空间直线方程

L

θ П
这就是直线与平面的夹角公式。 可推知：
A B C L m n p
L // Am Bn Cp 0
例5 通过点A(2,-1,3)作平面x-2y-2z+11=0的垂线， 求平面上的垂足。
解：过点A且垂直于已知平面的直线方程为 化为参数方程
x2 y 1 z 3 1 2 2
以点A为始点，B为终点的向量可作为所求直线 的一个方向向量，即
13 3 12 6 24 2 2 , 1, 3 , , 7 7 7 7 7 7
因而所求的直线方程为 x2 y 1 z 3 12 6 24 7 7 7 即
4
三、直线与平面的夹角 定义：直线与它在平面上的投影直线的夹角θ (0 ) 称为直线与平面的夹角，如图。
2
设直线L的方向向量为 s m, n, p, 平面П的法向量为n={A,B,C}， 那么
sin sin | cos | 2 | Am Bn Cp | m2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
因此这两直线的夹角公式为
cos m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
可得如下结论：
L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2
L1 // L2 m1 n p 1 1 m2 n2 p2
x y2 z 2 2 1
y
则直线L的方程为
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C1 z D2 0
x
这个方程称为直线的一般式方程。 直线的这三种形式的方程可以互化。
例2 把直线的一般方程
x y z 1 0 2 x y 3 z 4 0
z
M0
s M M0 O x y L
而 M 0 M x x0 , y y0 , z z0 所以有
x x0 y y0 z z0 m n p
这就是直线的点向式方程或对称式方程，又称标准式 方程。 m,n,p成为直线的方向数。
说明：若分母为零，则相应分子也为零
由以上方程还可以得到直线的参数方程：
例4
x 1 y z3 求直线L1： 1 4 1
和直线L2：
的夹角。
解：直线L1的方向向量为s1={1,-4,1}， 直线L2的 方向向量为s2={2,-2,-1}，则它们的夹角 满足 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2 cos 12 ( 4 )2 12 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2 2 所以
x 2 t y 1 2t z 3 2t 带入平面方程，有
2 t 2 1 2t 23 2t 11 0
解得 t 1, 从而得垂足为(1,1,5)。
垂直且相交的直线方程。
x 1 y 1 z 例6 求过点A(2,1,3)且与直线 3 2 1
第五节
空间直线方程
一、直线的方程 二、两直线的夹角 三、直线和平面的夹角
一、直线的方程
方向向量：与直线平行的非零向量，称为直线的 方向向量， 如右图。 基本结论：过空间一点，且与一
s L
个定向量平行的直线是唯一的。
问题： 若已知直线L通过点M0(x0,y0,z0)， 且与定向量s={m,n,p}平行，求直线L 的方程。 如右图，在直线L上任取一点 M（x,y,z)，则 M 0 M // s.
令上式的比值为t， 则参数方程为
x 1 2t y 1 t z 2
此外，空间直线还可以是由两平面相交而成， 如右图所示。 z 设平面П1的方程为
A1 x B1 y C1 z D1 0
L П2 П1 O
设平面П2的方程为
A2 x B2 y C2 z D2 0
x 2 y 1 z 3 2 1 4
化为直线的对称式方程。 解： 先找出这条直线上的一个点。 为此，不妨 令x=1， 代入方程组可得 y=0，z=-2，故（1,0,-2)是 s 直线上的一点。 n z n 再找出这条直线的一个方向 向量s，如图所示，s n1 n2 ,则
2 1
i
j
k
x
O
s n1 n2 1 1 1 4i j 3k 2 1 3
解：先做一过点A且垂直于已知直线的平面， 这平面的方程为
3( x 2 ) 2( y 1 ) ( z 3 ) 0
再求已知直线与此平面的交点。 将已知直线的方程 化为参数方程
x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt , y 1 2t , z t
3 并代入以上平面方程，解得 t , 7 2 13 3 从而得到交点B , , . 7 7 7
x x0 m t y y0 n t z z pt 0
例1 分别求通过两点A（1,-1,2)和B(-1,0,2)的对称 式方程和参数方程。 解：直线的方向向量s为
s AB 2,1,0
取点A， 则直线的对称式方程为
x 1 y 1 z2 2 1 0
i j k s 3 1 5 7 i 14 j 7 k 1 2 3
故所求直线方程为
x y 1 z 3 1 2 1
二、两直线的夹角
定义：两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹 角。 设两直线L1和L2的方向向量分别为：
s1 m1 , n1 , p1, s2 m2 , n2 , p2
y
因此，所求直线的对称式方程为
x 1 y z2 4 1 3
例3 一直线通过点A（0,-1,3)，且与平面П1： 3 x y 5 z 1 0 , 平面П2：x 2 y 3 z 5 0 都平行， 求此直线方程。 解：设直线的一个方向向量为s， 由已知可知