数学题3
数学趣味题(三)
第一种解法：
12 12 4 4 9 9 1 1 6
8 0 8 3 3 0 8 6 6
5 0 0 5 0 3 3 5 0
第二种解法：
12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6
8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6
其余的小动物听了小狗欢欢和小猴乐乐的话，一起去狐狸家帮助小兔要回亏了的10元
决定了泊松一生道路的数学趣题
泊松（Poisson S.-D,B.,1781.6.21~1840.4.25）是法国数学家，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。
据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：
通则：开局是奇数，先取者必胜；反之，若开局为偶数，则先取者会输。
规则四：限制每次所取的火柴数是1或4（一个奇数，一个偶数）。
分析：如前规则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取，则甲必胜。此外，若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5（若乙取1，甲则取4；若乙取4，则甲取1），最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便可取得最後一根而获胜。
? ? 进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾，电子计算机的普及和应用在数学领域中也大显身手，电子计算机绘制出的数学图谱更是广泛应用于工艺美术、建筑装饰和自然科学领域。数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今。
初中数学(初升高)中考全国真题题库3(含解析)
初中数学初升高（中考）全国真题题库3（含解析）一、选择题1．（2023·大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）A．20%B．25%C．75%D．80% 2．（2023·大庆）下列说法正确的是（ ）A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等D．一组数据的方差一定大于标准差3．（2023·大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）A．B．C．D．4．（2021·河池）如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）A．B．C．D．5．（2021·河池）下列各式中，与 2a2b 为同类项的是（ ）A．−2a2b B．−2ab C．2a b2D．2a2 6．（2021·河池）二次函数 y=a x2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A．对称轴是直线 x=12B．当−1<x<2 时， y<0C．a+c=b D．a+b>−c7．（2021·河池）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．8．（2020·攀枝花）下列式子中正确的是（ ）．A．a2−a3=a5B．(−a)−1=a C．(−3a)2=3a2D．a3+2a3=3a3 9．（2020·攀枝花）中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪.2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒名为2019−nCoV ．该病毒的直径在0.00000008米-0.000000012米，将0.000000012用科学记数法表示为 a×10n 的形式，则 n 为（ ）．A．-8B．-7C．7D．8 10．（2020·徐州）3的相反数是（ ）．A．-3B．3C．−13D．1311．（2020·攀枝花）若关于 x 的方程 x2−x−m=0 没有实数根，则m的值可以为（ ）．A．-1B．−14C．0D．112．（2020·攀枝花）下列说法中正确的是（ ）．A．0.09的平方根是0.3B．√16=±4C．0的立方根是0D．1的立方根是 ±1 13．（2020·攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2 的结果是（ ）．A．-2B．0C．-2a D．2b 14．（2020·攀枝花）如图，直径 AB=6 的半圆，绕B点顺时针旋转 30° ，此时点A到了点 A′ ，则图中阴影部分的面积是（ ）．A．π2B．3π4C．πD．3π二、填空题15．（2023·大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，¿展开的多项式中各项系数之和为 ．16．（2023·大庆）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．17．（2023·大庆）若关于x的不等式组{3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为 ．18．（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．19．（2023·大庆）已知(x−2)x+1=1，则x的值为 ．20．（2021·河池）分式方程3x−2=1 的解是 x=¿ .21．（2021·河池）在平面直角坐标系中，一次函数 y=2x 与反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象交于A(x1，y1) ， B(x2，y2) 两点，则 y1+y2 的值是 .22．（2020·攀枝花）因式分解：a－ab2＝ .23．（2020·攀枝花）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门反而合算．三、计算题24．（2021·河池）先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1) ，其中 x=2021.四、解答题25．（2023·大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球五、综合题26．（2023·大庆）如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：x⋯−101234⋯y⋯0−3−4−305⋯（1）求二次函数y=a x2+bx+c的表达式；（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=a x2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q 左边），R为二次函数y=a x2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+√2时，求tan∠RPQ的值；（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(a x2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．