河南省南阳市第一中学2017届高三上学期第四次月考理数试题 Word版含答案
河南省南阳市第一中学校高三第四次模拟考试数学(文)试
南阳市一中2017届第四次模拟考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}1|lg 21,|282x A x x B x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，集合，则A B = A. ()2,12 B. ()1,3- C. ()2,3 D. ()1,12-2.复数21iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部为 A. 32i - B. 12i C. 32- D.123.某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考统考（后称统考）的32所学校进行抽样调查：将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号为A. 3B. 2C. 1D. 44.已知点()()()1,1,1,2,2,3A B C -，且()AB BC AC λ⊥+，则λ= A.38 B. 38- C. 12 D.12- 5.已知平面α与两条不同的直线,a b ，则“a α⊥且b α⊥”是“//a b ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数()cos sin 4f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象A.最小正周期为2πB. 关于点,84π⎛-⎝⎭对称 C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D.关于直线8x π=对称7.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 203D. 8 8.抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1,2,3,4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为a （若两数相等，则取该数），平均数为b,则事件“1a b -=”发生的概率为 A.13 B. 14 C. 16 D.389.函数1sin y x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是10.设,x y 满足约束条件02030x y x y x y a -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z x y =+的最小值为25-，则实数a 的值为A. 2B. -2C. 3D. -311.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为12.数列{}n a 满足113a =，且对任意211,,1n n n n n n N a a a c a *+∈=+=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行如图所示的程序框图，当输出的i 的值为4时，输入的整数n 的最大值为 .14.抛物线2:4C y x =的焦点为F,设过点F 的直线l 交抛物线与A,B 两点，且43AF =，则BF = . 15.设函数()22log ,12142,1333x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为 .16.球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2,,AB E F =分别为1,AD CC 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos .b A B = （1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值及ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）下图是某市2017年2月28天的日空气质量质量折线图.由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：（1）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；（2）研究人员发现，空气质量指数测评中PM2.5与燃烧排放的CO 两个项目存在线性相关关系，以3100/ug m ，下表给出PM2.5与CO 的相关数据：求关于的回归方程，并估计当CO 排放量是3200/ug m 时，PM2.5的值.19.（本题满分12分）如图，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,2 2.AF D E D E D A AF ===（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求证：//AC 平面BEF ； （3）求四面体BDEF 的体积.20.（本题满分12分）已知椭圆()222210,0x y a b a b-=>>中，12,F F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，若1F AB ∆的周长为8，离心率为1.2（1）求椭圆方程；（2）若弦AB 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于点Q ，求Q 的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(),0M m ，使得x 轴平分AMB ∠？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）设函数()()()1ln ,30.a f x x g x ax a x-=+=-> （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
(解析版)河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二上学
南阳一中2017年秋期高二第四次月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题：对于恒有成立；命题：奇函数的图象必过原点，则下列结论正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】因为等价于,故命题p是真命题;函数为奇函数,但函数的图象不过原点,故命题q是假命题,则命题是真命题,故是真命题.故选D.2. 已知各项均不为零的数列，定义向量，，.下列命题中真命题是（）A. 若总有成立，则数列是等比数列B. 若总有成立，则数列是等比数列C. 若总有成立，则数列是等差数列D. 若总有成立，则数列是等差数列【答案】D【解析】∵向量，，∴当，即∴数列为等差数列，∴D正确，B错误；当时，即∴数列既不是等差数列，也不是等比数列，∴A、C错误．故选D．3. 设命题，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.视频4. 已知椭圆，直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线恒过定点，∴要使直线与椭圆恒有公共点，则（在椭圆内部或在椭圆上，若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．∴实数的取值范围是．故选C．5. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A. B. -6 C. 6 D.【答案】C【解析】因为两个平面平行其法向量也平行，所以有，可得，故选C6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）A. B. C. D. 或【答案】B2，的面积为故选：B．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定的坐标是解题的关键．7. 设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|所以．因为所以，即即因为，所以故选B．8. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之后的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C...............考点：抛物线的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.9. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（）A. 32 B. 16 C. 8 D. 4【答案】B【解析】设，双曲线一条渐近线方程为，可得，既有，由，可得，即，又，且，解得，既有双曲线的实轴长为，故选B.