材料力学(机械工业出版社)知识小结：第二章 剪切
材料力学2-第二章 拉伸、压缩及剪切
第二章拉伸、压缩与剪切§2－1 拉伸与压缩的概念等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。
一、工程实例悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。
二、受力特点杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。
三、变形特点发生轴线方向的伸长或缩短。
§2－2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力一、轴力（1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。
（2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。
二、轴力图（1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。
轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。
（3）作下图所示杆件的轴力图三、横截面上的应力（1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。
通过对称性原理，平面假设可得以证明。
（2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。
（3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。
所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。
即 N AF dA A σσ==⎰ ANF =σ ， （2-1） 为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。
正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。
当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。
这时某一横截面上的正应力为()()x A x x N F =）（σ （2-2）例题一等直杆受力情况如图a 所示，试作杆的轴力图。
解：（1）先求约束力直杆受力如图b 所示，由杆的平衡方程0F =∑x 得 ()k N k N RA F =+-=50104020 （2）求杆中各段轴力AB 段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力为N1F ，设N1F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得：σ()x σ0F F RA N 1=-, N1RA F F 20kN ==BC 段：沿任意截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，设轴力N2F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得：N2RA F F kN 0-+=50， N2F 0kN =-3 结果为负，说明N2F 的指向与所设方向相反，实为压力。
工程力学c材料力学部分第二章剪切与挤压
梁的弯曲变形分析
通过实例分析，介绍梁在不同载荷下的弯曲变形 规律，以及如何应用弯曲变形的强度条件进行梁 的设计。
弯曲变形的应用实例
介绍弯曲变形在日常生活和工程中的应用，如桥 梁、房屋结构等。
THANKS
感谢观看
材料的弹性模量
弹性模量较高的材料在剪切和挤压过程中表现出更好 的刚度和稳定性。
提高剪切与挤压强度的措施
选择合适的材料
根据实际需求选择具有高硬度、韧性和弹性模量的材料。
优化结构设计
合理设计结构，减少应力集中和变形。
加强表面处理
对材料表面进行强化处理，如喷丸、渗碳淬火等，以提高其抗剪切和 挤压能力。
06
剪切与挤压的强度条件
剪切强度条件
在剪切力作用下，材料不发生屈服或剪 切断裂的最小剪切应力称为剪切强度极 限，其表达式为 $tau_{min} geq tau_s$ ，其中 $tau_{min}$ 为材料在剪切面上 的最小剪切应力，$tau_s$ 为材料的剪切 强度极限。
VS
挤压强度条件
在挤压作用下，材料不发生屈服或挤压断 裂的最小挤压应力称为挤压强度极限，其 表达式为 $sigma_{min} geq sigma_s$ ，其中 $sigma_{min}$ 为材料在挤压面 上的最小挤压应力，$sigma_s$ 为材料 的挤压强度极限。
剪切
在力的作用下，物体在相互垂直的两个平面上 发生相对位移的现象。
剪切力
使物体发生剪切变形的力，其大小等于剪切面 上的正压力乘以剪切系数。
剪切强度
材料抵抗剪切破坏的最大应力，通常由实验测定。
挤压定义
挤压
在力的作用下，物体通过一个狭窄的缝隙时，其接 触表面受到强烈的压应力的现象。
材料力学第二章-剪切与连接件的实用计算
工程力 学
§2-4 挤压问题
第二种破坏方式为铆钉与钢板间的局部 接触，互相挤压，导致破坏。接触面上的压 力称为挤压力。记为Pbs Abs bs bs — 名义挤压应力 P n Abs [ bs ] bs bs u bs u P
u
Pbs
Pbs 工程力 学
Abs bs bs ] [ 强度条件： Pbs
直径投影面
Pbs： 挤压力 Abs：计算挤压面面积 接触面为平面，则计算挤压面为接触面。 接触面为半圆柱面，则计算挤压面为直径投影面。 挤压应力是连接件与被连接件之间的相互 作用，因此，当两者材料不相同时，应校核挤 压许用应力较低的材料的挤压强度。
工程力 学
例 2–3 一销钉连接如图所示。已知外力
P=15kN ，被连接件的厚度分别为 t1=6mm 和 t2=10mm，材料的许用剪应力 [ ]=30MPa，许 用挤压应力[bs]=100MPa，试设计销钉直径。
p
t1
t2 t1
p
工程力 学
解： 作销钉受力图如图示
按剪切强度条件设计 销钉有两个受剪面n –n和m – m
工程力 学
回到例题
截面法 A Q 平均剪应力称为名义剪应力
A u Q n [ ]
u
强度分析 QP
A：受剪面面积 名义极限剪应力 Q m
强度条件为 A [ ] Q
m P
m
P
m P
工程力 学
例2–1 两块矩形截面木杆用两块钢板连接 如图所示，P=60kN，木材顺纹剪切许用应力为 []=1MPa ，木板截面宽度 b=0.15m ，试求接头 的长度L。 P L L
材料力学第二章剪切
64kN
m P
L
b
d
材料力学
2 剪切面与挤压面的判定
AQ bl
h Abs 2 l
h
L
AQ
b
材料力学
3 切应力和挤压应力的强度条件
FQ [ ]
Lb
[
L1
]
FQ
b
64 16 80
10 3 (
m
)
50mm
2 Pbs Lh
[ bs ]
[
L2
]
2 Pbs
h[ bs ]
2 64 10 240
F
F
F
b
τ FS AS
n πd2
4F nπd 2
[τ]
4
（b） 图7−6
材料力学
➢对于对接方式，每个铆钉有两个剪切面.
