刀具齿廓形状的设计对齿根过渡曲线的影响1

１）明确各组成环尺寸的分布规律； ２）根据计算精度的要求确定随机模拟次数Ｎ； ３）根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围，分别对 其进行随机抽样，从而得到一组各组成环尺寸的随机数 （Ａ１ Ａ２……Ａ＾ｆ）； ４）将随机抽样得到的一组各组成环尺寸的随机数（Ａ， Ａ：……Ａ。）代人尺寸链方程，计算封闭环尺寸Ａ。得到 该尺寸的一个子样； ５）将上述步骤（３）、（４）重复～次，即可得到封闭环尺 寸的Ｎ个子样，构成一个样本； ６）对所得到的封闭环尺寸的样本进行统计处理，从而 确定封闭环尺寸的平均值、极限值、公差等心１］。
如实例：齿轮型刀具齿数为２０，刀具模数为４，压力角 为２０。，齿顶高系数为１，顶隙系数０．２５，则：
０ｍ＝１．５２，乍＝０．９４，ｒ一＝１．７９，唯一５．１８ 当刀具采用相同的参数时，从计算可知当过渡曲线为 单圆弧时，过渡曲线曲率半径最大，因此选用单圆弧过渡 曲线可提高弯曲强度。
２ 根据刀具的参数推导齿根过渡曲线方程
蒙特卡 抽样 ７７
Ｘ
洛法 次数 １６６
Ｘ
２９０
Ｘ
５８ｌ
Ｘ
４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３
公差值
３．５７６ ９ １．５５１ ８ １．３５４ ８ １．４０６ ６ １．４７０ ８ １．５２０ ３
通过表２的比较分析可 知：三种方法求解出来的封 闭环Ｘ的基本值和公差值 一致，完全符合设计要求和 精度要求．
２应用实例
以下为一个关于ຫໍສະໝຸດ 起落支架结构的平面尺寸链分析计算实例。
该支架结构的装配简
图如图１，在该支架结
构中，各零件尺寸均服
从正态分布，其基本尺
寸如表１。求解其封
闭环Ｘ及其公差。
表１
尺寸链图数据
图１支架装配图
图２极值法
图３概率法
表２ 各种分析方法计算结果比较
极值法 概率法
封闭环
Ｘ Ｘ
基本值 ４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３
对于第四种过渡曲线，刀具刀顶圆角半径ｈ＝
＝ｍ－－４Ｉｒａｔｇａ（ｆ为齿高系数，口同上）。 对于第五种过渡曲线，刀具刀顶圆角半径为：
ｒ一２三三一ｒ，（ｒｓ为刀具齿根圆半径，ｒｂ为刀具基
圆半径＇口ｆ为刀具基圆压力角）口］。 刀具刀顶圆圆角半径即为过渡曲线的曲率半径，要想
提高齿轮弯曲强度必须增大过渡曲线的最小曲率半径，即 加大刀具刀顶圆圆角半径。可以根据以上公式改变刀具 的参数即可改变刀具刀顶圃角半径。
４７—５０
２昊方才．基于蒙特卡罗仿真和遗传算法的公差设计［Ｄ］．武汉：武
汉理工大肇，２００５．６－７
将已知条件输入设计好的ＶＢ程序主界面，分别用三 种不同的方法进行计算分析，得到的运行结果如图２，３所
３刘之生．尺寸链理论及应用［Ｍ］，兵器工业出版社．１９９０：２－４ ４方红芳．计算机辅助工序尺寸及其公差设计［Ｍ］．上海：中国纺织
．６０．翻聪幽圜■团圜圈圈豳
文章编号：１００２—６８８６（２００８）０６一００６０—０３
刀具齿廓形状的设计对齿根过渡曲线的影响
（１．长江大学机械工程学院，湖北
王丽娟１，黄清世１，白冰２
