空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
直线与平面的距离与位置关系
直线与平面的距离与位置关系直线与平面的距离与位置关系是几何学中的基础概念之一。
在空间中，直线和平面是我们常见的图形和物体。
了解直线与平面之间的距离与位置关系，对于解决几何问题以及应用于现实生活中的问题都是非常重要的。
本文将详细介绍直线与平面的距离计算方法以及它们之间的位置关系。
一、直线与平面的距离计算1. 点到平面的距离计算公式要计算一个点到平面的距离，我们可以应用以下公式：距离= |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x, y, z)。
公式中的分子|Ax + By + Cz + D|代表的是点到平面的有向距离。
2. 直线到平面的距离计算公式要计算一条直线到平面的距离，我们可以使用以下公式：距离= |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，直线上的一点坐标为(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
同样，公式中的分子|Ax1 + By1 + Cz1 + D|代表的是有向距离。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，我们可以根据直线与平面之间的角度来判断它们的位置关系。
当直线与平面的夹角为锐角时，直线与平面相交于一点。
当直线与平面的夹角为直角时，直线与平面相交于一条直线。
这种情况常见于垂直于平面的直线。
当直线与平面的夹角为钝角时，直线与平面不相交。
2. 直线与平面平行或重合当一条直线与平面平行时，它们之间的距离为点到平面的距离。
根据上文提到的点到平面的距离公式，我们可以计算出直线与平面的距离。
当一条直线与平面重合时，它们的位置完全一样，距离为0。
三、示例问题现在，我们通过几个示例问题来更好地理解直线与平面的距离与位置关系。
示例问题1：计算点P(2, 3, 4)到平面2x - 3y + z - 7 = 0的距离。
3.3-3.4空间直线与平面
j
k
即
故 : 16 x 2 14 y 11 z 8 0.
法二
待定系数求法向量,
设所求平面法向量 n A, B,C , 则
8 A B, n n = 0 ， A 2B 4C 0, 1 7 3 A 5 B 2C 0, C 11 B, n n2 =0, 14
分析 可取
i
n 1 0 1 2i j 2k 2,1,2 ,
0 2 1
j
k
故平面方程为
2 x 1 y 1 2 z 2 0,
即 2x y - 2z 1 0.
例2 求经过点M1(1,1,-1), M2(-2,-2,2)和 M3(1,-1,2)的平面方程.
平面与空间直线
一、平面方程
n 0, 设 为一平面，取定 且 n , 称 n为平面 的法向量.
n
法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
（一）点法式方程
取定M0 ( x0 , y0 , z0 )， n { A, B,C }
可确定一平面 .
M( x, y, z ) n M0 M n M0 M 0
从而直线方程为
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z 2 z1
——直线L的两点式方程
参数式方程
x x0 y y0 z z0 设直线L： l m n
于是
x x0 tl , y y0 tm, z z tn, 0
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系几何学中，直线与平面的位置关系是一个基础且重要的概念。
直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们之间的位置关系不仅仅涉及到它们的交点、平行与垂直等简单的关系，还包括它们的夹角、距离以及相交情况等更加复杂的问题。
在本文中，我们将探讨直线与平面的不同位置关系及其几何性质。
1. 直线与平面的交点当一条直线与一个平面相交时，它们会在空间中有一个唯一的交点。
这个交点是直线与平面上所有点的共同点，也是平面上与直线最近或最远的点。
直线和平面的交点常常用坐标的形式来表示，比如(x, y, z)。
交点的坐标可以通过解直线和平面的方程组来求得，一般来说，代入直线的参数方程或者平面的一般方程，可以方便地计算出坐标值。
2. 直线与平面的平行关系当一条直线与一个平面平行时，它们永远不会相交。
这种关系可以用向量的角度来描述。
具体而言，如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则可以判定直线与平面平行。
在空间解析几何中，通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来确定它们的平行关系。
若点积为零，则表明直线与平面平行。
3. 直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面垂直时，它们之间的夹角为90度。
垂直关系也与向量的角度有关，当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，可以认定直线与平面垂直。
同样地，在解析几何中，可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判定它们的垂直关系。
若点积的结果为零，则两者垂直。
4. 直线与平面的夹角直线和平面的夹角是指直线上的一条边与平面上的一条边之间的夹角。
夹角可以分为锐角、直角和钝角三种情况。
当夹角为锐角时，说明直线与平面的位置关系比较近；当夹角为直角时，直线与平面垂直；当夹角为钝角时，直线和平面的位置关系相对远离。
在计算夹角时，可以利用向量的点积公式来求得两者之间的夹角大小。
总结起来，直线与平面的位置关系涉及到交点、平行、垂直和夹角等几个重要概念。
根据具体的问题，我们可以使用不同的几何方法来确定它们之间的关系。
直线与平面的关系
直线与平面的关系直线和平面是几何学中的基本概念，它们之间的关系对于研究几何学以及应用数学都有着重要的意义。
本文将从不同角度介绍直线与平面之间的关系，并探讨它们在几何学中的应用。
一、直线在平面内的位置关系在平面内，直线与平面可以有三种不同的位置关系，即相交、平行和重合。
1. 相交：当一条直线与平面有且只有一个交点时，我们称该直线与平面相交。
2. 平行：当直线和平面没有交点时，我们称该直线与平面平行。
3. 重合：当直线完全位于平面上时，我们称该直线与平面重合。
二、直线与平面的交集与垂直关系当直线与平面相交时，交点处的直线与平面垂直。
