空间直线及其方程69150
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高等数学第七章 第6节 空间直线及其方程
6
, 例1 设P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 )是空间两点 求过P . 1P 2的直线方程
解 : 取M0 P1 ,
S P1 P2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
由对 称式 x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
4
称为直线的对称式方程(标准式)
说 明:
x x 0 y y0 z z 0 x x0 0 0 p y y0
A1 x B1 y C1 z D1 0 ( 2)若L A2 x B2 y C 2 z D2 0
( x0 , y0 )
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
14
x 1 y z 3 例6 设L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 2 2 1 求两直线的夹角 .
(3)
建立方程
( A1 x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
是参数
( A1 A2 ) x ( B1 B2 ) y (C1 C2 )z ( D1 D2 ) 0
(3)表示通过 L的任一平面 (除(2)外),
解 : M0 (3,2,5)
s n1 n2 1 0 4 {4,3,1} 2 1 5
x 3 y 2 z 5 直 线 方 程 4 3 1
11
i
j
k
x 1 y 2 z 3 例5 求 直 线 和平面 1 1 2 2 x y z 5 0的 交 点 . x 1 t
第二节空间直线及其方程精品文档
L 1 L 2 c= o 0 m s 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 = 0
两直线垂直图示
图示
例题
已知直线
求两直线的夹角.
解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，
代入夹角公式可得
co= s |1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 )| 1 2 ( 4 )2 1 2 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2
三.直线的参数方程
由直线的对称式方程可以导出直线的参 数方程。只须设
这就是直线L的
则有 x = x 0 mt
y
=
y0
nt
z
=
z0
pt
参数方程. 这里t为参数.
例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.
解 设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5} s
求直线与平面交点
L： xx0 =yy0 =zz0
mn
p
s={m,n,p}
π ：Ax+By+Cz+D=0
M0(x0,y0,z0)
n={A,B,C}
怎样才能求 出交点M？
M(x,y,z)
π
图示
例题 已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L
求其交点.
解 令直线方程 x2=y3=z4=t
1
0
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k
s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零
两直线垂直图示
图示
例题
已知直线
求两直线的夹角.
解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，
代入夹角公式可得
co= s |1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 )| 1 2 ( 4 )2 1 2 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2
三.直线的参数方程
由直线的对称式方程可以导出直线的参 数方程。只须设
这就是直线L的
则有 x = x 0 mt
y
=
y0
nt
z
=
z0
pt
参数方程. 这里t为参数.
例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.
解 设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5} s
求直线与平面交点
L： xx0 =yy0 =zz0
mn
p
s={m,n,p}
π ：Ax+By+Cz+D=0
M0(x0,y0,z0)
n={A,B,C}
怎样才能求 出交点M？
M(x,y,z)
π
图示
例题 已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L
求其交点.
解 令直线方程 x2=y3=z4=t
1
0
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k
s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零
空间直线及其方程
解上列方程，得t1． 将t1代入直线的参数方程，得所求交 点的坐标为
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
第4讲空间直线及其方程
x2 y3 z 4 2 2 1
例
直线 L 过点 M ( 1, 0,－ ) 且与平面 : 2 x y 3 z 0 垂直, 2 求直线 L 的标准方程 , 参数方程 , 一般方程。
解
因为 L , 故可取 s n (2, 1, 3)。 又直线过点 M ( 1, 0, 2) , 故直线 L 的
L
L
n
在直线与平面的交点处 , 作平面的法向量n 和直线的 方向向量s , 记 s, n ,
则 s, n 。 2
而 cos (
2
) sin , cos (
2
) sin ,
sin | cos (
方程为
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0。
(一般方程 )
z 0,
例
L:
y 0。
表示坐标面 xy 与坐标面 xz 的交线 ( x 轴) 。
z
s k , s j,
y
x
0
O
L
y
s j k i 。
x 1 y z 2 。 标准方程: 2 1 3 对称方程 x 1 y , 2 1 y z2 。 1 3
参数方程:
x 1 2 t, y t, t R。 z 2 3 t ,
一般方程:
即
x 2 y 1 0 , 3y z 2 0 ,
3. 直线共面的条件
4. 直线与平面相交的交点 坐标
5. 点到直线的距离
1. 两直线间的夹角
常指锐角
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
空间直线及其方程
i jk s n1 n2 = 1 1 1 2 j 2k ．
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
高等数学第六节空间直线及其方程
第六节
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
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B( x0, y0, z0 )
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1
3(x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0 将 x0 2 y0, z0 y0 代入上式 , 得
AB ( 9 , 6 , 15 ) 3 ( 3, 2, 5) 77 7 7
由点法式得所求直线方程
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取
s
BA
(2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
i jk
s s1 n 3 2 1 3(3 i 2 j 5 k)
3 3 3
故所求直线方程为
x 1 3
y2 2
z 1 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 L2的交点为 B(x0, y0, z0),
则有 即
x0 2
y0
z0 1
x0 2 y0, z0 y0
A(1, 2,1) L2
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 (4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
y
z
0上
的投影直线方程.
六、小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 , p1
x 1 y 2 z 1
3
2 5
A(1, 2,1) L2
B( x0, y0, z0 )
解：方法1 利用叉积.
设直线 Li的方向向量为 si (i 1,2), 过 A 点及L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk
n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O
L2 s2
121
待求直线的方向向量
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
根据题意知
s n1 ,
s n2 ,
取
s n1 n2 (4, 3, 1),
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例7. 求直线
与平面
t
的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
______________；
5、直线 x y z 和平面3x 2 y 7z 8 的关系是 3 2 7
____________；
6、直线 x 2 y 2 z 3 和平面x y z 3 的关
3
1 4
系是_________ .
