理论力学第1章-1

r r r 0 v v0 v
牵连速度
相对速 度
绝对速度
2. 绝对加速度、相对加速度与牵连加速度
a a0 a
绝对加速度
牵连加速 度
相对加速度
[例2] 小船被河水冲走，用绳拉回，设流速c1与绳速c2为常数， 求小船的轨迹。
§1.4 质点运动定律 1．牛顿运动定律 1) 牛顿第一定律
r(t)
0
（2）质点的位移与坐标系的选择 无关 2）路程：在一段时间内质点在 其轨迹上经过的路经的总长度。
Δr r(t+Δ t )
无限小位移 dr ,
有限位移 r ,
r s
dr ds
3）瞬时速度
r dr 定义： v lim lim r t 0 t 0 t dt
●反力画法
2. 运动微分方程的解 理论力学的主要任务，就是根据具体问题进行具体分 析，建立运动微分方程组，然后求解这些方程组．还要对 所得的结果加以分析，阐明它们的物理含义． I．自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动 ——力只是时间的函数
设电场为 E Ex i E0 cos t i 电子受的力为 F eE eEx i eE0 cos t i
di d dj d 由 j, i dt dt dt dt di dj 可得 j, i d d ds i si 速度 v vi dt
加速度 a d vi

ds d
dt 2 d s ds di dv v 2 i i j 2 dt dt dt dt
即，两物体之间的相互作用力和反作用力沿同一直线， 大小相等，方向相反，分别作用于两个不同物体上。
2. 伽利略相对性原理 不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该 系统作匀速直线运动的速度。 由此可推出：对于力学规律来说，一切惯性系都是等 效的。也即，牛顿运动定律在任何惯性参照系都成立。
若惯性系S’相对另一惯性系S沿x 轴方向以速度V 运动，则两惯性系间坐标和时间的变换关系为




于是
2 i r 2r j a r r






ar r 2 r a r 2 r

径向加速度
横向加速度
补：柱坐标系
z
R
o
P( r , , z )
R rer zez
运动微分方程
d 2x dv m 2 m eE0 cos t dt dt
求解运动微分方程
dv m eE0 cos t dt eE0 v sin t C1 积分得 m eE0 代入初始条件 t 0, v v0 得到 C v sin 1 0 m
m r 2 Fr r , ; r , ; t r

2) 约束运动微分方程 方法： 去掉约束，代之以约束反作用力
mr F r , r , t R


R n A
F
B
线约束运动（通常用内禀方程） 对光滑曲线
dv m F dt v2 m Fn Rn
对B点
于是

2

M点加速度
2.极坐标系
di dj d v d ri r j i j , 加速度 a dt dt dt dt d dr di j ri ri dt i r dt r 第一项 dt d dr d j dj 第二项 r j r j r dt dt dt dt 2 r r j r i

b
τ
0 Fb Rb
其中曲率半径可由约束方程求出
y f
不光滑线约束， 还应考虑摩擦力
x
1


y
F r , r , t R f mr


1 y
2
3/ 2
典型例子
支持物体的固定面（图4a、b，图5）；相互啮合齿 轮的齿面（图6）；机车中的导轨、铁轨等
dR j zk ri dt
z
y

x
r
2 a r i r 2r j r zk



3.自然坐标系(内禀坐标系)
自然坐标：选择轨迹上一点O′为“原点”并用由原点至质 点 位置的弧长s作为质点坐标。 利用自然坐标系，质点运动方程可写为 s=s(t)

ds , 由于 d
1 dv R v mg sin 得到 v d mg cos
解方程需知道 R v 如果设 v f
dv dv v dt ds

则有
f dx dx ds v cos d ds d g g
是轨道的参数方程
3. 位移、速度与加速度
1)位移：位置矢量的增量
在直角坐标系中
z
r r (t t ) r (t )
r xi yj zk
P1
·
0
ΔS
Δr
·
P2
r(t)
r(t+Δ t )
y Δr
注意 x （1）质点的位移是矢量，其大小
r r r2 r1
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
§1.2 速度、加速度的分量表示式 §1.3 平动参照系 §1.4 质点运动定律
§1.5 质点运动微分方程
§1.6 非惯性系动力学（一） §1.7 功与能
§1.8 质点动力学的基本定理与守恒定律
§1.9 有心力
§1.1 运动的描述方法
1. 参照系与坐标系
参照系 为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标 准的某物体上固连的框架。 坐标系 为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上 建立的数学体系。 注意 • 参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的； • 参照系是物理的，坐标系是数学的。
x ' x Vt ' y y ' z z t ' t
这就是伽利略变换，可看作是伽利略原理的数学形式。
§1.5 质点运动微分方程
1. 运动微分方程的建立 运动微分方程的矢量形式 1) 自由质点运动微分方程
mr F r , r , t
代入上式再次积分，并设
t 0,
x x0
eE0 eE0 eE0 x x0 cos v0 sin t cos t 2 2 m m m
讨论
eE0 eE0 eE0 x x0 cos v0 sin t cos t 2 2 m m m


mx Fx x, y, z; x, y, z; t
直角坐标系
my Fy x, y, z; x, y, z; t mz Fz x, y, z; x, y, z; t
平面极坐标系
m r 2r F r , ; r , ; t
x y z cos , cos , cos r r r
cos2 cos2 cos2 1
常用的还有 极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系
2.质点的运动学方程与轨道 质点运动时，其位矢是时间的函数
r r (t )
这就是质点的运动学方程，它包含了质点运动的全部信息。
2 2
2
f dy dy ds v tg tg sin d ds d g g
z
速度的大小——t
速度的方向： 轨道切向并指向质点 前进方向
v (t )
P1
·
r(t) 0 x
v (t+Δ t ) r(t+Δ t )
y v (t ) Δv v(t+Δ t)
P2
·
4）瞬时加速度
2 dv d r a lim 2 r t 0 t dt dt
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态。直到 作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。 2) 牛顿第二定律 F i ma
i
即，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外 力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与和外 力的方向相同。 3) 牛顿第三定律
F21 F 12

§1.2 速度、加速度的分量表示式
1.直角坐标系 dr dx dy dz 速度 i j k xi y j z k dt dt dt dt
dv dvx dv y dvz 加速度 a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
补：空间曲线、密切平面
法向平面
主法线方向
n
B
密切平面
切线方向
A
b
副法线方向


u
dy p tan , tan 1 =1 , tan 2 1 dx y
5 1 4
7 2 4
v ue
k
§1.3 平动参照系
1. 绝对速度、相对速度与牵连速度 x x0 x y y0 y z z z 0
常数项 线性项 振荡项
eE0 eE0 v v0 sin sin t m m