这个垂直关系可以进一步扩展到直线与平面的斜截关系。
1. 隐含的垂直关系：当直线与平面相交时，我们可以隐含地认为直线在交点处与平面垂直。
2. 线面垂直关系的判断：我们可以利用向量知识来判断直线与平面之间是否垂直。
具体方法是计算直线上的向量与平面上的法向量的点积，如果点积为零，则表明直线与平面垂直。
三、直线与平面的应用1. 直线与平面的交点计算：在三维几何中，我们可以利用线面交点的坐标计算方法来求解直线与平面的交点。
这个方法基于向量和参数方程的知识，通过联立方程组计算出交点的坐标。
2. 直线与平面的垂直线判断：在空间解析几何中，我们经常需要判断一条直线是否垂直于一个给定的平面。
通过求解直线上的向量与平面上的法向量的点积，如果点积为零，则可以得出直线与平面垂直的结论。
3. 直线与平面的平行线判断：与垂直判断类似，我们也可以利用向量的知识来判断直线是否平行于一个给定的平面。
如果直线上的向量与平面上的法向量平行，则可以得出直线与平面平行的结论。
综上所述，直线与平面之间的关系在几何学以及应用数学中都具有重要意义。
通过了解直线与平面的位置关系和垂直关系，我们可以更好地应用这些概念解决实际问题。
同时，利用线面交点计算和直线与平面的垂直平行判断方法，可以在空间解析几何中快速解决相关问题。
直线与平面的关系是几何学中的基础，对于建立空间模型和解决实际问题都具有重要意义。
空间中直线与平面的关系
空间中直线与平面的关系在空间几何学中，直线和平面是两种基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨直线与平面的相互作用，以及它们在空间中的几何性质。
一、直线在平面内的位置关系直线可以分为三种不同的位置关系：直线在平面内的情况、直线在平面上的情况和直线与平面相交的情况。
1. 直线在平面内的情况当直线和平面没有交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面是平行的。
平行的定义是：两条直线在平面内不存在交点，并且它们的方向向量也是平行的。
例如，在笛卡尔坐标系中，直线方程为y = mx + c，而平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中m、c、a、b、c、d为常数。
当平面的法向量[a, b, c]与直线的方向向量[1, m, 0]平行时，我们可以确定直线在平面内。
2. 直线在平面上的情况当直线与平面有交点时，我们说直线在平面上。
直线在平面上可以有不同的位置关系：直线与平面相切、直线在平面内部和直线穿过平面。
- 直线与平面相切：在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且这个交点同时属于直线和平面。
我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线在平面内部：当直线与平面有无数个交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面相交但不重合。
- 直线穿过平面：当直线与平面有无穷多个交点时，我们说直线穿过平面。
在这种情况下，直线与平面重合。
3. 直线与平面相交的情况当直线与平面相交时，我们可以进一步讨论相交点的情况。
直线可以与平面相交于一个点、一条直线或平面本身。
- 直线与平面相交于一个点：在空间几何中，直线与平面相交于一个点是最常见的情况。
这时，我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线与平面相交于一条直线：在这种情况下，直线与平面共面并且有无数个公共点。
这种情况也可以通过求解直线和平面的方程组来确定。
- 直线与平面相交于平面本身：直线与平面之间存在特殊的关系，即它们有一条公共直线。
空间直线与平面的位置关系与判定
空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。
本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。
一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
下面将分别对这三种情况进行详细说明。
1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。
这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。
举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。
可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。
2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。
直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。
经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。
3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。
因此，直线L与平面P平行。
二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。
下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。
1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。
利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。
空间直线与平面的方程与计算
空间直线与平面的方程与计算空间几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中各种几何对象的性质与关系。
其中，空间直线与平面是最基本的几何对象之一。
本文将介绍空间直线和平面的方程以及相关计算方法。
一、空间直线的方程空间直线可以通过一点和一个方向来确定。
假设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，且方向向量为d(a, b, c)，则空间直线的方程可以表示为：x = x₁ + at (1)y = y₁ + bt (2)z = z₁ + ct (3)其中t为参数。
根据参数t的取值不同，可以得到直线上的不同点。
例子：已知空间直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(1, -1, 2)，求直线L的方程。
