平面向量的数量积-家发中学
高一平面向量数量积知识点
高一平面向量数量积知识点在高中数学课程中，平面向量数量积是一个重要的概念。
它不仅在平面几何的研究中起着至关重要的作用，而且在物理学等其他科学领域也有广泛的应用。
本文将重点介绍高一学生需要掌握的平面向量数量积的知识点。
1. 定义和性质平面向量数量积，也称为点乘或内积，是指两个向量的乘积与这两个向量之间夹角的余弦值的乘积。
设有向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，则a与b的数量积为a·b=x1x2+y1y2。
平面向量数量积具有以下性质：(1) 交换律：a·b=b·a(2) 分配律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为实数(3) 零向量的数量积为0：0·a=a·0=0(4) a·a=|a|^2，其中|a|表示向量a的模长2. 计算方法根据定义，平面向量a·b=x1x2+y1y2。
为了方便计算，我们还可以使用坐标的方法。
设向量a的起点为A(x1, y1)，向量b的起点为B(x2, y2)，则a·b=AB·AC=|AB||AC|cosθ，这里θ为向量a和向量b之间的夹角。
3. 利用向量数量积求夹角给定两个向量a和b，如果我们知道它们的数量积a·b和模长|a|、|b|，我们可以利用以下公式来求解它们之间的夹角θ：cosθ = a·b / (|a||b|)θ = arccos(a·b / (|a||b|))4. 判断向量之间的夹角利用向量数量积可以方便地判断两个向量之间的夹角大小。
如果a·b>0，则夹角θ为锐角；如果a·b<0，则夹角θ为钝角；如果a·b=0，则夹角θ为直角。
5. 判断两个向量是否垂直如果两个向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
因此，我们可以利用这一性质来判断两个向量是否垂直。
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
平面向量的数量积与投影知识点总结
平面向量的数量积与投影知识点总结一、数量积的定义与性质数量积，也称为点积或内积，是平面向量中常用的运算方式之一。
数量积的定义如下：对于两个平面向量a→和a→，其数量积可以表示为a→·a→= aa∙ aa + aa∙ aa，其中 (aa, aa) 和 (aa, aa) 分别表示向量a→ 和向量a→ 的分量。
数量积具有以下性质：1. 交换律：a→·a→ = a→·a→2. 数量积为0的条件：若a→·a→ = 0，则a→ 和a→ 互相垂直，即a→⊥a→。
3. 分配律：(a→ + a→)·a→ = a→·a→ + a→·a→二、数量积的应用数量积在几何和物理问题中有着广泛的应用。
其中，最常见的应用包括计算向量的模、计算两个向量之间的夹角以及判断向量之间的关系。
1. 计算向量的模对于平面向量a→ = aaa + aaa，其模可以通过数量积来计算，即|a→|= √(a→·a→) = √(aa² + aa²)。
2. 计算两个向量之间的夹角夹角的余弦可以通过两个向量的数量积来计算，即a→·a→ =|a→| ∙ |a→| ∙ cosa，从而可以求得夹角a的值。
3. 判断向量之间的关系根据两个向量的数量积可以判断它们之间的关系。
若两个向量的数量积为正值，表示它们夹角为锐角；若数量积为负值，表示夹角为钝角；若数量积为0，表示两个向量互相垂直。
三、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
向量的投影可分为标量投影和矢量投影两种形式。
1. 标量投影对于向量a→以及它在向量a→上的投影，其标量投影表示为a→在a→上的投影长度，记作proj a a，可以通过数量积来计算，即 proj a a=a→·a→，其中a→为单位向量，表示与向量a→方向相同的向量。
2. 矢量投影向量的矢量投影表示为一个向量，且方向与向量a→相同，长度为向量a→在向量a→上的投影长度。
平面向量的数量积(人教A版2019必修第二册)(教师版)
平面向量的数量积屾＿1概念如果两个非零向矗a ,E ，它们的夹角为0，我们把数显团间cosO叫做d与E 的数显积（或内积），记作a·E,即a·b=匠|l 面cos0规定：零向量与任一向量的数量积是0。
PS 数屈积是一个实数，不再是一个向屈。
2投影向量E在向量石上的投影：l 面cosO，它是一个实数，但不一定大于0。
3运算法则对千向屈石，5，t和实数入，有(2（庙）b=质·局＝a （初但是＠·b 沪＝a戊飞）不一定成立。
Ta -b ＝ 5石） l （ (3) (a+局·t =a . t +5.t（当向量石，了不共线时，向量石(5飞）与向輩＠.b冗肯定不共线，那怎么可能相等呢）即向噩的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律。
@)＿【题型一】求数量积【典题1】-－ －＿已知向量百，b 满足1互十bl=lb |，且回＝2,则百b=—【解析】因为厄一..2 +b | ＝ 1面，即有1a+b |＝ P|2,所以a 2+ 2a · b + b 2 =护，则2a.E =－护＝－4,所以百."E =-2。
【点拨】＠由数址积的定义可知厄12＝护＠题目中遇到类似匝＋面可尝试利用性质匠12＝乎达到去掉绝对值的目的。
【典题2】在三角形ABC 中，若区百＋阮�I=冈B －祈订，AC = 6, AB = 3, E, F为BC边的等分点，则AE ·A尹＝＿。
B一支FA � C析】若l 店＋权�I=I 屈－祈�I,则五沪＋面归＋2Ai1．面f ＝五沪＋阮立－2Ai1．权？，即有AB·BC =O·: AC = 6, A B = 3, :. BC 2 = 62 -护＝27。
·: E,F为BC边的三等分点，则杠杆＝（蒜＋酌（商＋酌＝（蒜＋钮酌（商＋钮酌（利用首尾相接法把向量向m;、瓦清拢）=2即＋丽＋顽页＝¼X 27 + 32 + 0 = 15。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课件新人教A版必修4
|c+td|= (2������ + 4)2 + (������-3)2 = 5������2 + 10������ + 25,
.
