8-7空间直线及其方程
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念，它是两点确定的一条直线。
在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标来确定一条直线的方程，而在空间中，我们同样可以通过一点和方向向量来确定一条直线的方程。
本文将重点介绍空间直线的标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下空间直线的一般方程。
对于空间中的一条直线l，如果它通过点P0(x0, y0, z0)并且方向向量为a=(a1, a2, a3)，那么直线l上任意一点P(x, y, z)都满足以下关系式：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的一般方程，通过这个方程我们可以得到直线l上任意一点的坐标。
然而，这个方程并不是最简洁的形式，为了更方便地描述直线，我们可以将其化简为标准方程。
空间直线的标准方程形式为：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3 = t。
其中t为参数，通过参数t的取值可以得到直线l上的所有点。
这个方程就是空间直线的标准方程，它是一种更加简洁和方便的描述直线的方式。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助读者更好地理解空间直线的标准方程。
例1，求过点P(1, 2, 3)并且与向量a=(2, -1, 3)平行的直线的标准方程。
解：直线l上任意一点P(x, y, z)满足方程：(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t。
这就是所求直线的标准方程。
例2，已知直线l的标准方程为(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t，求直线l上的一点坐标。
解，直线l上任意一点的坐标可以通过参数t的取值来确定，比如当t=0时，我们可以得到点P(1, 2, 3)。
当t=1时，我们可以得到另外一点，依此类推，我们可以得到直线l上的所有点。
通过以上例子，我们可以看到空间直线的标准方程在求解直线问题时具有很大的便利性，它能够简洁地描述直线的位置和方向，帮助我们更好地理解和运用空间解析几何的知识。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
平面及其方程,空间直线及其方程
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
ted
(1) 1 2 Evalun1ationn2 only. with Aspose.SliAd1eAs2 foBr1.BN2ETC31 C.52
1
C l0ient
Pron1f2ile
5.2
(2)
Co1p//yri2ght
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
EvaluatioAn1Ao2nlyB.1B2 C1C2 0
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By ECvzalu0ation only. ted w代it入h A已s知po点se(4.S, lid3,es1)fo得r .NET 3.5 Client Profile 5.2
5B D 0, EDvalu5aBt,ion only. ted with A所s求po平s面e.方Sl程 ide为syfor5 .N0E. T 3.5 Client Profile 5.2
C(3)o由p题yr意ig设h所t 2求0平0面4-方2程01为1BAy sCpzosDeP0,ty Ltd. 将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
平面及其方程,空间直线及其方程
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
第6节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C), 求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
题8 1 :由题意设所求平面方程为： By D 0, 将点2，-5，3 代入上述方程，得
5B D 0, D 5B, 所求平面方程为y 5 0.
(3)由题意设所求平面方程为By Cz D 0,
将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
有 Ｂ－＋２７ＣＣ＋＋ＤＤ＝＝0０， Ｄ＝２Ｃ，Ｂ＝－９Ｃ， 所求方程为－９ｙ＋ｚ＋２＝０.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：习题8-6 题1，题3.
• 题1. • 题3.
3x 7y 5z 4 0
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
高等数学第六节空间直线及其方程
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从而 L1与L2的方向向量分别为
s 1 1 , 2 ,1 ， s 21 ,1 , 2 ，
故 co s|122| 1， ，
6 6 2
3
应选C．
例 5 求过点(3,2,5)且与两平面x 4z 3
和2x y 5z 1的交线平行的直线方程．
解 设所求直线的方向向量为
s { m ,n ,p } ，
与平面 : x y 2z 3的夹角. 解 s { 2 , 1 ,2 } ， n { 1 , 1 ,2 } ，
又 设 求点 M s 直 则 (x{ 线 ,Lm M y的 , ,zn 0)M ,是 方 p /} /， L程 s 上 M ． 0 M 任 { 一 x x点 x 0 ,y ， o y •0 M, z 0 z 0 } y
从而有 xx0yy0zz0 直线的对称式方程
其m 中s n 非 m ,n ,p p 零 称 L 的 向 为方 量向
(1) L 1 L 2s 1 s 2m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 .
