高中数学必修二《平面与平面之间的位置关系》优秀教学设计
平面与平面之间的位置关系 说课稿 教案 教学设计
空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系●三维目标1．知识与技能(1)正确理解空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系．(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学态度．2．过程与方法(1)经历空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系及面面关系的基本方法．(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)在对空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲．(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值．●重点难点重点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系．难点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的判断．重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面及平面与平面之间的位置关系．然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】言和符号语言表示．(难点)直线和平面的位置关系【问题导思】1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？【提示】三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．2．“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”一样吗？【提示】不一样．前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况，而后者仅指直线与平面平行．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示两个平面的位置关系【问题导思】观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？【提示】两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．空间两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l 无数个点(共线)【课堂自主导学】直线与平面的位置关系下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【思路探究】结合直线与平面的位置关系的定义求解．【自主解答】对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l 不一定平行于α.故①是错误的．对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．故②是错误的．对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.故③是错误的．对于④，∵a∥b，b⊄α，那么a⊄α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故④是正确的．综上所述，正确的个数为1.【答案】 A1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点【解析】由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．【答案】 D平面与平面间的位置关系已知下列说法：①若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a∉α，则a与β一定相交．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．【思路探究】由平面间的位置关系逐一判断．【自主解答】①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a∉α，b∉β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行．【答案】③④1．两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．2．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确．【答案】 C【易错易误辨析】因思维不全面致误设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面() A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个【错解】如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.【答案】 A【错因分析】本题出错的原因是考虑不全面，漏掉了直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行的情形．【防范措施】在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形．【正解】(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，则过P与a，b都平行的平面不存在．(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，如图所示，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．【答案】 C【课堂小结】1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行直线与平面没有公共点直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面有唯一公共点直线在平面内直线与平面有无数公共点(2)按是否在平面内分类⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.。
平面与平面之间的位置关系教案
平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系，包括平行和相交两种情况。