分析可利用向量分解的方法,将������������, ������������用基底表示,然后利用运 算律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析(方法 1)������������ ·������������ =
������������
+
1 3
������������
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ,
则 cos θ=|������������|·|������������| =
()
答案(1) (2)× (3)× (4) (5)× (6)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
数量积的坐标运算 角度1 数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
-3×7+(-4)×1 (-3)2+(-4)2 72+12
=
2-5252=-
22.
因为 θ∈[0,π],所以 θ=34π,即 m,n 的夹角为34π.
平面向量的数量积与向量积知识点总结
平面向量的数量积与向量积知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们可以用来表示物体在平面上的位移、速度、加速度等。
平面向量有许多重要的运算，其中包括数量积和向量积。
本文将对平面向量的数量积与向量积进行知识点总结和讨论。
一、数量积数量积又称为点积，是两个向量的运算，它的结果是一个标量（即一个实数）。
数量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角。
1. 特点：数量积是两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
根据这个特点，我们可以得出一些重要结论：（1）若夹角θ为90°，则cosθ=0，数量积为0，即两个向量垂直。
（2）若夹角θ为180°，则cosθ=-1，数量积为-|a||b|，即两个向量反向。
（3）若夹角θ为0°，则cosθ=1，数量积为|a||b|，即两个向量同向。
2. 计算数量积的方法：（1）坐标法：设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
（2）几何法：设向量a的起点为O，终点为A，向量b的起点为O，终点为B，则a·b = AB·OBcosθ，其中AB和OB分别表示向量a和向量b的长度。
3. 应用：数量积在物理学中有广泛应用，例如计算力的做功、计算向量的投影等。
二、向量积向量积又称为叉积，是两个向量的运算，它的结果是一个向量。
向量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的向量积定义为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
1. 特点：向量积的结果是一个垂直于原向量所在平面的向量，并且其模的大小等于a和b所张的平行四边形的面积。
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
初三数学教材平面向量的数量积与向量积
初三数学教材平面向量的数量积与向量积平面向量在初三数学教材中占据着重要的地位，其中数量积和向量积是我们需要重点学习和掌握的概念。
数量积与向量积是平面向量运算中的两个重要概念，它们具有不同的性质和应用场景。
下面将分别对数量积和向量积进行详细介绍。
1. 数量积数量积又称为内积或点积，表示为两个向量的数量积是一个标量。
设有向量a和向量b，它们的数量积定义为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角。
从公式中可以看出，数量积等于向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。
数量积具有以下性质：(1) 交换律和分配律：a·b = b·a，(a+b)·c = a·c + b·c(2) 公式变形：a·b = 0，则a与b垂直或其中一个向量为零向量。
(3) 利用数量积可以计算向量的模：|a| = √(a·a)在初三数学教材中，数量积常用于计算向量的模、判断向量的垂直性以及求解几何问题，如判断一个四边形是否为矩形、证明两条直线的垂直等。
2. 向量积向量积又称为外积或叉积，表示为两个向量的向量积是一个向量。
设有向量a和向量b，它们的向量积定义为：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角，n表示垂直于平面的单位向量，其方向由右手法则确定。
向量积具有以下性质：(1) 反交换律。
a × b = - (b × a)(2) 与数量积的关系。
|a × b| = |a| |b| sinθ(3) 公式变形。
a × b = 0，则a与b共线或其中一个向量为零向量。
向量积的应用主要集中在解决平面向量的方向问题，如求解平面向量的垂直平分线、判断两条直线的位置关系等。
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② a b a b 0 (垂直的判断);
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、 长度、 角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
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二、数量积运算律及性质： 1.运算律
①交换律: a · b = b · a ; ②数乘结合律:(λ a )· b = a ·(λ b )=λ ( a · b );
2. 向量b在向量a上 的投影的概念:
B ห้องสมุดไป่ตู้ B
b
O
b
b
O(B ) 1 a B1 A B1 O a A a A 当为锐角时 当为钝角时 当为直角时 投影为正值; 投影为负值; 投影为0;
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二、数量积运算律及性质： 2.两个非零向量数量积的重要性质：
① a | a | 2 即 | a | a (求线段的长度);
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D D
65 5
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作业
1、课本上所有的习题 2、资料做完 3、必修四复习
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平面向量的数量积
制作人：朱海明
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我的工作室
:85/
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平面向量的数量积
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平面向量的数量积
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请 零向量与任一向量的数量积 注 都为0，即： 意
思考： 向量数量积是一个向量还是一个数量? 它的符号什么时候为正?什么时候为负?
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思考:两个向量的数量积与实数乘向量的积有 什么区别？ 6
c +b · c ③分配律:( a + b )· c = a · 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算 满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运 算性质可以简化向量的运算，
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例2： 判断下列说法是否正确
1)若a 0, 则对任一向量 b, 有a b 0 2)若a 0, 则对任一非零向量 b, 有a b 0 3)若a 0, a b 0, 则b 0 4)若a b 0, 则a, b至少有一个为零向量
(√)
(× ) (× ) (× ) (√) (√)
5)若a b a b , 则 a ∥b
6 )若a b a b , 则 a ∥b
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a 2, b 3, 例3: 已知向量a与b的夹角为， 分别在下列条件下求 a b
(1) 1350
( 2)a ∥ b
3a b