1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性
规划与单纯形
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第一章
线性规划与单纯形法
运筹学习题集
第一章线性规划与单纯形法
复习思考题
1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误?
3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式?
4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解?
6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解?
7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么?
8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行?
9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要
描述。
11. 判断下列说法是否正确:
(a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的;
(b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大;
(c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点;
(d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点;
(e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0，
在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0;
(f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被
选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负;
(h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量，
将使目标函数值得到最快的增长;
(i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可
以从单纯形表中删除，而不影响计算结果;
(j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k)
若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数;
(l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min
z=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数;
(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰
好为Cmn个; (n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解; (o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解; (p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解;
(q) 线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函
数值，则该顶点处的目标函数值达到最优;
(r) 将线性规划约束条件的“?”号及“?”号变换成“=”号，将使问题的最
优目标函数值得到改善;
(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值;
(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优
解中，最多只含有3种产品的组合;
(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解; (v) 一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
练习题
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷
多最优解、无
界解或无可行解。
(a) min z=6x1+4x2(b) max z=4x1+8x2
s.t.
2x1+x2?1
3x1+4x2?1.5
x1, x2?0
s.t.
2x1+2x2?10
-x1+x2?8
x1, x2?0
(c) max z=x1+x2(d) max z=3x1+9x2 s.t.
8x1+6x2?24
4x1+6x2?-12
2x2?4
x1, x2?0
s.t.
x1+3x2?22
-x1+x2?4
x2?6
2x1-5x2?0
x1, x2?0
1.2某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万t(吨)、煤油12万t、重油12万t。该厂从A，B两处运回原油提炼，已知两处原油成分如表11所示。又如从A处采购原油每t价格(包括运费、下同)为200元，B处原油每t为310元。试求: (a)选择该炼油厂采购原油的最优决策; (b)如A处价格不变，B处降为290元/t，则最优决策有何改变?
表11
原油成分AB
汽油1550
煤油2030
重油5015
其他155
1.3线性规划问题:
max z=c1x1+x2
s.t.x1+x2?6
x1+2x2?10
x1, x2?0
试用图解法分析，问题最优解随c1(-? 1.4将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 (a) max z=2x1+x2+3x3+x4 s.t. x1+x2+x3+x4?7 2x1-3x2+5x3=-8 x1-2x3+2x4?1 x1, x3?0， x2?0， x4无约束 (b) max z=?ni=1?mk=1aikxik/pk s.t.?mk=1xik?bi(i=1,…,n) ?ni=1cikxik=dk(k=1,…,m) xik?0(i=1,…,n; k=1,…,m) (c) min z=?mi=1?nj=1cijxij s.t.?nj=1xij?ai(i=1,…,m) ?mi=1x ij=bj(j=1,…,n) xij?0(i=1,…,m; j=1,…,n) 1.5判断下列集合是否为凸集: (a) X=,,x1，x2,,x1x2?30，x1?0,x2?0, (b) X={,x1，x2,,x2-3?x21,x1?0,x2?0} (c) X={,x1，x2,,x21+x22?1} 1.6在下列线性规划问题中，找出所有基解。指出哪些是基可行解，并分别代入目标函数， 比较找出最优解。 (a) max z=3x1+5x2 s.t. x1+x3=4 2x2+x4=12 3x1+2x2+x5=18 xj?0(j=1, (5) (b) min z=4x1+12x2+18x3 s.t. x1+3x3-x4=3 2x2+2x3-x5=5 xj?0(j=1, (5) 1.7已知线性规划问题: max z=x1+3x2 s.t. x1+x3=5 x1+2x2+x4=10 x2+x5=4 x1,…,x5?0 ? ? ? ? 表12中所列的解(a)~(f)均满足约束条件???，试指出: 表中哪些解是可行解,哪些 是基解,哪些是基可行解, 表12 序号x1x2 x3 x4 x5 (a)24300 (b)100-504 (c)30274 (d)14.540-0.5 (e)02562 (f)04520 1.8分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单 纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。 (a) max z=10x1+5x2 s.t.3x1+4x2?9 5x1+2x2?8 x1, x2?0 (b) max z=100x1+200x2 s.t. x1+x2?500 x1?200 2x1+6x2?1200 x1, x2?0 1.9已知某线性规划问题的约束条件为 s.t. 2x1+x2-x3=25 x1+3x2-x4=30 4x1+7x2-x3-2x4-x5=85 xj?0(j=1, (5) 判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点: (a) X=(5，15，0，20，0) (b) X=(9，7，0，0，8) (c) X=(15，5，10，0，0) 1.10已知下述线性规划问题具有无穷多最优解，试写出其最优解的一般表达式。 max z=10x1+5x2+5x3 s.t. 3x1+4x2+9x3?9 5x1+2x2+x3?8 x1, x2?0 1.11线性规划问题: min z=CX AX=b X?0 其可行域为R，目标函数最优值为z*，若分别发生下列情形之一时，其新的可 行域为R′，新的目标函数最优值为(z*)′，试分别回答(a)(b)(c)三种情况下R 与R′及z*与(z*)′之间的关系: (a) 增添一个新的约束条件; (b) 减少一个原有的约束条件; (c) 目标函数变为min z=CXλ，同时约束条件变为AX=λb, X?0 (λ,1)。 1.12在单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代 中会不会立即再进入基变量，为什么? 1.13会不会发生在一次迭代中刚进入基变量的变量在紧接着的下一次迭代中立 即被替换出来?什么情况下有这种可能,试举例说明。 图11 1.14已知线性规划问题: max z=c1x1+c2x2 s.t. 5x2?15 6x1+2x2?24 x1+x2?5 x1, x2?0 用图解法求解时，得其可行域顶点分别为O，Q1，Q2，Q3，Q4(见图11)。试问: c1, c2 如何变化时，目标函数值分别在上述各顶点实现最优, 1.15下述线性规划问题中，分别求目标函数值z的上界z-*和下界z*: (a) max z=c1x1+c2x2 s.t.a11x1+a12x2?b1 a21x1+a22x2?b2 x1, x2?0 式中: 1?c1?3, 4?c2?6; 8?b1?12, 10?b2?14; -1?a11?3, 2?a12?5; 2?a21?4, 4?a22?6 (b) max z=c1x1-c2x2 s.t. -a11x1+a12x2?b1 a21x1-a22x2?b2 x1，x2?0 式中: 2?c1?3, 4?c2?6; 8?b1?12, 10?b2?15; -1?a11?1, 2?a12?4; 2?a21?5, 4?a22?6 1.16用单纯形法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类。 (a) max z=6x1+2x2+10x3+8x4 s.t. 5x1+6x2-4x3-4x4?20 3x1-3x2+2x3+8x4?25 4x1-2x2+x3+3x4?10 x1~4?0 (b) max z=x1+6x2+4x3 s.t. -x1+2x2+2x3?13 4x1-4x2+x3?20 x1+2x2+x3?17 x1?1, x2?2, x3?3 1.17分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类。 (a) max z=4x1+5x2+x3(b) max z=2x1+x2+x3 s.t. 3x1+2x2+x3?18 2x1+x2?4 x1+x2-x3=5 xj?0(j=1,2,3) s.t. 4x1+2x2+2x3?4 2x1+4x2?20 4x1+8x2+2x3?16 xj?0(j=1,2,3) 1.18表13为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为max z=5x1+3x2，约束形式为?，x3、 x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得 z=10。 表13 x1x2x3x4 x32 x1ac d0 e1 01/5 1 cj-zjb-1fg (a) 求a~g的值; (b) 表中给出的解是否为最优解, 1.19表14中给出某线性规划问题计算过程中的一个单纯形表，目标函数 为max z=28x4+x5+2x6，约束条件为?，表中x1，x2，x3为松弛变量，表中解的目标函数 值为z=14。 表14 x1x2x3x4x5x6 x6a x25 x403 6 00 d e-14/3 2 f0 11 5/2 01 cj-zjbc00-1g (a) 求a~g的值; (b) 表中给出的解是否为最优解, 1.20表15为某一求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，x 4、x5为松弛变量，试求表中a~l的值及各变量下标m~t的值。 表15 x1x2x3x4x5 xm6 xn1b -1c 3d e1 00 1 cj-zja1-200 xsf xt4g h2 i-1 11/2 1/20 1 cj-zj07jkl 1.21线性规划问题max z=CX, AX=b, X?0，如X*是该问题的最 优解，又λ,0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。 (a) 目标函数变为max z=λCX; (b) 目标函数变为max z=(C+λ)X; 1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性 规划与单纯形 1 3 第一章 线性规划与单纯形法 运筹学习题集 第一章线性规划与单纯形法 复习思考题 1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误? 3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式? 4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。 5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解? 6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解? 7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么? 8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行? 9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。 10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要 描述。 11. 判断下列说法是否正确: (a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的; (b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大; (c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点; (d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点; (e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0， 在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0; (f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被 选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负; (h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量， 将使目标函数值得到最快的增长; (i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可 以从单纯形表中删除，而不影响计算结果; (j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k) 若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数; (l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min z=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数; 一、选择填空 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、判断正误 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、将下列问题化为标准型 1.1234 123412313 24237..2358 ,0,0,Max Z x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++≤⎧⎪-+=-⎨⎪≥≤⎩符号不限 [解] 令'22x x =-，' 44 5x x x =-，在约束1中引入非负的松弛变量6x ，约束2两边同乘以-1。