高二数学第二章第十六课时概率本章小结与复习二教案北师大版选修23
高中数学 第二章 概率 3 条件概率与独立事件学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§3 条件概率与独立事件独立事件同时发生的概率乘法公式 1．条件概率(1)求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率,记为P (A |B )，P (A ｜B ）＝错误!(其中，A ∩B 也可写成AB )．（2）A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝错误!。
预习交流1任意向区间(0，1)上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，设事件A ＝错误!，B ＝错误!，你能求出P (B |A )吗? 提示：P (B ｜A )＝错误!＝错误!＝错误!＝0。
5.2．独立事件一般地，对两个事件A ,B ，如果P (AB )＝P (A )P （B ），则称A ,B 相互独立．可以证明，如果A ，B 相互独立，则A 与错误!，错误!与B ，错误!与错误!也相互独立．预习交流2若事件A 与B 相互独立,则P (AB）＝P（A ）·P (B ),与P （AB )＝P (A ｜B )·P （B )矛盾吗？ 提示：不矛盾，若事件A 与B 相互独立,则P （A ｜B )＝P （A ）．1．条件概率盒中装有5个产品，其中3个一等品,2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个． 求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率;（2)取两次,第二次取得一等品的概率；（3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．思路分析:由于是不放回地从中取产品,所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．解：记A i 为第i 次取到一等品，其中i ＝1,2。
高中数学 第二章 概率疑难规律方法学案 北师大版选修23
第二章概率1 离散型随机变量的分布列的求法对离散型随机变量分布列的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出分布列显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的分布列．一、弄清“随机变量的取值”弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．例1 从4张编号1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及此时ξ表示的意义．分析从编号1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．解ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．二、弄清事件类型计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率．例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．甲组乙组分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．分析由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．解由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为三、注意验证随机变量的概率之和是否为1通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．例3 盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X ，用“X ＝x 1”表示小球的编号小于5；“X ＝x 2”表示小球的编号等于5；“X ＝x 3”表示小球的编号大于5，求X 的分布列． 解 随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，x 3，且P (X ＝x 1)＝12，P (X ＝x 2)＝110，P (X ＝x 3)＝25.故X 的分布列为点评 概率分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的概率分布列是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用 i ＝1np i ＝1进行检验．2 独立事件与互斥事件辨析相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念． 一、把握互斥事件中的“有一个发生”求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．例1 李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？分析在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．解李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.二、把握相互独立事件中的“同时发生”相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．例2 甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中试跳成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解记“甲第i次试跳成功”为事件A i，“乙第i次试跳成功”为事件B i，i＝1,2,3.依题意得P(A i)＝0.7，P(B i)＝0.6，且A i与B i相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3，所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(A1B1)＝1－P(A1)P(B1)＝1－0.3×0.4＝0.88.所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.点评本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．归纳总结1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与B，A与B，A与B也都相互独立．4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等.3 概率易混点剖析概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：一、“非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝111. 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和为2只有(1，1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝536.正解掷两枚骰子共有36种基本事件，点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种，所以所求概率P＝5 36.二、“互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对错解 A剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C. 正解 C三、“互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A ＋B ，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝C 23×0.82×0.2＋C 23×0.72×0.3＝0.825. 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB ，于是P (AB )＝P (A )×P (B )＝C 23×0.82×0.2×C 23×0.72×0.3≈0.169.点评 上述例题错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的． 四、“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (AB )”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (B |A )＝69＝23.剖析 本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．正解 P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A ) ＝410×69＝415.4 概率问题与其他知识的综合应用由概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，综合性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法．一、概率与函数例1 在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次．运动员每一次射击命中碟靶的概率p 与运动员离碟靶的距离s (米)成反比，且距离s (米)与碟靶飞行时间t (秒)满足s ＝15(t ＋1) (0≤t ≤4)．现有一碟靶抛出后，某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率． 解 设p ＝ks (k 为常数)，则p ＝k t ＋(0≤t ≤4)，依题意当t ＝0.5时，p 1＝0.8，则k ＝18，所以p ＝6t ＋，当t ＝1时，p 2＝0.6.故此人命中碟靶的概率为p ＝p 1＋(1－p 1)p 2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.点评 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件． 二、概率与不等式例2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有10个球，号码为n (1≤n ≤10，n ∈N ＋)的球的重量为f (n )＝n 2－9n ＋21，现有两种摸球方案：①摸球1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；②一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖．试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小．解 方案①，球的重量小于号码数，即n 2－9n ＋21<n ， 解得3<n <7 (n ∈N ＋)，故n 的取值为4,5,6， 中奖概率为p 1＝0.3；方案②，若第n 号球与第m 号球重量相等(n <m )， 则有n 2－9n ＋21＝m 2－9m ＋21， 即(n －m )(m ＋n －9)＝0， 故m ＋n ＝9 (n 可取值1,2,3,4)， 中奖概率为p 2＝4C 210＝445. 显然p 1>p 2，即方案①的中奖概率大．点评 解决此问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率． 三、概率与递推数列例3 A 、B 两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率为p n ，求p n 的表达式． 解 第n 次由A 掷有两种情况：①第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为1236p n －1；②第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1236(1－p n －1)． 故有p n ＝1236p n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1236(1－p n －1) (n ≥2)， 即p n ＝－13p n －1＋23(n ≥2)．令p n ＋x ＝－13(p n －1＋x )，整理可得x ＝－12，故p n －12＝－13⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－12 (n ≥2)，又p 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是以12为首项，－13为公比的等比数列，于是p n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，即p n ＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1.点评 弄清p n 与p n －1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键．5 深析超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N 件产品，其中M 件是次品，无返回地任意抽取n 件，则其中恰有的次品件数X 是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N 件产品，其中M 件是次品，有返回地任意抽取n 件，则其中恰有的次品件数X 是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过几个例子说明一下两者的区别．