空间直线与平面,平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_
D所成的角，
O
D
C
B
A
又∵112cos cos 452A BB ∠==
，116cos 3
B B B BO BO ∠==， ∴11112
cos 3
2cos cos 26
3
A B
B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．
说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的
情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便
变式练习：
已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值
解析：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3
3
CO a =
， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，
∴3
cos 3ACO ∠=
，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33
． 例2、如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余
弦值.
解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =
2BC ，D 是BC 中点，
∴PD=
BC 2
7
, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31
217
cos ==
∠AD
PD
PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为
31
217
巩固练习： 1选择题
（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值围是（ ）
（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º) （2）两条平行直线在平面的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，
可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条
（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题
（1）设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面的射影长是 .
（2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面所成的角
是 .
（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面所成的角
是 . 答案：（1）θcos l （2）0
30 （3）10
1
arcsin
3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面的射影是⊿ABC 的外心.
分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.
例3、如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值。
解析：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，
∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥，
又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ∆中，11
22
BCD S BC DF BD CD ∆=
⋅=⋅，∴32DF a =， 同理，Rt ACD ∆中，15
22
DE a =， ∴3102sin 51522
a
DF FED DE a ∠===， A
B
C
D
E
F
外一点，当
解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB （正方形的性质），所以 A1C⊥DB．
同理可证A1C⊥BC1．
因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）
（2）因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB 的中心．
（3）在正方体的对角面A1ACC1，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．
变式练习：
已知：Rt△ABC在平面α，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；
（2）P点到斜边AB的距离．
解析：（1）
（2）作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．
可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．
因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．
注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．
【课堂小练】
1、过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD，若A A′=AB，则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2、在直二面角α- l-β中,直线m⊂α,直线n⊂β,且m、n均不与l垂直,则。
空间几何的平面与直线的位置关系
空间几何的平面与直线的位置关系平面与直线是空间几何中的重要概念，它们之间的位置关系在三维空间中具有多种可能性。
本文将就平面与直线的不同位置关系展开讨论，并分析它们之间的几何性质。
1. 平行关系当一个平面与一条直线在空间中没有任何交点时，它们被称为平行关系。
换句话说，平面与直线相互之间没有交点，无论如何移动都无法相交。
这种情况下，平面与直线之间的距离保持一致，且始终保持平行。
平行关系可以由以下两种情况出现：（1）平面与直线的法向量平行：若平面的法向量与直线的方向向量平行，则平面与直线平行。
在三维空间中，平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若直线的方向与平面的法向量平行，则平面与直线平行。
（2）平面内一条直线与直线平行：如果平面内的一条直线与给定直线平行，那么平面与直线平行。
直线平行意味着它们具有相同的方向或者方向相反。
2. 相交关系当一个平面与一条直线在空间中存在且唯一的交点时，它们被称为相交关系。
换句话说，平面与直线相互之间存在一个公共点。
相交关系可以有以下两种情况：（1）平面与直线的法向量不平行：若平面的法向量与直线的方向向量不平行，则平面与直线相交于一点。
在这种情况下，平面将直线分割成两个部分，其中一个部分在平面上方，另一个部分在平面下方。