荆州４３４０２３；２．中国机械工业第二安装工程公司，湖北
武汉４３００５６）
摘要：本文详细介绍了机械加工中常见的几种齿根过渡曲线，为了提高齿根弯曲强度根据建立的各种刀具刀顶圃角半径 方程通过实例进行了几种过渡曲线的比较。最后通过齿轮刀具（齿轮型刀具和齿条型刀具）齿廊参数和齿条刀具齿廓参 数推导出齿根过渡曲线方程，便于在有限元中建立准确的过渡曲线。 关键词：齿轮刀具齿条工具过渡曲线 坐标变换
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅａｒ ｔｏｏｌ；ｒａｃｋ—ｋｉｎｄ ｔｏｏｌ＃ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ；ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ
Ｏ 引言
提高齿轮的承载能力是研究齿轮传动的重要课题之 一。齿轮的承载能力受到接触强度和弯曲强度的限制，设 作用在齿面上的圆周力为Ｆ，则接触应力和￣／Ｆ成正比，而 弯曲应力则与Ｆ成正比，所以假如齿轮参数不变而增加 载荷则弯曲应力的增加程度比接触应力要大得多。因此， 齿轮设计的一个重要环节是提高齿轮的弯曲强度。但在 齿根过渡曲线处，产生应力集中，即该位置也是渐开线齿 轮的最大弯曲应力处。可见，分析不同的齿根过渡曲线是 有必要的。
种Ⅲ：
ａ）当采用齿轮型刀具加工齿轮时，如果刀具的顶部具
有两个圆角（如图ｌａ），则过渡曲线（如图２ｂ）１、２两段为延
伸外摆线的等距曲线，３段为齿轮的根圆圆弧。
ｂ）当采用齿
轮型刀具加工齿
轮时，如果刀具
的顶部只具有一
个圆角（如图
１ｂ），则过渡曲线
（如图２ａ）为一整 段延伸外摆线的
（－）
．彻
图１齿轮型刀具
等距曲线。 ｃ）当采用齿
条型刀具加工齿
八八八八
轮时，如果刀具
齿廓的顶部具有
两个圆角（如图３
图２过渡曲线
ａ）．则过渡曲线
（如图２ｂ）１、２两
中线
段为延伸渐开线
的等距曲线，３段 为齿轮的根圆圆 弧。
ｚ＝＝ｔ■
图３齿条型工具
作者简介：王丽娟（１９７９一），女．从事专业机械设计及理论，长江大学机械工程学院研究生。 收稿日期：２００７—７—２３
ｆｃｏｓ，５２一ｓｉｎ￥ｚ－－ｒ２ｓｉｎ｛５２＋ｒ２１１２Ｃ０５ｊ１２］
Ｍ２１＝Ｊ ｓｉｎ拳２ ｃｏｓ声２
ｒ２ｃｏｓ≯２＋ｒ２’Ｉｚｓｉｎ＃２
（４）
【０
０
１
Ｊ
将式３与式４相乘可以得到过渡曲线方程为：
Ｘ２＝一＿Ｉｚ。ｓｉｎ≯２－－ｒ２ｓｉｎｅ２＋ｒ２丸ｃｏｓ乒２
Ｙ２＝＾。ｃｏｓ庐２－－ｒｚｃｏｓ庐２＋ｒ２声２ｓｉｎ声２
（２）
【０
０
１－Ｊ
式１与式２相乘便得到相应的过渡曲线方程：
Ｘ２２Ｒ。ｓｉｎ（≠ｌ＋如）－－ａａｓｉｎ’１２
ｙ２＝一Ｒ。ｃｏｓ（声ｌ＋壬２）＋ａｃｏｓ声ｚ ｂ）当齿轮刀具齿顶为圆角时，如图５：
Ｘ１＝ｐｓｉｎｙ，Ｙ１一一Ｒ。＋ｐ（１一ｃｏｓｙ） （刀具齿顶圆角的圆心为Ａ，半径为Ｐ，Ｒ。 为刀具齿顶圆半径，），为参变量。根据齿 轮啮合原理建立啮合方程：
角半径计算公式是一样的，ｏ。＝Ｆ兰（ｃ为径向间隙系
数，ｍ为模数，口为刀具直线与垂直于中线的直线的夹角） 对于第二种过渡曲线，刀具刀顶圆角半径：
