9-3空间的平面与直线
《画法几何及土木工程制图》习题解答(第三版)
【5-5】已知正垂面△DEF,求作下列平面和直线：(1)过点A作平 面P∥△DEF；(2)过正垂线BC作平面Q∥△DEF(3)IJ∥△DEF，补 全直线IJ的正面投影；(4)过点K作正平线KL∥△DEF，长度任意。
【5-6】已知◇EFGH,求作下列平面和直线：(1)过点A作平面∥◇ EFGH；(2)△BCD∥◇EFGH，补全△BCD的正面投影；(3)IJ∥◇ EFGH，补全直线IJ的侧面投影；(4)过直线KL∥◇EFGH上的侧平 线的平面。
【5-7】求作下列直线与平面的交点，并判别其可见性。
【6-1】求作下列两平面的交线，并判别其可见性。
【6-2】已知平面△ABC和直线DE，求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC；⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
【6-3】已知平面P、Q，直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q；⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB， 作平面T⊥CD。
【2-6】已知直线AB对投影面H的倾角α＝30°，补全它的正平 投影，并回答有几解，图中任求一解。
【2-7】通过作图检验直线AB、CD、EF的相对位置。
【3-1】检验直线AB、CD的相对位置。
【3-2】已知一直线与直线AB、CD都相交，且与直线EF交于分线 段EF成2：3的点，求作该直线的两面投影。
【1-4】已知点A与W面距离为20mm；点B距点A12mm；点 C与点A是对V面的重影点，在点A的正前方15mm；点D在点A 的正下方20mm。补全诸点的三面投影，并表明可见性。
【1-5】已知点A与H、V面等距，点B在V面上，与点A是对V面 的重影点；点C在点A之右55mm、之后15mm、之下10mm； 点D(40,20, 30)；点E在点D的正下方20mm。作出点A的水平 投影，以及点B、C、D、E的两面投影，并表明可见性。
2014-9-27-空间向量、直线方程、平面的方程
将其代入所设方程, 得
上述方程叫做平面的截距式方程 , 而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z轴上的截距.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n =(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程 法线向量 By＋Cz+D=0 n=(0, B, C) Ax+Cz+D=0 n=(A, 0, C) Ax+By+D=0 n=(A, B, 0) Cz+D=0 n=(0, 0, C) Ax+D=0 n=(A, 0, 0) By+D=0 n=(0, B, 0)
例8 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平 面 x+y+z=0, 求它的方程. 解 从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2=(1, 1, 1). 方法二： 所求平面的法线向量n可取为n1n2-(z-1)=0, 即 2x-y-z=0.
s=(i+j+k)(2i-j+3k)=4i-j-3k. 所给直线的对称式方程为 所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
提示： 先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s.
练习： 将一般方程 化成标准方程及参数方程.
解 先在直线上找一点. y + z = -2 ,得 y = 0 , z = -2 令 x = 1, 解方程组 y - 3z = 6
例1 求过点(2, -3, 0)且以 n =(1, -2, 3)为法线向量的 平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
初三数学空间几何认识
初三数学空间几何认识一、平面几何1.点、线、面的基本概念2.直线、射线、线段的概念及性质3.平面、直线、线段之间的位置关系4.平行线、相交线的性质5.三角形、四边形、五边形、多边形的基本概念及性质6.矩形、菱形、正方形、梯形的性质7.圆的基本概念及性质8.圆周率、直径、半径、弧、弦、圆心角的关系9.相交线、平行线与圆的关系10.三角形的不等式二、立体几何1.空间几何体的概念及分类2.球、正方体、长方体、圆柱、圆锥的性质3.面、棱、顶点的概念及关系4.多面体的概念及分类5.平面与立体几何体的位置关系6.直线与立体几何体的位置关系7.点、线、面在立体几何中的位置关系8.立体几何中的角、边、面的度量9.立体几何中的体积、表面积计算10.立体几何中的平行公理及推论三、几何变换1.变换的概念及分类2.平移、旋转的性质及几何变换3.相似变换、位似变换的性质及几何变换4.坐标与几何变换5.函数与几何变换6.几何变换在实际问题中的应用四、几何证明1.证明的概念及方法2.直接证明、反证法、归纳证明、综合法、分析法3.三角形、四边形、圆等常见几何图形的证明方法4.相似三角形的性质及证明5.中位线、平行线、相交线等几何性质的证明6.几何图形的对称性及证明7.几何图形的旋转及证明五、几何问题解决1.几何问题的类型及解决方法2.比例问题、面积问题、体积问题、角度问题等3.几何构造问题、几何计数问题、几何最值问题等4.几何问题中的函数与方程思想5.几何问题中的数形结合思想6.几何问题中的转化与化归思想7.几何问题中的逻辑推理与证明思想六、数学思想与方法1.数形结合思想2.转化与化归思想3.函数与方程思想4.分类与整合思想5.归纳与演绎思想6.模型思想与数学建模7.合情推理与演绎推理以上是初三数学空间几何认识的知识点概述，希望对您有所帮助。
在学习过程中，要注意理论联系实际，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
习题及方法：一、平面几何习题1.习题一：已知直线AB和CD互相平行，AB // CD，点E位于直线AB上，点F位于直线CD上。
9-3(1)格林公式
D D
单连通区域
复连通区域
二、格林公式
定理1 定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围 成,函数 P ( x , y )及Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连 续偏导数, 续偏导数, 则有
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D 的取正向的边界曲线, 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,
第九章 曲线积分与曲面积分
9.3
格林公式及其应用
一、区域连通性的分类 二、Green公式 Green公式 Green公式的简单应用 三、 Green公式的简单应用 四、平面曲线积分与路径无关的条件
