电子科技大学_矩阵理论课件!共131页文档
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矩阵理论_课件_11
2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身
西安电子科技大学线性代数精品课课件
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ×1 2 × 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (1) ⎜ − 2 ⎟ (1 2 ) = ⎜− 2 × 1 − 2 × 2⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ×1 3 × 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞ ⎛2 −2 BA = ⎜ ⎟ ⎝− 2 2⎠
⇒ AB = BA.
若AB=BA, 则称A与B可交换.
例4 计算下列乘积：
(1) ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 ⎟(1 2) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 6 12⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ (2) (1 ,−1,0)⎜ 4 9 42⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ − 8 10 33⎟⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
称为列矩阵(或列向量).
（4）同型矩阵与矩阵相等的概念: 1. 行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵.
例如
⎛1 ⎜ ⎜5 ⎜3 ⎝
6 −4
2 ⎞ ⎛ 14 ⎟ ⎜ 6 ⎟与⎜ 8 ⎟ 7⎠ ⎜ 3 ⎝
10 ⎞ ⎛ 2 ⎟与⎜ 5 ⎠ ⎝0
3⎞ ⎟ 4 ⎟ 为同型矩阵. 9⎟ ⎠
0 6 − 7⎞ ⎟是同型矩阵 . 3 ⎠
x 3⎞ ⎟, 1 z⎠
已知 A = B , 求 x , y , z .
解
Q A = B,
∴ x = 2, y = 3, z = 2.
(5)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
⎛ a11 ⎜ 0 A=⎜ ⎜L ⎜ ⎝ 0
a12 L a1n ⎞ ⎟ a22 L a2 n ⎟ L L L⎟ ⎟ 0 L ann ⎠
( 6)若A是n阶方阵 , 则记 Ak = AAL A,
并称之为 A的k次幂 , k个A
m n m+n
易知 : ( A ) = A
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵理论第3章课件
y 1e1 2e2 nen ，
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。 证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因 此 x 1 0； （2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概 念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性： （1）当 x 0 时， x 0 ； （2） x x ； （3） x y x y ， 以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。 现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x
1 ，(1,…,
n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。 证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因 此 x 1 0； （2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概 念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性： （1）当 x 0 时， x 0 ； （2） x x ； （3） x y x y ， 以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。 现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x
1 ，(1,…,
n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。
矩阵论合成版 西电课件
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举,表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合, 其元素用x,y,z等表示, 并称之为向量；K 是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V∈时，有唯一的和+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质x y V（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律x y y x+=+；（3）存在零元素0, 使x 0x +=；（4）存在负元素, 即对于任一向量x V ∈，存在向量y V ∈，使x y 0+=，且称y 为x 的负元素，记为x -。
则有()x x 0+-=。
（II ）在V 中定义一个数乘 (数与向量的乘法) 运算，即当x V ∈，k K∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+； （6）分配律 ()k l x k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵论ppt
a
则称方阵范数 A 与向量范数 x a 是相容的.
4 February 2018 河北科技大学
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矩阵论
性质:
（1 ） P n n 上的每一个方阵范数,在 P n 上都存在与它 相容的向量范数;
（2 ） P n n 上任意两种方阵范数 A a , A b 都是等价的, 即 存 在 两 个 与 A 无 关 的 正 的 常 数 C1 , C2 , 使 得 对
证
矩阵论
j H n n H n
1 H n
j 1
j 1 i 1
4 February 2018
河北科技大学
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矩阵论
注 （1 ） F - 范数的优点之一是矩阵乘以酉矩阵U 之 后 F -范数不变，即: UA F A F AU F . 事实上:
H A ( A A); （3） 2
nn
n n Cc ,则
列模和最大者
行模和最大者
H
H
( A A) 是 A A 的最大特征值
2
（4） A
F
a
j 1 i 1
n
m
ij
tr A A ;
H
F -范数
4 February 2018
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矩阵论
矩阵序列的极限计算具有以下性质:
设 Am 和 Bm 为两个 n阶矩阵序列
lim Am A ,则对 Cnn 中任何方阵范数 ， Am 有界； （1 ） 如果 m
矩阵理论-第八讲.ppt
k
逆命题不成立
A(k )
(1)k
1
1
k
1 2
: Cmn R
k A(k) ?
lim A(k) lim
k
F k
6
(k
1 1)2
6
{a1(1k )} 不收敛
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1, lim A(k) A 0
A)
A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和
x A1 b A1 b A A1 b
x
x
b
b
A
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A)
A
A
注意到当 A1 A 1 时
为A的奇异值
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-4
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
兰州大学信息科学与工程学院
A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-9
逆命题不成立
A(k )
(1)k
1
1
k
1 2
: Cmn R
k A(k) ?
lim A(k) lim
k
F k
6
(k
1 1)2
6
{a1(1k )} 不收敛
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矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1, lim A(k) A 0
A)
A
A
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矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和
x A1 b A1 b A A1 b
x
x
b
b
A
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A)
A
A
注意到当 A1 A 1 时
为A的奇异值
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矩阵理论第8讲-4
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
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A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
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矩阵理论第8讲-9