例1 从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布．解 由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布． P (ξ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16，P (ξ＝1)＝C 14·C 26C 310＝60120＝12，P (ξ＝2)＝C 24·C 16C 310＝36120＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝4120＝130，故ξ的分布列为点评 这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是0.4.例2 甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X ，求X 的分布列． 解 由题意得：X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 03×0.63＝0.216， P (X ＝1)＝C 13×0.62×0.4＝0.432， P (X ＝2)＝C 23×0.6×0.42＝0.288， P (X ＝3)＝C 33×0.43＝0.064.故X 的分布列为点评 这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X 服从N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布．二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)．②任何一次试验中发生的概率都一样． ③每次试验间是相互独立的互不影响的．6 三法求均值均值是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述． 方法一 利用定义求均值根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求分布列，然后利用公式E ξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．例1 一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话．已知某一时刻电话A ，B 占线的概率为0.5，电话C 、D 占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的分布列和它的均值．分析 先判断ξ的所有可能取值，再根据相应知识求概率． 解 由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (ξ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.4×0.6×0.52＝0.3，P (ξ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12×0.52×C 12×0.4×0.6＋C 22×0.42×0.52＝0.37， P (ξ＝3)＝C 22×0.52×C 12×0.4×0.6＋C 12×0.52×C 22×0.42＝0.2，P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是ξ的分布列为所以E ξ＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.点评 均值与分布列联系密切，正确地求出随机变量的分布列，是求均值的关键．解题时，确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点． 方法二 利用公式求均值有些离散型随机变量如果归结为超几何分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值：(1)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则EX ＝np . (2)若X 服从超几何分布，则EX ＝n MN.例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的均值．解 根据题目所含白球数X 服从参数N ＝10，M ＝5，n ＝4的超几何分布，则EX ＝nM N ＝4×510＝2.所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球．点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义． 方法三 利用性质求均值对于aX ＋b 型的随机变量一般用性质E (aX ＋b )＝aEX ＋b 来求解．例3 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( ) A ．100 B ．200 C ．300D ．400解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以E ξ＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2E ξ＝200. 答案 B点评 解决此类问题的关键是找出变量与变量的内在联系，并正确套用性质．7 正态分布的实际应用正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布，因此，我们要熟练掌握这种概率模型，并能灵活地运用它分析解决实际问题，其中分布密度曲线、几个特殊概率P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997，P (x ＝c )＝0 (c 为常数)应熟练掌握，他们是新课程标准中要求掌握的范畴．正态分布重点要掌握分布密度曲线的性质，会利用几个特殊概率解决简单的问题，特别要注意数形结合思想在求概率中的运用．例1 已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X 服从N (200,182)． (1)计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；(2)如果所用的材料在以98%的概率保证强度大于164，问这批材料是否符合这个要求？ 分析 根据正态分布和正态曲线的性质分析求解． 解 (1)X ～N (μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P (182<X <218)＝0.683.又1＝P (X <182)＋P (182<X <218)＋P (X >218)， 且由正态曲线的对称性可知，P (X <182)＝P (X >218)，∴P (X <182)＝12(1－0.683)＝0.159. ∴P (X >182)＝1－P (X <182)＝1－0.159＝0.841.故所求的概率为0.841.(2)由题意有P (X >164)＝0.98.而164＝μ－2σ，∴P (164<X <236)＝0.954.又由正态曲线的对称性可知P (X <164)＝P (X >236)，且P (X <164)＋P (164<X <236)＋(X >236)＝1，∴P (X >164)＝1－P (X <164)＝0.977<0.98.故这批材料不符合这个要求．例2 已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N (27.45，0.052)，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：27．34 27.49 27.55 27.23 27.4027．46 27.38 27.58 27.54 27.68请帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的．分析 正态变量的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，所以对落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说． 解 有两个零件不符合落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的．8 用独立事件同时发生的概率讲“道理”概率本身就来源于生活，又服务于生活．在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服”．如果不信，我们下面就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理．道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉”．能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元．”我们不妨把一个人的才能分成360个方面．因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.从上面的分析可知，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的．道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的．可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快．我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解 依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次．这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为12，每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题．∴从底层到顶层停不少于3次的概率P ＝C 39⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C 59⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋C 99⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝(C 39＋C 49＋C 59＋…＋C 99)⎝ ⎛⎭⎪⎫129 ＝[29－(C 09＋C 19＋C 29)] ⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝(29－46)⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝233256. 设从底层到顶层停k 次，则其概率为C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫129－k ＝C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫129， ∴当k ＝4或k ＝5时，C k 9最大，即C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫129最大，∴从底层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停4次或5次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的．生活中像这样的现象很多，表明上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果．9 生活中的概率问题在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力．在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等，我们常遇见一些概率问题．下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：一、谁先谁后的问题单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价300元一台．结果有12位希望买一台．于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功”，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！”．再把纸条折好．然后叫十二位员工按先后顺序来抓．请问：这十二位员工拿中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从12张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的概率为12.对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：①第一个人抽中，他抽中的概率，②第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率．同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率．由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响．