每个铆钉每个剪切面上的剪力为
FS
F 2n
F
F
剪切强度条件为
（a）
F
F
F
b
FS AS
2n
d2
4F
n d 2
（b）
4
材料力学
2. 铆钉与钢板孔壁之间的挤压实用计算
➢ 对于搭接构件，挤压强度条件为
材料力学
键: 连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴
和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。
材料力学
键连接的传动系统
材料力学
分析轮、轴、平键结构中键的剪切面与挤压面
(1)、 取轴和键为研究对象进行受力分析 F
M F d 0
M
2
(2)、单独取键为研究对象受力分析
键的左侧上半部分受到轮给键的约束反力的作用，合力大小F；
T
材料力学剪切第2节 剪切的实用计算
• 剪切弹性模量和弹性模量、泊松比之间的关系
可以证明：对各向同性材料，剪切弹性模量G、
弹性模量 E 和泊松比 三个弹性常数之间存在下列
关系
G
E 2(1
)
解：剪切面 nn 上的剪力
FS
F 2
150kN
剪切面积为 A lh cos45o 7.07103l
抗剪强度条件
FS A
[ ]
FS A
150103 7.07 103 l
l
150 103
7.07 10 3
150103 7.07103 100106
m
212 mm
注意
考虑到焊缝两端强度较差，在确定实际长度时，
将每条焊缝长度加长10 mm，取 l 222 mm。
三、剪切胡克定律
剪切变形
当构件发生剪切变形时，直角六面体的两个侧面 abcd和efgh，将发生相对错动，使直角六面体变为平 行六面体如图b所示。
剪应变
线段ee（或f f ）的相对滑移量，称为绝对剪切
变形。而矩形直角的微小改变量 ：
tan ee f f
ae bf
切应变或相对剪切变形
• 实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应力 与切应变 成正比，如图c所示，这就
是材料的剪切胡克定律，可用下式表示：
G
G
式中：G — 材料的剪切弹性模量。常用的单位是 GN/m2即GPa 。钢的 G 值约为80GPa。
2、切应力的计算 • 采用实用计算方法：假定内力在剪切面内均匀分
布，若以 代表切应力，A 代表剪切面的面积，
材料力学第2章-拉伸、压缩与剪切
第2章 拉伸、压缩与剪切1、轴向拉伸与压缩概念：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
2、直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力内力：把拉伸时的轴力（轴力背向截面）为正，压缩时轴力（轴力指向截面）为负。
应力：平面假设（变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
）规定：拉应力为正，压应力为负。
AF A dA F N A N =⇒==⎰σσσ 式中N F 为轴力，A 为横截面面积，σ为正应力。
3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力ασσα2cos = αστα2sin 2= 式中ασ和ατ分别为斜截面的正应力和切应力，σ为横截面的正应力，α为斜截面与横截面的夹角。
4、材料拉伸时的力学性能 应变：ll ∆=ε l ∆为伸长量，l 为原始长度。
（1）弹性阶段：应力σ与应变ε成正比，即εσE =。
其中E 为与材料有关的比例常数，为弹性模量。
直线部分的最高点a 所对应的应力p σ为比例极限。
b 点所对应的应力e σ为弹性极限。
（2）屈服阶段：通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点，用s σ表示。
其是衡量材料强度的重要指标。
（3）强化阶段：强化阶段中的最高点e 所对应的应力b σ是材料能承受的最大应力，称为强度极限。
其是衡量材料强度的另一重要指标。
（4）局部变形阶段：某一局部的横向尺寸急剧缩小，形成缩颈现象。
伸长率：%1001⨯-=ll l δ 塑性材料：%5>δ 脆性材料：%5<δ 断面收缩率：%1001⨯-=A A A ψ A 为原始横截面积，1A 为最小横截面积 5、材料压缩时的力学性能低碳钢压缩时的弹性模量E 和屈服极限s σ与拉伸时相同。
但是得不到强度极限。
铸铁的抗压强度极限比抗拉极限高5~4倍。
6、失效、安全因数和强度计算脆性材料断裂时的应力是强度极限b σ，塑性材料屈服时的应力是屈服极限s σ，这二者是构件失效时的极限应力。
材料力学 第二章拉伸、压缩与剪切
铸铁经球化后成为球墨铸铁， 力学性能有显著变化。
23
§2-5 材料压缩时的力学性能
1、试件 金属的压缩试件一般制成很短的圆柱，以免压弯。h:d≈1.5－3 混凝土、石料等则制成立方形的试块。