【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义及简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.特别注意：（1）定义；（2）的应用.10. 如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则的长为（）A. B. 7 C. D. 9【答案】C【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，故选C.点睛：本题主要考查了数量积的运用之线段长度的求法，属于基础题；选择一组合适的基底，主要标准为三个向量不共线，已知两两之间的夹角，已知向量的模长，根据空间向量基本定理将所求向量利用基底表示，再结合得长度.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选A12. 已知函数，且，则等于（）A. -2014B. 2014C. 2019D. -2019【答案】D【解析】若是奇数，则构成等差数列，则公差则奇数项的和若是偶数，则则公差则前1008个偶数项和则，故选D．【点睛】本题考查数列求和，根据条件求出数列的通项公式，利用分组求和法是解决本题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是__________．【答案】【解析】设所求双曲线方程为双曲线过点所求双曲线方程为化为，故答案为.14. 已知向量，，且与互相垂直，则__________．【答案】【解析】由题意可得：与互相垂直，即，所以，.15. 命题：关于的不等式对恒成立；命题是减函数.若命题为真命题，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由关于的不等式对恒成立，得或∴命题为真，；∵是减函数，命题为真，根据复合命题真值表，命题为真命题，命题至少有一个为真命题，．故答案为．16. 在直角坐标系中，已知直线与椭圆相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为__________．【答案】1【解析】在RT△ODF中，，∴,∴，又，即设，则，，得到：由，解得：，，∴S=1故答案为：1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：关于的方程无实根.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．试题解析：（1）因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得。
河南省南阳市第一中学校2017届高三第四次模拟考试数学
南阳一中2017届第四次模拟考试文数试题答案CCABA DDBDA CB13.23 14.4 15. []8,1-- 17.19.GOFEDCB A(Ⅰ)证明:因为DE ⊥平面ABCD , 所以AC DE ⊥ 因为ABCD 是正方形, 所以BD AC ⊥,因为D BD DE =⋂ 所以AC ⊥平面BDE(Ⅱ)证明:设AC BD O = , 取BE 中点G ,连结OG FG ,, 所以,OG //=12DE 因为DE AF //,AF DE 2=,所以AF //=OG , 从而四边形AFGO 是平行四边形,AO FG //因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , 所以//AO 平面BEF ,即//AC 平面BEF(Ⅲ)解:因为DE ⊥平面A B C D 所以 AB DE ⊥ 因为正方形ABCD 中,AB AD ⊥,所以AB ⊥平面A D E F 因为DE AF //,22===AF DA DE ,所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=,所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 314320.（1）依题意得2184==e a ，，解得312===b c a ，，，所以方程为13422=+y x ， （1）当k不存在时，Q为原点。
0=Q y ，当k存在时，由()()01248431341222222=++⎪⎩⎪⎨⎧=+=-k x k -x k y x C -x k y l ，可得：：，则2221222143124438k-k x x k k x x +=+=+，，（*） 设弦AB 的中点为()P P y x P ，，则()2224331434k k--x k y k k x PP P +==+=，， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++2224341433k k -x k -k k y l PQ ：，令x=0，有⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+=123,00123432 ，-k k -y Q ， 综上所述，Q 的纵坐标的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡123123，-， （2）存在m=4.假设存在m ，由x 轴平分AMB ∠可得，0=+MB MA k k 即()()()()01100012212211=+⇒=+m -x -x k m -x -x k m-x -y m -x -y ， 有()()02122121=+++m x x m -x x ，将（*）式代入有086882482222=++mk m k -m k --k ，解得4=m21.【答案】（1）当01a <≤时，()x ϕ的单调增区间为()0,+∞; 1a >时， ()x ϕ的单调增区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭;（2）0.1a >时， ()x ϕ的单调增区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.22.23. 解：（1）3,(),23,2x m n x mnf x x m n m x nx m n x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩ ()f x ∴在(,)2n-∞是减函数，在(,+)2n∞是增函数∴当2nx =时，()f x 取最小值()22n nf m =+. …………5分（2）由（Ⅰ）知，()f x 的最小值为2nm +， 22nm ∴+=. …………6分∴,m n R +∈，22222112()()242422n n n m m m +=⋅+≥+=，当且仅当2nm =即1,2m n ==时，取等号，224()4n m ∴+的最小值为2. …………10分。
河南省南阳市第一中学2017届高三数学上学期第四次月考试题理(含答案)
河南省南阳市第一中学2017届高三上学期第四次月考试题数学试题 理2016．12．17一、选择题（每小题5分，共12小题）1．复数i z +=21，若复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则21z z =A ．-5B ．5C ．i 43+-D ．i 43-2．已知“k x >”是“113<+x ”的充分不必要条件，则k 的取值范围是A ．),2[+∞B ．),1[+∞C ．),2(+∞D ．]1,(--∞3．某锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为A ．33B ．17C ．41D ．424．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，设1lna π=，2(ln )b π=，c =12,(0,)x x ∈+∞时，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，则A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f a f b >>5． 已知函数233)(23+-+=x ax ax x f ，a x ax x a x g ++-=2322)()(R a ∈。
在同一直角坐标系中，函数)('x f 与)(x g 的图像不可能的是A ．B ．C ．D ．6．若x 是三角形的最小内角，则函数x x x x y cos sin cos sin -+=的最小值是A ．221+-B ．221+ C ．1D ．27． 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且BC 边上的高为2a ，则c bb c +最大值为A ．2BC ．D ．48．已知函数()2f x +=(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是A ．),0(+∞B ．)21,0(C ．1[,0)2-D ．1(0,]29． C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若μλ+=(R R ∈∈μλ,)，则μλ+的取值范围是 A ．（0,∞+） B ．（1,∞+）C ．（1,2]D ．[1,∞+)10．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于 A ． 21B ．32C ．42D ．6411．过椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F 。