二、性别问题你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚的听到有3个小孩的声音，但是，因为这3个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女．1．基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？2．当然，你还是没有足够的讯息，确定所有3个小孩的性别．所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？3．如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵．其实这种问题认真分析的话也会感觉其中的乐趣.1.一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为14.2.第二次敲门， 又有一个男孩开门，就只有一个小孩不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为12.3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以全是男孩的概率为12.这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同．三、玩扑克牌中的出牌问题在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了．比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多．如果一个玩牌者经过计算，认定出牌A 比出牌B 获胜的概率大，那么它会出牌A ，尽管出牌A 也有招致失败的风险．可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确．只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率．把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题．四、生日相同的问题如果一个班级有50位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？要直接计算50人中有至少2人生日相同比较困难．我们就先算出全部不同的概率．然后用1减去它就是至少有2人相同的概率了．我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有365种可能，对于学生乙同样有365种可能，所以50位学生生日的情况就有36550种，生日不相同的情况，对于甲有365种可能，乙和甲不同就有364种，所以50位学生生日不同的情况有A 50365种，所以生日不同的概率为A 5036536550，所以至少有两位学生生日相同的概率为1－A 5036536550. 该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观．。
高中数学 第二章 概率教案 北师大版选修2-3
第二章概率§1离散型随机变量及其分布列第1课时随机变量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解随机变量的含义．(2)会用随机变量描述随机现象．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中大量随机现象存在着的数量关系，经历概念的形成过程，从而体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：随机变量的概念．难点：用随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“随机变量”为基本探究内容，以掷骰子试验为突破口，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过各种尝试活动，充分认识理解“随机变量”的概念及应用．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解随机变量的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生加深对随机变量概念的理解．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握用随机变量描述随机现象．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫.正【问题导思】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？(2)在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？【提示】(1)可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．(2)X＝0,1,2，…10.随机变量的概念及其表示(1)随机变量的定义：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)随机变量通常用大写的英文字母如X，Y来表示.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【思路探究】判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天新坐标书业公司信息台接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在将要举行的绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某同学的一件作品获得的奖次；【解】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【思路探究】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，只写出X＝i即可．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．【解】(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.忽视变量的实际意义致误在含有3件次品的100件产品中任意抽取2件，其中次品件数x是一个随机变量，写出x的可能的值，并说明随机变量的取值表示的事件．【错解】随机变量x的可能取值为1,2.x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．【错因分析】忽视了x的实际意义即遗漏了x＝0的情况．【防范措施】解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义．【正解】随机变量x的可能取值为0,1,2.x＝0表示抽到0件次品即抽到的都是正品，x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．2．随机变量与函数的异同点：1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．2颗都是4点B．1颗1点，另一颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点；或者2颗都是2点【解析】由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另一颗是3点；或者2颗都是2点．【答案】 D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】取到次品的件数可能为0,1,2是随机的，可作为随机变量．【答案】 C3．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．【解析】因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4.【答案】 44．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【解】根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．一、选择题1．下列不是随机变量的是( )A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7∶00到中午12∶00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数【解析】选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．【答案】 C2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )A．出现正面向上的次数B．出现正面或反面向上的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面向上的次数之和【解析】掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.【答案】 A3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5【解析】由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.【答案】 B4．下列变量不是随机变量的是( )A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次，击中的环数C．某网站一天的点击量D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾【解析】D对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量，故选D.【答案】 D5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】ξ＝5表示前4次均未击中目标．【答案】 C二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，则X＝5表示的随机试验的结果是________．【解析】两颗骰子的点数之和为5，则共有两种情况，1,4或2,3.【答案】一颗骰子是1点，另一颗是4点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点．7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．【解析】这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.【答案】0,18．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【解析】因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.【答案】－300，－100,100,300三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．【解】X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}个所表示的事件．【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．【解】ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.“ξ＝0”表示第一盏信号灯就停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.(教师用书独具)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①广州国际机场候机室中一天的旅客数量；②某人射击一次命中的环数；③每天游览济南大明湖的人数；④从装有3个红球，2个白球的袋子中随机摸取2球，所得红球的个数；⑤某人的性别随年龄的变化．【思路探究】解答本题可利用随机变量的定义去分析相应的实例．【自主解答】①候机室的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②某人射击一次，可能命中的环数是0,1,2，…，10，这11个结果中出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③每天游览大明湖的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．④从袋子中取球，所得红球的数量可能是0个，1个，2个，其中究竟出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．⑤某人的性别是与生俱来的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．写出下列随机变量的可能取值，并说明相应取值所对应的随机试验结果．(1)袋中装有10个红球、5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.【解】(1)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(2)X的可能取值为3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的2张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的2张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的2张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的2张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的2张卡片．