管理运筹学 第5章 单纯形法[精]
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5第五章 单纯形法
令其非基变量 x1=x2=0，得初始基本可行解：
x1=0，x2=0，s1=300，s2=400，s3=250
注：若找不到单位矩阵（各列可以乱序）的基作为初始可行基， 需要构造初始可行基。
§1
单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验
判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1．最优性检验的依据——检验数 σj 目标函数
目标函数为50x1+100x2，由于初始可行解中x1，x2 为 非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，无 需代换出基变量。各检验数为： σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0
§1
单纯形法的基本思路和原理
2．最优解判别定理 求最大目标函数的问题中，若某个基本可行解所有 检验数 σj ≤0，则该解是最优解。 通俗地解释最优解判别定理，设用非基变量表示的 目标函数如下所示：
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
x2 = 250.
求解得到新的基本可行解
x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初 始解，以原目标函数为目标函数。
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
05第五章 单纯形法 管理运筹学课件
–P1 , P2 , … , Pm 称为基向量
–与基向量对应的变量称为基变量，记为
XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称非基变量，记 为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xn ) T ，
故有 X = (XB ,XN )T
● 线性规划的基矩阵、基向量、基变量、非基变量
基、可行基、最优基
可行解、基解和基本可行解举例
标准型：
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 x2 10
s.t.
x1 x2 8 x2 7
x1 , x2 0
max f (x) 6x1 4x2
2x1 x2 x3 10
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5, x6 0
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
（a）
s.t. AX=b
（ b）
X 0
（c）
a11 a12 …. a1n
C (c1, c2 , , cn );
X (x1, x2 , , xn )T
做为一个基 （可行基）
基变量 : x3 x4 x5 非基变量: x1 x2
可见，单位矩阵 作为初始可行基， 基变量在目标中 的系数为0
非基 变量
基变量
图中的点 解
x1, x2 x3 =10 x4 =8 x5 =7 O 基可行解
x1, x3 x2 =10 x4 =-2 x1, x4 x2 =8 x3 =2 x1, x5 x2 =7 x3 =3
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
F
–与基向量对应的变量称为基变量，记为
XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称非基变量，记 为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xn ) T ，
故有 X = (XB ,XN )T
● 线性规划的基矩阵、基向量、基变量、非基变量
基、可行基、最优基
可行解、基解和基本可行解举例
标准型：
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 x2 10
s.t.
x1 x2 8 x2 7
x1 , x2 0
max f (x) 6x1 4x2
2x1 x2 x3 10
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5, x6 0
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
（a）
s.t. AX=b
（ b）
X 0
（c）
a11 a12 …. a1n
C (c1, c2 , , cn );
X (x1, x2 , , xn )T
做为一个基 （可行基）
基变量 : x3 x4 x5 非基变量: x1 x2
可见，单位矩阵 作为初始可行基， 基变量在目标中 的系数为0
非基 变量
基变量
图中的点 解
x1, x2 x3 =10 x4 =8 x5 =7 O 基可行解
x1, x3 x2 =10 x4 =-2 x1, x4 x2 =8 x3 =2 x1, x5 x2 =7 x3 =3
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
F
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)
0 5 1 0 0 6 2 0 1 0 1 1 0 0 1
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学_单纯形法_的应用举例
(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
11
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
x21 x22 x23 x24 250000 产量约束为飞机汽油2的产量：
PV p j v j可得有关蒸汽压力的约束条件： 由物理中的分压定律，
n
2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0
同样可得有关辛烷数的约束条件16.5 x11 2.0 x12 4.0 x13 17.0 x14 0 为： 7.5x 7.0 x 13.0 x 8.0 x 0
运筹学 (单纯形法原理)
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5 x4 = 16 – 4x1 x2 = 3 –1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0 x4 = 16 – 4 θ ≥0 x2 = 3 ≥0
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3 相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
xni bi aij x j
j 1
n
（i 1, 2,L , m）
3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数 j
Z c j x j cni xni
j 1 i 1
n Z c j x j cni b a x i ij j j 1 i 1 j 1 n m
b1 M M M 0 .1L bi M M M 0 0L 1 bm
表格单纯形法
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1 cnm xnm
标准型：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 , x 2 , , x n , x n 1 , , x n m 0
m
cni bi (c j cni aij ) x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
j cj zj
n j 1
Z Z 0 (c j z j ) x j Z 0 j x j
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A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的
基本概念。
基： 已知A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。若B是A中m×m阶非
管理运筹学
10
§1 单纯形法的基本思路和原理
2. 在确定了x2为入基变量之后，我们要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确
定一个出基变量，也就是确定哪一个基变量变成非基变量呢？ 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为非基变量x1=s3=0，
x2 +s1=300， x2+s2=400， x2=250， 求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。 条件，是基本可行解，故s3可以确定为出基变量。 能否在求出基本解以前来确定出基变量呢？ 以下就来看在找出了初始基本可行解和确定了入基变量之后，怎么样的 基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？
zz0 jxj
jJ
由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的
都小
j
于等于零时，可知 j x j 是一个小于等于零的数，要使z
j J
的值最大，显然 j x j 只有为零。我们把这些xj取为非基 j J
变量(即令这些xj的值为零)，所求得的基本可行解就使目标 函数值最大为z0。
管理运筹学
11
§1 单纯形法的基本思路和原理
我们把确定出基变量的方法概括如下：把已确定的入基变量在各约束方 程中的正的系数除以其所在约束方程中的常数项的值，把其中最小比值所 在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵变 换中可以确保新得到的bj值都大于等于零。
奇异子矩阵（即可逆矩阵），：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。
非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量。
基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。
管理运筹学
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量
表示的目标函数为如下形式
第五章 单 纯 形 法
• §1 单纯形法的基本思路和原理 • §2 单纯形法的表格形式 • §3 求目标函数值最小的线性规划的问题的
单纯形表解法 • §4 几种特殊情况
管理运筹学
1
§1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优 解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此 点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的 解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
通过第二章例1的求解来介绍单纯形法:
目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1≤300，
2x1+x2+s2≤400， x2+s3≤250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
管理运筹学
2
§1 单纯形法的基本思路和原理
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
从最优解判别定理知道，当某个σ j＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σ j＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σ j最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ 2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
管理运筹学
5
管理运筹学
管理运筹学
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一
的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了
1 1 0 为A的一个基，令这个基的
B3 1 0 0
1 0 1
非基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
管理运筹学
4
§1 单纯形法的基本思路和原理
**对于求目标函数最小值的情况，只需把 j ≤0改为 ≥j0
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
x2+s1≤300， x2=400， x2+s3=250.
x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150 由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，
s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是 可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解 是否满足非负的条件。我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行 解，并把这样的基叫做可行基。
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系
数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变
量xi的检验数记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知