【河南省南阳市第一中学】2017届高三上学期第四次月考理综物理试卷
2图线的末端发生弯曲的条件是M m24．使用多用电表测量电阻时，多用电表内部的电路可以等效为一个直流电源（一般为电池）、一个电阻和一表头相串联，两个表笔分别位于此串联电路的两端。
现需要测量多用电表内电池的电动势，给定的器材有：待测多用电表，量程为60mA的电流表，电阻箱，导线若干。
实验时，将多用电表调至1⨯Ω挡，调好零点；电阻箱置于适当数值。
完成下列填空：（1）仪器连线如图l所示（a和b是多用电表的两个表笔）。
若两电表均正常工作，则表笔a为_________（填“红”或“黑”）色；（2）若适当调节电阻箱后，图1中多用电表、电流表与电阻箱的示数分别如图2（a），（b），（c）所示，则多用电表的读数为_________Ω。
电流表的读数为_________mA，电阻箱的读数为_________Ω；（3）将图l中多用电表的两表笔短接，此时流过多用电表的电流为_________mA；（保留3位有效数字）；（4）计算得到多用电表内电池的电动势为_________V。
（保留3位有效数字）25．物体A和B用轻绳相连，挂在轻质弹簧下静止不动，如图（a）所示．A的质量为m，B的质量为M．当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升，经某一位置时的速度大小为v。
这时，物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示．求在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量？26．一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度0v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30︒，如图所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O 点进入磁场区到达b 点所经历的时间；（3）b 点的坐标。
27．一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m ，如图（a ）所示。
0=t 时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至1s =t 时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）。
2016-2017学年河南省南阳市第一中学校高三上期第四次月考数学文(详细答案版)
2016-2017学年河南省南阳市第一中学校高三上期第四次月考数学文一、选择题：共12题1．函数f(x)= −x2−3x+4lg(x+1)的定义域为A.(−1,0)∪(0,1]B.(−1,1]C.(−4,−1]D.(−4,0)∪(0,1]【答案】A【解析】本题考查了常见函数定义域的求法；要使函数f(x)= −x2−3x+4lg(x+1)又意义，需满足−x2−3x+4≥0x+1>0lg(x+1)≠0，得x∈(−1,0)∪(0,1]，故选A.2．复数z=2i2−i（i为虚数单位）的共轭复数所对应的的点位于复平面内A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】本题主要考查了复数的代数运算及其几何意义，属于基础题型，难度不大，利用复数的代数形式的混合运算化简复数为a+bi的形式，判断共轭复数在复平面内所对应的点所在象限即可；z=2i2−i =2i2+i(2−i)2+i=−25+45i，z=−25−45i故对应的点在第三象限，故选C.3．将正三棱柱截去三个角(如图甲所示A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图乙,则该几何体按图乙所示方向的侧视图(或称左视图)为A. B. C. D.【答案】A【解析】根据几何体的形状,再结合左(侧)视图的特点,可以得到结果.4．设a,b∈R，则“log2a>log2b”是“2a−b>1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a−b>1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a−b>1”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f(x)=sin2(ωx)−12,(ω>0)的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为A.πB.3π4C.π2D.π4【答案】D【解析】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acosωx+φ的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题；由函数f x=sin2ωx−1 2,(ω>0)的周期为2π2ω=π，可得ω=1，f x=−12cos2x，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=−12cos2x−a=−12cos（2x−2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+π2，a=kπ2+π4,k∈Z．则实数a的最小值为π4，故选D.6．已知实数x，y满足不等式组x≤1,x−y+m2≥0,x+y−1≥0,若目标函数z=−2x+y的最大值不超过4，则实数m的取值范围是A.(−3,3)B.[0,3]C.[−3,0]D.[−3,3]【答案】D【解析】本题考查简单线性规划，涉及不等式的解法，准确作图是解决问题的关键，属中档题；作出约束条件x≤1,x−y+m2≥0, x+y−1≥0,所对应的可行域（如图阴影），，变形目标函数可得y=2x+z，解方程组x+y−1＝0x−y+m2＝0，可得x=1−m22y=1+m22，平移直线y=2x可知当直线经过点A（1−m22，1+m22)时，目标函数取最大值，∴−2×1−m22+1+m22≤4，解得−3≤m≤3，∴实数m的取值范围为[−3,3]，故选D.7．已知函数f(x)=sin x+3cos x，当x∈[0,π]时，f(x)≥1的概率为A.13B.14C.15D.12【答案】D【解析】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键；∵sinx+3cosx=2sin x+π3≥1，∴sin x+π3≥12，∵x∈[0，π]，x+π3∈π3,4π3，∴π3≤x+π3≤56π，∴0≤x≤π2，∴发生的概率为P=π2π=12，故选D.8．已知ΔABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且3OA+4OB+5OC=0，则ΔABC的面积为A.85B.75C.65D.45【答案】C【解析】本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式．三角函数和向量的综合题是高考的重点和热点，属中档题；由题意可得 OA= OB= OC=1，又3OA+4OB+5OC=0，∴3OA+4OB=−5OC，平方可得9OA2+24OA∙OB+16OB2=25OC2，代入数据可得9+24OA∙OB+16=25，解得OA∙OB=0，可得OA⊥OB，以O为原点，OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系（如图）设C m，n 则可得OA=1，0，OB=0，1，OC= m，n ，代入3OA+4OB+5OC=0，可得：31，0+40，1+5 m，n =0，解得m=−35，n=−45∴S∆AOC=12OA∙n=12×1×45=25，故选C.9．设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是_____.A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质,并利用函数的导数研究函数极值等,旨在考查考生发现问题、分析问题、解决问题的能力.若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2,则[f(x)e x]'=f '(x)e x+f(x)(e x)'=a(x+1)(x+3)e x,∴x=-1为函数f(x)e x的一个极值点满足条件;选项C中,对称轴x=-b2a>0,且开口向下,∴a<0,b>0,∴f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-b2a<-1,且开口向上,∴a>0,b>2a,∴f(-1)=2a-b<0,与图矛盾,故答案选D.10．