第2课时离散型随机变量及其分布列(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：离散型随机变量分布列及其性质的应用．难点：求离散型随机变量的分布列．教学时引导学生结合学习过的概率，来理解离散型随机变量分布列的概念及性质，通过例题与练习加深对其理解，通过观察、比较、分析找出分布列的特点及求法，以强化重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议教材通过掷骰子试验的例子概括出离散型随机变量分布列的概念，教学时可通过引导启发学生类比函数的表示法来探究分布列的表示方法，通过例题让学生归纳分布列的性质特点，通过独立自主和合作交流进一步理解分布列．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握离散型随机变量及其分布列．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的判定．⇒通过例2及互动探究掌握如何求离散型随机变量的分布列．⇒通过例3及变式训练掌握离散型随机变量的性质及应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.掷一枚骰子，所得点数为x ，x 是离散型随机变量吗？x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？【提示】 是，x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.1．离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把①式列成如下表格：如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为a1a2p1p2….X～[](2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，①p i>0；②p1＋p2＋ (1)(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【思路探究】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】 (1)车辆数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．1．解答此类问题的关键在于明确随机变量的取值是否都能“一一列出”． 2．判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤 (1)分析变量是否是随机变量； (2)考察随机变量的值域；(3)判断这些取值能否按一定顺序列举出来，若能则是离散型随机变量．判断下列变量是否为离散型随机变量： (1)下节课外语老师提问学生的次数η； (2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X ； (3)汽车的使用寿命Y ； (4)小麦的单位面积产量X .【解】 (1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量． (3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示得分数，求X 的分布列．【思路探究】 确定X 的可能取值―→ 求X 取每一个值的概率―→列表【自主解答】 由题意知，X 的可能取值是0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝C 24C 29＝4×39×8＝16.P (X ＝1)＝C 14·C 13C 29＝13.P (X ＝2)＝C 14·C 12＋C 23C 29＝4×2＋39×82＝1136. P (X ＝3)＝C 13·C 12C 29＝3×29×82＝16.P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为1．解答本题首先要明确X 指的是什么，能取哪些值． 2．解答此类题目，要注意解题格式．本例中，若每取到一个黑球得0分，每取到一个白球也得0分，每取到一个红球得2分，其它条件不变，求X 的分布列．【解】 由题意知，X 的可能取值是0,2,4. P (X ＝0)＝C 27C 29＝712，P (X ＝2)＝C 17C 12C 9＝718，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为设随机变量X 的分布列P (X ＝5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．【思路探究】 (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a .(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．【自主解答】 依题意，随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55)＝315＋415＋515＝45，或P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35.故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)．＝115＋215＋315＝25.1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义． 2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．已知随机变量X 的概率分布列，求随机变量Y ＝X 2的分布列.【解】 4与1，即Y 取4这个值的概率为X 取－2与2的概率112与212合并的结果，Y 取1这个值的概率为X 取－1与1的概率312与112合并的结果，故Y 的分布列为离散型随机变量分布列的应用(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】 解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X 的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X ＝3与X ＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【规范解答】 (1)法一 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.4分法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，2分因为P (B )＝C 15C 22C 18C 10＝13，3分所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.4分(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.5分 P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；6分 P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215；7分 P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；8分P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.9分 所以随机变量X 的概率分布列为10分(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.12分离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.1．如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【解析】 根据离散型随机变量的特点易知D 是假命题． 【答案】 D2．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )A.13B.12C.6D.4【解析】 由分布列的性质得m >0，且13＋16＋m ＝1，故m ＝12.【答案】 B3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则n 的值为________． 【解析】 由条件知，ξ取1,2,3，…，n 时的概率均为1n.又∵ξ<4时，n ＝1,2,3，且P (ξ<4)＝0.3，∴3n＝0.3即n ＝10.【答案】 104．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：一、选择题1．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )A.P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0【解析】根据分布列知只有A正确．【答案】 A2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量．【答案】 C3．(2013·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15【解析】2<ξ≤4时，ξ＝3,4.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积记为X，则X所有可能值的个数是( ) A．6 B．7 C．10 D．25 【解析】X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．【答案】 C5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 C 18C 16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C 14C 16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X ＝1.【答案】 C 二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.【答案】 0.37．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为，则q 等于________．【解析】 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【答案】 1－228．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题9．(2013·阜阳高二检测)某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X .(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P (X ＝6)＝C 24A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润． 求Y 的分布列．【解】 Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.故Y 的分布列为图2－1－111．(2013·江西高考改编)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为(教师用书独具)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，。
高中数学第二章概率模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 条件概率和相互独立事件的概率 【例1】 一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品, 从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次 取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 率P(B|A). 解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为: Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…,(4,1),(4,2),(4,3)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
第2章 概率
知识网络
要点梳理
①超几何分布;②二项分布;③均值;④方差;⑤正态分布;⑥3σ原则.
知识网络
要点梳理
1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
������(������������) P(B|A)= ������(������) 2 = . 3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
【例 2】 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件, 甲机 床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4, 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概 率为12 , 甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9.
