管理运筹学课后答案
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2.2 将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。
（1）
123
123123123123min 2432219
43414..524260,0,z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++-++≤⎧⎪-++≥⎪⎨
--=-⎪⎪≤≥⎩
无约束 解：（1）令11333','",'x x x x x z z =-=-=-，则得到标准型为（其中M 为一个任意大的正
数）
12334567123341233561233712334567max '2'24'4''003'22'2''19
4'34'4''14..5'24'4''26',,','',,,,0
z x x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-++-++--++-+=⎧⎪++--+=⎪⎨
++-+=⎪⎪≥⎩
初始单纯形表如表2-1所示：
2.3 用单纯形法求解下列线性规划问题。
（1）
123
123123
123123max 2360
210..220,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨
+-≤⎪⎪≥⎩ （2） 1234
123412341234
min 52322347..2223,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+++++≤⎧⎪
+++≤⎨⎪≥⎩
解：（1）最优解为**(15,5,0),25T x z ==。
（2）最优解为**(0,1.5,0,0),3T x z ==-。
2.4 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题。
（1） 123
123123123
max 2357..2510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =+-++=⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ （2） 12
12123
1241234min 433
436..24,,,0
z x x x x x x x s t x x x x x x x =++=⎧⎪+-=⎪⎨
++=⎪⎪≥⎩ 解：（1）最优解为**(6.429,0.571,0),14.571T x z ==。 （2）最优解为**(0.4,1.8,1,0), 3.4T x z ==。
2.6 已知线性规划问题
123451234512345min 23523234..233
0,1,2,,5j
Z x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++⎧++++≥⎪-+++≥⎨⎪≥=⎩
其对偶问题最优解为**
*124/5,3/5;5y y Z ===。试用对偶理论找出原问题最优解。
解：先写出它的对偶问题
12
1212
12121212max 4322
3235..233,0
w y y y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎪≥⎪⎩
将**
124/5,3/5y y ==代入约束条件可知，第2、3、4个约束为严格不等式，因此，由互
补松弛性得***2340x x x ===。又因为**
12,0y y >，所以原问题的两个约束条件应取等式，因
此有
**15**153423
x x x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ⇒ *1*511
x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故原问题最优解为**(1,0,0,0,1),5T X z ==。
2.12 现有线性规划问题
123123123123
max 5513320..1241090
,,0z x x x x x x s t x x x x x x =-++-++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？
（1）约束条件①的右端项系数由20变为30；
（2）约束条件②的右端项系数由90变为70； （3）目标函数中3x 的系数由13变为8； （4）1x 的系数列向量由(1,12)T
-变为(0,5)T
； （5）将原约束条件②改变为12310510100x x x ++≤； （6）增加一个约束条件12323550x x x ++≤。
解：在上述LP 问题的第①、②个约束条件中分别加入松弛变量x 4,x 5得
12345
1234
123512345
max 551300320..1241090
,,,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++++-+++=⎧⎪+++=⎨⎪≥⎩
① ②
列出此问题的初始单纯形表并进行迭代运算，过程如表2-11所示。
由表2-11中的计算结果可知，LP 问题的最优解X *=(0,20,0,0,10)T ，z *=5*20=100。 （1）约束条件①的右端项系数由20变为30，则有
1103030419030B b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，过程如表2-12所示。
由表2-12中计算结果可知，LP 问题的最优解变为**(0,0,9,3,0),139117T X z ==⨯=。 （2）约束条件②的右端常数由90变为70，则有
1102020417010B b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，结果如表2-13所示。