a y ax 与圆x 2+y 2=4的位置关系是 ． 6．以抛物线24y x =的核心为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ．7．若椭圆过两点()0,2，()3,0-，则椭圆的标准方程为 ．8．已知双曲线2219x y a-=的右核心为，则该双曲线的渐近线方程为 ．9．两圆074422=+-++y x y x 和01310422=+--+y x y x 的公切线有条．10．若双曲线左支上一点P 到右核心的距离为8，则P 到左准线的距离为___ ．11．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左极点为，左焦点为，上极点为，若，则椭圆的离 心率是 ．12．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ．13．（文科、艺体学生做）曲线2x y =的一条切线的斜率是4-，则切点坐标是 __ ___.（理科学生做）已知直线：y=－1及圆C ：x 2+(y －2)2=1，若动圆M 与相切且与圆C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 . 14．（文科、艺体学生做）一质点的运动方程为32S 2+=t (位移单位：米，时间单位：秒)，则该质点在2=t 秒时的瞬时速度为 米/秒.（理科学生做）已知)0,3,2(-=a，)3,0,(k b = ，且32,π=b a ，则实数k= ．二、解答题（共90分） 15．(本小题14分)已知320 p x q -≤≤：， ：(x-m+1)(x-m-1)，若p ⌝是q ⌝充分而没必要要条件，22145x y -=A F B 090BAO BFO ∠+∠=l l 第11yxAF OB求实数m 的取值范围．16．(本小题14分)设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交． 若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．17．(本小题14分)已知过点的圆的圆心为． ⑴ 求圆的方程；⑵ 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．()1,4A -()3,1C C ()2,1B -lC l18．(本小题16分)椭圆的左、右核心别离为，一条直线通过点与椭圆交于两点．⑴ 求的周长； ⑵ 若的倾斜角为，求的面积．22143x y +=12,F F l 1F ,A B 2ABF ∆l 4π2ABF ∆19．(本小题16分)设O 为坐标原点，圆016222=+-++y x y x 上存在两点Q P ,关于直线04=++my x对称，且知足0=•OQ OP （1）求m 的值； （2）求直线PQ 的方程．20．(本小题16分)已知椭圆C 的核心为F 1(－5，0)，F 2 (5，0)，核心到短轴端点的距离为210． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一点，且在第一象限．若△PF 1F 2为直角三角形， 试判断直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52的位置关系．密封线内不要答题参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题“21,->->b a b a 则若”的逆否命题为 b a b a ≤-≤-则若,21 2．命题“∃x R ∈，032=+-x x ”的否定是 03,2≠+-∈∀x x R x 3．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的充要条件是 1<m4．“1>x ”是“a x >”的充分没必要要条件，则实数a 的取值范围是 a<1 5．直线0=-+a y ax 与圆x 2+y 2=4的位置关系是 相交6．以抛物线24y x =的核心为圆心,且过坐标原点的圆的方程为1)1(22=+-y x 7．若椭圆过两点()0,2，()3,0-，则椭圆的标准方程为13422=+y x8．已知双曲线2219x y a-=的右核心为(13,0)，则该双曲线的渐近线方程为23y x =±9．两圆074422=+-++y x y x 和01310422=+--+y x y x 的公切线有 3 条10．若双曲线左支上一点P 到右核心的距离为8，则P 到左准线的距离为11．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左极点为，左焦点为，上极点为，若，则椭圆的离22145x y -=83A FB 090BAO BFO ∠+∠=第13yxAF O B心率是12．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 213．（文科、艺体学生做）曲线2x y =的一条切线的斜率是4-，则切点坐标是)4,2(-（理科学生做）已知直线：y=－1及圆C ：x 2+(y －2)2=1，若动圆M 与相切且与圆C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是y x 82=14．（文科、艺体学生做）一质点的运动方程为32S 2+=t (位移单位：米，时间单位：秒)，则该质点在2=t 秒时的瞬时速度为 8 米/秒.（理科学生做）已知)0,3,2(-=a，)3,0,(k b = ，且32,π=b a ，则实数k =39-二、解答题（共90分） 15．(本小题14分)已知320 p x q -≤≤：， ：(x-m+1)(x-m-1)，若p ⌝是q ⌝充分而没必要要条件，求实数m 的取值范围. 解：由题意 p: 232≤-≤-x∴ 51≤≤x ………………………………………………3分 ∴p ⌝：51><x x 或 ………………………………… 5分q ：11+≤≤-m x m ………………………………… 8分 ∴q ⌝：11+>-<m x m x 或 ………………………………… 10分l l又∵p ⌝是q ⌝充分而没必要要条件∴⎩⎨⎧≤+≥-5111m m ∴42≤≤m ………………………………………… 14分16．(本小题14分)设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线， 命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交． 若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 真，即方程22167x y a a +=+-表示双曲线，则()()670a a +-<，67a ∴-<<． ………………………………………5分若q 真，即圆()2219x y +-=与圆()()22116x a y -++=相交，则17,a <∴-<< …………………………………………10分若“p ⌝且q ”为真命题，则p 假q 真，67a a a ≤-≥⎧⎪∴⎨-<⎪⎩或6a -<≤-，∴符合条件的实数a的取值范围是6a -≤-． ………………………………14分17．(本小题14分)已知过点的圆的圆心为． ⑴ 求圆的方程；⑵ 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 解：⑴圆半径即为，所以，……………2分所以圆的方程为． (6)分18．(本小题16分)椭圆的左、右核心别离为，一条直线通过点与椭圆交于两点．