第二章 概 率复习与小结 教案高中数学选修2-3 北师大版
第二章 概 率复习与小结【知识梳理】1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值 或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3．离散型随机变量的概率分布（1）分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表（2）分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ4．常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布概率分布为((2)二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n ，并且P(ξ＝k)＝C k n p k qn －k (其中k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p)． 显然P(ξ＝k)≥0(k ＝0,1,2，…，n)，∑n k ＝0C k n p k q n －k ＝1. 称这样的随机变量ξ服从参数n 和p 的二项分布，记为ξ～B(n ，p)．（3）、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m 则()m M m n N n M NC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n5．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P(B|A)＝P(AB)P(A). 6．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．7．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k)＝C k n p k (1－p)n －k ，k ＝0,1,2，…，n. 8．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的概率分布为则称E(ξ)＝x 1p1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的均值或数学期望．ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，9、正态分布1）我们称22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．（式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差）2）一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a Xb x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .3）正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学【典型例题】题型一 相互独立事件和独立重复试验例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34. 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？分析：(1)第(1)问先求其对立事件的概率．(2)第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式．(3)第(3)问中，甲恰好射击5次被中止，可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中，第3次击中，后两次未击中两种情况．解：(1)甲至少一次未击中目标的概率P 1是P 1＝P 4(1)＋P 4(2)＋P 4(3)＋P 4(4)＝1－P 4(0)＝1－⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫130＝6581.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P 2＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝827， 乙射击4次恰击中3次的概率为P 3＝C 34⎝⎛⎭⎫343×14＝2764， 由乘法公式，所求概率P ＝P 2P 3＝827×2764＝18. (3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫343⎝⎛⎭⎫142＋C 12⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫143＝451 024.探究提高 (1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生．(2)一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解．变式训练1 某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．求：。
「精品」高中数学第二章概率章末复习课学案北师大版选修2_3
第二章 概率学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题．一、离散型随机变量的分布列 1．定义设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作： ________________________①或把上式列成下表上述表或①式称为离散型随机变量2．求随机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量X 的取值． (2)准确求出X 取每一个值时的概率． (3)列成表格的形式．3．离散型随机变量分布列的性质 (1)________，i ＝1,2，…. (2)________________． 二、条件概率与独立事件 1．A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P ABP A.2．对于两个事件A ，B ，如果________________，则称A ，B 相互独立．若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 3．求条件概率的常用方法 (1)定义：即P (B |A )＝________. (2)借助古典概型公式P (B |A )＝________. 三、离散型随机变量的均值与方差1．定义：一般地，设随机变量X 所有可能取的值是a 1，a 2，…，a n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则EX ＝________________叫作这个离散型随机变量X 的均值．E (X －EX )2是(X －EX )2的均值，并称之为随机变量X 的方差，记为________．2．意义：均值刻画的是X 取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程四、超几何分布与二项分布1．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．那么P(X＝k)＝________________(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX＝________. 2．二项分布在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次独立重复试验中成功的次数，则P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)．称为X服从参数为n，p的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．五、正态分布1．正态分布的分布密度函数为f(x)＝1σ2πexp{－x－μ22σ2}，－∞<x<∞，其中exp{g(x)}＝e g(x)．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称．(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%.P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%.P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.类型一条件概率的求法例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P (B |A )＝P ABP A；(2)P (B |A )＝n ABn A.在古典概型中，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数．跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．类型二 互斥、对立、独立事件的概率例2 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词，每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和均值．反思与感悟(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．类型三离散型随机变量的分布列、均值和方差例3 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．反思与感悟求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的均值与方差．类型四正态分布例4 某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．反思与感悟 (1)记住正态总体在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题．跟踪训练4 已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)的值是________． 类型五 分类讨论数学思想方法的应用例5 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．跟踪训练5 某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)．1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.122．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.1603．