007第七章 水文频率计算1110

关于国内采用的分布线型：我国水利水电设计洪水设计规范推荐使用P-III型
分布，特殊情况可以使用其他线型，如对数正态分布，GUMBEL分布等。

参数估计：已知实测资料，分布线型推求总体参数（适线
法，概率权重矩法，线性矩法，权函数法）
参数估计有两种常用的形式，即点估计和区间估计
点估计
所谓点估计就是用一个具体的数值去估计一个 未知的参数。
太复杂了，因此，必须想办法简化计算。
为了简化，可以对X作标准化变换，即 标准化后的变量


X EX

也是随机变量，常数为离均系数，若X的数字特征为 ，方差为1， Cs Cs EX , , Cs， 则的均值为0
的最小值为：
0
a EX


2 2 Cs Cs

2500 1000 ② p 3.00 0.50 1000
查 p值表,当CS 2.00时, 如p 1%, 则 P 3.605
如p 2%, 则 P 2.912
线性内插得出相对应 P 3.00时的p值为1.87％， 即P ( X 2500) 0.0187.

从方程组
可解出



以后在不造成混淆的情况下，随机变量与普通变 量不再严格按大小写作区分。
例 题

例：设（X1,X2 , … , Xn )为总体X的一个样本，求总 体的均值a , 及方差σ2的矩估计。 解：
1 n EX a 1 X i 样本平均值 n i 1

D X EX EX 2 1
求未知参数点估计的方法很多,
一般 可以分成两类：一是数理统计中使用 方法，如矩法和极大似然法；另一类 是水文统计中使用方法，包括我国水 文计算中广泛使用的适线法，权函数 法、概率权重矩法，线性矩法等。下 面主要介绍矩法和极大似然法，适线 法，还要简要介绍水文统计中新方法。
二、参数点估计的矩法
当
Cs 0,
，此时
为标准化正体分布∴结论是对的
x EX ,由于x与是严格单调函数，故 dx 1 EX a EX a e f f x x d 2
例:设X服从P–Ⅲ型分布,且 E ( X ) 1000, CV 0.50, CS 2.00 求 ① p 0.2%的x p的值, ② P ( X 2500)。 解 ① 查 p值表,对于CS 2.00, p 0.2%, P 5.215
故 x p E ( X )( pCV 1) 1000(5.215 0.50 1) 3607
②
2Cv Cs 1 k min
K min
xmin x
2Cv 实测最小值x min a EX 1 Cs 2Cv 1 k min Cs 2Cv Cs 1 K min 2Cv 综上所述 2Cv Cs 1 k min
(2)P-III型分布频率曲线 (xp~p的关系) X的超过累积概率为
0
样本的函数，是随机变量，估计值是一个具体数值，它是 估计量U的一个取值。这就是点估计的思想方法。
具体问题： 随机变量X ，F(x)已知，并已有 x1 , x2 ,, xn
1 , 2 , l 样本，但其中
l
，
l 个参数未知，
一般为3个。点估计基本步骤： A：把实测样本（ x1 , x2 ,, xn ）当作随机样本（
100
0
0.1
1
10
50
90
99
99.9 P(%)
模 比 5 系 数 K 4
3 2
1 0 0
0.1 1 2
10 30 50 70 90 95 98
99.9 P(%)
模 比 系 数 K
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.1 0.5 1 2 10 30 50 70 90 95 98 99.9 P(%)
2 2 2 2
2
1 1 2 1 X i X i Xi X n n n
第 七 章
水文频率计算
水文频率计算


§7-1
§7-2
概述
几种理论分布的频率计算与分析


§7-3
§7-4
参数点估计的数理统计法
参数点估计的水文统计法


§7-5
§7-6
估计量好坏的评判标准
参数的区间估计
§7－1 概 述

问题的提出(堤防高度，历史洪水加成,频率计算,设计标准) 基本问题: 线型选择, 参数估计 线型选择: 理论导出 (中心极限定理,极值分布,物理机制) 因其不同程度假定往往不能满足,一般通过线型与实测数 据拟合作出判断)。不同国家洪水特性不同，结果不一样。
P P X x P
xP
1 x a x a e dx
在 EX , Cv, Cs给定后, 可唯一确定 , , a ,因此， 只要EX , Cv, Cs 已知，可通过积分求出不同 xP 对应的P值。有于不同
p ~ x P 则可以画出频率曲线。但这样求解工作量太大，
求p=0.01的情况下的设计值xp =?
另求Cs=2.05,p=0.2%时的设计值 xp
=
(3)P-III型频率曲线绘制