已知在正项等比数列{a n}中，存在两项a m，a n满足a m a n=4a1，且a6=a5+2a4，则1 m +4n的最小值是A.32B.2 C.73C.256【答案】A【解析】此题主要考查基本不等式的应用问题，其中涉及到等比数列通项的问题，属于综合性试题，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目；因为已知正项等比数列{a n}满足：a6=a5+2a4，则有a1q5=a1q4+2a1q3，即q2−q−2=0，解得：q=2，q=−1，又因为时正项等比数列故q=2．∵存在两项a m，a n使得a m a n=4a1，即a1×2m−1×2n−1=4a1，∴m+n=6，则1m +4n=16m+n1m+4n=1 65+nm+4mn≥164+2nm×4mn=32（当且仅当nm+4mn时取等号）∴1m +4n的最小值是32，故选A.11．已知函数f(x)={ln x,x>0x2+4x+1,x≤0,若方程f(x)=a(a∈R)有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4 (其中x1<x2<x3<x4),则x1+x2+1x3+x4的取值范围是A.(−2,2e−4]B.(−1,2e−2]C.(2,2e+4]D.不确定【答案】A【解析】本题考查了函数零点与函数图象的关系，二次函数，对数函数的性质，做出f x 的图象，根据图象得出x1，x2，x3，x4的数量关系及范围，得出答案属于中档题；做出f x的解析式如下图所示：根据二次函数的对称性知x1+x2=−4，且0<x3<1，1<x4≤e，∵|lnx3|=|lnx4|=a，∴x3x4=1，∴1x3+x4=2x4=2e a，∵1<x4≤e，∴2<2x4≤2e．∴x1+x2+1x3+x4的范围是(−2,2e−4]，故选A.12．已知函数f(x)是R上的单调函数，且对任意实数x都有f(f(x)+22x+1)=13，则f(log23)=A.1B.45C.12D.0【答案】C【解析】本题考查了函数的单调性以及函数的综合性质，由单调函数的定义得f x+22x+1=c为解题关键，有一定难度；因为函数f(x)是R上的单调函数且f(f(x)+22x+1)=13，故可得f x+22x+1=c，其中c为常数，即f x=−22x+1+c且f log23=−22log23+1+c=−12+c，同时f(f(log23)+22log23+1)=13，即f c=13，代入得f c=−22c+1+c=13，解得c=1，则f log23=−−12+c=12，故选C.二、填空题：共4题13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 .【答案】2或−22【解析】本题以程序框图为载体，求方程的解x值，着重考查了算法语句与方程、不等式解法等知识，属于基础题；根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是x2或x3，①当输出的8是x2时，x可能等于±22∵x2≥x3，∴x≤0，此时x=−22；②当输出的8是x3时，x可能等于±2∵x2<x3，∴x>0，此时x=2综上所述，得输入的x=2或−22．故答案为：2或−22.14．已知当−1≤a≤1时，x2+(a−4)x+4−2a>0恒成立，则实数x的取值范围是 .【答案】(−∞,1)∪(3,+∞)【解析】本题考查了求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇；∵x2+a−4x+4−2a>0，∴x−2a+x2−4x+4>0，令f a=x−2a+x2−4x+4>0，它是关于a的一次函数，定义域为−1,1，由一次函数的单调性知f1>0f−1>0，解得x<1或x＞3故答案为：−∞,1∪3,+∞.15．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y−4)2=1上一个动点，当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时，点P的横坐标为 .【答案】9−178【解析】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想；抛物线y 2=4x 的焦点为F 1，0 ，圆x 2+(y −4)2=1的圆心C （0，4），根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和最小，即P 点为FC 与抛物线的交点， x +y4=1y 2=4x得x =9− 178，故答案为：9− 178.16．已知AC,BD 为圆O :x 2+y 2=8的两条相互垂直的弦，垂足为M (1, 2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为 . 【答案】13【解析】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离 公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于 对角线乘积的一半，属于基础题；设原点o 到两直线距离分别为d 1，d 2，d 12+d 22=OM 2=3，S =2 8−d 12 8−d 22≤8−d 12+8−d 22=13 (均值不等式)，故答案为13.三、解答题：共7题17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5=20，且a 1，a 3，a 7成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若T n 为数列{1a n a n +1}的前n 项和，且存在n ∈N ∗，使得T n −λa n +1≥0成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）设数列{a n }的公差为d ，则5a 1+5×42d =20, (a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),{a 1+2d =4,2d 2=a 1d .又因为d ≠0，所以{a 1=2,d =1.所以a n =n +1.（2）因为1an a n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1−1n +2，所以T n =12−13+13−14+⋯+1n +1−1n +2=12−1n +2=n2(n +2). 因为存在n ∈N ∗，使得T n −λa n +1≤0成立， 所以存在n ∈N ∗，使得n2(n +2)−λ(n +2)≥0成立，即存在n ∈N ∗，使λ≤n 2(n +2)2成立.又n 2(n +2)2=12(n +4n+4)，12(n +4n+4)≤116（当且仅当n =2时取等号），所以λ≤116.实数λ的取值范围是(−∞,116].【解析】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键；（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得T n，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围.18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为4．15(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整；(Ⅱ)是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(Ⅲ)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生)，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(Ⅰ)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x＝6；(Ⅱ)由已知数据可求得：K2≈8.522＞7.879因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(Ⅲ)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F；则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，D F，共8种；抽出一男一女的概率是815．【解析】本题考查独立性检验，古典概型.(Ⅰ)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x＝6，很容易完成表格.(Ⅱ)求得K2≈8.522＞7.879，比较表格，可判断相关性；(Ⅲ)共15种，所求的有8种，所以所求概率为815；枚举时不重不漏.【备注】本题考查统计与概率的相关知识: 独立性检验、古典概型. 枚举时要不重不漏.19．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.【答案】（1）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点∴MD⊥PB又∵M为AB的中点，D为PB的中点∴MD//AP∴AP⊥PB又∵AP⊥PC∴AP⊥平面PBC∴AP⊥BC又∵AC⊥BC∴BC⊥平面AP C.