整理得： '' 12345'' 123456' 123''123456 23()()7 ..23()58,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++-⎧-++-+=⎪-+--=⎨⎪≥⎩ 即： 12345 123456123123456237..2358,,,,,0Max Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++--++-+=⎧⎪---=⎨⎪≥⎩ 2. Min Z=-x 1+5x 2-2x 3 x 1 +x 2 - x 3 ≤ 6 1 - x 2 +3x 3 ≥ 5 x 1 + x 2 = 10 x 1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x 3符号不限 [x 3进行处理，令x 3 = x’3- x 4;再令x’2 = - x 2。然后对目标函数和约束条件进行标准化。 Max Z=x 1+5x 2+2x 3-2x 4 x 1 - x 2 - x 3+x 4+x 5 = 6 1 + x 2 +3x 3 - 3x 4 -x 6 = 5 x 1 - x 2 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6≥ 0 四、用图解法求解下列线性规 一、单选题 1、线性规划具有唯一最优解是指（）。 A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.可行解集合有界 D.最优表中存在非基变量的检验数为零 正确答案：B 2、线性规划具有多重最优解是指（）。 A.最优表中存在非基变量的检验数为零 B.可行解集合无界 C.基变量全部大于零 D.目标函数系数与某约束系数对应成比例 正确答案：A 3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。 A. (1,－1,－2) B. (－1,－1,－2) C. 1,1,2) D. (－1,1,2) 正确答案：A 4、线性规划的退化基可行解是指（）。 A.基可行解中存在为零的非基变量 B.基可行解中存在为零的基变量 C.非基变量的检验数为零 D.所有基变量不等于零 正确答案：B 5、线性规划无可行解是指（）。 A.有两个相同的最小比值 B.第一阶段最优目标函数值等于零 C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量 D. 进基列系数非正 正确答案：C 6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。 A.一定有最优解 B.全部约束是小于等于的形式 C.可能无可行解 D.一定有可行解 正确答案：D 7、设线性规划的约束条件为 x1+x2+x3=2 2x1+2x2+x4=4 x1，…，x4≥0 则非可行解是（）。 A. (0，1，1，2) B. (2，0，0，0) C. (1，0，1，0) D. (1，1，0，0) 正确答案：C 8、线性规划可行域的顶点一定是（）。 A.可行解 B.非基本解 C.非可行解 D.最优解 正确答案：A 9、X是线性规划的基本可行解则有（）。 A.X不一定满足约束条件 B.X不是基本解 C.X中的基变量非零，非基变量为零 D.X中的基变量非负，非基变量为零 正确答案：D 10、下例错误的结论是（）。 A.检验数就是目标函数的系数 B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数 C.不同检验数的定义其检验标准也不同 D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数 正确答案：A 11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模 第一章 线性规划及单纯形法 一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情 况。 1、P55,1.3(a) 21510m ax x x Z += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3. t .s 2 12121 解：将模型化为标准型 21510x x Z Max += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥=++=++0,,,825943. .4 32142 13 21x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下 因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2 。由 检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。 2、 P55,1.3(b) 21x x 2Z m ax += s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧ ≥≤+≤+≤0 ,5 24261552121212x x x x x x x 解：将模型化为标准型 21x x 2Z Max += t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧ ≥=++=++=+0 x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142 132 单纯形表如下 因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2 ,2,2(X *=，最有目标值为 2 17 。由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。 3、 3212x x x Z Min -+=， t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤++≤+-≤-+0 ,,,5,822,4223213213 21321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型： 3212x x x Z Min -+= t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥=+++=++-=+ -+0 ,,,5,822,42232163 2153 214 321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代 第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 （1）??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 3105120 106max 21212 1x x x x x x z (4) ??? ??≥≤+-≥-+=0,2322 265max 1 2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。 (1) ??? ?? ? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227 4322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 线性规划及单纯形法 一．选择 1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策 2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。 A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（C ）。 