2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交，并能够运用这个知识解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定与性质，平面与平面相交的判定与性质。
2. 教学难点：如何判断两个平面是否平行或相交，以及如何在实际问题中运用这个知识。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面之间的位置关系的定义、判定和性质。
2. 利用多媒体展示实例，帮助学生直观理解平面与平面之间的位置关系。
3. 引导学生进行实践操作，培养学生的动手能力。
4. 设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入平面与平面之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解平面与平面平行的判定与性质。
3. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面平行的判定与性质。
4. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 新课导入：讲解平面与平面相交的判定与性质。
6. 实例分析：利用多媒体展示实例，让学生直观理解平面与平面相交的判定与性质。
7. 课堂练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面之间的位置关系在实际问题中的应用。
9. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。
10. 教学反思：对课堂教学进行总结，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 评价内容：学生对平面与平面之间位置关系的理解，包括平行和相交的判定与性质。
2. 评价方法：通过课堂练习、课后作业和课堂讨论等方式进行评价。
3. 评价指标：a. 学生能够准确判断平面与平面的位置关系；b. 学生能够运用所学知识解决实际问题；七、教学反馈1. 收集学生作业、练习和测试成绩，分析学生对平面与平面之间位置关系的掌握情况。
高中数学必修二《平面与平面的位置关系》优秀教学设计
§1.2.4 平面与平面的位置关系（1）【学习目标】1、了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；3、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．【问题情境】工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平平面，你能解释其中的奥秘吗？【学生活动】利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？学生归纳：两个平面的位置关系：【建构数学】两个平面平行的判定定理：_______________________________________________________．用符号表示：若______________________________________，则___________．合作探究：如果两个平面平行，那么：（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？（2）分别在两个平行平面内的直线是否平行？两个平面平行的性质定理：_______________________________________________________．αβAab（要求学生画出图形，写出已知、求证并证明．）【数学探究】探究1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面BC1D∥平面AB1D1提示：可考虑证明一个平面内有两条直线与另一个平面平行．思考：A1C与平面BC1D垂直吗？为什么？探究2.求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．已知：求证：思考：垂直于同一条直线的两个平面平行吗？βαlDA BC A1D1 C1B1结合探究2归纳：公垂线：_________________________________________．公垂线段：_______________________________________．两个平行平面间的距离：___________________________．探究3.如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，且AB、CD不共面，E、F分别是线段AB、CD 的中点，求证：EF∥α提示：要证EF∥α，只要找一个过EF的平面γ，α∥γ或者在α内找到【拓展提高】平面α//平面β，直线A，B相交于点S，且直线A分别交α、β于点A、B，直线B分别交α、β于点C、D，已知A S=1，BS=2，CD=9，求线段CS的长．【学习反思】。
平面与平面的位置关系优秀教案
平面与平面的位置关系一、教学目标1.了解两个平面之间存在的位置关系；掌握两个平面平行的判定方法以及面与面平行的性质定理，并且能够运用面面平行的判定、性质定理证明空间中的平行问题。
2.类比学习，理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义，会求两个平行平面间的距离。
3.熟悉线线、线面、面面平行的转化，进一步理解等价转化思想在解决立体几何问题中的运用，并提高空间想象能力。
二、教学重难点重点：面面平行的判定、性质的理解及应用。
难点：线线平行、线面平行、面面平行的相互转化。
三、教学设计引入：1.观察教室中的四周墙壁，这四个平面两两之间是什么关系？2.翻阅手中的书，两页书纸所在平面具有哪几种位置关系？ 两个平面的位置关系定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行。
思考：（1）、平面α内有一条直线与平面β平行，则βα//吗？ （2）、平面α内有两条直线与平面β平行，则βα//吗？ （3）、平面α内有无数条直线与平面β平行，则βα//吗？β a（4）、平面α内任意一条直线与平面β平行，则βα//吗？ （5）、平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则βα//吗？ 探究：面面平行的判定 问题：如果两个平面平行，那么（1）、一个平面内的直线是否平行于另一个平面？ （2）、分别在两个平面内的两条直线是否平行？ 两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号语言：},,////,//a b a b A a b αααβββ⊂⊂=⇒ 图形语言：简记为：线面平行⇒面面平行α 两个平面平行的性质定理如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα图形语言：简记为：面面平行⇒线线平行补充：与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线。