(2 例)如L 1 ，//直L 2 线 L1 s :1 // s s 1 2 { 1 , 4 m m,120 } ， nn12 pp12. 直s 1线s 2L 20 :， s 2 s 1 { 0 ,0 s ,2 1 ， } ， 即 L 1 L 2 .
coL 1 sL 2 ()m 1 2 |m 1 n m 1 22 p n 1 21n2 m 2 2 p1n p2 2 2 | p2 2．
两直线的夹角公式
两直线的相关位置：
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ，
直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
则其交 L的 线方程为 z
A A 1 2x x B B 1 2y y C C 1 2 zz D D 1 2 0 0.
1
空间直线的一般式(交面式)方程
2
注意 空间直线的一般式方程不唯一 oL
y
x
2. 空间直线的对称式(点向式、标准式)方程
且 设 与 L 直 过 s 非 M 0 m ( 线 点 x ,n 0 零 ,,y p 0 ,z 平 0 ) ， 向 行 z量 s， •M L
直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与平面的夹角公式
直线与平面的相关位置 设有直L线 : xx0yy0zz0，
mn p 及平面 : A B x C y D z 0 ，
(1)L s // n m ABnCp. (2) L// s n A m B C n 0 p .
例 6 求直线L : x 1 y z 1 2 1 2
其坐 m ,n标 ,p称L 为 的一组不 方全 向为 数
方向向量的方向余弦，称为直线的方向余弦．
3. 空间直线的参数方程
在直线的对称式方程，中若令xx0yy0zz0t
mn p
x x0 mt
则有
y
y0
nt
直线的参数方程
z z0 pt
4. 空间直线的两点式方程
设 L 过 M 直 1 ( x 1 , y 1 , z 点 1 ) 与 M 线 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 则其方程为 xx1yy1zz1
第七节 空间直线及其方程
一、空间直线方程的几种形式
1. 空间直线的一般式(交面式)方程
设 1 有 :A 1 x B 1 y 平 C 1 z D 1 面 0 ，
2 :A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ，
其A 中 1、 B 1、 C1与 A 2、 B 2、 C2不对应成
mn p :A B x C y D z 0 ， n {A ,B ,C } ，
(s^,n) 或 (s^,n)
2
2
si n co s |cos()||cos sn )(|
2
2
si n |A B m C n | p. A 2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
例4 设有 L 1 ： x 1 1 直 y 2 5 线 z 1 8 及
直 L 2 ： 线 2 x y y z 6 3 ， ， 则 L 1 与 L 2 的夹 [C]． (1 角 9 )
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
6
4
3
2
解 直线 L2的方程可x化 6为yz23，
2 1 3
因为直线的 s方 {4,1向 ,3}， 向量
且过(点 5,2,0)，
33
所以其对称式方程为
x5 y2 3 3
z
，
4 1 3
x
5 3
4t
参数方程为
y
2 3
t
.
z 3t
例2 求与y轴平行的直线的方 一程 般． 式 解 由题意所求直线的一 式般 方程为
A A12xx C C12zzD D1200， 其中 A A12 C C12. 例 3 一直线过点(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，
求其方程．
解 因为直线和y 轴垂直相交，
所以交点为 B(0,3,0)， 由两点式方程，所求直线方程为 x2y3z4.
2 04 或2yxz30.
二、两直线的夹角
定义 两直线方向向量间的夹角，称为两直线的夹角． (一般取锐角)
直线 L1：xm 1x1y n1y1z p1z1， s 1 m 1 ,n 1 ,p 1 ， 直线 L2：xm 2x2y n2y2z p2z2， s 2 m 2 ,n 2 ,p 2 ，
x2x1 y2y1 z2z1
直线的两点式方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
2xxyyz3z1400.
解
在直线上任取一点 (x0,y0,z0)，
令z0， 2xxyy1400，解得
故直线 (5过 ,2,0)点 ，
x 5 3
y2 3
,
33
因所求直线与两平面的法向量都垂直， i jk
取 s n 1 n 2 1 1 1 {4,1 ,3}，
1
根据题意，知 sn 1， sn 2， L 2
ijk
取 s n 1n 2 1 0 4 { 4, 3, 1}，
2 1 5
所求直线的方程 x3y2z5. 4 31
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线
间的夹角，称为直线与平面的夹角． 0 L: xx0yy0zz0， s { m ,n ,p } ，2