（2）BM=12AB=10，DM=32BM=53，BD=12PB=5在直角三角形ABC中，M为斜边AB的中点∴CM=12AB=10在直角三角形CDM中，CD= CM2−DM2=5∴三角形BCD为等腰三角形，底边BC上的高为4∴V D-BCM=V M-BCD=13SΔBDC⋅DM=13×12×6×4×53=203.【解析】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，三棱锥的体积，其中(1)的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，(2)的关键是等积法的使用；（1）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（2）利用等体积法即V D−BCM=V M−BCD=13SΔBDC⋅DM，可得结果.20．如图，已知点A(1,2)是离心率22的椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)上的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合.（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值.【答案】由题意，可得e=ca =22，代入(1,2)得2a2+1b2=1，又a2=b2+c2，解得a=2，b=2，c=2，所以椭圆C的方程y24+x22=1.(2)证明：设直线BD的方程为y=2x+m，又A,B,D三点不重合，∴m≠0，设D(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=2x+m2x2+y2=4得4x2+22mx+m2−4=0，所以Δ=−8m2+64>0⇒−22<m<22，x1+x2=−22m①x1x2=m2−44②设直线AB，AD的斜率分别为k AB，k AD，则k AD+k AB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=2x1+m−2x1−1+2x2+m−2x2−1=22+m•x1+x2−2x1x2−x1−x2+1(*) 分将①、②式代入(*)，得22+m−22m−2m2−44+22m+1=22−22=0，所以k AD+k AB=0，即直线AB,AD的斜率之和为定值0.【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化；(1)根据点A 1,2，是离心率为22的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；(2)设直线BD的方程为y=2x+m，代入椭圆方程，设D(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB=y1−2x1−1+y2−2x2−1，由此能导出即k AB+k AD=0.21．已知函数f(x)=a+ln xx在点(e,f(e))处的切线与直线e2x−y+e=0垂直. （1）若函数f(x)在区间(m,m+1)上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x>1时，f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x+1).【答案】（1）因为f(x)=a+ln xx ，所以f′(x)=1−a−ln xx2. 得f′(e)=−1e2，所以−ae2=−1e2，得a=1，得f(x)=1+ln xx ，f′(x)=−ln xx2(x>0). 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数.所以函数f(x)仅当x=1时，取得极值.又函数f(x)在区间(m,m+1)上存在极值，所以m<1<m+1，所以0<m<1.故实数m的取值范围是(0,1).（2）当x>1时，f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x+1)，即为1e+1⋅(x+1)(ln x+1)x>2e x−1xe x+1.令g(x)=(x+1)(ln x+1)x，则g′(x)=[(x+1)(ln x+1)]′x−(x+1)(ln x+1)x2=x−ln xx2.再令φ(x)=x−ln x，则φ′(x)=1−1x=x−1x.又因为x>1，所以φ′(x)>0.所以φ(x)在(1,+∞)上是增函数. 又因为φ(1)=1.所以当x>1时，g′(x)>0.所以g(x)在区间(1,+∞)上是增函数.，所以当x>1时，g(x)>g(1) =2，故g(x)e+1>2e+1.令 (x)=2e x−1xe x+1，则 ′(x)=2⋅ex−1(xe x+1)−(xe x+1)′e x−1(xe x+1)2=2e x−1(1−e x)(xe x+1)2.因为x>1，所以2e x−1(1−e x)(xe x+1)2<0.当x>1时， ′(x)<0.故函数 (x)在区间(1,+∞)上是减函数.又(1)=2e+1，所以当x>1时， (x)<2e+1，即得g(x)e+1> (x)，即f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x+1).【解析】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，导数与函数的极值之间的关系，导数与不等式的综合运用等，综合性较强，有一定难度；（1）由函数f(x)=a+ln xx 在点(e,f(e))处的切线与直线e2x−y+e=0垂直f′(e)=−1e2，可得a=1，通过导数与极值之间的关系，可得函数在x=1取得极值，故原题意转化为m<1<m+1，得解；（2）将所需证不等式转化为1e+1⋅(x+1)(ln x+1)x>2e x−1xe x+1，令g(x)=(x+1)(ln x+1)x对函数g(x)进行二次求导，可得其在(1,+∞)上单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1) =2，故g(x)e+1>2e+1，令 (x)=2e x−1xe x+1，通过导数可判断其单调性，函数 (x)在区间(1,+∞)上是减函数，所以当x>1时， (x)<2e+1，故不等式得证.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=4cosθ,y=2sinθ（θ为参数）.（1）求曲线C的普通方程；（2）经过点M(2,1)（平面直角坐标系xOy中点）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率.【答案】（1）由曲线C的参数方程,得cosθ=x4,sinθ=y2,所以曲线C的普通方程为x216+y24=1.（2）设直线l的倾斜角为θ1，则直线的参数方程为x=2+t cosθ1,y=1+t sinθ1,（t为参数）.代入曲线C的直角坐标方程，得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cosθ1+8sinθ1)t−8=0,所以t1+t2=−4cosθ1+8sinθ1cos2θ1+4sin2θ1,t1t2=−8cos2θ1+4sin2θ1.由题意可知t1=−2t2. 所以12sin2θ1+16sinθ1cosθ1+3cos2θ1=0，即12k2+16k+3=0. 解得k=−4±76.所以直线l的斜率为−4±76.【解析】本题考查参数方程和普通方程的关系，涉及三角函数的韦达定理，属中档题；（1）变形曲线C的参数方程可得cosθ=x4sinθ=y2，由同角三角函数基本关系消参数可得；（2）设直线l的倾斜角为θ1，可得直线l的参数方程为x=2+t cosθ1y=1+t sinθ1，代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程，由韦达定理和t1=−2t2可得斜率k的方程，解方程可得.23．已知函数f(x)=|x−1|.（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)【答案】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|=−2x−2,x<−3,4,−3≤x≤1,2x+2,x>1.当x<−3时，则−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，则f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3. 原不等式的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)即|ab−1|>|a−b|. 因为|a|<1,|b|<1,所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)> 0,所以|ab−1|>|a−b|.故所证不等式成立.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题；（1）根据f x+f x+4=x−1+x+3=−2x−2,x<−34,−3≤x≤12x+2,x>1，分类讨论求不等式f x+f(x+4)≥8的解集；（2）要证的不等式即|ab−1|＞|a−b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab−1|2−|a−b|2＞0，从而得到所证不等式成立.。