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)A ．4.6%B ．13.6%C ．27.2%D ．31.7%4．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________． 5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列和均值．1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P AB P B ⎝ ⎛⎭⎪⎫或P B |A ＝P AB P A 求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n ABn A求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A∪B)＝1－P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用超几何分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布的分布密度函数．(2)理解分布密度曲线的性质．(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率．答案精析知识梳理 知识点一1．P (x ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 3．(1)p i >0 (2)p 1＋p 2＋…＝1 知识点二2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．(1)P ABPA(2)n ABnA知识点三1．a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r DX 2．平均程度越小 知识点四 1.C k M C n －kN －M C n N n M N2．C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )题型探究例1 解 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个， 所以P (AB )＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P ABP A ＝2523＝35.跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .方法一 P (A |B )＝P ABP B ＝336636＝12.方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n (AB )＝3. ∴P (A |B )＝n AB n B ＝36＝12.例2 解 (1)设“英语老师抽到的4个单词中，至少有3个是后两天学习过的”为事件A ， 由题意可得P (A )＝C 36C 16＋C 46C 412＝311. (2)由题意可得ξ可取0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152×25＝2125，P (ξ＝1)＝C 12×45×15×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×35＝19125， P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×25＋C 12×45×15×35＝56125， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×35＝48125. 所以ξ的分布列为故E ξ＝0×2125＋1×19125＋2×56125＋3×48125＝115＝2.2.跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.由对立事件的概率公式，知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝0.45.例3 解 (1)从10人中选出2人的选法共有C 210＝45(种)，事件A ：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次； 共有C 13C 14＋C 23＝15(种)，∴事件A 发生的概率P ＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. (2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415，∴X 的分布列为∴EX ＝0×415＋1×715＋2×415＝1.跟踪训练3 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)X 的可能取值是1,2,3， 则P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16， P (X ＝3)＝56×45＝23，所以X 的分布列为EX ＝1×16＋2×16＋3×23＝52，DX ＝E (X －EX )2＝16×⎝⎛⎭⎪⎫1－522＋16×⎝⎛⎭⎪⎫2－522＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＝712.例4 解 ∵考生成绩X ～N (500,502)， ∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X <600)＝12[P (500－2×50<X <500＋2×50)－P (500－50<X <500＋50)]＝12(0.954－0.683)＝0.136， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.136＝340. 跟踪训练4 0.8解析 由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.例5 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三个问题均答对， 得10＋10＋20＝40(分)．三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)． 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128， P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192，P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.所以ξ的分布列为所以E ξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.跟踪训练5 解 (1)A 直接感染一个人有2种情况，分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡CD，概率是12×13＋12×13＝13；(2)A 直接感染二个人有3种情况，分别是A －⎣⎢⎡B －CD，A —⎣⎢⎡B －D C，A —⎣⎢⎡B C －D，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的分布列为当堂训练1．D [设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A ，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B ，则P (B |A )＝n AB n A ＝24＝12.故选D.]2．B [设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－(1－13)×(1－14)×(1－15)＝1－25＝35，故选B.]3．B [由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ<3)＝0.683，P (－6<ξ<6)＝0.954， 故P (3<ξ<6)＝P －6<ξ－P －3<ξ2＝0.954－0.6832≈0.136＝13.6%，故选B.]4.827解析 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13，所以恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.5．解 设所得两数之和为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,4，P (ξ＝0)＝2×12×13＋2×12×16＋12×12＝34， P (ξ＝1)＝13×13＝19， P (ξ＝2)＝2×13×16＝19， P (ξ＝4)＝16×16＝136.所以ξ的分布列为所以E ξ＝0×34＋1×19＋2×19＋4×36＝9.。
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
高中数学第二章概率整合学案北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章概率整合学案北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2—3知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=⎪⎩⎪⎨⎧•==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====∑=---正态分布连续型随机变量连续型随机变量均值与方差的性质均值与方差独立事件条件概率条件概率与独立事件二项分布超几何分布定义及性质分布列离散型随机变量概率n i i i r r k n k k n n N kn MN k M pEX X DX p a p a p a EX B P A P AB P A P AB P A B P p p C k X P C C C k X P 122211)()()()()()()|()1()()( 综合应用专题一利用分布列的性质解题分布列的计算是概率部分计算的延伸,概率讨论的是某一具体事件概率的计算，分布列讨论的是全部基本事件概率的计算，求解有关离散型随机变量的分布列问题的重要基础是对基本概念的理解和概率的计算.任一离散型随机变量的概率分布列都有如下性质：（1）p i ≥0，i=1，2,3，…,n ；（2）∑==ni 11.已知离散型随机变量的分布列（含未知参数）,可利用两条性质求出其中的未知参数。
【例】随机变量X 的分布列如下表，求常数a.解：由离散型随机变量X 的概率分布列的性质（2）知： 0。
高中数学 第二章 概率小结与复习(一)教案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学教案
第二章概率一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。
