空间直线及其方程一

江西理工大学理学院第 6 节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程江西理工大学理学院定义 空间直线可看成两平面的交线．π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0zππ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0π 2♣ A 1 x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0 L♦A x + B y + C z + D = 0 oy♥ 2 2 2 2空间直线的一般方程 xL 上的点都满足原方程，不是L 上的点都不满足原方程.1江西理工大学理学院二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量的定义： z如果一非零向量平行于 sL一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． ⋅ M⋅ M 0M 0( x 0 , y 0 , z 0 ),M ( x , y , z ),oy∀ M ∈ L ,M 0 M // sxs = {m , n , p },M 0 M = { x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 }z = z + pt ♥x - x 0 =y - y 0 = z - z 0江西理工大学理学院直线的对称式方程m n p令x - x 0 = y - y 0 = z - z 0 = tm n p♣ x = ♠♦ x 0 + mt y 0 + nt 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为♠ 直线的方向余弦.直线的参数方程y =♥ y 0- 3z江西理工大学理学院例1 用对称式方程及参数方程表示直线♣ x + y + z+ 1 = 0 . ♦2x - y + 3z + 4 = 0解 在直线上任取一点 ( x 0 , y 0 , z 0 )取 x = 1⇒ ♣ y 0 z 0 + 2 = 0 , ♦ ♥ 0 0 - 6 = 0解得 y 0 = 0, z 0 = -2点坐标(1,0,-2),y因所求直线与两平面的法向量都垂直取 s r= n 1 ⨯ n 2 = {4,-1,-3},对称式方程 x - 1 = y - 0 = z + 2 ,♣ x ♠参数方程 ♦ 4 - 1 - 3= 1 + 4t = -t. ♠♥z = -2 - 3t例2 一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为B(0,-3,0),取 s =BA ={2, 0, 4},所求直线方程x -2=2y +3=z -4.4三、两直线的夹角江西理工大学理学院定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）直线 L 1 : x - x 1 = m y - y 1 n = z - z 1 ,p 1 1 1直线 L 2 : x - x 2 = m y - y 2 n = z - z 2 ,p 2 cos( L ^, L ) =2 | m 1m 2 2+ n 1n 2 + p 1 p 2 | 12两直线的夹角公式m 2 + n 2 + p 2 ⋅ 1 1 1 m 2 + n 2 + p 2 2 2 21 21 2江西理工大学理学院两直线的位置关系：(1) L 1 ⊥ L 2⇐⇒ m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 = 0,(2) L 1 // L 2 ⇐⇒2= n 1 = n 2 p 1 ,p 2例如，直线 L 1 : s 1 = {1,-4, 0},直线 L 2 : s 2 = {0,0,1},Q s r ⋅ s r= 0, ∴ s ⊥ s , 即 L ⊥L . 1 2m 1 m2江西理工大学理学院例3 求过点(-3, 2, 5)且与两平面x - 4z = 3和2 x - y - 5z = 1的交线平行的直线方程.解 设所求直线的方向向量为 s = {m , n , p },根据题意知 s ⊥ n 1 , s r⊥ n ,取 s = n 1 ⨯ n 2 = {-4,-3,-1},所求直线的方程 x + 3 = 4 y - 2 =3 z - 5 .1♠x + 1 例 4 求过点M (2,1,3)且与直线 3= y - 1 = z2 - 1 垂直相交的直线方程.解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面3( x - 2) + 2( y - 1) - (z - 3) = 0再求已知直线与该平面的交点N ,令 x + 1 =3y - 1 = 2 z = t- 1 ♣ x ⇒ ♦ ♠♥z = 3t = 2t = -t - 1+ 1. y, ,-代入平面方程得 t = 3,7交点 N (2 7 ,13 ,- 3)7 7取所求直线的方向向量为 MNMN = {2 - 2,13 - 1,- 3- 3} = {- 12 6 24},7 7 77 7 7所求直线方程为 x - 2 = 2 y - 1 = - 1 z - 3 .4四、直线与平面的夹角江西理工大学理学院定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．0 ≤ ϕ ≤ π.2L : x- x 0 = m y - y 0 n = z - z 0 ,ps = {m , n , p }, π : Ax + By + Cz + D = 0,n = { A , B , C }, (s r ^, n r ) = π - ϕ 2 (s r ^, n r ) = π + ϕ 2sin ϕ= cos ( π2 - ϕ ) =cos ( π2+ ϕ ).江西理工大学理学院sin ϕ = | Am + Bn + Cp | A 2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：(1) L ⊥ π⇐⇒ A = m B = C .n p(2) L // π ⇐⇒ Am + Bn + Cp = 0.例 5 设直线L : x - 1 = 2y = - 1 江西理工大学理学院z + 12 ，平面: x - y + 2z = 3，求直线与平面的夹角.解 n = {1,-1, 2},s = {2,-1, 2},sin ϕ = | Am + Bn + Cp |A 2 +B 2 +C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2=| 1⨯ 2 + (-1) ⨯ (-1) + 2 ⨯ 2 | = 7 .6 ⋅ 9 3 6∴ ϕ = arcsin 73 6为所求夹角．♣x+ y +3z =0江西理工大学理学院例6 求直线♦♥ -y -z =0和平面x - y -z+1 =0间的夹角.解直线的方向向量s =n1i=11 ⨯n2j1-1k3 ={2,4,-2},-1平面的法向量n ={1,-1,-1},而s ⋅n =2 -4 +2 =0∴s ⊥ n，即直线与平面夹角为0.x五、平面束设直线L 由方程组江西理工大学理学院♣ A 1 x + B 1 y+ C 1z + D 1 = 0 (1)♦A x + B y + C z + D = 0 (2)♥ 2 2 2 2所确定，其中系数A 1 ,B 1 ,C 1与A 2 ,B 2 ,C 2不成比例， 亦即由(1)、(2)所表示的两平面不平行。