A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策 4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数 5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（C） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部 6. 目标函数取极小化（min Z ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（ C ）的线性规划问题求解 A minZ B min（ Z） C max（ Z） D maxZ 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解 A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定 8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（C）。 A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解 9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（ D ） A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 4 11. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（C ）、无可行解 A 无解 B 无基解 C 无界解 D 无基可行解 12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。 A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 13. 线性规划问题的基可行解X X,, ,X n T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是（ B ） A 线性相关 B 线性独立 C 非线性独立 D 无法判断 14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当j 0时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ） A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 15•如果集合C中任意两个点X,,X2其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为（B） 运筹学第1章习题 运筹学 第1章线性规划与单纯形法习题详解(习题) 1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 （1）max z x1 x2 5x1+10x2≤50 x1+x2≥1 x2≤4 x1，x2≥0 （2）min z=x1+1.5x2 x1+3x2≥3 x1+x2≥2 x1，x2≥0 （3）max z=2x1+2x2 x1-x2≥-1 -0.5x1+x2≤2 x1，x2≥0 （4）max z=x1+x2 x1-x2≥0 3x1-x2≤-3 x1，x2≥0 1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 （1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 运筹学 4x1-x2+2x3-x4=-2 x1+x2+3x3-x4 14 -2x1+3x2-x3+2x4 2 x1，x2，x3 0，x4无约束 （2）max s nmzkpk zk aikxik i 1k 1 x k 1mik 1(i 1,...,n) xik 0 (i=1。n; k=1,。,m) 1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。 （1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8 x1-2x2+6x3-7x4=-3 x1,x2,x3,x4 0 （2）max z=5x1-2x2+3x3-6x4 x1+2x2+3x3+4x4=7 2x1+x2+x3+2x4=3 x1x2x3x4 0 1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。 （1）max z=2x1+x2 3x1+5x2 15 运筹学 6x1+2x2 24 x1，x2 0 （2）max z=2x1+5x2 x1 4 2x2 12 3x1+2x2 18 x1，x2 0 1.5以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。 1.6分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪类解。 （1）max z=2x1+3x2-5x3 习题答案选01_线性规划和单纯形法 运筹学教程（胡运权主编，清华第三版）部分习题答案（第一章）1.1 （1）无穷多解：α (6/5, 1/5) + (1- α) (3/2, 0)，α∈ [0,1]。 （2）无可行解； （3）x* = (10,6)，z* = 16； （4）最优解无界。 1.2 （1）max z’ = 3x1 - 4x2 + 2x3 - 5x’4 + 5x’’4 s.t. –4x1 + x2 –2x3 + x’4–x’’4 = 2 x1 + x2 –x3 + 2x’4–2x’’4 + x5 = 14 –2x1 + 3x2 + x3 –x’4+ x’’4– x6 = 2 x1, x2, x3, x’4, x’’4, x5, x6 ≥ 0 （2）max z’ = 2x’1 + 2x2 –3x’3 + 3x’’3 s.t. x’1 + x2 + x’3 –x’’3 = 4 2x’1 + x2 –x’3 + x’’3 + x4 = 6 x’1, x2, x’3, x’’3, x4, ≥ 0 1.3 （1）基解：(0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)； (0, 10, 0, -7, 0, 0)； (0, 3, 0, 0, 7/2, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解； (7/4, -4, 0, 0, 0, 21/4)； (0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)； (0, 0, -5/2, 8, 0, 0)； (1, 0, -1/2, 0, 0, 3)； (0, 0, 0, 3, 5, 0)，是基可行解，z = 0； (5/4, 0, 0, -2, 0, 15/4)； (3/4, 0, 0, 0, 2, 9/4)，是基可行解，z = 9/4； (0, 0, 3/2, 0, 8, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解。 运筹学习题集（第一章） 判断题 判断正误，如果错误请更正 第1章线性规划 1.任何线形规划一定有最优解。 2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。 3.线形规划可行域无界，则具有无界解。 4.在基本可行解中非基变量一定为0。 5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。 6.minZ=6X1+4X2 ｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型 X1+X2=100 X1>=0,X2>=0 7.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解. 8.任何线形规划都可以化为下列标准型 Min Z=∑C j X j ∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，m X j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m 9.基本解对应的基是可行基. 