河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二数学上学期第四次月考试题 理(含解析)
南阳一中2017年秋期高二第四次月考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题：对于恒有成立；命题：奇函数的图象必过原点，则下列结论正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】因为等价于,故命题p是真命题;函数为奇函数,但函数的图象不过原点,故命题q是假命题,则命题是真命题,故是真命题.故选D.2. 已知各项均不为零的数列，定义向量，，.下列命题中真命题是（）A. 若总有成立，则数列是等比数列B. 若总有成立，则数列是等比数列C. 若总有成立，则数列是等差数列D. 若总有成立，则数列是等差数列【答案】D【解析】∵向量，，∴当，即∴数列为等差数列，∴D正确，B错误；当时，即∴数列既不是等差数列，也不是等比数列，∴A、C错误．故选D．3. 设命题，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.视频4. 已知椭圆，直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线恒过定点，∴要使直线与椭圆恒有公共点，则（在椭圆内部或在椭圆上，若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．∴实数的取值范围是．故选C．5. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A. B. -6 C. 6 D.【答案】C【解析】因为两个平面平行其法向量也平行，所以有，可得，故选C6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）A. B. C. D. 或【答案】B2，的面积为故选：B．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定的坐标是解题的关键．7. 设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由椭圆与双曲线的定义，知|所以．因为所以，即即因为，所以故选B．8. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之后的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C...............考点：抛物线的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.9. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（）A. 32 B. 16 C. 8 D. 4【答案】B【解析】设，双曲线一条渐近线方程为，可得，既有，由，可得，即，又，且，解得，既有双曲线的实轴长为，故选B.【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义及简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.特别注意：（1）定义；（2）的应用.10. 如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则的长为（）A. B. 7 C. D. 9【答案】C【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，故选C.点睛：本题主要考查了数量积的运用之线段长度的求法，属于基础题；选择一组合适的基底，主要标准为三个向量不共线，已知两两之间的夹角，已知向量的模长，根据空间向量基本定理将所求向量利用基底表示，再结合得长度.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】∵由，∴内切圆半径为，∴离心率，故选A12. 已知函数，且，则等于（）A. -2014B. 2014C. 2019D. -2019【答案】D【解析】若是奇数，则构成等差数列，则公差则奇数项的和若是偶数，则则公差则前1008个偶数项和则，故选D．【点睛】本题考查数列求和，根据条件求出数列的通项公式，利用分组求和法是解决本题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是__________．【答案】【解析】设所求双曲线方程为双曲线过点所求双曲线方程为化为，故答案为.14. 已知向量，，且与互相垂直，则__________．【答案】【解析】由题意可得：与互相垂直，即，所以，.15. 命题：关于的不等式对恒成立；命题是减函数.若命题为真命题，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由关于的不等式对恒成立，得或∴命题为真，；∵是减函数，命题为真，根据复合命题真值表，命题为真命题，命题至少有一个为真命题，．故答案为．16. 在直角坐标系中，已知直线与椭圆相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为__________．【答案】1【解析】在RT△ODF中，，∴,∴，又，即设，则，，得到：由，解得：，，∴S=1故答案为：1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：关于的方程无实根.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．试题解析：（1）因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得。
河南省南阳市第一中学2017届高三数学上学期第四次月考试题文
南阳一中2017届高三上期第四次月考文数试题考试时间：2016.12.17一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()()234lg1x xf xx--+=+的定义域为A．()1,0(0,1]-U B．(1,1]-C．(4,1]--D．()4,0(0,1]-U2．复数22izi=-（i为虚数单位）的共轭复数所对应的的点位于复平面内A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将正三棱柱截去三个角如图1所示，A、B、C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为4．设,a b R∈，则“22log loga b>”是“21a b->”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()21sin,02f x xωω=->的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位()0a>，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为A．π B．34πC．2πD．4π6．已知实数x，y满足不等式组21,0,10,xx y mx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y=-+的最大值不超过4，则实数m的取值范围是A．()3,3-B．[0,3] C．[3,0]- D．[3,3]-7．已知函数()sin3cosf x x x=+，当[]0,xπ∈时，()1f x≥的概率为A．13B．14C．15D．128．已知ABC∆的外接圆半径为1，圆心为点O，且3450OA OB OC++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC∆的面积为A．85B．75C．65D．459．设函数2()f x ax bx c=++(),,,a b c R∈，若函数()xy f x e=在1x=-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x=的图象是A B C D10．已知在正项等比数列{}n a中，存在两项m a，n a满足14m na a a=，且6542a a a=+，则14m n+的最小值是A．32B．2 C．73D．25611．已知函数()2ln,041,0x xf xx x x⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩,若方程()()f x a a R=∈有四个不同的实数根1234,,,x x x x(其中1234x x x x<<<),则12431x x xx+++的取值范围是A．(]2,24e-- B．(]1,22e-- C．(]2,24e+ D．不确定12．已知函数()f x是R上的单调函数，且对任意实数x都有()21213xf f x⎛⎫+=⎪+⎝⎭，则2(log3)f=A．1 B．45C．