海森几率格纸，横坐标是频率，纵坐标水文变量，
正态分布成直线，偏态分布曲线（p163,例子）
分布参数对
Cs
300
Cv=0.5 Cs=1.0 200
参数的区间估计
所谓区间估计就是估计参数所在的区间，也就是说用 一 个区间估计未知参数。
§7－2 几种理论分布的频率计算和分析
1，P-III型分布 （重点） 2，对数正态分布
3，耿贝尔分布
1, P-Ⅲ型分布频率计算

(1) P-Ⅲ型分布的密度曲线形状
f ( x) ( x a0 ) 1 e ( xa0 ) x a0 式中a0 , , 0为参数。 ( )
Cs 4

2
有关，那么只要给

p 可通过积分求得p 即
2 p p p
p


1
e d
Cs ~ P ~ p
由于上式右边只是Cs的函数，故可以编制
关系数值表,这方面工作已有人做好;本书在附表4列出了
0<α<1 α=1
1<α<2 α=2 α>2 0
a0
x
4 CS 2
铃形比较符合实际
结合水文随机变量物理性质，从理论上讲，在水文中应用 P-Ⅲ型分布时，三参数应满足以下二个关系：
①
, Cs 2Cv原因是水文变量最小值
a 0, 而EX a 0
2Cv a EX 1 0 Cs 2Cv Cs
假设X 的分布函数为F ( x; u ),u 为未知参数其取值范围
0 0
称为参数空间( X 1 , X 2 , , X n )为X 的样本,构造一个估计 u 的统计量U U ( X 1 , X 2 , , X n ),作为待估参数u 的估
0 0
计,并称U 为u 0的估计量,当有了一个具体样本 ( x1 , x2 , , xn )时,把它代入U的表达式,就得到U的一个观 测值u u ( x1 , x2 , , xn )并称此u值为u 的估计值。估计量是

EX a
1
2

e




1
e
从以上所推导出离均系数分布密度可知，该分布密度仅与
当0<α<1时，2<CS <∞， 密度曲线呈乙型，以x轴 和当α=1时，CS =2，密度曲 x=a0为渐近线 线仍呈乙型，但左端截止 当1<α<2时， 21/2 <CS 在曲线的起点，右端以x轴 <2 ， 密度曲线呈铃型，左端截止 为渐近线 在曲线的起点并在该点处与 当α=2时， CS =21/2，密 x=a0相切，右端以x轴为渐 度曲线呈铃型，左端截止 近线 当α>2时， CS < 21/2 ， 在曲线的起点，起点斜率 密度曲线呈铃型，在起 为β2，右端以x轴为渐近线 点处与x轴相切，右端 以x轴为渐近线
E ( X ) a0，
CV a0
D( X ) 2 。
2
CS
2

。
由此，三个原始参数，，a0可以用 基本参数E ( X ), CV , CS 表示如下
2CV a0 EX (1 ) CS
2 EXCV CS
4 CS 2
f(x)
X 1 , X 2 ,, X n ）一次观测值。
作为总体参数 i0 B：构造统计量 i X 1 , X 2 ,, X n i
^
的估计量。

确定估计方法
C：分析 i 的统计性能(抽样误差大小)。

D：以 x i 代替 X i 所得的估计量 i 作为总体参数的估计值。
Cs ~ P ~ p
关系表，表中 Cs
取值0~5.0,取86数位,P取值0.01%~99.9%共26位,表格形式。
皮尔逊Ⅲ型分布 p 值表
p% Cs 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 1.95 2 4.9 5 0.01 3.719 3.768 3.807 3.849 3.892 3.935 3.978 8.1 8.21 14.04 14.22 0.02 3.54 3.582 3.619 3.657 3.695 3.734 3.773 7.42 7.517 12.54 12.69 0.05 3.291 3.325 3.357 3.389 3.422 3.455 3.488 6.522 6.601 10.58 10.7 0.1 3.09 3.119 3.148 3.176 3.205 3.233 3.262 5.842 5.908 9.128 9.22 0.2 2.878 2.903 2.927 2.951 2.976 3 3.024 5.161 5.215 7.705 7.771 0.5 2.576 2.595 2.613 2.632 2.651 2.67 2.688 4.261 4.298 5.88 5.917 1 2.326 2.341 2.356 2.37 2.385 2.4 2.414 3.579 3.605 4.557 4.573 2 2.054 2.064 2.075 2.086 2.096 2.107 2.118 2.897 2.912 3.301 3.301 3 1.881 1.889 1.898 1.906 1.914 1.923 1.931 2.497 2.507 2.608 2.598 „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ 99.9 -3.09 -3.061 -3.033 -3.005 -2.976 -2.948 -2.92 -1.024 -0.999 -0.408 -0.4