解：直线L的方程可以表示为：x = 1 + ty = 2 - tz = 3 + 2t二、空间平面的方程空间平面可以通过三个不共线的点来确定。
假设平面上的三个点分别为A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，则空间平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C、D为常数，可以通过已知点A、B、C来确定。
将A、B、C带入方程(4)中，可求解出常数A、B、C、D的值，进而确定平面的方程。
例子：已知空间平面P过点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)，求平面P的方程。
解：将点A(1, 2, 3)、B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)带入方程(4)，得到方程为：x + y + z + D = 0再将点A(1, 2, 3)代入方程，可得：1 +2 +3 + D = 0D = -6因此，平面P的方程为：x + y + z - 6 = 0三、空间直线与平面的关系空间直线与平面可以相互交叉、平行或重合。
下面分别介绍这三种情况的判断方法。
1. 相交情况：若空间直线的方向向量与平面的法向量（平面的法向量可以通过方程(4)中的系数A、B、C确定）不平行，则直线与平面必相交。
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空间直线与平面的方程及其位置关系————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班指导教师 李树霞摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。
平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。
关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程1.１ 直线的对称式（点向式)方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v平行的直线l 就被唯一确定,向量v叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,=.设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r OM=,由于M M 0与v （非零向量)共线,则vt r r =-0 即v t r r+=0（1.1－1）叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。
如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v =,那么（１.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
消参数ｔ即得 Zz z Y y y X x x 000-=-=- （1．１-3)则（1.１-３)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。
例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。
解 取21M M v=作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点(如右图),那么},,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-==所以直线l 的向量式参数方程为:);(121r r t r r-+= （1．1-4)坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （１．1－5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (１.１-6）方程(1.4－４）（1.4-5)（1.4-6)都叫做直线l 的两点式方程。
１.１．1直线的方向数①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v,则直线的方程为00v t r r+=(参数方程)或 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.１－７） 标准方程γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (1．1-8)由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离． ②直线的几个问题Ⅰ．直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向．Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Ｚ或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系 222222222cos ,cos ,cos nm l n nm l m nm l l ++±=++±=++±=γβα1．2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线。
如果两个相交平面的方程分别为01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A （1A 、1B 、1C 与2A 、2B 、2C 不成比例),则它们的交线是空间直线。
该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。
所以方程组⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A(1．2-１）就是这两个平面交线的方程。
方程(1.2－１）称为空间直线的一般方程。