⑴ 求的周长； ⑵ 若的倾斜角为，求的面积． ()1,4A -()3,1C C ()2,1B -lC l C r AC5r AC ===C ()()223125x y --=+22143x y +=12,F F l 1F ,A B 2ABF ∆l 4π2ABF ∆解：⑴由椭圆的概念，得，又，所以，的周长． 又因为，所以，故点周长为．………………………………6分⑵由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为， 故直线的方程为．………………………………………………………8分由消去，得，……………………………………10分设，解得， 所以，．…………………………16分19．(本小题16分) 设O 为坐标原点，圆016222=+-++y x y x 上存在两点QP ,关于直线04=++my x 对称，且知足0=•OQ OP ．（1）求m 的值； （2）求直线PQ 的方程． 解：（1）圆9)3()1(22=-++y x ，圆心C （-1，3），半径r=3 ………………2分∴由题意知，直线04=++my x 必过圆心，∴0431=++-m ， 1-=m …6分（2）设直线PQ 的方程为b x y +-=， ………………………………8分12122,2AF AF a BF BF a +=+=AB BF AF =+112ABF ∆a BF AF AB 422=++=42=a 2=a 2ABF ∆8)0,1(1-F AB 4πAB 1AB 1+=x y 221,1,43y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x09672=--y y ),(,),(2211y x B y xA 123377y y +-==2121211222ABF S F F y y ∆=⋅-=⨯与圆的方程联立，消去y 得 016)28(222=+-+-+b b x b x设),(),,(2211y x Q y x P ，得421-=+b x x ，216221+-=⋅b b x x ， (10)分从而，得212))((22121++==+-+-=⋅b b b x b x y y ............... (12)分而由0=•OQ OP 得，02121=+y y x x ， ……………………………14分∴2162+-b b +2122++b b =0，解得1=b ,直线PQ 的方程为1+-=x y …16分20．(本小题16分) 已知椭圆C 的核心为F 1(－5，0)，F 2 (5，0)，核心到短轴端点的距离为210．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一点，且在第一象限．若△PF 1F 2为直角三角形，试判断直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52的位置关系．解：（1）由题意可得a ＝210，c ＝5， …………………………………………………4分∴b 2＝15． 所以椭圆C 的方程为x 240＋y 215＝1． …………………………………6分（2）圆O ：x 2＋y 2＝52的圆心为原点，半径r ＝102．①当∠PF 2F 1为直角时，点P 的坐标为(5,3104)． ………… ……………………8分 直线PF 1的方程为y ＝3410(x ＋5)．此时圆心到直线PF 1的距离为1513＜102．所以直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52相交． ……………………………………………11分②当∠F 1PF 2为直角时，设点P 的坐标为(x ，y )．解⎩⎪⎨⎪⎧x240＋y215＝1， x2＋y2＝52．得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3．所以点P 的坐标为(4，3)． ………………………… ………………………13分则点P 到椭圆右核心(5，0)的距离为10． 此时圆心O 到直线PF 1的距离为102．所以直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52相切． …………………………………………16分。
2022-2023学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线x =π2的倾斜角为（ ） A ．不存在B ．π2C ．0D ．π2．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 4＝（ ） A ．﹣8B ．8C ．±8D ．±43．直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点，其中A （1，2），B （3，﹣3），则实数b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B ．（﹣3，0）C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）4．已知等差数列{a n }公差d ≠0，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝b 3，a 9＝b 9，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．a 6＜b 6C ．a 8＞b 8D ．a 12＞b 125．已知A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （m ，﹣1）四点共圆，则实数m 的值为（ ） A ．√2±1B ．√2+1C ．√2−1D ．1±√26．S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 6＝3a 1，a 1＞0，则使S n ＞a n 的n 的最大值为（ ） A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量a →=(−3，1)平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是（ ） A ．[√10，+∞)B ．[0，√10]C ．[1，3]D ．[0，10]8．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n ＝n 2+3n ，数列{b n }前n 项和T n 满足：T n ＝2b n ﹣1，记M n =a b 1+a b 2+⋯+a b n ，则使得M n 值不超过2022的项的个数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．下述四个结论，正确的是（ ）A ．过点A （1，1）在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0B ．直线x ﹣y +k ＝0与圆x 2+y 2＝1相交的充分不必要条件是k ＝1C ．直线ax +y +1＝0表示过点（0，﹣1）的所有直线D．过点B(1，√3)与圆x2+y2＝4相切的直线方程为x+√3y−4=010．对于数列{a n}，设其前n项和S n，则下列命题正确的是（）A．若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，则a2，a8，a5也成等差B．若数列{a n}为等比数列，则S2n2=S n⋅S3nC．若数列{a n}为等差数列，且S5＝S8，a1＜0，则使得S n＞0的最小的n值为13D．