（2）平面包含直线：当平面包含直线时，它们相交于直线上的所有点。
换句话说，直线上的每一个点都同时位于平面上。
3. 直线在平面上直线可能与平面有特殊的位置关系，如直线在平面上。
当直线的每一个点都在平面上时，我们称该直线在平面上。
这种情况下，直线与平面有无数个公共点，且直线不与平面相交。
4. 平面与直线的夹角平面与直线之间的夹角表示了它们之间的接触程度。
夹角的大小和类型对于两者的位置关系具有重要影响。
（1）直线与平面相交的夹角：当平面与直线相交时，我们可以定义平面不垂直于直线的夹角为直线与平面相交的夹角。
这个夹角可以通过平面的法向量和直线的方向向量之间的夹角来计算。
高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（ ）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（ ）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内，
则 l// 。（ ）
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。（ ）
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
探究（ 探究（二）：平面与平面之间的位置关系
思考1:拿出两本书，看作两个平面， 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上 1:拿出两本书 左右移动和翻转， 下、左右移动和翻转，它们之间的位置 关系有几种变化？ 关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体 思考2:如图， 2:如图 ABCD-A′B′C′D′的 ABCD-A′B′C′D′的 D′ 六个面， 六个面，两两之间 A′ 的位置关系有几种？ 的位置关系有几种？ D
课堂练习（ ）：过平面外一点可作多 课堂练习（一）：过平面外一点可作多 少条直线与这个平面平行？ 少条直线与这个平面平行？无数条 若直线l平行于平面α 则直线 与平面 若直线 平行于平面α，则直线l与平面 平行于平面 内的直线的位置关系如何？ α内的直线的位置关系如何？ 平行或异面
P
l
α
α
课堂练习（ ）：若两条平行直线中有 课堂练习（二）：若两条平行直线中有 一条平行于一个平面， 一条平行于一个平面，那么另一条也平 行于这个平面吗？ 行于这个平面吗？
课堂练习（ ）：已知平面α 课堂练习（三）：已知平面α，β和直 已知平面 ,则直 线a，b，且α∥β,a ⊂ α , b ⊂ β,则直 与平面β的位置关系如何？直线a 线a与平面β的位置关系如何？直线a与 直线b的位置关系如何？ 直线b的位置关系如何？
a α
b β
理论迁移
给出下列四个命题： 例1 给出下列四个命题： (1)若直线 上有无数个点不在平面α内，则 (1)若直线l上有无数个点不在平面α 若直线 上有无数个点不在平面 l∥α. （×） ∥α. (2)若直线 与平面α平行， 与平面 若直线l与平面 与平面α (2)若直线 与平面α平行，则l与平面α内的 任意一条直线都平行. 任意一条直线都平行. （×） (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 那么另一条也与这个平面平行. 行，那么另一条也与这个平面平行. （×） (4)若直线 与平面α平行， 与平面 若直线l与平面 与平面α (4)若直线 与平面α平行，则l与平面α内的 任意一条直线都没有公共点. 任意一条直线都没有公共点. （ ） 其中正确命题的个数共有＿＿ ＿＿个 其中正确命题的个数共有＿＿个. 1
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
平面与空间直线的方程以及它们的位置关系
平面与空间直线的方程以及它们的位置关系高天仪 20101105055数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班指导教师 李树霞摘要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系. 关键词 法向量;方向向量;参数方程1空间平面的方程1.1空间平面的一般方程一个平面π是由垂直它的非零向量},,{C B A =和平面上的一个点),,(0000z y x M 唯一决定的，称为π的法向量.由于为平面π的法向量，0M 为π上一点，则对于空间中任意一点),,(z y x M ，M 在π上当且仅当 00=⋅MM 或OM ⋅=⋅0 （1.1—1） 用坐标来表示，化为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A令)(000Cz By Ax D ++-=，则得到平面的方程0=+++D Cz By Ax （1.1—2）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0不妨设0≠A ，则该方程又可写成 0)(=+++Cz By A D x A 作过点)0,0,(AD -，垂直于方向},,{C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程.1.2空间平面的法式方程把（1.1—1）式两边同时与=λ相乘，符号的选取使得0)(0≥⋅OM λ.这样 n n λ=0为从原点指向平面π的单位向量 0)(≥⋅=OM p o λ为原点O 与平面π的距离.此时可以得到π的另一种方程表示p n OM =⋅001=，p ≤0称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子.它的几何意义是：平面π是由所有的满足在垂直于π的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的.若以给平面π的方程为0=+++D Cz By Ax则π的法式方程可以表示成0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221C B A ++±=λ，λ正负号的选取要使得0≤D λ.法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题.1.3空间平面的参数方程图1 从图1中可以看出，平面π是由π上一点0M 与两个不共线的与π平行的向量b a ,（或者说是π上两个不共线的向量）所决定的.设0M ),,(000z y x ∈π，),,(321a a a =，),,(321b b b =，，与π平行且0≠⨯.则空间中任意一点),,(z y x M 在π上，当且仅当M 0,,三向量共面.从而有实数k ，m ，使得 m k M +=0 或者 m k OM ++=0使用分量来表示，则可得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=330220110mb ka z z mb ka y y mb ka x x （1.3—1）我们称（1.3—1）为平面的参数方程，其中参数为k 和m .从（1.3—1）中消去参数k ，m ，可以得到关于x ,y ,z 的三元一次方程 321321000b b b a a a z z y y x x ---=01.4空间平面的截距式方程对于由方程0=+++D Cz By Ax 所表示的平面π.假设π过原点O ，即)0,0,0(在π上当且仅当0=D .