一、区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域, 如果 内任一闭曲线所 为平面区域 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 围成的部分都属于 , 则称 为平面单连通区 否则称为复连通区域. 域, 否则称为复连通区域.
应用格林公式, 应用格林公式
P = 0, Q = x 有
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
格林公式及其应用
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q (ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
y
d
d
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy d
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
讲授新课
空间中直线与平面有多少种位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点. 直线与平面相交或平行的情况统称 为直线在平面外.
讲授新课
空间中直线与平面有多少种位置关系？
a a
A
a a a∥
a∩＝A
例. 下列命题中正确的个数是 ( B ) ①若直线l上有无数个点不在平面内， 则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平 面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
) 例. 下列命题中正确的个数是 ( ①若直线l上有无数个点不在平面内， 则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平 面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
两个平面之间有两种位置关系：
两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共 直线.
两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共 直线.
l
//
l
探究
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样 的位置关系？
探究
练习
ห้องสมุดไป่ตู้
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样 的位置关系？
工程制图答案
【5-7】求作下列直线与平面的交点，并判别其可见性。
【6-1】求作下列两平面的交线，并判别其可见性。
【6-2】已知平面△ABC和直线DE，求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC；⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
【6-3】已知平面P、Q，直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q；⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB， 作平面T⊥CD。
【10-4】作四棱台的正面投影，补全四棱台的侧面投影，并作出 其表面上的点A、B、C、D、E、F、G、H的另外两个投影。
【10-5】已知正垂面P上的曲线的侧面投影，求作这条曲线的另 外两个投影。
【10-6】已知平行四边形平面上曲线的正面投影，求作这条曲线 的侧面投影。
【10-7】求作圆心位于点A、直径为24mmm的侧平圆的三面投影。
【13-3】作正五棱柱与正垂面P的截交线，补全截断体的三面投影。
【13-4】作具有燕尾槽的四棱柱与铅垂面P的截交线和截断体的 侧面投影。
并补全其侧面投影。
【13-6】补全三棱锥被正垂面P截切后的截断体的水平投影和侧 面投影。
【13-7】补全左右、前后对称的楔形块被水平面、正垂面、侧平 面截切成左上方的切口后的水平投影和侧面投影。
【4-4】已知正垂面P的正面迹线PV以及其上的△ABC的水平投影， 补全正垂面的正面迹线和水平迹线，以及△ABC的三面投影。
【4-5】已知平面P上的正方形ABCD的一条对角线AC为侧垂线，平 面P与水平面H的倾角为45°，顶点B在AC的后上方，完成正方形 的三面投影。
【4-6】已知正方形ABCD的后边AB为正平线，且AB的侧面投影及 正方形的正面投影，补全正方形的侧面投影。
高考一轮复习教案立体几何文科用十一(1)平面、空间直线(教师)
模块： 十一、立体几何课题： 1、平面、空间直线教学目标： 知道平面的含义，理解平面的基本性质，会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质；掌握确定平面的方法，并能运用于确定长方体的简单截面．掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系，并能用图形、符号和集合语言予以表示．重难点： 平面的基本性质，平行线的传递性，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．一、 知识要点1、平面的基本性质公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面．公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点． 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．二、 例题精讲例1、四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3求证：EF 、GH 、BD 交于一点．答案：证明略．例2、已知n 条互相平行的直线123,,,,n l l l l 分别与直线l 相交于点12,,,n A A A ， 求证：123,,,,n l l l l 与l 共面．例3、已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，四条边AB ，BC ，DC ，AD （或其延长线）分别与平面α相交于E ，F ，G ，H 四点，求证：四点E ，F ，G ，H 共线．例4、平面α平面βC =，a α⊂，且//a c ，b β⊂，b c M =，求证：直线a b 、是异面直线．例5、A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．答案：（1）略；（2）45︒例6、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C ．（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值．答案：（1）;;b c 22c b bc +；（2）))((2222222c b a b a b a +++-．例7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ︒∠=，//AD BC ，AB BC a ==，2AD a =，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30︒角．