10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解. 11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。 12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。 13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。 14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。 15.人工变量一旦出基就不会再进基。 16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。 17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。 18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本 可行解是最优解的充要 条件为λ》=0。 19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。 20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。 选择题 在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。 第1章线性规划 1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验 数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。 2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中 存在非基变量的检验数为0 C 可行解集合无界 D 存在基变量等于0 3. 使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是： A （-1，1，-4） B （-1，-1，-4） C （1，1，4） D （1，-1，-4-） 4. 当线形规划的可行解集合非空时一定A 包含原点X=（0，0，0……） B 有界C 无界 D 是凸集 5. 线形规划的退化基本可行解是指 A 基本可行解中存在为0的基变量 B 非基变量为C 非基变量的检验数为0 D 最小比值为0 6. 线形规划无可行解是指 A 进基列系数非正 B 有两个相同的最小比值 C 第一阶段目标 函数值大于0 D 用大M 法求解时最优解中含有非0的人工变量 E 判断题 判断正误，如果错误请更正 第1章线性规划 1.任何线形规划一定有最优解。 2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。 3.线形规划可行域无界，则具有无界解。 4.在基本可行解中非基变量一定为0。 5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。 6.minZ=6X1+4X2 ｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型 X1+X2=100 X1>=0,X2>=0 7.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解. 8.任何线形规划都可以化为下列标准型 Min Z=∑C j X j ∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，m X j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m 9.基本解对应的基是可行基. 10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解. 11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。 12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。 13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。 14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。 15.人工变量一旦出基就不会再进基。 16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。 17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。 18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要 条件为λ》=0。 19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。 20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。 选择题 在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。 第1章线性规划 1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验 数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。 2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中 《运筹学》课程练习题 第一章：线性规划及单纯形法 1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1.4.1用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 1.7.1 用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。 1.13某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲养可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表1-20所示。 表1-20 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。（建立这个问题的线性规划模型，不求解） 1.15一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1-22所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表1-23。 表1-22 表1-23 第二章：线性规划的对偶理论与灵敏度分析 2.12 2.14 某厂生产A,B,C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2-34。 要求：（1）确定获利最大的产品生产计划；（2）产品A的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（3）如果设计一种新产品D,单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？（4）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以构多少为宜。 表2-32 第三章：运输问题 3.10 3.11 1，2，3三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I ，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400个单位和450个单位，单位费用如表3-34所示。由于需要量大于可供量，决定城市1的供应量可减少0～30单位，城市2的供应量不变，城市3的供应量不能少于270单位，试求总费用最低的分配方案（将可供电量用完）。 表3-34 第四章：目标规划 4.4 某成品酒有三种商标（红、黄、蓝），都是由三种原料酒（等级I ，II ，III ）兑制而成。三种等级的原料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定：首先必须严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大；再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg 。