2、试验结果
低碳钢压缩时的E和σs与拉伸时 大致相同，屈服阶段之后越压越 扁，横截面不断增大，得不到压 缩时的强度极限。
求得： FN 3.35W F1 1.74W
29
§2-7 失效、安全因数和强度计算
例2.5 由于撑杆AB的最大轴力为：
FN max
A
60106
Pa
4
(1052
952 ) 106 m2
94.2KN
W FN max 94.2KN 28.1KN 3.35 3.35
目前一般机械制造中在静载荷的情况下对塑性材料可取目前一般机械制造中在静载荷的情况下对塑性材料可取12251225脆性材料由于均匀性较差且断裂突然一般可取脆性材料由于均匀性较差且断裂突然一般可取235235甚至取甚至取39失效安全因数和强度计算失效安全因数和强度计算31一拉伸或压缩直杆变形计算公式一拉伸或压缩直杆变形计算公式轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形32228轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形二变形与位移二变形与位移变形
许用应力[σ]
塑性材料：
s
ns
ns , nb 为大于1的数，称为安全因数。
脆性材料： b
nb
26
§2-7 失效、安全因数和强度计算
三、强度计算 以许用应力作为最高应力，即要求工作应力低于许用应力：
【可编辑全文】材料力学-第二章-拉压与剪切
班级 学号 姓名1 试求图示杆件1－1、2－2、3－3横截面上的轴力，并作轴力图。
2、油缸盖与缸体采用6个螺栓连接，如图示。
已知油缸内径D=350mm ，油压p=1MPa 。
若螺栓材料许用应力［ ］=40MPa ，求螺栓的内径。
题1图140 kN 30 kN20 kN122 33班级 学号 姓名3 图示木制桁架受水平力P 作用。
已知P=80kN[][]MPa MPa 10,8==压拉σσ，试设计AB 、AD 两杆的横截面积。
4 图示结构，杆1、2的横截面均为圆形，直径分别为d 1=30mm , d 2=20mm 。
两杆材料相同，许用应力[σ]=160MPa ，在节点A 处受铅直力P=80kN 。
试校核结构的强度。
A B C D P60° 60° 30° 30°BC A P 12 30° 45°班级学号 姓名5、某铣床工作台进给油缸如图示，缸内油压p=2MPa ，油缸内径D=75mm ，活塞杆直径 d=18mm 。
已知活塞材料的许用应力［σ］=50MPa ，试校核活塞杆的强度。
6、简易吊车如图所示。
AB 为木杆，横截面积 21cm 100=A ，许用压应力[]MPa 71=σ。
BC 为钢杆，横截面积22cm 6=A ，许用拉应力[]MPa 1602=σ。
试求许可吊重F 。
F30°AB C木杆 钢杆第二章 拉伸、压缩和剪切班级 学号 姓名7、 图示拉杆沿斜截面m －m 由两部分胶合而成。
设在胶合面上许用拉应力[]MPa 100=σ，许用切应力[]MPa 50=τ，并设胶合面的强度控制杆件的拉力。
试问：为使杆件承受最大拉力F ，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为4cm 2，并规定α≤60°，试确定许可载荷F 。
8、变截面杆如图所示。
已知：21cm 8=A ，22cm 4=A ， GPa 200=E 。
试求杆的总伸长l ∆。
材料力学第2章13节剪切
t
FS A
tb
tb为剪切强
度极限 。
t Fs F
A lb
bs
Fbs Abs
F cb
例1 齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，） 连接，它传递的扭矩m=1600N·m，轴的直径
d=50mm，键的许用切应力为[t]= 80MPa ，许用 挤压应力为[bs]= 240MPa，试设计键的长度。
或圆钉的直径平面面积dd(即图b中画阴影线的面
积)除挤压力F，则所得应力大致上与实际最大应 力接近。
剪切破坏的利用
在工程实际中，有时也会遇到与前面问题 相反的情况，就是剪切破坏的利用。例如车床 传动轴上的保险销(图a)，当载荷增加到某一数 值时，保险销即被剪断，从而保护车床的重要 部件。又如冲床冲模时使工件发生剪切破坏而 得到所需要的形状(图b)，也是利用剪切破坏的 实例。对这类问题所要求的破坏条件为：
188103 99104
19106 Pa
19MPa
[bs ] 200MPa
故挤压强度也是足够的。
例4 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知
钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力
为[ ]= 160MPa ；铆钉的直径d=1.6cm，许用剪