若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a3=2√2+1，则{a n}中任意三项均不能构成等比数列11．设直线mx﹣（m2+1）y+m＝0（m∈R，m≠0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2交于A，B两点，定点C （2，0），则△ABC的形状可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列{a n}，正方形数构成数列{b n}，则下列说法正确的是（）A．1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=nn+1B．1225既是三角形数，又是正方形数C．1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜3320D．∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知点P在直线x﹣y﹣1＝0上，点A（1，﹣2），B（2，6），则|P A|﹣|PB|取得最小值时点P坐标为．14．已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6+2a5，若存在两项a m、a n使得√a m⋅a n=4a1，则1m +4n的最小值为．15．曲线x2+y2＝2|x﹣1|+2|y|+2x﹣1所围成图形面积为．16．在平面直角坐标系xoy中，A为直线l：2x﹣y＝0上的点，B（5，0），以AB为直径的⊙C（圆心为C）与直线l交于另一点D，若△ABD为等腰三角形，则点A的横坐标为；若⊙C与⊙B：（x﹣5）2+y2＝10相交于E、F两点，则公共弦EF长度最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，试确定m，n的值，使（1）l1与l2相交于点P（m，﹣1）；（2）l1∥l2；（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足a2n＝2a n+2，S6＝5S3．（1）求a9的值；（2）设x为a2，a5的等比中项，数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，试求数列{b n}的通项b n及前n项和T n的表达式．19．（12分）已知点P（﹣1，1），⊙C：x2+（y﹣2a﹣1）2＝1，过点P斜率为a的直线l交圆C于A，B 两点．（1）当△ABC面积最大时，求直线l方程；（2）若a＞0，在（1）条件下，设点T为圆C上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q，使得|TP|＝2|TQ|成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．（12分）设正项数列{a n}前n项和为S n，从条件：①13a1+15a2+17a3+⋯+1(2n+1)a n=n2n+1，②4S n=(a n+1)2，③a1＝1，a n a n+1+1＝4S n，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{a n}前n项和为S n，且满足_____．（1）求S n；（2）令b n=a n⋅(√2)a n+1，记数列{b n}前n项和为T n，若对任意的n∈N*，n≥2，均有(T n−6)m≥4n2−16n+15恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知圆D：x2+（y﹣1）2＝3，过点P（0，﹣1）的直线l与圆D相交于M，N两点，且|MN|＝2，圆Q是以线段MN为直径的圆．（1）求圆Q的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），圆Q是△ABC的内切圆，试求△ABC面积的取值范围．22．（12分）已知正项数列{a n}满足a1=12，a n+1+a n=2n+1a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：a1+a2+⋯+a n＜11 8．2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线x =π2的倾斜角为（ ） A ．不存在B ．π2C ．0D ．π解：根据题意，直线x =π2与x 轴垂直，其倾斜角为π2．故选：B ．2．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 4＝（ ） A ．﹣8B ．8C ．±8D ．±4解：设公比为q ，因为a 1＝1、a 5＝16， 所以a 5=a 1q 4=q 4=16，解得q ＝±2， 所以a 4=a 1q 3=±8． 故选：C ．3．直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点，其中A （1，2），B （3，﹣3），则实数b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B ．（﹣3，0）C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）解：直线x +y +b ＝0化为y ＝﹣x ﹣b ，由题可知，当直线y ＝﹣x ﹣b 经过点A （1，2）时，解得b ＝﹣3， 当直线y ＝﹣x ﹣b 经过点B （3，﹣3）时，解得b ＝0，若直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点， 则有b ＜﹣3或b ＞0，故实数b 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故选：A ．4．已知等差数列{a n }公差d ≠0，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝b 3，a 9＝b 9，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．a 6＜b 6C ．a 8＞b 8D ．a 12＞b 12解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 若q ＝1，则b 2＝b 10，得a 2＝a 10，解得d ＝0，不符合题意； 所以q ≠1，得b 1＞0，又a n =a 1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1， 令a n ＝b n ，得a 1+(n −1)d =b 1qn−1，即qd b 1n +a 1−db 1q =q n ①，设A =qdb 1，B =a 1−db 1q ，C =q ，则A ≠0，C ＞0且C ≠1， 所以①式变为An +B ＝C n ，由题意，知n ＝3和n ＝9是方程An +B ＝C n 的两个解， 令f （x ）＝Ax +B （A ≠0），g （x ）＝C n （C ＞0且C ≠1）， 则一次函数f （x ）与指数函数g （x ）的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图，当函数f （x ）与g （x ）单调递增或递减时，f （n ）＝g （n ）（n ∈N *）才会有2个解，且无论哪种情况，都有n ∈[1，3]时，f （n ）＜g （n ）；n ∈[3，9]时，f （n ）＞g （n ）；n ∈[9，+∞）时，f （n ）＜g （n ）；所以f （2）＜g （2），f （6）＞g （6），f （8）＞g （8），f （12）＜g （12）， 即a 2＜b 2，a 6＞b 6，a 8＞b 8，a 12＜b 12． 