试列出该问题的数学模型。 表4-13 第一章 线性规划与单纯形法 经营管理中如何有效地利用现有人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力、物力去实现目标。这类统筹规划的问题用数学语言表达，先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过变量的函数形式表示（成为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（成为约束条件）。当变量连续取值，且目标函数和约束条件均为线性时，称这类模型为线性规划的模型。有关线性规划问题的建模，求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支。用线性规划求解的典型问题有运输问题、生产计划问题、下料问题、混合配料问题等。有些线性规划问题的目标函数是非线性的，但往往可以采用分段线性化邓手法，转化为线性规划问题。 第一节 线性规划问题及其数学模型 一、问题的提出及数学模型 例一：美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A 、B 的台时，调试时间，调试工序每天可用于这两种家电的能力。各售出一件的获利情况，如表1－1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获得的利润为最大。 表1－1 设该公司应制造Ⅰ家电1x 件，Ⅱ家电2x 件，该公司每天可获得的利润为（212x x z +=）元，因问题中要求获得的利润为最大，即z max 。又z 是该公司能获得的利润的目标函值，它是变量1x 、2x 的函数，成为目标函数。1x 、2x 的取值受到设备A 、B 和调试工序的限制，用于描述限制条件的数学表达式成为约束条件。数学模型为： 目标函数212max x x z += 约束条件（S.T.） ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≤+≤+≤可能为负表明家电的制造件数不成为变量的非负约束。 、调试工序的能力限制表示家电的制造件数受的能力限制设备表示家电的制造件数受 的能力限制设备表示家电的制造件数受05 242615 521 21212x x x x B x x A x 例2：捷运公司拟在下一年度的1－4月份的4个月需租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数列于表1－2。仓库租用费随合同期而定，期限越长，折扣越大。具体数字见表1－3。租界仓库的合同每月初都可办理，每份合同的具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租界合同。每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租界期限不同的合同，试确定该公司签订的租界合同的最优决策，目的是所付租界费用最小。 表1－2 表1－3 解：若用变量ij x 表示捷运公司在第)4,3,2,1(=i i 个月初签定的租借期为 )4,3,2,1(=j j 个月的仓库面积的合同（单位为1002m ）。因5月份起该公司不需 要租界仓库，故444342343324x x x x x x 均为零。该公司希望总的租界费用为最 小，故有如下的数学模型： 目标函数： 14 2313322212413121117300)(6000)(4500)(2800min x x x x x x x x x x z +++ ++++++= 第一章线性规划及单纯形法 6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsa replotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x 3x4x53500081010012020103634001x3x4x5 000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8， x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5) 即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1 x2x3x4x53500081010012020103634001x3x 4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050 -30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x5350008 1010012020103634001x3x4x5000035000- 12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,1 2)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数? jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-2 1x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/36 0101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x 4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0 )T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。③计算各非基变量xj的检验数?j=Cj-CBPj′，若所有?j≤0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转入 《运筹学》综合练习题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ● LP 问题的可行域是凸集。 ● LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ● LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ● 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ● 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现 "' j j x x . ● 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可 断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800 第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式 1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4 －x2＋2x3－x4＝－2 4x st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14 －2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2 x1，x2，x3≥0，x4无约束 2)min z ＝2x1－2x2＋3x3 ＋x2＋x3＝4 －x st. －2x1＋x2－x3≤6 x1≤0 ，x2≥0，x3无约束 1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)min z＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6 st2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0 2)max z＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st3x1＋4x2≥12 x1，x2≥0 3)max z＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st5≤x1≤10 3≤x2≤8 4)max z＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2 st－2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0 1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4 x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3 x1，x2，x3，x4≥0 1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0 1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5 3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0 123123 123123123 4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨ ++ ≥⎪⎪≥⎩ 1．