（1） 若AE PD ⊥，E 为垂足，求证：BE PD ⊥；（2） 求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．答案：（1）略；（2）4．三、 课堂练习1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 ．2、在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若EFGH 是正方形，则AC 与BD 满足的条件是 ．答案：垂直且相等．3、已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是 ．答案：（1）（2）（4）4、已知m n 、为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A 、与m n 、都相交B 、与m n 、中至少一条相交C 、与m n 、都不相交D 、至多与m n 、中的一条相交答案：B5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：（1）AB EF ⊥；（2）AB 与CM 成60︒；（3）EF 与MN 是异面直线；（4）//MN CD ，其中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（3）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（3）答案：D6、与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点（ ）A 、有且只有1个B 、有且只有 2个C 、有且只有3个D 、有无数个 答案：D四、 课后作业一、填空题1、空间中有8个点，其中有3个点在一条直线上，此外再无任何三点共线，由这8个点可以确定 条直线，最多可确定 个平面．答案：26，452、已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．答案：2．3、（1）若//,//a b b c ，则//a c ；（2）若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；（3）若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；（4）若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也异面．上面的四个命题中，正确命题的题号是 ．答案：（1）4、已知平面//αβ，A C α∈、，B D β∈、，直线AB 与CD 交于S ，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS= ．答案：16或2725、以下命题：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线；（3）过直线外一点作该直线的垂线是唯一的；（4）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．则其中正确的命题的题号是 ．答案：（1）（4）6、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（1）相对棱、AB 与CD 所在的直线异面；（2）由顶点A 作四面体的高，其垂足是BDC ∆的三条高线上的交点；（3）若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；（4）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；（5）最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．答案：（1）（4）（5）二、选择题7、正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱的侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是（ ）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒ 答案：B8、已知直线a 和平面αβ、，l αβ=，a α⊄，a β⊄，a 在αβ、内的射影分别为直线b 和c ，则b c 、的位置关系是（ ）A 、相交与平行B 、相交或异面C 、平行或异面D 、相交、平行或异面答案：D9、空间中有五个点，其中有四个点在同一个平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：D三、解答题10、正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，AC BD 、交于点M ，求证：点1C O M 、、共线．11、如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，如PQ 、CB 的延长线交于点M ，RQ 、DB 的延长线交于点N ，RP 、DC 的延长线相交于点K ．求证：M 、N 、K 三点共线．11、长方体1111ABCD A B C D -中，12,,AB BC a A A a E H ===、分别是11A B 和1BB的中点，求：（1）EH 与1AD 所成的角；（2）11A D 与1B C 之间的距离；（3）1AC 与1B C 所成的角．答案：（1）1arccos5；（2）2a ；（3）arccos 5．。
9.3《直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角》
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
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一组方向数。
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
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3、直线的一般方程
设两个相交的平面的方程分别为
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
7
反之 ，设有 三元 一次程 方 Ax By Cz D 0
任取满足该方程的一组 数x , y , z , 即
Ax0 By0 Cz0 D 0.
上述两等式相减，得
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程，
此为空间直线的一般方程。
z
1 2
x
o
L
y
注意： 空间某直线的一般方程并不是唯一的，过此直线的 任意两个平面联立都可作为此直线的一般方程。
M M (, ,)
M1
M3 M2
取 n M1 M2 M1 M3 ( , ,),
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得 14 x 9 y z 15 0.