二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线L ：
x y z 1 2x y z 4
.
三、 求过点( 3 , 1 ,2 ) 且通过直线 x 4 y 3 z 的
5
21
平面方程 .
四、求直线
2 3
x x
4y z y 2z
0 9
0
在平面 4 x
y
z
1上
的投影直线的方程 .
五、 求与已知直线L1
：x 3 2
y5 3
z 1
及L2
：
直线
L2：x
x2 m2
y y2 n2
z z2 , p2
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
s1 s2 0
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
3. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n (A, B,C),
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
x 10 5
y7 4
z 1
都相交且和L3
：
x 2 y 1 z 3 平行的直线L .
8
7
1
六、设一平面垂直于平面z 0 ,并通过从点A( 1 ,1 , 1 )
到直线L
：
y x
z 1 0
0 的垂线，求此平面的方程
.
七、 求两直线L1
：x1 0
y 1
z 1
和L2
：x 2
y 1
z
0
2
的公垂线L 的方程，及公垂线段的长 .
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
例 6 求过点(3, 2,5)且与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s
0.
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
一、填空题：
练习题
1、通过点( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 x 3 y z 1
2
5
的直线方程为______________；
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
例 4 求直线53xx32yy3zz1900与直线
2x
3
x
2 8
y y
z z
23 18
0的夹角余弦. 0
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角
八、求过点(1 , 0 , 4 ) 且平行于平面
3 x 4 y z 10 0 又与直线 x 1 y 3 z 相交
1
13
的直线方程 .
九、
求
点
P
(
3
,1
,
2
)
到
直
线
x y z 2x y
1 0 z4
0
的
距
离.
练习题答案
一、1、 x 4 y 1 z 3 ； 2、0； 3、0； 215
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解 n (1, 1, 2), s (2, 1, 2),
2、 直线53
x x
3 2
y y
3z 9 z1 0
0
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
为直线 L 的平面束方程.
例9.求直线
在平面
上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 (x y z 1) 0
即
从中选择 使其与已知平面垂直：
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1
3(x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0 将 x0 2 y0, z0 y0 代入上式 , 得
AB ( 9 , 6 , 15 ) 3 ( 3, 2, 5) 77 7 7
由点法式得所求直线方程
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取
s
BA
(2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
i jk
s s1 n 3 2 1 3(3 i 2 j 5 k)
3 3 3
故所求直线方程为
x 1 3
y2 2
z 1 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 L2的交点为 B(x0, y0, z0),
则有 即
x0 2
y0
z0 1
x0 2 y0, z0 y0
A(1, 2,1) L2
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 (4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
y
z
0上
的投影直线方程.
六、小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 , p1
x 1 y 2 z 1
3
2 5
A(1, 2,1) L2
B( x0, y0, z0 )
解：方法1 利用叉积.
设直线 Li的方向向量为 si (i 1,2), 过 A 点及L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk
n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O
L2 s2
121
待求直线的方向向量
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解 设所求直线的方向向量为 s (m, n, p),
根据题意知
s n1 ,
s n2 ,
取
s n1 n2 (4, 3, 1),
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例7. 求直线
与平面
t
的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
______________；
5、直线 x y z 和平面3x 2 y 7z 8 的关系是 3 2 7
____________；
6、直线 x 2 y 2 z 3 和平面x y z 3 的关
3
1 4
系是_________ .
二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线L ：
x y z 1 2x y z 4
.
三、 求过点( 3 , 1 ,2 ) 且通过直线 x 4 y 3 z 的
5
21
平面方程 .
四、求直线
2 3
x x
4y z y 2z
0 9
0
在平面 4 x
y
z
1上
的投影直线的方程 .
五、 求与已知直线L1
：x 3 2
y5 3
z 1
及L2
：
直线
L2：x
x2 m2
y y2 n2
z z2 , p2
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
s1 s2 0
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
3. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
L : x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n (A, B,C),
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
x 10 5
y7 4
z 1
都相交且和L3
：
x 2 y 1 z 3 平行的直线L .
8
7
1
六、设一平面垂直于平面z 0 ,并通过从点A( 1 ,1 , 1 )
到直线L
：
y x
z 1 0
0 的垂线，求此平面的方程
.
七、 求两直线L1
：x1 0
y 1
z 1
和L2
：x 2
y 1
z
0
2
的公垂线L 的方程，及公垂线段的长 .
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
例 6 求过点(3, 2,5)且与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s
0.
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
一、填空题：
练习题
1、通过点( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 x 3 y z 1
2
5
的直线方程为______________；
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
4
例 4 求直线53xx32yy3zz1900与直线
2x
3
x
2 8
y y
z z
23 18
0的夹角余弦. 0
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角
八、求过点(1 , 0 , 4 ) 且平行于平面
3 x 4 y z 10 0 又与直线 x 1 y 3 z 相交
1
13
的直线方程 .
九、
求
点
P
(
3
,1
,
2
)
到
直
线
x y z 2x y
1 0 z4
0
的
距
离.
练习题答案
一、1、 x 4 y 1 z 3 ； 2、0； 3、0； 215
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解 n (1, 1, 2), s (2, 1, 2),
2、 直线53
x x
3 2
y y
3z 9 z1 0
0
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
为直线 L 的平面束方程.
例9.求直线
在平面
上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 (x y z 1) 0
即
从中选择 使其与已知平面垂直：