若0≠D ，则平面π可用方程 1=++cz b y a x （1.4—1） 表示，其中)0,0,(a ，)0,,0(b ，),0,0(c 分别为π与三个坐标轴的交点坐标.则我们称（1.4—1）为平面的截距式方程.2空间直线的方程2.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.图2如图2，直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r =,由于M 0与v (非零向量)共线,则v t r r =-0即 v t r r +=0 （2.1-1）叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）.如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = ,又设},,{Z Y X v = ，那么由（2.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （2.1-2）叫做直线l 的坐标式参数方程.消参数t 即得Zz z Y y y X x x 000-=-=- (2.1-3) 叫做直线l 的对称式方程或称直线l 标准方程.例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程.(图3)解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点（如图3），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-==所以直线l 的向量式参数方程为);(121r r t r r -+= （2.1-4）坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （2.1-5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （2.1-6） 方程（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）都叫做直线l 的两点式方程.若取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为00v t r r +=(参数方程)或 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x （2.1-7）标准方程 γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （2.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. 定义 1 设直线的方向向量的分量为n m l ,,，则直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 为222cos nm l l++±=α 222cos nm l m++±=β 222cos n m l n++±=γ2.2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线.如果两个相交平面的方程分别为01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A （222111::::C B A C B A ≠），则它们的交线是空间直线.该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程.所以方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （2.2-1） 就是这两个平面交线的方程.方程（2.2-1）称为空间直线的一般方程.2.3直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,也可以用简单的两平面来表示.如 将一般方程(特殊的一般方程)化为⎩⎨⎧+=+=d bz y c az x (2.3-1） 则此方程是直线的射影式方程.3空间中直线与平面的位置关系3.1空间直线与平面的位置关系定理1 已知直线l 和平面π的方程为 .0:,:000=+++-=-=-D Cz By Ax Z z z Y y y X x x l π则直线l 与平面π相交的充要条件是0≠++CY BY AX直线l 与平面π平行的充要条件是⎩⎨⎧≠+++=++00000D Cz By Ax CZ BY AX直线l 在平面π上的充要条件是⎩⎨⎧=+++=++00000D Cz By Ax CZ BY AX 例2 试求A ，B ，使得直线⎩⎨⎧=+-+=+-+02302z By x A z y x 在xOy 坐标平面上.解 在直线的方程中，令0=y 解得121-=A x ，123-=A z ，得)123,0,121(--A A 是直线上的点.由于直线的方向向量为}{6,2,2---=B B v ，xOy 坐标平面的方程是0=z ，它的法向量是}{1,0,0=n ，依题设得直线上的点在xOy 坐标平面上，且直线的方向向量与平面的法向量垂直，即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012306A B 解得32=A ，6=B . 3.2空间直线与平面的交角设直线l 和平面π的交角为θ.当π//l 时，0=θ；当π⊥l 时，2πθ=；其他情况下，θ等于l 与它在π上的射影直线'l 所交的锐角.设ϕ是l 的方向向量v 与π的法向量n 之间的夹角，则有 θπϕ-=2或θπϕ+=2 θθπϕsin )2cos(cos =-=或.sin )2cos(cos θθπϕ-=+=因此在这两种情况下，都有==ϕθcos sin 定理2 已知直线l 和平面π的方程为 0::000=+++-=-=-D Cz By Ax Z z z Y y y X x x l π设l 和π的交角为θ，则222222sin C B A Z Y X CZBY AX ++++++==θ例3 证明直线12111:z y x l =-=-+和平面092:=++-z y x π相交，并求它们的交点与交角. 解 将直线l 的方程化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=t z t y t x 121 )1(将)1(代入平面π的方程整理得063=-t解得2=t ，将此值代入)1(得2,5,3==-=z y x .因此直线l 与平面π相交，且交点为)2,5,3(0-P .由于直线l 的方向向量}{1,2,1-=v ，平面π的法向量}{1,1,2-=n ，应用公式得21sin ==α 由此得直线l 与平面π的交角6πα=.参考文献[1]吕林根,许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006.05[2]同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社.2005.05［3]谢敬然,柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013.05[4]高红铸,王敬庚,傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.