故选：C ．5．已知A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （m ，﹣1）四点共圆，则实数m 的值为（ ） A ．√2±1B ．√2+1C ．√2−1D ．1±√2解：设过四点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0），将A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2）代入可得：{F =04+2D +F =04+4+2D −2E +F =0，解得{F =0D =−2E =2，所以圆的方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，将D（m，﹣1）代入圆的方程得m2﹣2m﹣1＝0，解得m=1±√2．故选：D．6．S n为等差数列{a n}前n项和，若S6＝3a1，a1＞0，则使S n＞a n的n的最大值为（）A．2B．12C．11D．10解：因为等差数列{a n}中，S6＝3a1，a1＞0，所以6a1+15d＝3a1，即a1+5d＝0①，由S n＞a n可得na1+n(n−1)d2＞a1+(n−1)d②，①②联立整理得n2﹣13n+12＜0，解得1＜n＜12，因为n为正整数，n＝11．故选：C．7．直线l按向量a→=(−3，1)平移后得直线l'，设直线l与l'之间的距离为d，则d的范围是（）A．[√10，+∞)B．[0，√10]C．[1，3]D．[0，10]解：当直线l的方向向量与a→=(−3，1)共线时，这时候直线l与l'重合，距离为最短，d＝0，当直线l的方向向量与a→=(−3，1)垂直时，这时候直线l与l'平行且距离为最长，d=√32+12=√10．故选：B．8．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n＝n2+3n，数列{b n}前n项和T n满足：T n＝2b n﹣1，记M n=a b1+a b2+⋯+a bn，则使得M n值不超过2022的项的个数为（）A．8B．9C．10D．11解：∵2S n=n2+3n①，当n≥2时，2S n﹣1＝（n﹣1）2+3（n﹣1）②，由①﹣②得a n=S n−S n−1=n2+3n2−(n−1)2+3(n−1)2=n+1，当n＝1时，2S1=12+3×1=4，则a1＝2符合上式，故a n＝n+1；又T n＝2b n﹣1③，当n≥2时，T n﹣1＝2b n﹣1﹣1④，由③﹣④得b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣2b n﹣1，即b n＝2b n﹣1，当n＝1时，T1＝2b1﹣1，则b1＝1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n=2n−1，∴M n=a b1+a b2+⋯+a bn=a20+a21+⋯+a2n−1=20+1+22+1+⋯+2n−1+1=n+1−2n1−2=n+2n−1，又M n≤2022，即n+2n﹣1≤2022，又2n﹣1单调递增，n单调递增，∴M n单调递增，又210＝1024，211＝2048，∴M10＝9+1024＝1033＜2022，M11＝10+2048＝2058＞2022，故使得M n值不超过2022的项的个数为10，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．下述四个结论，正确的是（）A．过点A（1，1）在x轴，y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0B．直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交的充分不必要条件是k＝1C．直线ax+y+1＝0表示过点（0，﹣1）的所有直线D．过点B(1，√3)与圆x2+y2＝4相切的直线方程为x+√3y−4=0解：对于A，没有考虑截距均为0的情况，排除A；对于B，若直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交，则√2≤1，解得−√2≤k≤√2，∴k＝1是直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交的充分不必要条件，故B 正确；对于C，点（0，﹣1）在y轴上，但无论a取何值，ax+y+1＝0不能表示y轴，故C不正确；对于D，设过B(1，√3)的直线方程为y−√3=k(x−1)，即kx−y+√3−k=0，∴√3−k|√1+k2=2，即3k2+2√3k+1=0，解得k=−√33，∴过B(1，√3)的直线方程为x+√3y−4=0，故D正确．故选：BD．10．对于数列{a n}，设其前n项和S n，则下列命题正确的是（）A．若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，则a2，a8，a5也成等差B．若数列{a n}为等比数列，则S2n2=S n⋅S3nC．若数列{a n}为等差数列，且S5＝S8，a1＜0，则使得S n＞0的最小的n值为13D．若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a3=2√2+1，则{a n}中任意三项均不能构成等比数列解：对于A，若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，由等差数列的性质可得，2S9＝S3+S6，若公比q＝1，则2S9＝18a1≠S3+S6＝9a1，故q ≠1，所以2S 9＝S 3+S 6，由等比数列的求和公式可得，2×a 1(1−q 9)1−q =a 1(1−q 3)1−q +a 1(1−q 6)1−q，整理得2q 6﹣q 3﹣1＝（2q 3+1）（q 3﹣1）＝0，由于q ≠1，所以q 3=−12， 所以2a 8=2a 2q 6=12a 2，a 2+a 5=a 2+a 2q 3=12a 2，即2a 8＝a 2+a 5， 故a 2，a 8，a 5也成等差，故A 正确；对于B ，若数列{a n }为等比数列，若公比q ＝1时，S 2n 2=(2na 1)2=4n 2a 12≠S n ⋅S 3n =na 1⋅3na 1=3n 2a 12；若公比q ≠1时，则2q 2n ≠q 3n +qn，所以S 2n2=a 12(1−q 2n )2(1−q)2=a 12(q 4n −2q 2n +1)(1−q)2≠S n ⋅S 3n=a 1(1−q n )1−q⋅a 1(1−q 3n )1−q =a 12(q 4n −q 3n −q n +1)(1−q)2，故B 不正确； 对于C ，若数列{a n }为等差数列，公差为d ，由S 5＝S 8， 得5a 1+5×42d =8a 1+8×72d ，即a 1＝﹣6d ＜0，则d ＞0， 所以S n =na 1+n(n−1)d 2=12dn(n −13)＞0，得n ＞13，又n ∈N *，则n min ＝14，故C 不正确； 对于D ，若数列{a n }为等差数列，且a 1=1，a 3=2√2+1，则公差d =a 3−a 12=√2， 所以a n =1+√2(n −1)，假设等差数列{a n }中的三项a p ，a q ，a r 构成等比数列，p ，q ，r ∈N *，且p ，q ，r 互不相等，由等比数列的性质可得，a q 2=a p ⋅a r ，结合等比数列的通项公式可得，[1+√2(q −1)]2=[1+√2(p −1)]⋅[1+√2(r −1)]， 所以2(q −1)2−2(p −1)(r −1)=√2(p +r −2q)，因为p ，q ，r ∈N *，则{2(q −1)2−2(p −1)(r −1)=0p +r −2q =0，其中q =p+r 2，则[（p ﹣1）﹣（r ﹣1）]2＝0，得p ＝r ，这与p ，q ，r 互不相等矛盾，故假设不成立，则{a n }中任意三项均不能构成等比数列，故D 正确． 