空间直线及其方程
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
第二节空间直线及其方程
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}
n={A,B,C}
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 yy0 zz0
1i017jk
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y z y ,
解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n {,,}
n {,,},
s nn
i jk
i j k
x1 y z2 4 1 3
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x,y,z)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
续上
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离.
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
7-5 空间直线及其方程
x 直线 L : x1 = y y1 = z z1 , 1 m n1 p1 1 x x2 y y2 z z2 直线 L2: = = , m2 n2 p2
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
平面与直线间的夹角 平面 ∏ : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥∏ s ×n = 0 A B C L // ∏ 夹角公式:
sn=0
sn sin = s n
s 解: 两条直线的方向向量为 s1 = ( 2,4, 3) ,2 = ( 3,1, 2)
s1 s2 由夹角公式 cos = s1 s2
=
4 = 2 2 2 2 2 2 406 2 + 4 + ( 3) 3 + 1 + 2
| 2 × 3 + 4 × 1 + ( 3 ) × 2 |
4 则 = arccos 406
x x1 y y1 z z1 则所求直线方程为 = = x2 x1 y2 y1 z2 z1
x4 y+3 z 例4. 求直线 L : = = 在平面 5 2 1 上的投影直线的方程. ∏ : 4 x y + z = 1 上的投影直线的方程.
解: 设 ∏ 是过 L 垂直于 ∏ 的平面. 其法向量为 的平面.
解:L 的参数方程为 x = t ,
y = 1 + t , z = 1 + 2t . 代入平面方程得 + (1 + t ) (1 + 2t ) = 0
8-4 空间直线及其方程
二、线面间的位置关系
在平面
过定直线L的平面束方程 设直线L的方程为
z
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
则三元一次方程
1
L1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
为过定直线L的所有平面（即平面束）的方程.
课堂小结
第四讲 空间直线及其方程
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线
z
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
一般式方程 2. 对称式方程 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )
1
L
y
x
o
2
设直线l
平行于非零向量
方向向量
设直线上的动点为 M ( x, y, z )
n ( A, B , C )
n s
L
则直线与平面夹角满足
sin cos( s , n )
A m Bn C p sn 2 2 2 2 2 2 s n m n p A B C
︿
特殊情况
(1) L (2) L //
垂直的直线方程.
s // n
A B C m n p
sn
Am B n C p 0
例3 求过点(1,－2,4)且与平面
n
例4 求与两平面 的交线平行且过点（-3，2，5）的直线方程. 例5 求直线 的交点. 与平面
例6 求过点（2，1，3）且与直线
垂直相交的直线方程. 例7 求直线 上的投影直线的方程.
L2 的方向向量分别为
L1
s1
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
空间直线及其方程
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
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第六节 空间直线及其方程
Straight Line in Space and Equation
教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两
直线的位置关系,并会建立直线方程.
课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的
条件.
教学重点: 空间直线的图形及其方程
教学难点: 空间直线方程的求解
教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程
教学内容:
一、直线的标准方程
如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.
设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p
---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数.
【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即
{2,3,5}=-s
由式(1)可得直线方程为
123235x y z --+==-
【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为
123369
x y z -++== 即
123123
x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;
2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;
3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.
由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为
111212121
x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程.
二、直线的参数方程
令直线的标准方程000x x y y z z t m n p
---===,则有 000x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (t 为参数)
(2)
方程(2)称为直线的参数方程.
显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点. 直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数t ,即得标准方程.
三、直线的一般方程
空间直线L 可以看作是过该直线的两个不重合的平面1π和2π的交线.如果平面1π的方程为11110A x B y C z D +++=,2π的方程为22220A x B y C z D +++=,那么直线L 上的任一点,既在平面1π上,又在平面2π上,因此直线L 上的任一点的坐标都满足方程组
11112222
00A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3) 反之,不在直线L 上的点,不能同时在平面1π和2π上.即不在直线L 上的点,不满足方程组(3), 方程组(3),是直线L 的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中111,,A B C 与22,,A B 2C 不成比例.
由于过直线L 的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线L 的一般方程.因此,直线L 的一般方程不是唯一的.
【例3】 将直线的一般方程
23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩
化为标准方程.
解 首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设1z =,代入原方程组,得
2340360
x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解之,得2,0x y ==.于是得该直线上一定点(2,0,1).
其次,确定直线的一个方向向量.由于直线L 在两个平面上,所以L 与两个平面的法向量12,n n 都垂直.因此可以选取12⨯n n 为直线L 的方向向量s :
{2,3,1}{3,1,2}{5,7,11}=-⨯-=s
于是得直线的标准方程为
2015711
x y z ---==
四、两直线的夹角，平行与垂直的条件
两直线1L 和2L 的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为ϕ.设1L 和2L 的方程分别为
1111111
3222222::x x y y z z L m n p z z x x y y L m n p ---==---==
它们的方向向量分别为11112222{,,},{,,}m n p m n p ==s s .故它们的夹角θ若不大于2π,则ϕθ=;若θ大于2
π,则ϕπθ=-,故1L 和2L 的夹角ϕ的余弦为
cos ϕ= 由此得两直线1L 和2L 平行的充要条件是
111222m n p m n p == 两直线1L 和2L 垂直的充要条件是
1212120m m n n p p ++=
【例4】 一直线通过点0(3,2,5)M -,且与平面430,2510x z x y z --=---=的交线平行,求该直线的方程.
解 由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即
{1,0,4}{2,1,5}{4,3,1}=-⨯--=---s
故所求直线方程为
325431
x y z +--==--- 即
325431
x y z +--==
【例5】 试判定下列直线和平面的位置关系.
(1) 24x y z ==和4210x y z ++-=; (2) 123302
x y z ---==和80y -=. 解 (1)直线的方向向量111,,24⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
s ,平面的法向量{4,2,1}=n ,显然111:4:2:124
==,故s n ,所以,直线与平面垂直. (2) 直线的方向向量{3,0,2}=s ,平面的法向量{0,1,0}=n ,显然,0⋅=s n ,故⊥s n ,所以,直线与平面平行.
课堂练习:
1. 将直线方程121513
x y z -+-==-化为参数方程. 2. 写出各坐标轴的一般方程.
小结:
学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。
作业:P148-3,5.。