北京师范大学出版社.2007.07.03Plane and space linear equation and the position relationship between themGao Tianyi 20101105055College of Mathematics Science Mathematics and Applied Mathematics class two grade 2010Adviser Li ShuxiaAbstract in analytic geometry, in plane and space linear equation and discuss their properties, use the vector of this tool, through the benefits of vector to deal with this kind of problem is has nothing to do with the selection of coordinates is. The establishment of the linear equation of plane and space, makes the plane and space geometric problem into a linear equation of the objects of these geometric algebra problem. Here, we discuss by vector space plane and straight line equation and the location of the relationship between them.Key words equation method ;vector direction; vector parameter目录摘要 (1)1空间平面的方程 (1)1.1空间平面的一般方程 (1)1.2空间平面的法式方程 (2)1.3空间平面的参数方程 (2)1.4空间平面的截距式方程 (3)2空间直线的方程 (3)2.1直线的对称式（点向式）方程 (3)2.2空间直线的一般方程 (6)3空间中直线与平面的位置关系 (6)3.1空间直线与平面的位置关系 (7)3.2空间直线与平面的交角 (7)参考文献 (9)英文摘要 (9)。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 优秀教案
2．1．3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【课题】：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【教学目标】：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）引导学生通过观察与类比，加深对这些位置关系的理解、掌握；
（2）引导学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
【教学重点】：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
【教学难点】：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
【教学突破点】：以长方体等熟悉的几何体为载体,加强培养学生的逻辑推理能力.
【教法、学法设计】：与前面的处理方法一致，通过动手操作以及以长方体为载体，认识直线与平面，平面与平面的位置关系，并引导学生观察教室，形成直观感知，并正确进行归纳抽象，让学生体验获得知识的过程，抓住知识的本质特征。
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：。
空间直线与平面 平面与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间 的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些 靠什
么来划分呢
按照公共
点的个数
直线与平面的位置关系有且只有三种： 分类
①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点.
无交点 a∥α
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
a
有且仅有一个 公共点
a∩＝A
没有公共点 a∥
图形表
a
示
α
A
应用举例
例1 下列命题中正确的个数是 B
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l ∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行.
2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面 与平面之间的位置关系. 难点
3.培养空间想象能力.
a
练习：
若M∈平面α,M∈平面β,则不同平面α与β的
位置关系是 A．平行
B B．相交
C．重合
D．不确定
解析 由公理3知,α与β相交．
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论.
答:有可能1条交线,也有可能3条交线.
（2）
（1）
(3)
1.若直线a不平行于平面α,且 立的是 B
2.1.3--2.1.4 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系
通过本节课的学习, 你有哪些收获? 1. 掌握了直线与平面的位置关系, 并会分析相关问题. 2. 掌握了平面与平面的位置关系, 并学会了解决相关问题. 3. 学会了用模型的方法判断直线与平面、平面与平面的位置关 系, 体会到了作图判断位置关系的重要性.
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)
直线与平面的位置关系
【例 1】 下列命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、 b是两条直线, a∥b, 那么 a平行于经过 b的任何一个平面; ②如果直线 a和平面α满足 a∥α, 那么 a平行于平面α内的任何一 条直线; ③如果直线 a、b满足 a∥α, b∥α, a∥b; 则 ④如果直线 a、b和平面α满足 a∥b, a∥α, α, b⊄ 那么 b∥α; ⑤如果平面α的同侧有两点 A, 到平面α的距离相等, AB∥α. B 则 ( ) () () ( ) A 0 B2 C1 D 3
解析: 易知①正确, ②正确. ③中两条相交直线中一条与平面平 行, 另一条可能平行于平面, 也可能与平面相交, 故③错误. C . 选
平面与平面位置关系
【例 2】 已知下列说法: ①两平面α∥β, α, β, a∥b; a⊂ b⊂ 则 ②若两个平面α∥β, α, β, a与 b是异面直线; a⊂ b⊂ 则 ③若两个平面α∥β, α, β, a与 b一定不相交; a⊂ b⊂ 则 ④若两个平面α∥β, α, β, a与 b平行或异面; a⊂ b⊂ 则 ⑤若两个平面α∩β=b, α, a与β一定相交. a⊂ 则 其中正确的序号是 ( 将你认为正确的序号都填上) .
处理这类平面与平面位置关系的技巧是什么?(牢牢 抓住其特征和定义, 把文字语言或符号语言转化, 结合 空间想象全方位、多角度思考, 特别是特殊情况, 要学 会举反例否定)
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④