它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段。
高中数学2.1.4平面与平面之间的地位关系教案新人教A版必修2
2.1.4 平面与平面的地位关系教学目标:1.从直线与直线、直线与平面的各种地位关系，类比联想平面与平面的地位关系；2.经过直观感知、操作确认的方法得出两个平面的地位关系，并给出相应的定义；3.会用文字言语、符号言语、图形言语表示两个平面的地位关系；4.按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开教学活动，培养和发展先生的几何直觉，运用图形言语、符号言语进行交流的能力、空间想象能力与必然的推理论证能力．教学重点:平面与平面的地位关系．教学难点:用图形言语表示两个平面的地位关系、两个平面相交时,交线的作法．教学过程:一、复习旧知引出课题空间几何体各式各样，千姿百态，如何认识和把握它们呢？普通的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线、平面动手，研讨它们的性质和彼此之间的地位关系．经过学习，我们知道空间中直线与直线的地位关系有：共面直线（相交直线、平行直线）、异面直线；空间中直线与平面的地位关系有：直线在平面内、直线在平面外（直线与平面相交、直线与平面平行），那么平面与平面的地位关系有哪些呢？二、直观感知、思辨论证生活中处处给我们以平面与平面地位关系的抽象，譬如教室的天花板与地面的关系、左面与地面的关系等等．我们也能够经过动手操作直观的感受平面与平面的地位关系．生活实例直观感知：拿出两本书，看作两个平面，上下、摆布挪动和翻转，它们之间的地位关系有几种？先生1：平行、相交．师：请你摆放出这两种地位关系的模型．先生1:用书本摆放这两种地位关系的模型．师：这样的模型表示两个平面的哪种地位关系？先生2：相交．师：这两本书既没有公共点又感觉不平行，为甚么说它们是相交的呢？先生2：由于平面是无量延展的，所以这两本书所在的平面是相交的．我们还可以经过几何体模型直观的感受平面与平面的地位关系．平行六面体模型直观感知：如图，围成平行六面体D C B A ABCD ''''-的六个面，两两之间的地位关系有几种？ A 1D 1C 1B 1D CB A先生3：平行、相交．经过生活实例和对平行六面体模型的观察、考虑，我们可以看出，两个平面之间的地位关系有且只需以下两种：（1） 两个平面平行；（2） 两个平面相交．师:两个平面平行如何定义？先生4：两个平面没有公共点．师：直线与直线平行，直线与平面平行也是这样定义的吗？先生5：当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与直线没有公共点时，直线与直线平行或异面．师：用定义法判断两个平面平行关系，可行性如何？先生6：由于平面是无量延展的，所以要阐明两个平面没有公共点是一件很难的事情．师：理解的很好,我们在理想生活中看到的平面理论上是平面的局部外形,两个平面的局部没有公共点并不代表着它们延展以后也没有公共点,所以用定义法判断两个平面平行关系是比较困难的．师：两个平面平行的图形言语如图,画两个互相平行的平面时,为了突出直观性,要留意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行; 两个平面平行的符号言语是βα//．师:两个平面相交如何定义？先生7：两个平面有公共点时，两个平面相交．师：这里的“有”该怎样理解？先生7：“有”该当是“存在”的意思．师：用定义判断两个平面能否相交，可行性如何？先生8：只需求找到一个公共点，可行性强．师：当两个平面相交时，公共点有几个？它们是如何分布的．先生9：有无量多个，分布在一条直线上．师：有根据吗?先生9：有，公里3．师：你能复述一下公理3吗?先生9：:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．师：很好，根据公理3，两个平面相交时公共点的轨迹是一条直线，因而两个相交平面的图形言语如图所示：看不见的线用虚线表示，符号言语记为：l =⋂βα,或EF =⋂βα．三、动手操作 理解定义例1 如图，试根据以下要求，把被遮挡的部分改为虚线,并动手摆出这两个图形言语表达的模型：（1） 线段AB 没有被平面α遮挡； a B A（2）线段AB 被平面α遮挡．a BA本例设计意图:把两个相交平面的图形言语转化为理想中的模型,培养先生的空间想象能力．教具设计及教学方法:四块平面模型，屏幕上投影标题与图形,两块小黑板上给出图形,两个先生上台动手画图,并利用模型摆放出这两种图形对应的地位关系．例2 已知平面βα，,直线b a ,,且βα//,α⊂a ,β⊂b ,则直线a 与直线b 具有怎样的地位关系?你能用模型摆放它们的地位关系并用学过的定义，定理或者公理证明你的操作结果吗？本例设计意图:把题设中几何元素之间地位关系的符号言语转化为图形言语,培养先生运用图形言语、符号言语进行交流的能力;本题考查了两个平面的地位关系的定义,从高维(面面地位关系)到低维(线线地位关系)的转化．答： βα// ∴直线b a ,没有公共点∴直线a 与直线b 是平行直线或异面直线．例3 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 三个平面把空间分成几部分?你能用图形言语给出这些结论吗?本例设计意图:本题考查了先生的空间想象能力,和把空间想象能力转化为用图象言语表达的能力, 也可引导先生类比低维的一个成绩:一条直线把平面分成几部分? 二条直线把平面分成几部分?三条直线把平面分成几部分?因而本题也在两个平面地位关系的基础上,考查了分类讨论的思想,和类比联想、降维的数学思想方法． 答: 一个平面把空间分成二部分;两个平面把空间分成3或者4部分; 三个平面把空间分成4,或6,或7,或8部分．四、 小结提炼 自主提升小结提炼：1. 当两个平面没有公共点时这两个平面是平行的，这个定义简洁明了，但是在判断两个平面能否平行时操作性差，同学们课后考虑一下，能否存在着一个操作性强的方法，能够用来判断两个平面能否平行？2. 只需找到一个公共点就能够阐明两个平面是相交的，两个平面的交线是经过该点的直线，因而要作出两个平面的交线，还需求找到另外一个公共点．这两个公共点怎样找？这是本节课的难点之一，请同学们自主探求线面的练习，动手画一画： 练习：如图所示，G 是正方体1111D C B A ABCD -的棱1DD 延伸线上的一点，F E ,是棱AB ，BC 的中点．试分别画出过以下各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G 及AC ；(2)过三点1,,D F E ．本例设计意图: 两个平面相交时,交线的作法是本节课的教学难点，公里3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只需一条过该点的公共直线．运用公里3得到以下结论：两个相交平面内各有一条直线，如果这两条直线相交，则交点在两个平面的交线上．本例把一部分教学难点移到课外,次要是让先生有充足的工夫去考虑、探求，动手作图，积累宝贵的碰壁经历，从而逐渐认识到立体几何思想的周到性．。