27．（2021·河池）如图，在 Rt△ABC 中， ∠A=90° ， AB=4 ， AC=3 ，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的 ⊙O交BC于点F.（1）当 AD=DF 时，求证：△CAD≅△CFD；（2）当 △CED 是等腰三角形且△DEB 是直角三角形时，求AD的长.28．（2021·河池）为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表.组别分数段人数A x<602B60≤x<755C75≤x<90aD x≥9012请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查属于 调查，样本容量是 ；（2）表中的 a=¿ ，样本数据的中位数位于 组；（3）补全条形统计图；（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？29．（2021·河池）如图， ∠CAD 是 △ABC 的外角.（1）尺规作图：作 ∠CAD 的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若 AE/¿BC ，求证：AB=AC.30．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 MN 的距离皆为 100cm ．王诗嬑观测到高度 90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 i=1:0.75 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为 150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 100cm ，则高圆柱的高度为多少cm？答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，则标价为（1+25％）m元，根据题意得（1+25％）m（1-x）≥m，解之：x≥20％，∴当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为20％.故答案为：A.【分析】设粽子的降价幅度为x，成本价为a元，根据当粽子降价出售时，为了不亏本，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的最小值即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、一个函数是正比例函数就一定是一次函数，故A不符合题意；B、有一组对角相等的四边形不是平行四边形，故B不符合题意；C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故C符合题意；D、一组数据的方差不一定大于标准差，故D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用一次函数不一定是正比例函数，可对A作出判断；利用平行四边形的判定定理可对B 作出判断；利用SAS可对C作出判断；利用一组数据的方差不一定大于标准差，可对D作出判断. 3．【答案】A【解析】【解答】解：从上往下看是一个矩形.故答案为：A.【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，根据几何体可得到是俯视图的选项.4．【答案】A【解析】【解答】解：主视图是由前向后看得到的物体的视图，由前向后看共3列，中间一列有3个小正方形，左右两列各一个小正方形.故从坐左边看只有1列，三行，每一行都只有一个小正方形，故答案为：A.【分析】左视图是由视线从左向右看在侧面所得的视图，从左边看只有1列，三行，每一行都只有一个小正方形，则可解答.5．【答案】A【解析】【解答】与 2a2b 是同类项的特点为含有字母a，b ，且对应 a 的指数为2， b 的指数为1，只有A选项符合；故答案为：A.【分析】字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项. 同类项的条件有两个：1、所含的字母相同；2、相同字母的指数也分别相同. 根据条件分别判断即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A、对称轴为：直线 x=−1+22=12 ，故答案为：A正确，不符合题意；B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，∴当-1<x<2时，y<0，故答案为：B正确，不符合题意；C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a +c=b，故答案为：C正确，不符合题意；D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0∴a+b<-c，故答案为：D错误，不符合题意；故答案为：D.【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标求对称轴方程判断A；在图象中找出x下方部分x的范围判断B；根据x=-1时，y=a-b+c=0，变形可判断C；根据当x=1时，y=a+b+c<0，变形可判断D.7．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；故答案为：B.【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合。
小升初数学复习题3 含答案
一．小数简便计算。
（1）45.24+19.8 (2) 69.47+30.01 (3) 81.48-10.2(4) 47.89-29.9 (5)14.58+8.62+1.38 (6)54.64-5.84-14.16(7)53.27-3.72+6.73 (8)53.25+(15.4-3.25) (9)28.26-5.31-(3.69-1.74)(10)52.64-4.46-(12.64+5.54)二．小数应用题。
1.小明的妈妈买了2千克苹果和3.5千克香蕉，1千克苹果3.2元，1千克香蕉比1千克苹果便宜8角。
小明的妈妈买香蕉和苹果一共用去多少元？2.六年级一班42名同学毕业合影留念，拍6寸合影可附送2张照片，费用为5.2元，如果需要加印，每张加收0.71元。
现在每人要一张照片，平均每人需付多少元？3.制造一个汽车附件，过去要用0.24吨钢材，改进工艺后，制造一个附件就节约了0.06吨钢材。
