1.2.4 平面与平面的位置关系

1.2.4 平面与平面的位置关系
重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．
经典例题：如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数．
当堂练习：
1．下列命题中正确的命题是（）
①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行;
③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行.
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和③和④
2．设直线,m,平面,下列条件能得出的是（）
A．,且B．,且
C．,且 D．,且
3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面．其中假命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知a,b是异面直线，且a平面，b平面，则与的关系是（）
A．相交 B．重合 C．平行 D．不能确定
5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（）
A．①、② B．②、④ C．①、③ D．②、③
6．设平面，A，C是AB的中点，当A、B分别在内运动时，那么
所有的动点C （）
A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面
7．是两个相交平面，a,a与b之间的距离为d1，与之间的距离为d2，
则（） A．d1=d2 B．d1>d2 C．d1<d2 D．d1d2 8．下列命题正确的是（）
A．过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的
B．过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的
C．过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的
D．过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的
9．对于直线m、n和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（）
A．B．
C．D．
10．已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题: ①
②③④其中正确的两个命题是（）
A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③
11．设是直二面角，直线且a不与垂直，b不与垂直，则（）
A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行
12．如果直线、m与平面α、β、γ满足：=β∩γ, //α,mα和m⊥γ那么必有（）A．α⊥γ且⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且⊥m D．α∥β且α⊥γ
13．如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（）
A．线段B1C B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
14．平面, ABC和A/B/C/分别在平面和平面内, 若对应顶点的
连线共点,则这两个三角形_______________．
15．夹在两个平行平面间的两条线段AB、CD交于点O，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO、DO的长分别为_________________．
16．把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后, 互相垂直的平面有______对．
17．是两两垂直的三个平面, 它们交于点O, 空间一点P到平面的距离分别是
2cm , 3cm , 6cm , 则点P到点O的距离为__________________．
18．已知a和b是两条异面直线，求证过a而平行于b的平面必与过b而平行于a的平面
平行．
19．如图，平面，线段AB分别交于M、N，线段AD分别交于C、D，线段BF分别交于F、E，若AM=9，MN=11，NB=15，S=78．求END的面积．
20．如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点．
求证:平面PAC垂直于平面PBC．
21．如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直．
参考答案：
经典例题：由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD. 而SC∩SA＝S, ∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE, DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a, 则AB=a , BC=SB=又因为AB⊥BC,所以AC=在中,
tan∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于600．
当堂练习：
1.B;
2.C;
3.B;
4.D;
5.B;
6.D;
7.D;
8.C;
9.C; 10.D; 11.C; 12.A; 13.A; 14. 相似; 15. 6、3; 16. 3; 17. 7cm;
18.过a作平面M交于c,则a||c,则c||,又b||,b、c是相交直线（否则a||b）,所以．
19.解:,平面AND分别与交于MC、ND，MC||ND，同理MF||NE，
==
又，，BN=15，BM=15+11=26，AN=9+11=20，AM=9，
S=100．
20. 证明: 设圆O所在平面为α. 由已知条件,PA⊥平面α, 又BC在平面α内, 因此PA⊥BC.
因此∠BCA是直角, 因此BC⊥AC. 而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线, 因此BC ⊥△PAC所在平面. 从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.
21. 已知：. 求证：
证法一（同一法）：在上取点P作
又，
而与垂直，
证法二：设分别在内作且a,b 都过所在平面内外一点，
又又
证法三：设在内取一点P，并在内过点P分别作m、n的垂线a、b,
又。