人教版高一数学必修二《平面与平面之间的位置关系》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《平面与平面之间的位置关系》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学目标1.知道两个平面之间的位置关系；2.能够利用平面的特征来确定平面之间的位置关系；3.能够利用解析几何的方法确定平面之间的位置关系；4.能够应用平面之间的位置关系解决实际问题。
1.2 教学重难点1.理解平面之间的位置关系；2.能够利用平面的特征来确定平面之间的位置关系；3.能够利用解析几何的方法确定平面之间的位置关系。
1.3 教学内容和课时安排本节课将主要讲解平面与平面之间的位置关系，包括垂直、平行、相交等关系。
一共2个课时。
课时内容时间安排第一课时垂直与平行的定义30分钟平面特征与判断30分钟解析几何求位置关系30分钟第二课时平面之间的位置关系30分钟综合练习30分钟1.4 教学方法本节课主要采用讲授和练习相结合的教学方法。
首先对平面的特征进行讲解，并以例题和练习来帮助学生理解和掌握平面的特征。
然后教师介绍平面之间的位置关系及其特征，并利用具体案例来演示。
最后通过综合练习来检测学生的掌握情况。
1.5 教具和教材准备教具：黑板、彩笔、幻灯片等。
教材：人教版高一数学必修二。
1.6 教学过程第一课时1. 学生一：垂直与平行的定义（1）请同学们定义两条直线之间的垂直关系和平行关系。
（2）请举一个生活中垂直或平行关系的例子。
2. 教师讲授：平面特征与判断（1）根据点的位置可以确定直线的位置，请问根据什么可以确定平面的位置？（2）利用平面的特征，我们可以判断平面之间的关系。
请说出以下平面特征：•三点共线；•两条直线平行；•一条直线垂直于另一条直线；•一条直线与一个点垂直；•两条互相垂直的直线。
（3）通过例题演示如何利用平面的特征来判断平面之间的关系。
3. 学生二：解析几何求位置关系请同学们回顾一下解析几何中关于平面的基本知识，并思考如何利用解析几何的方法求平面之间的位置关系。
4. 教师讲授：解析几何求位置关系（1）回顾解析几何中平面的常见表示方法。
平面与平面之间的位置关系教案
平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系，包括平行和相交两种情况。
2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交，以及如何求解平面之间的交线。
3. 培养学生的空间想象力，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 平面之间的交线求解4. 实际案例分析三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面与平面之间的位置关系，增强学生的空间想象力。
3. 结合实例，让学生通过动手操作，巩固所学知识。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。
四、教学步骤1. 引入新课：通过生活中的实例，如墙角、桌面等，引导学生思考平面与平面之间的位置关系。
2. 讲解平面与平面平行的判定与性质：引导学生了解平面与平面平行的定义，讲解判定方法和性质。
3. 讲解平面与平面相交的判定与性质：引导学生了解平面与平面相交的定义，讲解判定方法和性质。
4. 讲解平面之间的交线求解：引导学生了解如何求解平面之间的交线，讲解方法和相关公式。
5. 实例分析：给出实际案例，让学生动手操作，巩固所学知识。
五、课后作业1. 复习平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。
2. 练习求解平面之间的交线，提高解题能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平面与平面之间位置关系的理解和掌握情况。
2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估学生对平面与平面之间位置关系的判定方法和性质的掌握程度。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考平面与平面之间位置关系在现实生活中的应用，如建筑、设计等领域。
2. 介绍三维建模软件，让学生尝试运用所学知识进行简单的三维模型设计。
3. 推荐相关书籍和在线资源，鼓励学生深入研究平面与平面之间位置关系的应用。
高中数学人教A版 必修2 2.1.4 平面与平面之间的位置关系 教案
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标：1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)[自主预习·探新知]1．直线与平面的位置关系1．思考辨析(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ()(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行. ()(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．()[提示](1)×平行或异面．(2)×也可能相交．(3)√(4)×也可能相交．2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D[∵a∥平面α，∴a与平面α无交点，故选D.]3．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行C[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.][合作探究·攻重难]直线与平面的位置关系①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3C[如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故答案为C.][规律方法]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．(3)可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．提醒：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．[跟踪训练]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]平面与平面的位置关系[1．