故选：AD ．11．设直线mx ﹣（m 2+1）y +m ＝0（m ∈R ，m ≠0）与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2交于A ，B 两点，定点C （2，0），则△ABC 的形状可能为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形解：直线mx ﹣（m 2+1）y +m ＝0（m ∈R ，m ≠0），整理为m （x +1）﹣（m 2+1）y ＝0，当{x +1=0y =0得x ＝﹣1，y ＝0，所以直线过定点M （﹣1，0），且点C （2，0）在圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2上，且圆心Q（1，1），半径r=√2，直线mx﹣（m2+1）y+m＝0（m∈R，m≠0），即y=mm2+1x+mm2+1，其斜率k=mm2+1，因为m≠0，故k≠0，①则当直线过圆心Q（1，1），则线段AB为圆的直径，则此时△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，此时直线斜率k=k MQ=12=mm2+1，解得m＝1，故B可能；②由①知，当直线过圆心Q（1，1）时，△ABC为直角三角形，故当k=mm2+1＜12时，整理得m2﹣2m+1＞0，不等式有解，即直线在直线MQ下方时，△ABC是以C为钝角顶点的顿角三角形，故A可能；③若△ABC为正三角形，则直线与直线QC垂直，又k QC＝﹣1，则有k=mm2+1=1，整理得m2﹣m+1＝0，方程无实根，故不存在这样的直线使得△ABC为正三角形，故C不可能；④若△ABC为等腰直角三角形，则必有一边为圆的直径，若线段AB为圆的直径，则直线斜率k=12，m＝1，又得满足直线与直线QC垂直，k QC＝﹣1，所以k⋅k QC=−12≠−1，两直线不垂直，故△ABC不是以AB为斜边的等要直角三角形；若线段CA或CB为直径，还是得满足直线QC与MQ垂直，故△ABC不是以CA或CB为斜边的等要直角三角形，故D不可能．故选：AB．12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列{a n}，正方形数构成数列{b n}，则下列说法正确的是（）A．1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=nn+1B．1225既是三角形数，又是正方形数C．1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜3320D．∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立解：三角形数构成数列{a n}：1，3，6，10，易发现a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，⋯，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），累加得a n−a1=(n−1)(2+n)2，所以a n=n(n+1)2，n＝1也成立；正方形数构成数列{b n}：1，4，9，16，易发现b2﹣b1＝3，b3﹣b2＝5，⋯，b n﹣b n﹣1＝2n﹣1（n≥2），累加得b n−b1=(2n+2)(n−1)2，得到b n=n2，n＝1也成立；对A，1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=2(1−1n+1)=2nn+1，故选项A错误；对B，令a n=n2+n2=1225，解得n＝49；令b n=n2=1225，解得n＝35，故选项B正确；对C，1b n =1n2＜44n2−1=2(12n−1−12n+1)，所以1b1+1b2+1b3+⋯+1b n=1+14+(132+⋯+1n2)＜54+2(15−17+17−19+12n−1−12n+1)，整理得，1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜54+2(15−12n+1)=3320−12n+1＜3320，故选项C正确；对D，取m＝p＝q，且m∈N*，令m2=m(m+1)2+m(m−1)2，有b m＝a m+a m﹣1，故∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立，故选项D正确；故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知点P 在直线x ﹣y ﹣1＝0上，点A （1，﹣2），B （2，6），则|P A |﹣|PB |取得最小值时点P 坐标为 （﹣3，﹣4） ．解：如图，设A 关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称点为E （m ，n ）， 因为A （1，﹣2），所以{n+2m−1=−1m+12−n−22−1=0，解得m ＝﹣1，n ＝0，则E （﹣1，0），所以|P A |﹣|PB |＝|PE |﹣|PB |，结合图形则当B ，E ，P 三点共线时，此时|PE |﹣|PB |取得最小值，即P 在Q 点位置时， 则k BQ =6−02−(−1)=2，直线BQ 为y ＝2（x +1）＝2x +2，于是{x −y −1=0y =2x +2，解得x ＝﹣3，y ＝﹣4，即Q （﹣3，﹣4），故|P A |﹣|PB |取得最小值时点P 坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）．14．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n 使得√a m ⋅a n =4a 1，则1m+4n的最小值为32．解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6+2a 5得a 5q 2=a 5q +2a 5， 解得q ＝2（q ＝﹣1舍去）， ∴a n =a 1×2n−1，由√a m a n =4a 1得a 1×2m−1×a 1×2n−1=16a 12，∴m +n ＝6，所以(1m +4n )=16(m +n)(1m +4n )=16(5+4mn +nm )≥16(5+2√4mn ×nm )=32，当且仅当4mn =nm ，即m＝2．n ＝4时等号成立， 所以1m +4n的最小值是32．故答案为：32．15．曲线x 2+y 2＝2|x ﹣1|+2|y |+2x ﹣1所围成图形面积为 4π+8 ． 解：分四种情况讨论：①当x ＜1，y ＜0时，方程可化为：x 2+（y +1）2＝2， 表示圆心为（0，﹣1），半径为√2的圆；②当x ＜1，y ≥0时，方程可化为：x 2+（y ﹣1）2＝2， 表示圆心为（0，1），半径为√2的圆；③当x ≥1，y ＜0时，方程可化为：（x ﹣2）2+（y +1）2＝2， 表示圆心为（2，﹣1），半径为√2的圆；④当x ≥1，y ≥0时，方程可化为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2， 表示圆心为（2，1），半径为√2的圆． 