12D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是．14．已知当11a-≤≤时，2(4)420x a x a+-+->恒成立，则实数x 的取值范围是15．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点P 的横坐标为16．已知AC,BD 为圆22:8O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为()1,2M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且1a ，3a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围． 18．(12分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为15． （1）请将上面的列联表补充完整;（2）是否有99％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由;（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（12分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求 证：BC⊥平面APC ；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D —BCM 的体积． 20． （本小题满分12分）如图，已知点(1,2)A 是离心率为22的椭圆C ：12222=+b x a y (0)a b >>上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 21． （本小题满分12分）已知函数ln ()a xf x x+=在点()(),e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直． （1）若函数()f x 在区间(),1m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，()()()12111x x f x e e x xe ->+++．选考题：请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分。
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理数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -2.已知“x k >”是“311x <+”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞-3.某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A B CD4.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，设1lna π=，2(ln )b π=，c =1x ，2(0,)x ∈+∞时，都有[]1212()()()0x x f x f x --<，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f a f b >>5.已知函数323()32ax ax x f x -+=+，232()2g x a x ax x a =-++（a R ∈），在同一直角坐标系中，函数'()f x 与'()g x 的图像不可能的是（ ）6.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ）A ．12-+B ．12+C ．1 D 7.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c b b c+最大值为（ ）A ．2B C ．D ．48.已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(0,)2C ．1[,0)2-D ．1(0,]29.A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC OA OBλμ=+（R λ∈，R μ∈），则λμ+的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(1,2] D ．[1,)+∞10.抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．6411.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．2(,1)3C ．12(,)23D ．12(0,)(,1)2312.若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e+ B ．2(,)e +∞C ．1(,)e+∞D ．（22(,)e e++∞） 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 14.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (,)x y 的轨迹方程式()y f x =（x R ∈），则对函数()y f x =有下列判断： ①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-； ③函数()y f x =在区间[]2,3上单调递减； ④21()2f x dx π+=⎰．其中判断正确的序号是 ．15.设1m >，在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为 ．16.如图，90ACB ∠=︒，DA ⊥平面ABC ，AE DB ⊥交DB 于E ，AF DC ⊥交DC 于F ，且2AD AB ==，则三棱锥D AEF -体积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量,1)4x m = ，2(cos ,cos )44x x n = ，记()f x m n =⋅ ．（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A 的取值范围．18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11()22n n n S a -++=（*n N ∈），设2n n n c a =.（1）求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）按以下规律构造数列{}n b ，具体方法如下：11b c =，223b c c =+，34567b c c c c =+++，…，第n 项n b 由相应的{}n c 中12n -项的和组成，求数列{}n b 的通项公式．19.如图（1），在平行四边形11ABB A 中，160ABB∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点．现把四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1B C ，1B A ，11B A ．（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,1)P --，c为椭圆的半焦距，且c =，过点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于另两点M ,N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1l 的斜率为1-，求PMN ∆的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 21.设函数2()2ln(1)f x ax ax x =+-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()1xf x ex -+>+在区间(0,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(,)P x y 是直线l 与圆面4sin()6πρθ≤-y +的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲 设()|1|f x ax =-．（1）若()2f x ≤的解集为[]6,2-，求实数a 的值．（2）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围．南阳市一中2017届高三上学期第四次月考理数试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AACDBACDBCCD二、填空题13.6766 14.①②④ 15.(1,1 三、解答题17.