教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、知识梳理1、随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、…表示。
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．离散型随机变量X的分布列的性质：（1）（2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
3、二点分布如果随机变量X的分布列为，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．4、超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（０≤≤，为n和M中较小的一个）。
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．5、条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
一般把读作“A发生的条件下B的概率”．古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。
6、条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。
如果B和C是两个互斥事件，则.7、事件的独立性：设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修23
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2-3知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=⎪⎩⎪⎨⎧•==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====∑=---正态分布连续型随机变量连续型随机变量均值与方差的性质均值与方差独立事件条件概率条件概率与独立事件二项分布超几何分布定义及性质分布列离散型随机变量概率n i i i r r k n k k n nN kn MN k M pEX X DX p a p a p a EX B P A P AB P A P AB P A B P p p C k X P C C C k X P 122211)()()()()()()|()1()()(Λ 综合应用专题一利用分布列的性质解题分布列的计算是概率部分计算的延伸，概率讨论的是某一具体事件概率的计算，分布列讨论的是全部基本事件概率的计算，求解有关离散型随机变量的分布列问题的重要基础是对基本概念的理解和概率的计算.任一离散型随机变量的概率分布列都有如下性质：（1）p i ≥0,i=1,2,3,…,n;(2)∑==ni 11.已知离散型随机变量的分布列（含未知参数），可利用两条性质求出其中的未知参数.解：由离散型随机变量X 的概率分布列的性质（2）知： 0.16+10a +a 2+5a+0.3=1, ∴10a 2+3a-5.4=0. ∴a=53或a=-109. 又由分布列的性质（1）知：概率的数值不可能为负，∴a=-109舍去. 故所求常数a=53.绿色通道:离散型随机变量的概率分布列的性质指的是表中的第二行概率的特点，而且，离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和..专题二事件的相互独立性【例1】有三种灯泡，合格率分别为0.90,0.95,0.95，现各抽取一件进行检验.求:（1）恰有一件不合格的概率；（2）至少有2件不合格的概率.分析：设从三种灯泡中抽到合格品的事件分别记为事件A、B、C，显然A、B、C是相互独立的，并且事件“恰有1件不合格”及“至少有2件不合格”均可由A、B、C及其对立事件来表示.解：设P（A）=0.90,P(B)=0.95,P(C)=0.95.(1)恰有1件不合格的概率为P(A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.10×0.952+0.90×0.05×0.95+0.90×0.95×0.05=0. 175 75.(2)至少有2件不合格的概率为P（A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C）=0.10×0.05×0.95+0.10×0.95×0.05+0.90×0.052+0.10×0.052=0.012.绿色通道:该例综合性较强，需将复杂的事件分解为互斥事件的和以及独立事件的积，或其对立事件.【例2】制造一种零件，甲机床制造的产品中正品率为0.96, 乙机床制造的产品中正品率为0.95，从它们制造的产品中各任抽一件，求：（1）两件都是正品的概率是多少？（2）恰有一件正品的概率是多少？分析：分别用A、B表示从甲、乙机床制造的产品中抽得正品.由题意知A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件.解：(1)“两件都是正品”记为事件AB，则P（AB）=P（A）·P（B）=0.96×0.95=0.912. (2)“恰有一件正品”记为事件A B∪A B,则P（A B∪A B）=P（A B）+P(A B)=(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.绿色通道:解决此类问题，必须弄清楚：若A与B互相独立，则A与B，A与B都相互独立，A B与A B互斥.专题三离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此不仅要掌握其计算公式，还要掌握其计算方法.一、利用定义求期望根据定义求离散型随机变量的期望首先要求分布列，然后利用公式EX=a1p1+a2p2+…+a r p r求解.【例1】某人参加工作竞聘，需回答三个问题，竞聘规定，每题回答正确得100分，不正确得-100分，假定这名竞聘者每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.求这名竞聘者回答这三个问题的总得分的数学期望.分析：先求分布列，再利用定义求期望.解：故设X 为这名竞聘者的总得分，则X 的可能取值为-300，-100，100，300.P(X=-300)=0.23=0.008,P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384,P(X=300)=0.83=0.512. 故X 的概率的分布列为所以EX=（-300）×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. 绿色通道:期望与分布列联系密切，分布列离不开概率，而概率又离不开排列组合.正确地求出随机变量的概率分布，是求数学期望的关键.解题时，确定随机变量X 取哪些值及其相应的概率，是利用定义求期望的重点.. 【例2】已知随机变量X 的分布列如下:求随机变量X 的期望.分析：要求随机变量X 2的期望可考虑先求出其分布列，然后利用定义求解.2利用X 的分布列求EX ，得 EX 2=0×0.1+1×0.4+4×0.5=2.4.另外我们也可以直接利用随机变量X 的分布列求EX 2，EX 2=（-2）2×0.2+(-1)2×0.1+02×0.1+12×0.3+22×0.3=2.4. 这两种算法实质上是一致的，后者是利用随机变量X 的分布列直接进行计算，同样的方法也可以计算EX 3，EX 4等.二、利用分布模型的期望公式求数学期望 （1）若X 服从两点分布,则EX=p.（2）若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则EX=NmM. (3)若X —B （n,p ），则EX=np. 【例3】某寻呼台共有客户3 000人，若寻呼台准备了100份礼物，邀请客户在指定时间来领取，假设任意客户去领奖的概率为4%，问：寻呼台能否向每一位客户都发出邀请？若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？分析：来多少人是一个随机变量，而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖的人数，即能说明问题.解：设来领奖的人数X=k(k=0,1,2,…,3 000),所以P （X=k ）=C k3000(0.04)k·(1-0.04)3 000-k.可见X —B （3 000，0.04）. 所以EX=3 000×0.04=120(人).所以寻呼台不能向每一位客户都发出邀请，若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备120份礼品.绿色通道:数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值. 三、利用方差的性质求期望【例4】随机变量X 的数学期望EX=2,方差DX=4，求EX 2的值.分析：本题首先要找出EX 与DX 之间的关系，进一步探讨EX ，DX ，EX 2三者之间的关系，寻找解题的突破口.解：EX 2=x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…DX=(x 1-EX)2p 1+(x 2-EX)2p 2+(x 3-EX)2p 3+…=(x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…)-2EX(x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3+…)+(EX)2(p 1+p 2+p 3+…) =EX 2-2EX·EX+（EX ）2 =EX 2-（EX ）2.将EX=2，DX=4带入上式得4=EX 2-22.∴EX 2=8.绿色通道:此题利用了方差的性质DX=EX 2-（EX ）2进行求解.如再进一步求E （4X 2-3）可得E（4X 2-3）=4EX 2-3=4×8-3=29.. 四、利用导数求期望 【例5】射手击中目标的概率为p(0<p<1)，求开始射击到击中目标所需要的射击次数X 的期望.分析：利用导数公式（q k）′=kq k-1,及∞→k lim (q+q 2+q 3+…+q k)=∞→k lim qqq q q k -=--11)1(求解.解：P （X=k ）=p(1-p)k-1（k=1,2,3, …）,记q=1-p,则由分布列的性质得∑∞=1k =1(1-q)q k=1,即∑∞=1k q k=q q -1,两边对q 求导，得∑∞=1k kq k-1=2)1(1q -. ∴EX=∑∞=1k kp(1-p)k-1=(1-q)∑∞=1k kq k-1=(1-q )·.1)1(12p q =- 绿色通道:本题巧妙地将EX 转化为EX=（1-q ）∑∞=1k kq k-1=(1-q)∑∞=1k (q k)′,利用导数和极限以及等比数列求和公式求解..专题四期望、方差中的最值问题【例】若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数.(1)求方差DX 的最大值.(2)求EXDX 12-的最大值. 分析：利用二次函数及均值不等式求最值.解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，并且有P （X=1）=p ，P （X=0）=1-p. 