ｕｇ［杰州～吨ｖａ）］ 乍 一２—Ｃ— ＯＹａ—。—＋ｓ。ｉｎ—ａ。２Ｆｔｇ：ｌ考—一—（—ｉｎ— ｖａ。—一—ｉ‘ｎｖ—ａ）１ｌ
互为刀具齿数，口。为刀具顶圆压力角，ｋ为刀具顶 圆半径，口为刀具分度圆压力角。
ｙ２一（Ｘｌ＋ｒ２如）ｓｉｎ庐ｚ＋（ｙ。＋ｎ）ｃｏｓ声ｚ
３结束语
（下转第７３页）
————三里盟旦墨兰婴铝【
法进行尺寸链计算，是在各组成环尺寸与其公差及其尺寸 分布规律已知的条件下，把求解封闭环尺寸及其公差的问 题，当作求一个随机变量的统计量的问题来处理。用蒙特 卡洛法进行公差分析的条件及步骤如下：
大学出版社．２０００．３
示。
ｐｐｐｐ≯ｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐｐ、一ｐｐｐｐ—ｐｐｐｐｐ、矿
（上接第６１页）
社．２００１
本文通过不同刀具的齿廓参数推导出相应齿根过渡 曲线的方程，使在加工过程中保证齿根过渡曲线的准确 性，对加工设计有一定的参考价值。
２吴继泽，王统主编．齿根过渡曲线与齿根应力［Ｍ］．北京：国防工业 出版社．１９８９
２．２根据齿条型刀具的参数推导过渡曲线
鬯 方程，用范成法加工齿轮时，当刀具齿顶
为尖角时过渡曲线为延伸渐开线，而刀具 齿顶为圆角时过渡曲线为延伸渐开线的 等距曲线。
ａ）齿条刀具齿顶为尖角时，如图６：
Ｘ，＝ｏ，Ｙ。＝一ｈ。（ｈ。为刀具齿顶高）
图６
（３）
当刀具移动０。Ｐ距离时，被加工齿轮转动壬：。同样 根据坐标变换矩阵把点Ａ坐标从坐标系Ｘ，０ｙ１变换到坐 标系Ｘ。０ｙ２中，变换矩阵如下：
ｂ）刀具齿顶为圆角时，如图７：
ｒ
而
，
Ｘ】＝ｐｃｏｓ声，Ｙ１＝－－ｈｐｓｉｎａ－－ｐｓｉｎａ
Ｂ
ｐ
ＯＩ
¨
（ｈ。为刀具工作齿廓齿顶高）
≤ 根据齿轮啮合原理建立啮合方程式：
≮ 尹 裂 Ｚ一０ｌＡｃｔｇ口＝７２
≯２＝（ｈ。－－ｐｓｉｎａ２）ｃｔｇａ 根据同上的变换矩阵可以得到过 渡曲线的参数方程：
图７
Ｘ２＝（Ｘｌ＋ｒ２拳２）ｃｏｓ，５ｚ一（ｙ１＋ｒ２）ｓｉｎ，１２
２．１根据齿轮型刀具的参数推导齿根过渡曲线参数方程：
用范成法加工齿轮时，当齿轮型刀具齿顶为尖角时，过渡
曲线为延伸外摆线。当齿轮型刀具为圆
／《１ 角时，过渡曲线为延伸外摆线的等距曲 ｈ＼
线…。
０ｌ 。ｔ嘭
＼ ．≥ ａ）齿轮刀具齿顶为尖角时，如图４。
Ｘ。＝０，ｙ。＝一Ｒ。（Ｒ。为刀具齿顶圆
半径）
（１）
当刀具的转角为垂。．被加工齿轮转
万方数据
·６１·
ｄ）当采用齿条型刀具加工齿轮时，如果刀具齿廓的顶 部只具有一个圆角（如图３ｂ），则过渡曲线（如图２ａ）为一 整段延伸渐开线的等距曲线。
ｅ）过渡曲线即为一整段圆弧（如图２ａ）。 总的归纳起来，实际上齿根过渡曲线只有两种圆弧， 即图２所示的单圆弧（如图ａ）与双圆弧（如图ｂ）。 对于第一种过渡曲线和第三种过渡曲线，刀具刀顶圆
ｑ
ｑＹ２
角为西：时，点Ａ坐标变换到Ｘ：０ｙｚ坐标 系当中，可得过渡曲线方程。首先根据坐 标变换由坐标系Ｘ。０ ｙｌ变换到坐标系
７＼ ０２
Ｘ：０ｙ２的矩阵为Ｍ２，，则：
图４
万方数据
ｆｃｏｓ（，Ｉｌ＋咖２）一ｓｉｎ（ｅｌ＋，５２）－－ａｓｉｎ声２ １
Ｍ２Ｉ—Ｉ ｓｉｎ（｛６，＋，５ｚ） ｃｏｓ（≯－＋乒ｚ） ａｃｏｓ＃ｚ