作出图像如图所示：由图可知：曲线所围成图形为四个半圆和一个正方形所组成的区域， 正方形边长和圆的直径相等，所以S =2×π×(√2)2+(2√2)2=4π+8． 故答案为：4π+8．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：2x ﹣y ＝0上的点，B （5，0），以AB 为直径的⊙C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若△ABD 为等腰三角形，则点A 的横坐标为 3或﹣1 ；若⊙C 与⊙B ：（x﹣5）2+y 2＝10相交于E 、F 两点，则公共弦EF 长度最小值为 2√5 ． 解：依题意AB 为直径，所以∠ADB ＝90°， 又△ABD 为等腰三角形， 所以△ABD 为等腰直角三角形，过点B （5，0）与直线l ：2x ﹣y ＝0垂直的直线方程为y =−12(x −5)， 由{2x −y =0y =−12(x −5)，解得{x =1y =2，即D （1，2），又|BD|=√(5−1)2+(0−2)2=2√5， 则|AD |＝|BD |，设A （x ，2x ），所以√(x −1)2+(2x −2)2=2√5，解得x ＝3或x ＝﹣1， 设A （a ，2a ），则A 、B 的中点C(a+52，a)，|AB|=√(a −5)2+4a 2，所以圆C 的方程为(x −a+52)2+(y −a)2=(a−5)2+4a 24， 又⊙B ：（x ﹣5）2+y 2＝10，所以公共弦EF 的方程为(x −a+52)2+(y −a)2−[(x −5)2+y 2]=(a−5)2+4a 24−10， 即（5﹣a ）x ﹣2ay +5a ﹣15＝0，即（5﹣x ﹣2y ）a +（5x ﹣15）＝0，令{5x −15=05−x −2y =0，解得{x =3y =1，即直线EF 恒过定点M （3，1），⊙B ：（x ﹣5）2+y 2＝10的圆心B （5，0），半径r =√10，所以|BM|=√(5−3)2+(0−1)2=√5，所以公共弦|EF |的最小值为2√r 2−|BM|2=2√5； 故答案为：3或﹣1；2√5四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两直线l 1：mx +8y +n ＝0和l 2：2x +my ﹣1＝0，试确定m ，n 的值，使 （1）l 1与l 2相交于点P （m ，﹣1）； （2）l 1∥l 2；（3）l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为﹣1．解：（1）将点P （m ，﹣1）代入两直线方程得：m 2﹣8+n ＝0 和 2m ﹣m ﹣1＝0， 解得 m ＝1，n ＝7．（2）由 l 1∥l 2得：m 2﹣8×2＝0，m ＝±4，又两直线不能重合，所以有 8×（﹣1）﹣mn ≠0，对应得 n ≠2m ， 所以当 m ＝4，n ≠﹣2 或 m ＝﹣4，n ≠2 时，L 1∥l 2．（3）当m＝0时直线l1：y=−n8和l2：x=12，此时，l1⊥l2，−n8=−1⇒n＝8．当m≠0时此时两直线的斜率之积等于14，显然l1与l2不垂直，所以当m＝0，n＝8时直线l1和l2垂直，且l1在y轴上的截距为﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足a2n＝2a n+2，S6＝5S3．（1）求a9的值；（2）设x为a2，a5的等比中项，数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，试求数列{b n}的通项b n 及前n项和T n的表达式．解：（1）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，∵a2n＝2a n+2，S6＝5S3，则{a1+(2n−1)d=2[a1+(n−1)d]+26a1+6×52d=5(3a1+3×22d)，解得{d=2a1=0，故a n＝2n﹣2，∴a9＝a1+8d＝16；（2）由（1）得a n＝2n﹣2，则a2＝2，a5＝8，∵x是a2，a5等比中项，∴x2＝a5•a2，即x2＝2×8＝16，解得x＝±4，又数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，∴当x＝4时，数列{b n}是前三项依次为2，4，8的等比数列，其首项为2，公比为2，故b n=2n，(n∈N∗)，T n=b1(1−q n)1−q=2n+1−2，(n∈N∗)，当x＝﹣4时，数列{b n}是前三项依次为2，﹣4，8的等比数列，其首项为2，公比为﹣2，故b n=(−1)n−1⋅2n，(n∈N∗)，T n=b1(1−q n)1−q=23(1−(−2)n)，(n∈N∗)．19．（12分）已知点P（﹣1，1），⊙C：x2+（y﹣2a﹣1）2＝1，过点P斜率为a的直线l交圆C于A，B 两点．（1）当△ABC面积最大时，求直线l方程；（2）若a＞0，在（1）条件下，设点T为圆C上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q，使得|TP|＝2|TQ|成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设直线l的方程为y﹣1＝a（x﹣1），即ax﹣y+a+1＝0，因为|CA|＝|CB|，所以△CAB为等腰三角形，设∠ACB ＝α，α∈[0，π]， 设AB 的中点为D ， 所以CD ⊥AB ，所以|CD |＝|CA |cos α2，|AB |＝2sin α2，所以S △ABC =12|CD |•|AB |＝sin α2cosα2=12sin α，α∈[0，π]，所以当α=π2时，S △ABC 取得最大值12， 此时|CD |=√22=|−2a−1+a+1|√a 2+1=√22，解得a ＝±1，所以当△ABC 的面积最大时，直线l 的方程为x ﹣y +2＝0或x +y ＝0． （2）当a ＞0时，由（1）知a ＝1，圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝1，设圆上任意一点T （a ，b ），Q （x 2，y 2），则a 2+（b ﹣3）2＝1，即a 2＝1﹣（b ﹣3）2＝﹣b 2+6b ﹣8①， 因为|TP |＝2|TQ |， 所以|TP |2＝4|TQ |2，所以（a +1）2+（b ﹣1）2＝4（x 2﹣a ）2+4（y 2﹣b ）2， 所以a 2+2a +1+b 2+2b +1＝4x 22﹣8ax 2+4a 2+4y 22﹣8by 2+4b 2， 把①代入上式可得，﹣b 2+6b ﹣8+2a +1+b 2+2b +1＝4x 22﹣8ax 2+4a 2+4y 22﹣8by 2+4b 2， 整理得（﹣2﹣8x 2）a +（20﹣8y 2）b ﹣26+4x 22+4y 22＝0，假设点T 为圆C 上任意一点，在平面内是否存在定点Q ，使得|TP |＝2|TQ |成立， 则{−2−8x 2=0−8y 2+20=0−26+4x 22+4y 22=0，解得{x 2=−14y 2=52，所以Q （−14，52）．20．