1.3 直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线.如 将一般方程(特殊的一般方程)化为⎩⎨⎧+=+=d bz y caz x (直线的射影式方程).1.４ 直线一般方程与标准方程的互化① 标准方程化为一般方程.(方向数不全为零) ② 一般方程化为标准方程一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A(1)确定直线的两平面法向量21,n n 的向量积21n n⨯为直线的一个方向向量.(2)取方程组的一组特解得直线l 上一点),,(0000z y x M 化得直线标准方程:221102211022110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=-2 空间平面的方程 2.１ 空间平面的一般方程一个平面I 是由垂直它的非零向量ｎ和平面上的一个点M 唯一决定的。
设n=（A,B ，C)(不为零向量)表示垂直I 的方向,称n 为I 的法向量由于ｎ为平面I 的法向量，Ｍ０(x 0,y 0,z 0）为Ｉ上一点,则对于空间中任意一点Ｍ(x,y ，ｚ），M 在Ｉ上当且仅当00=⋅n MM 或n OM n OM ⋅=⋅0 （3.1．2—1) 用坐标来表示，化为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 令)(000Cz By Ax D ++-=,则得到平面的方程0=+++D Cz By Ax (3.1.2—2） 这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。
反之，对于任何一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0, 不妨设0≠A ,则该方程又可写成 0)(=+++Cz By ADx A 作过点)0,0,(AD-，垂直于方向),,(C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程,即一个三元一次方程表示一个平面。
由此可以看出,经由坐标系,空间中的平面与一个四元数组),,,(D C B A 相对应。
但是,这种对应不是一对一的，对于所有的0≠k ，),,,(kD kC kB kA 对应同一平面。
由(３．1.2—２)表示的方程称为平面的一般方程。
3.２ 空间平面的法式方程把（3.1.2—1）式两边同时与n 1=λ或n1-=λ相乘,符号的选取使得0)(0≥⋅n OM λ。
这样n n λ=0 为从原点指向平面Ｉ的单位向量0)(≥⋅=n OM p o λ为原点O 与平面I 的距离。
此时可以得到I 的另一种方程表示 p n OM =⋅00，10=n ，p ≤0称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子。
它的几何意义是：平面I 是由所有的满足OM 在垂直于I 的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的。
若以给平面I 的方程为0=+++D Cz By Ax 则I 的法式方程可以表示成0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221CB A ++±=λ,λ正负号的选取要使得0≤D λ。
法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题。
３.３ 空间平面的参数方程npnMab Mo（3.1.4—1) （3.1.4—２）从图（3．１．4—2）中可以看出，平面Ｉ是由I 上一点0M 与两个不共线的与I 平行的向量a,b(或者说是I 上两个不共线的向量）所决定的。
设0M ),,(000z y x ∈I ，),,(321a a a a =，),,(321b b b b =,ａ，b 与I 平行且0≠⨯b a 。
则空间中任意一点),,(z y x M 在I 上,当且仅当M M 0，a,b 三向量共面。
从而有实数k,m ，使得mb ka M M +=0 或者 mb ka OM OM ++=0 使用分量来表示,则可得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=330220110mbka z z mb ka y y mb ka x x (３．１.4—３)我们称(3.1．4—３)为平面的参数方程,其中参数为k 和m 。
从(3.1.４—3）中消去参数ｋ,ｍ,可以得到关于x,y,ｚ的三元一次方程321321000b b b a a a z z y y x x ---=0 3.4 空间平面的截距式方程 对于由方程0=+++D Cz By Ax所表示的平面I 。
假设I 过原点O,即)0,0,0(在Ｉ上当且仅当0=D 。
若0≠D ，则平面I 可用方程1=++czb y a x (３．４—1) 表示，其中)0,0,(a ,)0,,0(b ,),0,0(c 分别为I 与三个坐标轴的交点坐标。
则我们称(3.4—1）为平面的截距式方程。
3 空间中直线与平面的位置关系 已知直线l 和平面α的方程为.0:,:00=+++-=-=-D Cz By Ax n z z m y y l x x l α现在我们来讨论①α⊥l ，②α//l ,③l 在α上的充要条件。
因为直线l 的方向向量),,(n m l S =与直线l 平行,平面α的法向量),,(C B A N =与平面α垂直,所以有① .//Cn B m A l N S l ++⇔⇔⊥α ② .0//=++⇔⊥⇔nC mB lA N S l α如果N S ⊥时,l 和α又有公共点，则l 就整个落在α上了．因此有③ l 在α上⎩⎨⎧=+++=++⇔00000D Cz By Ax nC mB lA３.1 空间直线与平面的交角设直线l 和平面α的交角为θ.当α//l 时,0=θ;当α⊥l 时，2πθ=；其他情况下，θ等于l 与它在α上的射影直线'l 所交的锐角.设ϕ是l 的方向向量S 与α的法向量N 之间的夹角，则有 θπϕ-=2或θπϕ+=2θθπϕsin )2cos(cos =-=或.sin )2cos(cos θθπϕ-=+=因此在这两种情况下，都有NS N S ⋅==ϕθcos sin .已知直线l 和平面α的方程为::00=+++-=-=-D Cz By Ax n z z m y y l x x l α设l 和α的交角为θ，则 222222sin CB A nm l Cn Bm Al NS N S ++++++=⋅=θ参考文献[1]吕林根许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006．05．[２］同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社．20０5.05. [3］谢敬然柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013．０5.[４]高红铸王敬庚傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.北京师范大学出版社.2007.0７．0３.。