如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？[提示]如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．2．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．3．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示]不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A．③④B．②③④C．②④D．①④思路探究：依据平面与平面平行的定义判断，亦可借助长方体进行判断．A[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．][规律方法]1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．[跟踪训练]2．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1 B．2C．3 D．4B[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．故选B.][当堂达标·固双基]1．已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点D[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A．0B．1C．2D．3 A[如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]3．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．①②[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]4．如图2130，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：图2130(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]5．作出下列各题的图形．(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.[解]如图所示：。
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2.1.4 平面与平面之间的位置关系
整体设计
教学分析
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.
三维目标
1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.
2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.
3.培养学生全面思考问题的能力.
重点难点
平面与平面的相交和平行.
课时安排
1课时
教学过程
复习
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
导入新课
思路1.(情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.
图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P ∈α且P ∈β⇒α∩β=l,且P ∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图4.
图4
应用示例
思路1
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图5,直线a 与直线b 的位置关系为平行或异面.
图5
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图
6.
∅
图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.
图7
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
思路2
例1 α∩β=l,a⊂α,b⊂β,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
图8
变式训练
α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.
图9
直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中
点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ，
图10
（1）画出l 的位置；
（2）设l∩A 1B 1=P ，求PB 1的长.
解：（1）平面DMN 与平面AD 1的交线为DM ，
则平面DMN 与平面A 1C 1的交线为QN.
QN 即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A 1B 1=P,
∵△MA 1Q ≌△MAD ，∴A 1Q=AD=a=A 1D 1,
∴A 1是QD 1的中点.又A 1P ∥D 1N,
∴A 1P=
21D 1N=41C 1D 1=4
1a. ∴PB 1=A 1B 1－A 1P=a a a 4341=-. 变式训练
画出四面体ABCD 中过E 、F 、G 三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图11,分别连接并延长线段EF 、BD ，
图11
∵线段EF 、BD 共面且不平行，∴线段EF 、BD 相交于一点P.
∴连接GP 交线段CD 于H,分别连接EG 、GH 、FH 即为所作交线.
点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点. 知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.
拓展提升
已知平面α∩平面β=a,b ⊂α,b∩a=A,c ⊂β且c ∥a,
求证：b 、c 是异面直线.
证明：反证法：若b 与c 不是异面直线，则b ∥c 或b 与c 相交.
(1)若b ∥c.∵a ∥c,∴a ∥b.这与a∩b=A 矛盾.
(2)若b 、c 相交于B,则B ∈β.又a∩b=A,∴A ∈β.
∴AB ⊂β,即b ⊂β.这与b∩β=A 矛盾.
∴b,c 是异面直线.
课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
作业
课本习题2.1 B组1、2、3.
设计感想
本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.。