6 第一章 线性规划及单纯形法 （作业） 1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行 解对应图解法中可行域的哪一顶点。 （1）Max z=2x 1+x 2 St.⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤+≤+0,242615532 12121x x x x x x 解：①图解法： 由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解 为直线⎩⎨⎧=+=+24 2615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。 Max z =33/4. ② 单纯形法： 将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4 St. ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535 421421321x x x x x x x x x x 其约束条件系数矩阵增广矩阵为： P 1 P 2 P 3 P 4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到 T 优解，代入目标函数得Max z=33/4. 1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。 （3）Min z=4x 1+x 2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=≥=++=-+=+) 4,3,2,1(0426343 34213 2121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343 34213 2121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2 Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2 第一章 线性规划与单纯形法 §1 线性规划问题及其数学模型 [例] 利用现有机器台时及原料A 、B 生产两种产品，已知如下： 求达最大利润的生产方案。 解：设生产产品一、二的数量分别为x 1, x 2 相应线性规划问题为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤≤≤++=0 ,1241648232max 2121212 1x x x x x x x x z 线性规划问题的特点： 1） 一组控制变量表示某一方案 2） 关于控制变量线性的约束条件（等式或不等式） 3） 关于控制变量线性的目标函数 线性规划问题的一般形式： ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨⎧≤≥≥=≤+++≥=≤++++++=++free x x x x x x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z n t t s s m n mn m m n n n n ,0,0,,),(),(max(min)11212211112121112211 两个变量的线性规划问题的图解法 [例1] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤≤≤++=0 ,1241648232max 21212121x x x x x x x x z 唯一最优解（4，2），最优值=14 [例2] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤≤≤++=0,1241648242max 21212121x x x x x x x x z 无穷多最优解（4，2），（2，3）及其中间点，最优值=16 [例3] ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤-≤+-+=0,24 2max 21212121x x x x x x x x z 无界解，+∞=z m ax [例4] ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≥-≥+-+=0,24 2max 2 1212121x x x x x x x x z 无可行解，约束矛盾，可行域φ=D 由两个变量的线性规划问题的图解法得出的直观结论： 1． 可行域D 及相应最优解与最优值的可能情况： φ=D ：无可行解 φ≠D 且D 有界：有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） φ≠D 且D 无界： 1） 有有限的最优值（有唯一最优解或无穷多最优解） 2） 无界解(+∞=z m ax 或-∞=z m in ) 2． 若φ≠D ,则可行域D 为有界凸多边形或无界凸区域 3． 若有最优解，必可以在可行域D 的某个顶点达到 4． 若在两个顶点同时达到最优值，则其连线之间任一点都是最优解，即为无穷多最优 解情形。 线性规划问题的标准形式 附录四：习题参考答案 第一章线性规划及单纯形法 1.1 （1）解： 第一，求可行解集合。令两个约束条件为等式，得到两条直线，在第一象限划出满足两个不等式的区域，其交集就是可行集或称为可行域，如图1-1所示，交集为（1/2, 0）。 第二，绘制目标函数图形。将目标函数的系数组成一个坐标点（6，4），过原点O作一条矢量指向点（6，4），矢量的长度不限，矢量的斜率保持4比6，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形，目标函数图形的位置任意，如果通过原点则目标函数值Z=0，如图1-2所示。 第三，求最优解。图1-2的矢量方向是目标函数增加的方向或称梯度方向，在求最小值时将目标函数图形沿梯度方向的反方向平行移动，（在求最大值时将目标函数图形沿梯度方向平行移动）直到可行域的边界，停止移动，其交点对应的坐标就是最优解，如图1-3所示。最优解x=（1/2, 0）,目标函数的最小值Z=3。 附录四习题参考答案 （2）无可行解；[求解方法与（1）类似] （3）无界解； （4）无可行解； （5）无穷多最优解 z*=66 （6）唯一最优解 z*=92/3,x1=20/3,x2=3/8 1.2 （1）解：由题目可知，其系数矩阵为 ）即，，，，（54321P P P P P ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡1 0 0 2 30 1 0 2 00 0 1 0 1 因 =），，（321P P P ⎥⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ 0 2 3 0 2 0 1 0 1线性独立，故有⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+521423118231224x x x x x x x 令非基变量0,54=x x 得⎪⎩⎪ ⎨⎧=+==+18 231224 21 231x x x x x → ⎪⎩⎪ ⎨⎧===264 3 21x x x 得到一个基可行解T x ），，，，（00262) 1(=，361=Z 。1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
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