（12分）设正项数列{a n }前n 项和为S n ，从条件：①13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n+1)a n=n2n+1，②4S n =(a n +1)2，③a 1＝1，a n a n +1+1＝4S n ，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{a n }前n 项和为S n ，且满足_____． （1）求S n ；（2）令b n =a n ⋅(√2)a n +1，记数列{b n }前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，n ≥2，均有(T n −6)m ≥4n 2−16n +15恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）选取条件①，对任意的n ∈N *，13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n+1)a n=n 2n+1，当n ＝1时，13a 1=13，解得a 1＝1，当n ≥2且n ∈N *时，13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n−1)a n−1=n−12n−1， 两式相减得1(2n+1)a n=n2n+1−n−12n−1=n(2n−1)−(2n+1)(n−1)(2n−1)(2n+1)=1(2n−1)(2n+1)，∴a n ＝2n ﹣1，且a 1＝1也满足a n ＝2n ﹣1， 故对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1，∵a n +1﹣a n ＝[2（n +1）﹣1]﹣（2n ﹣1）＝2， ∴数列{a n }为等差数列， 故S n =n(a 1+a n )2=n(1+2n−1)2=n 2； 选取条件②，对任意的n ∈N *，4S n =a n 2+2a n +1，当n ＝1时，则4a 1=4S 1=a 12+2a 1+1，则(a 1−1)2=0，解得a 1＝1， 当n ≥2且n ∈N *时，4S n =a n 2+2a n +1，则4S n−1=a n−12+2a n−1+1， 两式相减得4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，对任意的n ∈N *，a n ＞0，∴当n ≥2且n ∈N *时，a n ﹣a n ﹣1＝2，故数列{a n }为等差数列，且首项为1，公差为2， ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1， 故S n =n(a 1+a n )2=n(1+2n−1)2=n 2； 选取条件③，对任意的n ∈N *，a n a n +1+1＝4S n ，且a 1＝1， 当n ＝1时，a 1a 2+1＝4S 1＝4a 1，解得a 2＝3，当n ≥2且n ∈N *时，a n a n +1+1＝4S n ，则a n a n ﹣1+1＝4S n ﹣1， 两式相减得a n （a n +1﹣a n ﹣1）＝4a n ， 对任意的n ∈N *，a n ＞0，∴当n ≥2且n ∈N *时，a n +1﹣a n ﹣1＝4，所以，数列{a 2k ﹣1}和数列{a 2k }(k ∈N ∗)均为等差数列，且公差均为4，∴a 2k ﹣1＝a 1+4（k ﹣1）＝1+4（k ﹣1）＝4k ﹣3＝2（2k ﹣1）﹣1，a 2k ＝a 2+4（k ﹣1）＝4k ﹣1＝2×2k ﹣1，故对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1，∵a n+1﹣a n＝[2（n+1）﹣1]﹣（2n﹣1）＝2，则数列{a n}为等差数列，∴S n=n(a1+a n)2=n(1+2n−1)2=n2；（2）由（1）得a n=2n−1(n∈N∗)，则b n=(2n−1)2n，∴T n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n④，2T n=1⋅22+3⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1⑤，由④﹣⑤得−T n=2+(23+24+⋯+2n+1)−(2n−1)⋅2n+1=2+23(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−6+（3﹣2n）⋅2n+1，∴T n=6+(2n−3)⋅2n+1，即T n−6=(2n−3)⋅2n+1对任意的n∈N*，n≥2，均有(T n−6)m≥4n2−16n+15恒成立，转化为（2n﹣3）⋅2n+1m≥（2n﹣3）⋅（2n﹣5）恒成立，∵n≥2，∴2n﹣3＞0，即m≥2n−52n+1对任意n≥2且n∈N*恒成立，令f(n)=2n−52n+1(n≥2，n∈N∗)，则f(n+1)−f(n)=2n−32n+2−2n−52n+1=7−2n2n+2＞0，当2≤n≤3时，f（n+1）＞f（n），则数列{f（n）}单调递增，即f（2）＜f（3）＜f（4）；当n≥4时，f（n+1）＜f（n），则数列{f（n）}单调递减，即f（4）＞f（5）＞⋯，故数列{f（n）}（n≥2）中的最大项为f(4)=332，即m≥332，故实数m的取值范围为[332，+∞）．21．（12分）已知圆D：x2+（y﹣1）2＝3，过点P（0，﹣1）的直线l与圆D相交于M，N两点，且|MN|＝2，圆Q是以线段MN为直径的圆．（1）求圆Q的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），圆Q是△ABC的内切圆，试求△ABC面积的取值范围．解：（1）设直线l的方程为y＝kx﹣1，因为圆C半径为√3，|MN|＝2，所以圆心D（0，1）到直线l的距离d=√3−1=√2，即√k2+1=√2，解得k＝±1，当k＝1时，过D（0，1）与直线l：y＝x﹣1垂直的直线y＝﹣x+1与l：y＝x﹣1交点为（1，0），所以圆Q方程为（x﹣1）2+y2＝1；当k＝﹣1时，过D（0，1）与直线l：y＝﹣x﹣1垂直的直线y＝x+1与l：y＝﹣x﹣1交点为（﹣1，0），所以圆Q方程为（x+1）2+y2＝1，即所求圆方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x+1）2+y2＝1．（2）由圆的性质可知，只研究圆Q方程为（x﹣1）2+y2＝1时即可，设AC ：y ＝k 1x +t 与圆Q 相切，则有1√k 12+1=1，即有k 12+1=k 12+2tk 1+t 2，从而有k 1=1−t 22t ，设BC ：y ＝k 2x +t +6与圆Q 相切，则有2√k 22+1=1，即有k 22+1=k 22+2(t +6)k 2+(t +6)2，从而有k 2=1−(t+6)22(t+6)，联立直线AC ，BC ，由{y =k 1x +t y =k 2x +t +6得x C =6k 1−k 2，所以S △ABC=12|AB|⋅|x c |=12⋅6⋅6|k 1−k 2|=18|1−t 22t −1−(t+6)22(t+6)|=18⋅|t 2+6t 3(t 2+6t+1)|=6|1+1t 2+6t|， 当﹣5≤t ≤﹣2时，S △ABC ∈[274，152]．22．（12分）已知正项数列{a n }满足a 1=12，a n+1+a n =2n+1a n a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：a 1+a 2+⋯+a n ＜118． 