应力为[t ]= 140MPa ，许用挤压应力为[bs]=
4
4
销轴的工作切应力为
t
FS A
94 103 63.6 104
14.8106 Pa
14.8 MPa
[t ] 90
MPa
符合强度条件, 所以销轴的剪切强度是足够的。
(2) 校核挤压强度
d1＝110 mm, d2＝75 mm
销轴的挤压面是圆柱面, 用通过圆柱直径的平面面积作 为挤压面的计算面积。
第2章(剪切与挤压)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第2章）剪切与挤压1、剪切的受力特征？答：作用一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的力作用，在F 的作用下，受剪面m-m发生相对错动。
2、剪切面的确定？答：在计算中要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力，如下图（a）为1个剪切面，图（b）则具有2个剪切面：（a）（b）3、剪切应力计算？答：假定剪力F Q在剪切面m-m上均匀分布，则剪切应力为：τ=F Q A4、剪切强度条件？答：为保证剪切构件安全，就必须保证剪切应力τ要小于或等于构件的许用切应力[τ]（即构件能够正常工作时所能承受的最大切应力，材料一定时，[τ]为常数），此即剪切的强度条件：τ≤[τ]反过来，若要剪切构件发生剪切强度破坏，则剪切应力τ就必须大于构件的许用切应力[τ]才行。
5、挤压的受力特征？答：如图所示，对于m-m面在力F的作用下发生剪切变形，而对于m-n面来说，通常伴随着挤压变形。
6、挤压面的确定？答：当实际挤压面为平面时，有效挤压面面积等于实际挤压面面积；当实际挤压面为曲面时，有效挤压面取实际挤压面沿挤压力方向的投影面积（如图中的阴影面积）。
故对于图示的有效挤压面积为A=δ×d。
7、挤压正应力计算？答：假定挤压力F pc在挤压面m-n上为均匀分布，则挤压正应力为：σ=F pcA=FA8、挤压强度条件？答：为保证挤压构件安全，就必须保证挤压正应力σ要小于或等于构件的许用正应力[σ]（即构件能够正常工作时所能承受的最大正应力，材料一定时，[σ]为常数），此即挤压的强度条件：σ≤[σ]反过来，若要挤压构件发生挤压强度破坏，则挤压正应力σ就必须大于构件的许用正应力[σ]才行。
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第二章剪切
2－1连接件的剪切与挤压强度计算
一、连接件的受力特点和变形特点：
1、连接件
在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。
例如：螺栓、铆钉、键等。
连接件虽小，却起着传递载荷的作用。
2、受力特点和变形特点：
①受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。
②变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。
③剪切面：构件将发生相互的错动面
④剪切面上的内力：内力—剪力Q ，其作用线与剪切面平行。
自：截面法
3、连接处破坏的三种形式：
①剪切破坏：沿铆钉的剪切面剪断，如沿n – n 面剪断 。
②挤压破坏：铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。
③拉伸破坏
二、剪切的实用计算
实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。
适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。
实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。
1、剪切面--A Q ：错动面。
剪力--Q ：剪切面上的内力。
2、名义剪应力--τ：Q
A Q =τ 3、剪切强度条件（准则）：[]ττ≤=A Q []n
jx ττ=:其中工作应力不得超过材料的许用应力。
三、挤压的实用计算
挤压：构件局部面积的承压现象。
挤压力：在接触面上的压力，记P jy
假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
2、挤压面积：接触面在垂直P jy 方向上的投影面的面积。
3、挤压强度条件（准则）：工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。
[]
jy jy jy
jy A P σσ≤= 四、应用
][ ][1jy jy σσττ≤≤；、校核强度：
]
[ ][2jy jy jy Q P A Q A στ≥≥；、设计尺寸： ][ ][3jy jy jy Q A P A Q στ≤≤；、设计外载：。