从而EX=0·（1-p ）+1·p=p,DX=（0-p ）2（1-p ）+（1-p ）2p=p-p 2. （1）DX=p-p 2=-（p 2-p+41）+41=-（p-21）2+41. ∵0<p<1, ∴当p=21时，DX 取得最大值41. (2))12(21)(2122pp p p p Ex DX --=--=-. ∵0<p<1, ∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1时，即p=22时取“=”.因此，当p=22时，EXDX 12-取得最大值2-22. 绿色通道:显然随机事件A 服从两点分布，易求得EX 和DX ，求DX 的最大值用二次函数，求EXDX 12-的最大值则用均值不等式. 科海观潮概率论的缘起与发展1.概率论的缘起对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却来自赌博者的请求.在17世纪的许多欧洲国家里，贵族之间盛行赌博之风，而掷骰子则是一种常见的赌博方式.这种骰子的形状为小正方体，当它被掷出时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的.这时期，法国一位热忠于掷骰子赌博的贵族德·梅耳发现了这样一个事实：将一个骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两个骰子掷24次至少出现一次双6的机会却很少.这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题.此后又提出了“分赌注问题”：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了.现在一个人赢a(a<s)局，另一个人赢b(b<s)局，赌博因故中止.问赌局应怎样分法才合理？诸如此类计算可能性大小的赌博问题困扰了梅耳很久，于是他向当时的法国数学家帕斯卡请教了上述问题.帕斯卡思考了这个问题，且将这个问题及自己的解法又寄给了另一个数学家费马，从1654年7月9日起，帕斯卡与费马便开始互相通信来讨论这一问题，并对这一问题首次得出了正确答案，之后他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望.费马与帕斯卡通信讨论的问题被来到巴黎的荷兰数学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地对此问题进行了研究，他经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题.1657年，惠更斯的著作《论赌博中的计算》出版，此书是概率论最早的论著，提出了数学期望、概率的加法定理与乘法定理等基本概念.因此，可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯.2.概率论的发展在三位创立者之后，为概率论成为一个独立的数学分支作出贡献的是瑞士学家雅各布·贝努利.他在前人研究的基础上继续分析赌博中的其他问题，他证明了掷n个骰子所得总点m这样场合的数为（x+x2+x3+x4+x5+x6）n展开式中x m这一项的系数，这不仅是概率论的一个妙解，而且开了母函数的先河.1713年出版了雅各布·贝努利的遗作《猜度术》，建立了概率论中的第一个极限定律，即贝努利大数定律.这一定律指出，概率是相对频率的数学抽象，贝努利的这一理论在概率的发展史上起到了理论奠基的作用，是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果.19世纪初期概率论的巨大进步是和法国科学家拉普拉斯分不开的.他将古典概率论向近代概率论推进.1812年，拉普拉斯的名著《分析的概率理论》出版，在书中他系统地总结了前人关于概率的研究成果，明确了概率的古典定义，在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，把此前各数学家关于概率的零星结果系统化.1814年第二版的书名换为《概率论的哲学导论》，书中给概率下的定义是：“有利情况的个数与所有可能情况个数之比.”他还证明了“隶莫弗——拉普拉斯定理”，把隶莫弗的结论推广到一般场合.概率论在19世纪后期再度迅速发展起来，这一时期的主要成就是中心极限定理，主要人物是俄国的切比雪夫，他于1866年建立的独立随机变量的大数定律，使贝努利和泊松的大数定律成为其特例，他还把隶莫弗与拉普拉斯的极限定理推广成一般的中心极限定理.1906年，切比雪夫的学生俄国数学家马尔科夫提出了有名的“马尔科夫链”.从20世纪20年代起，前苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论.1933年他出版了《概率论基础》，他的这本书中建立了柯尔莫哥洛夫公理化概率论，即概率论的公理体系，他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支.。
高中数学 第二章《概率》全部教案 北师大版选修2
北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》全部教案§1 离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量一、教学目标：1、知识目标：⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
2、能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。
3、情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题五、教学过程（一）、复习引入：1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ.随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
2．样本空间:样本点：在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有Ω={ω1，ω2，ω3，… }3.古典概型的特征：古典概型的随机试验具有下面两个特征：（１）有限性.只有有限多个不同的基本事件;（２）等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.概率的古典定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n ，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（），则定义事件Ａ的概率为.即(二)、探析新课：1、随机变量的概念：随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究．有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量．2、随机变量的定义：如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点，变量 都有一个确定的实数值与之对应，则变量 是样本点 的实函数，记作 ．我们称这样的变量 为随机变量．3、若随机变量 只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形 （三）、例题探析例1、（课本例1）已知在10件产品中有2件不合格品。
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江西省九江市实验中学高中数学第二章第十六课时《概率》本章小结与复习（二）教案北师大版选修2-3
一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。
教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、典例探析
例1、一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
解析：随机变量X的可能取值为3，4，5，6。
从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“X=3”包含的基本事件总数为，事件“X= 4”包含的基本事件总数为；事件“X=5”包含的基本事件总数为；事件“X=6”包含的基本事件总数为；
从而有，
∴随机变量X的分布列为
取球次数X的分布列。
解析：X的所有可能取值为：1，2，…，n，…令表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为p = 0. 1，于是得：，
，…
因此分布列为
例3、有一批种子的
发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率。
解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB （发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为：
根据条件概率公式
，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.2.
例4、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到
红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。
（1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，
求X 的分布列；（2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解析：（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相
互独立的，故，以此为基础求X 的分布列．
由，所以X 的分布列为k=0，1，2，3，4，5，6。
（2）由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5。
其中：
表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k +1
个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． 而
表示一路没有遇上红灯，故其概率为， 因此Y 的分布列为：
所以其概率为 。
例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
试评定这两个保护区的管理水平．
解析：甲保护区的违规次数X
l的数学期望和方差为：
，。
乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：，。
因为，，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，所以乙保护区的管理水平相对要好．
（二）、课堂练习：课本P68页复习题二中A组9
（三）、作业：课本P68页复习题二中A组10、11；B组1、2。