解：（1）由a n+1+a n =2n+1a n a n+1，a n ＞0得12n+1a n+12n+1a n+1=1，即12n+1a n+1=1−12⋅2n a n，令b n =12na n，有b n+1=1−12b n ，b n+1−23=−12(b n −23)， 又b 1−23=13≠0，故b n −23≠0，所以b n+1−23b n −23=−12， 所以数列{b n −23}是以13为首项，−12为公比的等比数列，所以b n −23=13(−12)n−1， 所以b n =13(−12)n−1+23，b n ⋅2n =23[2n −(−1)n ]， 所以有a n =12nb n =32⋅12n −(−1)n ，即a n =32⋅12n −(−1)n ； （2）证明：因为a 1=12，a 2=12，a 1+a 2＝1，当n ≥4且n 为偶数时，a n−1+a n =32[12n−1+1+12n −1]=32[2n+2n−122n−1+2n−1−1]＜32[2n+2n−122n−1]=32[12n−1+12n ]， 化简得a n−1+a n ＜92⋅12n ，所以a1+a2+⋯+a n=1+92116(1−14n−22)1−14=1+38(1−12n−2)＜1+38=118，当n≥3且n为奇数时，则n+1≥4且n+1为偶数，由上述证明可知a1+a2+⋯+a n+a n+1＜11 8，又因为a n=12n b n=32⋅12n−(−1)n＞0，所以a1+a2+⋯+a n＜118−a n+1＜118，综上a1+a2+⋯+a n＜11 8．。
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江苏省赣榆高级中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高二数学试题
命题：陈庆广 于泳
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．
置上．．． 1．12+与12-两数的等比中项为▲________．
2．在△ABC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，且
a >
b ，则∠B ＝▲________． 3．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且245,,a a a 成等比数列，则1
a d
=▲________． 4．已知(2,1),(3,2)A B 两点分别在直线210x ay 的两侧，则实数a 的取值范围为
▲________
． 5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则△ABC 的
面积为▲________． 6．已知0,0x y >>且满足
2
31x
y
，则x y +的最小值为▲________
． 7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,sin sin sin a b c A B C =+=，则ABC ∆的形状是 ▲ 三角形．（填“等腰、等边、直角”） 8．已知数列{}n a 中，a 1=
53
， 121
n n n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为▲________． 9．若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪
--⎨⎪+⎩
≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为▲________．
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足214n S n n =-，令12n n T a a a =+++，则
n T =▲________．
11．如图，△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D
在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于▲________．
12．数列{}n a 的构成法则如下：1a =1；如果n a －2为自然数且之前未出现过，则用递推
公式1
2n
n
a a ，否则用递推公式13n n a a +=．则6a =▲________．
13．设a ＋b ＝8，b >0，则当a ＝▲________时，12|a |＋|a |
b
取得最小值． 14． 数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22
n n n n n
a a a a a n n n +++===
-=++．若2014
22015
m a >+
，则正整数m 的最小值为▲________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ． (1)求角A 的大小；
(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
16．(本小题满分14分）
已知不等式2
210mx x m --+<．
(1) 是否存在m 对所有的实数x ，不等式恒成立，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由; （2）设不等式对于满足2m 的一切m 的值都成立，求符合题意的x 的取值集合．
17．（本小题满分14分）
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55, a 2+a 7＝16． (1)求数列{}n a 的通项公式：
（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：n
n n b b b b a 2
(22233)
221++++=(n 为正整数) ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．（本小题满分16分）
如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆． （1）若围墙AP ,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？
（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1．5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
19．（本小题满分16分）
A
P
Q
B
C
已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5)，且()f x 在区间[1,4]-上的最大值是12． (1)求()f x 的解析式；
(2)解关于x 的不等式
2(2)5 1 (0)()
a x x
a f x +-><．
20．（本小题满分16分）
设不等式组003x y y nx
n
，
，
≤所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f (n )（n ∈*N ）． （1） 求f (1)，f (2)的值及()f n 的表达式； （2） 记()(1)
2
n
n
f n f n T ，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围；
（3）设n S 为数列{n b }的前n 项和，其中()2f n n
b ，问是否存在正整数n ，t ，使
1
1
1
16
n n n
n
S tb S tb 成立？若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，说明理由．。