第9章含参量积分
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
含参量积分的若干解法
含参量积分的若干解法
含参量积分是在几何常数不变的情况下求解数值问题的一种实用方法。
它可以把连续时间和空间中的相关概念和参量转化为密集的数值解，从而解决许多计算学上复杂的问题。
含参量积分的解法有许多，其中最常用的是高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分、拉格朗日（Lagrange）积分和拉波拉斯（Laplace）积分。
高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分是一种经典而通用的多维求积分的方法。
它可以计算出多元函数的积分，并且和参数数量无关。
它首先将参量空间划分为一系列等分的子区域，称为梯度，然后可以使用此梯度计算出含有参量的积分。
拉格朗日（Lagrange）积分是一种常用的数值求解含参量积分的方法，它可以用来计算二维函数的积分。
它的方法是先把被积函数的参量空间分割成若干等分的子区域，然后把每个子区域内的函数表示为拉格朗日指标函数之和，然后积分每个拉格朗日指标函数，最后把积分结果累加起来作为该参数空间积分的值。
最后，拉波拉斯（Laplace）积分则是另一种实用的多维求积分的解法，它可以用于计算多维参量空间中任意复杂的参量空间积分，而且具有很强的鲁棒性。
它的基本思想是把整个参量空间划分成若干梯度，然后求每个梯度的参量空间积分，最后将各梯度的积分结果累加作为总的积分值。
总的来说，含参量积分的解法有很多，它们的精度都非常高。
而在实际应用中，要根据需求选择合适的解法。
不管是哪一种解法，在使用时都要注意数值正确性，以确保可靠性。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
含参量积分的定义论文
1 含参量积分的定义：设函数),(y x f 定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I,c ≤y<+∝}上，其中I 为一区间。
若对每都收x 在I 上取值的函数，当记这个函数为Φ（x)时，则有⎰∝+∈=ΦcI x dy y x f x ,,),()( (2)则称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
2 含参量反常积分的性质定理1（连续性） 设 ),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若含参量反常⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(（2.1）在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
推论 设),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上内闭一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
定理2（可微性） 设f （x,y)与 ),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续。
若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上收敛，),(y x c xf⎰∝+在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上可微， 且dy y x x cxf),()('⎰Φ∝+= （2.2 ）推论 设f （x,y)与),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续，若)(x Φ在I 上收敛，而dy y x cxf),(⎰∝+在I 上内闭一致收敛，则)(X Φ在I 上可微，且dy y x cxfx ),()('⎰Φ∝+= （2.3）定理3 （可积性） 设),(y x f 在[a,b]×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在[a,b]上一致收敛，则)(x Φ在[a,b]上可积， 且 ⎰⎰⎰⎰∝+∝+=b accbadx y x f dy dy y x f dx ),(),( （2.4）定理4 设),(y x f 在[a,+∝）×[c,+∝)上连续，若（i)⎰∝+adx y x f ),(关于y 在[c,+∝)上内闭一致收敛，⎰+cdy y x f ),(关于x 在[a,+∝)上内闭一致收敛。
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第九章 含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。
更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。
2 分析性质 （1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。
（2）可微性 若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。
此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)b dacdx f x y dy ⎰⎰与(,)dbcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。
（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。
定义2（一致收敛）若含参量积分（1）满足：0,0N ε∀>∃>，当M N >时，[,]x a b ∀∈，有|(,)(,)|Mccf x y dy f x y dy ε+∞-<⎰⎰，则称含参量积分（1）在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简称(,)baf x y dy ⎰在[,]a b 上一致收敛。
判别法则定理1（柯西准则）含参量无穷积分（1）在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：120,,,,[,]M c A A M x a b ε∀>∃>>∀∈当时，有21|(,)|A A f x y dy ε<⎰定理2（魏尔斯特拉斯M-判别法）设有函数()g y ，使得(,)(),,.f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛，则(,)cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛。
定理3 含参量反常积分（1）在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛。
