必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积2

O.
r1
R
2
R , r2
R (
2
R n
) ,
2
r3
R (
2
2R n
) ,
2
ri
R [
2
R n
( i 1 )] , i 1, 2 , n
2
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
ri R [
2
R n
( i 1 )] , i 1, 2 , , n
王新敞
奎屯 新疆
3. 6
4. 4 3 ,
4 3

5 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次
a
2 2
为 2 ,
a
,
3 2
a
.
∴ 三个球的表面积之比是
S1 : S 2 : S 3 1 : 2 : 3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
小结归纳 ：
1、球的表面积公式的推导及应用； 2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有 关计算 “分割 求近似和 化为准确和” 的方法，是一种重要的数学思想方法——极限 思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分” 内容的一个应用； 3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握.
3
2. 半径是R的球的表面积:
S 4 R
2
必修2-第一章空间几何体-1.3பைடு நூலகம்2球的体积和表面积
例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距 离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面 积. 解:设截面圆心为O',连结OA, 设球半径为R .则: O C 2 3 2 3 B O A 2
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
设球的体积为V,则有:
1 2 V R R
2
1 3
R R V
2
4 3
R .
3
∴ 球的体积
V球
4 3
R
3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
A
已知球的半径为R
ri
A Ci C2 O Bi B2
O
2
V i ri
2
R n

R n
3
[1 (
i 1 n
) ], i 1, 2 , n
2
V 半球 V 1 V 2 V n
R n
3
[n
1 2 ( n 1)
2 2
2
n
2
]
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积

R n
3
[n
3
1 n
2

( n 1) n ( 2 n 1) 6
]
R [1
1 n
2

( n 1)( 2 n 1) 6
]
定理:半径是R的球的体积 V
4 3
R
3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
2. 探究球的表面积公式
设球O的半径为R，我们把 球面任意分割为一些“小 球面片”，它们的面积分 别用 S 2 , , S i , 表示 S1 ,
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积 2010～2011学年度高一数学·必修1（人教A版）
济宁育才中学高一数学组 朱继哲
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
教学目标：
1.熟记球的体积公式和表面积公式； 4 2.会用球的体积公式 V R 和表面积公式 3 2 S 4 R 解决有关问题。
王新敞
奎屯 新疆
3
2
2
王新敞
奎屯 新疆
3
O'
在
R t O O A
2
A 2 O O 2 中，O A O
2
A
R
(
2 3 3
)
2
1 4
R
2
R
4 3
S 4 R

64 9

必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
例2.(P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. 2 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 3 ， (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。 证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 4 高为2R。因为 V R , 3
3
.
球
V圆 柱 R 2 R 2 R .
2 3
所以, (2) 因为
V球
2 3
V圆 柱 .
2
S 球 4 R
S 圆 柱 侧 2 R 2 R 4 R
2
，所以, S 球 S 圆 柱 侧
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
例3．半球内有一个内接正方体，正方体的一个 面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 6 ,求 球的表面积和体积。 解：作轴截面如图所示，
以这些“小球面片”为底， 球心为顶点的“小锥体”的 体积和等于球的体积，这些 “小锥体”可近似地看成棱 锥，“小锥体”的底面积.
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
S i 可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半
径R近似地等于小棱锥的高 hi 因此，第i 个小棱锥的体积
Vi 1 3 hi S i
D' O' C' A' B'
CC
6 , AC
2
6 2 3
A'
D A O B
C
设球半径为R ,则:
O' C'
R
2
2 OC CC
2
( 6) ( 3) 9 R 3
2 2
A
O
C
∴ S 球 4 R
2
3 6 ，V 球
4 3
R 3 6
3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
3
提出问题： 1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体 和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求 球的表面积与体积呢？ 2、球的大小是与球的半径有关，如何用球 半径来表示球的体积和面积？
王新敞
奎屯 新疆
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
定理:
1. 半径是R的球的体积:
V 4 3 R
可得: V 所以:
1 3
1 3
R S
又因为 V
4 3
4 3
R
3
O
RS
R
3
所以球的表面积:
Si
S 4 R
2
O
Vi
当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的 底面几乎是“平的”，于是球的体积:
V 1 3 ( h1 S 1 h 2 S 2 h i S i )
又因为 h i R ，且
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
S S1 S 2 S i
例4．表面积为324π 的球，其内接正四棱柱的高 是14,求这个正四棱柱的表面积。
D'
解：设球半径为R ,正四棱柱底 面边长为a,则作轴截面如图，
A A 1 4, A C
王新敞
奎屯 新疆
A' B' D A B O
C'
2a,
C
又 4 R 2 3 2 4 , R 9 .
A'
C' O
AC
2 C C 2 8 2 a 8 AC
A
∴ S表 64 2 32 14 576
C
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
完成P28练习1,2,3题 补充练习： 1．三个球的半径之比为 1 : 2 : 3 那么最大的球的 体积是其余两个球的体积和的 倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体 积比原来增加 倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个 大球，则大球半径是 ； 4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 内切球的体积是 ． ，
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切， 正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的 表面积之比． 答案：1. 3 2. 7
王新敞
奎屯 新疆
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
作业布置：
P28 习题1.3 A组第5题； 课外 P29 B组第 1题.
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几 何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果 截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一 定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公 式(见P32页)