解：（1）向量,1)4x m = ，2(cos ,cos )44x x n = ，记()f x m n =⋅ ，（2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由余弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则23A C π+=，即23A C π=-，又02C π<<， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin()126A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++，所以(2)f A 的取值范围3]2． 18.解：（1）在11()22n n n S a -++=，①中，令1n =，得1112S a ++=，∴112a =． 当2n ≥时，2111()22n n n S a ---++=，②①-②得：1112()02n n n a a ----=，（2n ≥），∴1112()2n n n a a ---=，∴11221n n n n a a ---=，又2n n n c a =，∴11(2)n n c c n --=≥， 又1121c a ==，所以数列{}n c 是等差数列， ∴1(1)1n c n n =+-⨯=，又2n n n c a =，∴2n n n a =． （2）由题意得1111122122212(21)(21)n n n n n n n n b c c c c -----++-=++++=++++-……，而12n -，121n -+，122n -+，…，21n -是首项为12n -，公差为1的等差数列，设数列共有12n -项，所以，11222112322(21)222232222n n n n n n n n n b -------⎡⎤+-⨯+-⎣⎦===⨯-．19.证明：（1）取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，∵在平行四边形11ABB A 中，160ABB∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，∴1ACC ∆，11BCC ∆为正三角形， 则1AO CC ⊥，11OB C C ⊥，又∵1AO OB O = ，∴1CC ⊥平面1OAB ， ∵1AB ⊂平面1OAB ， ∴11AB CC ⊥．（2）∵160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点， ∴2AC =，OA =1OB ，若1AB = 则22211OA OB AB +=，则三角形1OAB 为直角三角形，则1AO OB ⊥，以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C，1B ，1(1,0,0)C -，A ，则1(2,0,0)CC =- ，则11(2,0,0)AA CC ==-，1AB =，(1,0,AC =- ， 设平面1ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则10,0,n AB n AC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1z =，则1y =，x =则(,1)n =，设平面11A B A 的法向量为(,,)m x y z =，则1120,m AA x m AB ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ， 令1z =，则0x =，1y =，即(0,1,1)m =，则cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅5==， 由于二面角11C AB A --是钝二面角， ∴二面角11C AB A --的余弦值是5-． 20.解：（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，过点(1,1)P --，c为椭圆的半焦距，且c =，所以22111a b+=，且222c b =， 所以223a b =，解得243b =，24a =，所以椭圆方程为223144x y +=． （2）设1l 方程为1(1)y k x +=+， 由221,34,y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩整理得222(13)6(1)3(1)40k x k k x k ++-+--=，因为(1,1)P --，解得2222361321(,)1313k k k k M k k -+++-++， 当0k ≠时，用1k -代替k ，得22226323(,)33k k k k N k k ----+++， 将1k =-代入，得(2,0)M -，(1,1)N ． 因为(1,1)P --，所以PM =PN = 所以PMN ∆的面积为122=． （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211222234,34,x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减得12121212()()3()()0x x x x y y y y +-++-=， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以120y y +=，从而可得1212()()0x x x x +-=， 若120x x +=，则11(,)N x y -，∵PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，得22112x y +=．又因为221134x y +=，所以解得11x =±，所以(1,1)M -，(1,2)N -或(1,1)M -，(1,1)N - ，所以直线MN 方程为y x =-． 若120x x -=，则11(,)N x y -，因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，得2211(1)1y x =++，又因为221134x y +=，所以解得112x =-或1-， 经检验：12x =-满足条件，1x =-不满足条件． 综上，直线MN 的方程为0x y +=或12x =-．21.解：（1）212421'()22(1)11ax ax a f x ax a x x x ++-=+-=>-++，当0a ≤时，'()0f x <，()f x 在(1,)-+∞内单调递减；当0a >时，'()0f x =，有1x =-+，此时当(1,1x ∈--+时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增． （2）令11()1x g x x e =-+，则1()(1)x x e x g x e x --=+， 当0a ≤，0x >时，2()(2)ln(1)0f x a x x x =+-+<，故当()()f x g x >在区间(0,)+∞内恒成立时，必有0a >； 当102a <<时，10-+>，由（1）知函数()f x 在(0,1-+上单调递减，即(0,1x ∈-+时，()(0)()f x f g x <<，不符合题意，舍去． 当12a ≥时，令()()()h x f x g x =-，0x >，则 2111'()221(1)xh x ax a x x e =+-+-++22212(1)2(1)122(1)1(1)x a x x ax a x x x +-++≥+--=+++ 22(1)2(1)1(1)x x x +-++≥+0>， 所以()h x 在0x >时单调递增，所以()(0)0h x h >=恒成立，即()()f x g x >恒成立，满足题意．综上，1[,)2a ∈+∞．22.解：（1）圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-，即有2cos ρθθ=-，则2sin 2cos ρθρθ=-，即有222x y x +=-即为圆C ：2220x y x ++-=．（2）设z y =+，由圆C的方程2220x y x ++-=可得22(1)(4x y ++=，所以圆C的圆心是(1-，半径是2，将1212z y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入z y =+，得z t =-，又直线l过(1C -，圆C 的半径是2，由题意有：22t -≤≤，所以22t -≤≤．y +的取值范围是[]2,2-．23.解：（1）显然0a ≠，当0a >时，解集为13,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，16a -=-，32a =，无解； 当0a <时，解集31,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，令12a -=，36a =-，12a =-，综上所述，12a =-． （2）当2a =时，令()(21)(1)|41||23|h x f x f x x x =+--=+--，由此可知，()h x 在1(,)4-∞-上单调递减，在13(,)44-上单调递增，在3(,)2+∞上单调递增，则当14x =-时，()h x 取到最小值72-，由题意知，7732m -≤-，则实数m 的取值范围是7(,]2-∞．。