(中考数学专题四)一元二次方程与二次函数

（中考数学专题4 ）一元二次方程与二次函数
【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．
⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．
【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点()11A --，
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，
若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．
（1）求b 的值；
（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，
请说明理由；
（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴
无交点，求k 的最小值．
【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2
5
a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．
【例5】已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。

总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。

这种题目大多包涵多个小问。

第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。

第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。

至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

一元二次方程与二次函数训练题
【思考1】已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
()1
2
y x b b k =
+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
【思考2】已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
【思考3】已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax 2
-bx+kc
（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；
（2）求代数式akc
ab
b k
c +-22)(的值；
（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思考4】已知：关于x 的一元二次方程2
2
(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122
11
m x x m +-=+-，求m 的值．
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数，
∴123k =，
，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；
当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．
当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为
2246y x x =+-．
（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于
A B 、两点，则(30)A -，，(10)B ，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线12y x b =
+经过A 点时，可得3
2b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得1
2
b =-．
由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322
b -<<．
【思考2解析】
证明： []2
2
=2(23)-4414884m m m m ---++ （）=
0,m > 840.m ∴+>
∴方程有两个不相等的实数根。

（2
）2(23)=
(23)2
m x m -±-±
且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+<
∴5
9．
35
6,.
2
7,24.
63
8,.
2
m
m
m
=∴=
=∴=
=∴=
∴m=24
【思考3解析】
解：由kx=x+2，得(k-1) x=2.
依题意k-1≠0.
∴
1
2
-
=
k
x.
∵方程的根为正整数，k为整数,
∴k-1=1或k-1=2.
∴k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
2
2
2
2
2
2
2
22
a
ab
ab
b
a
ab
b
a
b
a
ab
b
a
b
akc
ab
b
kc
-
+
-
+
-
=
-
+
-
-
=
+
-
)
(
)
(
)
(
=.1
2
-
=
-
-
a
ab
ab
a
（3）证明：方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵方程kx=x+2的根为正实数，
∴方程(k-1) x=2的根为正实数.
由x>0, 2>0, 得k-1>0.
∴4ac(k-1)>0.
∵(a-kc)2≥0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二: 若ac>0,
∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc≥0.
(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知k-1>0,
∴b2-4ac> b2-4akc≥0.
∴Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
（1）[]2
2
(21)4(2)m m m ∆=-+-+- -
22441448m m m m =++--+
90=>
∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得12(21)3
2
m x +±=
=
， ∴ 1221x m x m =+=-， -- ∴ 123x x -=
又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2
311
m m +=+-
∴ 4m = -
经检验：4m =符合题意．
∴ m 的值为4．。