建立三元一次方程 A 1 x + B 1 y +C 1z + D 1+ λ ( A 2 x + B 2 y +C 2 z + D 2 ) = 0 (3)其中 为任意常数。

( A1 +λA2 ) x+(B1 +λB2 ) y+(C1+λC2 )z +( D1+λD2 ) =0+λA2 ,B1+λB2 ,C1+λC2不全为零，从而 的系数A1(3)表示一个平面。

通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(3)称为过直线L的平面束方程。

例7 求直线L：♣x+ ♦ ♥ y -zy +z-1 =0+1 =0在平面：x + y +z=0上的投影直线L'的方程。

解直线L在平面上的投影直线，也应在过L且垂直于平面的平面上，而过直线L的平面束方程为x +y - z -1 + ( x - y +z +1) =0即(1 + λ)x +(1 - λ) y +(-1 + λ)z +(-1 + λ)=0 其中为任意常数。

使它与平面相垂直条件为(1 + ) ⋅1 +(1 - ) ⋅1 +(-1 + ) ⋅1 =0x-江西理工大学理学院+1 =0 ⇒ =-1故，过直线L且垂直于平面的平面为2 y -2z -2 =0⇒y -z -1 =0从而，投影直线的方程为：♣y- z -1 =0.♦♥ x + y + z = 0六、小结空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.（注意两直线的位置关系）直线与平面的夹角.（注意直线与平面的位置关系）平面束的概念.思考题x - 4 y 在直线方程 ==z - 2 中，m 、2mn 6 + p n 、 p 各怎样取值时，直线与坐标面xoy 、 yoz 都平行.♥思考题解答s = {2m , n , 6 + p }, 且有 s ≠ 0.Q s ⋅ k = 0,s ⋅ i = 0,♣6 + ♦2m p = 0 = 0∴ p = -6, m = 0,Q s ≠ 0, ∴ n ≠ 0,故当m = 0, n ≠ 0, p = -6时结论成立．⇒♥♥一、 填空题：练 习 题江西理工大学理学院1、通过点( 4 ,-1 , 3 ) 且平行于直线x - 3 = 2y = z - 1 5 的直线方程为 ； 2、直线♣5 x - 3 y + 3z - 9 = 0 与直线♦3 x - 2 y + z - 1 = 0 ♣2 x + 2 y - z + 23 = 0 ♦3 x + 8 y + z - 18 = 0 的夹角的余弦为 ； 3、直线♣ x + y + 3z = 0 和平面 x - y - z + 1 = 0 的夹♦ ♥ 角为 _；4、点(-1 , 2 , 0 )在平面x + 2 y - z + 1 = 0上的投影为 ______________；x - y - z = 0♥5、 直线 x = y = z和平面3 x- 2 y + 7z 江西理工大学理学院= 8 的关系是3 - 2 7 ；6、 直线 x - 2 = y + 2 = z - 3和平面x + y + z = 3 的关3 1 -4 系是 .二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线 L ： ♣ x - y + z = 1 . ♦2 x +y + z = 4 三、 求过点( 3 , 1 ,-2 ) 且通过直线x - 4 = 5y + 3 = z 的2 1 平面方程 .♥ ♦ x四、 求直线♣ 2 x- 4 y + z = 0 在平面4 x - y + z = 1 上♦3x - y - 2z - 9 = 0 的投影直线的方程 .五、 求与已知直线L ： x + 3 = y - 5 = z及L ：1 2 3 1 2x - 10 = y + 7 = z都相交且和L ：5 x + 2 = 84 y - 1 = 7 1 3z - 3平行的直线L . 1 六、设一平面垂直于平面z = 0,并通过从点A ( 1 ,-1 , 1 )到直线L ：♣ y♥ - z + 1 = = 00 的垂线，求此平面的方程 .♥七、 求两直线L ： x - 1 = y = z 和L ： x= y = z + 21 0 1 1 22 - 1 0的公垂线L 的方程，及公垂线段的长 . 八、求过点(-1 , 0 , 4 )且平行于平面3 x -4 y + z - 10 = 0又与直线x + 1 = 1 y - 3 = 1 z相交 3 的直线方程 .九、 求点 P ( 3 ,-1 , 2) 到直线♣ x + y - z + 1 = 0 的距离 .♦2x - y + z - 4 = 0♥练习题答案江西理工大学理学院一、1、x - 4 = 2 y + 1 =1 z - 3； 2、0； 3、0； 5 4、(- 5 , 2 , 3 3 2)； 5、垂直； 6、直线在平面上.3♣ x = 1 - 2t二、 x - 1 = y - 1 =z - 1, ♠ y = 1 + t .- 2 1 ♦ 3 ♠♥z = 1 + 3t 三、8 x - 9 y - 22z = 59.四、♣17 x + 31 y - 37z = 117 . ♦4x - y + z - 1 = 0y +65江西理工大学理学院五、x + 28 = 2 = z + 25或x - 72 = y - 55 = z . 8 7 2 8 7 1六、x + 2 y + 1 = 0.x - 1 y + 4 z + 4♣4 x - y + z - 4 = 0 七、 = 3 = 3 或♦ ,d = 1. 1 八、x + 1 = 16 2y =19 - 2 z - 4. 28 ♥2 x + 4 y + 5z + 10 = 0 九、3 22 .。