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2、平面的一般方程 由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
由此可以看出，任一平 面都可以用三元一次 方程来表示；
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z
n
M
M0
o
y
x
法向量垂直于平面内的任一向量。
当已知平面上的一点和 平面的一个法向量就 可以完全确定一个平面 的位置.
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已知 n ( A, B, C ), M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
n
M
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
上式称为直线的对称式方程或点向式方程 或标准方程。
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x x 0 y y0 z z 0 设有对称式方程： m n p
在对称式方程中，若m=0，则方程写为：
x x y y z z n p
法向量 n ( A, B, C ).
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2014年6月8D 0, Ax By Cz 0 平面通过坐标原点；
D , By Cz D 0 平面平行于 x 轴； ( 2) A 0, 平面通过 x 轴； D , By Cz 0
x
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M
y
o
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已知直线L过点 M ( x , y , z ), 且以 s (m, n, p) 为方向向量。 设 M ( x , y , z ) 为L上任意一点，
z
s
M0
L
M
y
则 M M // s ，所以
o
x
x x 0 y y0 z z 0 m n p
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四、点到平面的距离
设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax By Cz D 0 外一点. n ( A, B, C ), P ( x , y , z )
P P ( x x , y y , z z )
在对称式方程中，若m=n=0，则方程写为：
x x y y
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2、直线的参数方程
在直线的标准方程中，
x x 0 y y0 z z 0 令 t m n p
得直线的参数方程为
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
M0
o
y
必有 M 0 M n M 0 M n 0
x
M M ( x x , y y , z z )
平面的向量式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
上式称为平面的点法式方程， 其中法向量 n ( A, B, C ), 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
注：若 a // 且 b // ，则可取 n a b 作
为平面的法向量。
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例 2 求过三点 M1 ( 2,1,4) 、 M 2 ( 1,3,2) 和 M 3 (0,2,3) 的平面方程.
n
解： M M (, ,)
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以n (， ， )为法线向量 例 1 求过点 ( 2,3,0) ，
的平面方程.
解： n (,, ),
所求平面方程为
M0 (2,3,0)
( x 2) 2( y 3) 3z 0,
化简得 x 2 y 3 z 8 0.
代入所设方程得
x y z 1 (平面的截距式方程) a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
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三、两平面的相互关系
定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角.（通常取锐角）
n ( A , B , C ), n ( A , B , C ),
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所以Pr jn P1 P0
Ax By Cz D A B C
,
P0到平面 的离差
由此得到点到平面的距离公式：
d | Ax0 By0 Cz0 D | A B C
2 2 2
.
n
正侧
负侧
注：平面法向量所指的那一侧 称为平面的正侧，另一侧
第三节
空间的平面与直线
一、问题的提出 二、空间的平面方程 三、两平面的相互关系 四、点到平面的距离 五、空间的直线方程 六、两直线的位置关系 七、点到直线的距离 八、两直线、直线与平面的夹角 九、平面束 十、两条直线之间的距离
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《高等数学》第九章
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一、问题的提出
平面是最简单的重要曲面。
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
由于Ax By Cz D
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《高等数学》第九章
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例5 求下列两平面的夹角
2 x y z 5 0,
解：
n (, , ),
x y 2z 6 0
n (,, ),
cos ( )
n
P0
d | Pr jn P1 P0 |
P1
N
Pr jn P1 P0 P1 P0 n0
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n
A A B C
,
B A B C
,
A B C C
o Pr jn P P P P n
解：设所求平面的法线 向量为
n
M 1
n
M
2
n (,,)(已知平面的法向量） A B C 0.
由上两式得到 A 2C , B C .
所以求得平面的方程为 2 x y z 0. 注：所求平面的法向量n M M n
解： 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过 x 轴知 A 0, D 0,
由 平 面 过 点 ( 4 , 3 , 1 ) 知 3 B C 0 C B,
所求平面方程为 By Bz 即 y z . 另解： 在 x 轴上取两点O(0,0,0)和A(1,0,0)
设平面 1， 2的法线向量为
n1
n2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, cos cos(n , n )
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按照两向量夹角余弦公式有
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, Cz D 0 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
2014年6月8日星期日
《高等数学》第九章
9
例 3 设平面过 X 轴及点 ( 4 , 3 , 1 ) ，求此平面方程.
求此平面方程 .
解： 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0,
D A , a