过去制造270个附件的钢材，现在可以制造多少个？4.环形公路长11千米，甲，乙两人同时从某地出发，沿公路骑自行车反向而行，0.2小时相遇，若他们同时从某地出发，同向而行，经过2.2小时后，甲追上乙。
甲，乙两人的速度各是多少？5.育才小学给三好学生发奖品，买回了甲，乙两种软抄本各25本，甲种每本2.4元，乙种每本比甲便宜0.5元。
学校买这两种软抄本一共用去了多少元？6.在一个停车场停车一次至少要交费0.5元。
如果停车超过1小时，每多停0.5小时多交0.5元（不足0.5小时按0.5小时计算）。
某司机在离开停车场时交了5.5元，那么他的车在该停车场最多停了几个小时？7.妈妈给强强5元去买一本故事书，又给了3元去买6本练习本。
买书时他发现买书的钱不够，就从买练习本的钱拿出一部分，这样剩下的钱刚好购买3本练习本。
强强买的这本故事书要多少元？8.工程队要铺一条长36千米的铁路，已经铺了48天，平均每天铺0.5千米。
剩下的要在20天内铺完，剩下的平均每天要铺多少千米？9.某市出租车起步价为5元（3千米以内），超过3千米的平均每千米1.5元。
数学竟赛(好题选)3(30道,含详细解答)
数学竟赛（好题选）3数学竟赛（好题选）3一．解答题（共30小题）1．求关于x的方程a（x+b）=2x+ab+b2的解．2．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x=1，它的解是．（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5=13（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．3．求11x+15y=7的整数解．4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分．问：小鸡至少被套中几次？5．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？6．用100元钱买三种笔100支，其中金笔10元一支，铱笔3元一支，圆珠笔0.5元二支，问他三种笔各买了几支？7．已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．（1）试用x，y，z这3个字母表示a；（不能出现字母b，c）（2）试说明：．8．爸爸给小东100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9为了使买到的花朵数最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．9．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？10．已知正实数a，b，c满足方程组，求a+b+c的值．11．设A是给定的正有理数．（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．12．已知﹣=+3，求整数a，b的值．13．如果自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值．14．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列）．求这5个数的值．15．设有四个数，其中三个数的和分别为17、21、25、30，求这四个数．16．妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 917．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．18．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．19．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．20．试求使为整数的正整数解．21．已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．22．如果f（x）=x2+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．23．k为什么整数时，方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数？（提示：对系数（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15．）24．设a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，则a+b+c的值是多少？25．已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．26．关于x的方程x2﹣（k+4）x+k2+4=0，其中k为整数．（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．27．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．28．以关于x的整系数方程x2+（t﹣4）x+t=0的最大整数根为直径作⊙O，M为⊙O外的一点，过M作⊙O的切线MA和割线MBC，A为切点，若MA，MB，MC都是整数，且MB，MC都不是合数，求MA，MB，MC的长度．29．设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y=x2+px+（k+1）p﹣4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．30．设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x﹣15）﹣25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．数学竟赛（好题选）3参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．求关于x的方程a（x+b）=2x+ab+b2的解．考点：含字母系数的一元一次方程．分析：先去括号，然后移项、合并同类项，化未知数系数为1．注意：未知数系数不为零．解答：解：由原方程，得（a﹣2）x=b2，∵该方程是关于x的方程，∴a﹣2≠0，∴x=．点评：本题考查了含字母系数的一元一次方程；注意：未知数的系数不为零．2．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为﹣3x=1，它的解是．（1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x﹣3|+5=13（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）当x﹣3≥0时，得出方程为2（x﹣3）+5=13，求出方程的解即可；当x﹣3＜0时，得出方程为2（3﹣x）+5=13，求出方程的解即可；（2）根据绝对值具有非负性得出|x﹣2|≥0，分别求出b+1＜0，b+1=0，b+1＞0的值，即可求出答案．