（参具体华师大P181） 定理4（狄利克雷判别法）设（1） 对一切实数N c >，含参量反常积分(,)Ncf x y dy ⎰对参量x 在上一致有界，即0,,[,]M N c x a b ∃>∀>∀∈,有(,);N cf x y dy M ≤⎰(2)对每个[,]x a b ∈，函数(,)g x y 关于y 是单调递减的且当y →∞时，对参量x ，(,)g x y 一致收敛于0，则含参量反常积分(,)(,)cf x yg x y dy +∞⎰在[,]a b 一致收敛。
定理5（阿贝尔判别法）设 （1）(,)cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛；（2） 对每一个[,]x a b ∈，函数(,)g x y 为y 的单调函数，且对参量x ，(,)g x y 在[,]a b 上一致有界，即0,(,)L g x y L ∃<<。
1则含参量反常积分(,)(,)cf x yg x y dy +∞⎰在[,]a b 一致收敛。
2、 含参量反常积分的性质定理1（连续性）设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续。
定理2（可微性）设(,)f x y ，(,)x f x y 在区域[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上收敛，(,)x cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 可微，且'()(,)x cI x f x y dy +∞=⎰定理3（可积性）设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，若()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上可积，且(,)bacdx f x y dy +∞⎰⎰=(,)bcady f x y dx +∞⎰⎰定理4 设(,)f x y 在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续，若（1）(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛，(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛； （2）积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛，则另一个也收敛，且两者相等。
定理5 关于含参量的无界函数反常积分与含参量无穷积分十分类似，从略。
二、欧拉积分含参量积分11110(,)(1)(0,0),()(0)p q s x B p q xx dx p q s x e dx s +∞----=->>Γ=>⎰⎰分别称为第一类和第二类Euler 积分（又称贝塔（Beta ）函数与格马（Gamma ）函数），它们具有下列性质： 1 Γ函数（1）()s Γ在定义域0s >内连续且可导；（2）递推公式：(1)(),(1)!()s s s n n n Z +Γ+=ΓΓ+=∈ 2 B 函数（1） 在定义域内连续；（2） 递推公式：1(,)(,1),(0,1),11(,)(1,),(1,0),1(1)(1)(,)(1,1),(1,1).(1)(2)q B p q B p q p q p q p B p q B p q p q p q p q B p q B p q p q p q p q -=->>+--=->>+---=-->>+-+-（3） 对称性：(,)(,)B p q B q p =3、两者之间的关系()()(,),(0,0)()p q B p q p q p q ΓΓ=>>Γ+4、注意Γ函数与B 函数的其他表现形式221110111212120()2.(,)(1)2sin cos s s xx s s px p q q p s x e dx xe dx p x e dx B p q x x dx d πϕϕϕ-+∞+∞+∞---------Γ====-=⎰⎰⎰⎰⎰Ⅱ 例题选讲 一、基本题例1求函数1220()ln()F x x y dx =+⎰的导数（0y >）解：0,0,y ε∀>∃>使得1y εε≤≤，显然被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y∂+=∂+ 在闭区域1[0,1;,]εε上都连续，因此，有11'22220021()ln()2arctan y F y x y dx dx y x y y∂=+==∂+⎰⎰ 例2 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!n x ay x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并且满足条件'(1)()()()0n y a y a ya -==== 。
证明：设1(,)()()n F x t x t f t -=-，则(,),(,)x f x t f x t 在[,][,]a b a b ⨯上连续，因此有'212(1)()11()(1)()()()()(1)!(1)!1()()(2)!()()()()x n n a x n a xn an y x n x t f t dt x x f x n n x t f t dt n y x f t dty x f x ----=--+---=--==⎰⎰⎰即()y x 是微分方程()()()n yx f x =的解，显然'(1)()()()0n y a y a y a -====例3 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F z 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atx atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解。
证：由题设知2222u ut x∂∂∂∂与均存在，且有''''2''''''211[()()()][()()]221[()()][()()]22[()()][()()]22u f x at a f x at a aF x at aF x at t aa f x at f x at F x at F x at u a a af x at af x at F x at F x at t ∂=--++⋅+++-∂=+--++--∂=++-++--∂ 同理：2''''''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a ∂=++-++--∂ 于是22222u u a t x∂∂=∂∂ 例4 求1220lim 1x dxx ααα+→++⎰解：记122()1dx I x αααα+=++⎰，由于221,1,1x ααα+++α和x 的连续函数，因此()I α在 0α=处连续，所以1200lim ()(0)14x dx I I x πα→===+⎰。