解答：（1）解：当x﹣3≥0时，原方程可化为一元一次方程为2（x﹣3）+5=13，方程的解是x=7；②当x﹣3＜0时，原方程可化为一元一次方程为2（3﹣x）+5=13，方程的解是x=﹣1．（2）解：∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1=0，即b=﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号得到一元一次方程，根据a≥0时，|a|=a；a＜0时，|a|=﹣a，题目比较好，但有一定的难度．3．求11x+15y=7的整数解．考点：二元一次不定方程的整数解．分析：首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可．解答：解：方法1：将方程11x+15y=7变形得：x=，∵x是整数，∴7﹣15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=﹣1是这个方程的一组整数解，∴方程的解为：（t为整数）．方法2：先考察11x+15y=1，通过观察易得：11×（﹣4）+15×（3）=1，∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）=7，可取x0=﹣28，y0=21．∴方程的解为：（t为整数）．点评：此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分．问：小鸡至少被套中几次？考点：三元一次不定方程．专题：数字问题．分析：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次．然后根据题意，列出三元一次方程组；解方程组时，根据x、y、z都是整数来确定它们的取值．解答：解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次．根据题意，得，由①﹣②×2，消去z，得7x+3y=41，解得，y=，则x＜，从而x的值只能是1，2，3，4，5∴y==13﹣2x+，∵y是整数，∴2﹣x必须是3的倍数，∴x=2或5；（1）当x=2时，y=9，z=﹣1不是正整数，不合题意，舍去；（2）当x=5时，y=2，z=3．答：小鸡至少被套中5次．点评：本题考查了三元一次不定方程的解法．根据题意列出方程并讨论符合条件（x、y、z都是整数）的未知数的取值是解题的关键．5．房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？考点：三元一次不定方程．专题：数字问题．分析：每个凳子坐上人以后，有3+2=5条腿；每个椅子坐上人以后，有4+2=6条腿；设房间里有x人，y张凳子，z把椅子（x，y，z为自然数），由题意可知：2x+3y+4z=32，根据方程讨论符合题意的x、y的取值，即可确定其值．再根据凳子和椅子数确定人数．解答：解：设房间里有x人，y张凳子，z把椅子由题意得，∴32=2x+3y+4z＞5x+z＞5x，又∵x是整数，∴4≤x≤6；①当x=4时，y≤3，z≤3，∴2x+3y+4z＜32，与32=2x+3y+4z矛盾，故不符合题意，舍去；②当x=6时，32=2x+3y+4z＞5x+z=30+z，∴z＜2，∴z=1，∴y=，与y是整数相矛盾，故不符合题意，舍去；③当x=5时，y=2，z=4．答：房间里共有5人、有2条凳子、有4把椅子．点评：本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出方程并讨论符合条件的未知数的取值是解题的关键．6．用100元钱买三种笔100支，其中金笔10元一支，铱笔3元一支，圆珠笔0.5元二支，问他三种笔各买了几支？考点：三元一次不定方程．分析：首先设金笔x支，铱金笔y支，圆珠笔z支，然后根据题意列方程，又由x，y，z均为正整数，即可求得x，y，z的值．解答：解：设金笔x支，铱金笔y支，圆珠笔z支，由题意列式得：x+y+z=100 ①，10x+3y+0.5z=100 ②，②代入①得：9.5x+2.5y=50，化简得：19x+5y=100，∵x，y，z均为正整数，∴19x必须是5的倍数，x，y才可能均为正整数，∴x=5，y=1；∴z=100﹣x﹣y=94．∴x=5，y=1，z=94．答：他买金笔5支，铱金笔1支，圆珠笔94支．点评：此题考查了三元一次不定方程的应用．解题的关键是根据题意列方程，再根据题意解方程．7．已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0．（1）试用x，y，z这3个字母表示a；（不能出现字母b，c）（2）试说明：．考点：三元一次不定方程．专题：计算题．分析：（1）由x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，解方程组即可求得a的值；（2）由（1）可得：，同理求得：与的值，代入：，即可证得．解答：解：（1）解方程组：，（2）+（3）﹣（1）得：y+z﹣x=2ax，∴．（2）由（1）得：，同理可得，，，∴．点评：此题考查了三元一次方程组的求解方法以及比例式变形．此题难度适中，注意解题需细心．8．爸爸给小东100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9为了使买到的花朵数最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．考点：三元一次不定方程．分析：首先设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，然后根据题意列方程，又由4a，6b，100都是偶数，分析得到c为偶数，则可分别从（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵与（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵去分析，即可求得答案．解答：解：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，由题意得：4a+6b+9c=100，∵4a，6b，100都是偶数，∴c是偶数，各种花束的花朵数进行比较：（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵．∴买A种花3束不妨改买B种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2；（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶数，∴c=0；根据以上分析，得4a+6b=100，化简得2a+3b=50，若a=1，则b=16；若a=2，则b不是整数．∴这个方程符合条件的解只有1个．答：买A种花1束、B种花16束，这时花朵最多，达580朵．点评：此题考查了三元一次不定方程的应用．解题的关键是根据题意列方程，再根据题意解方程．注意分类讨论思想的应用．9．初三（8）班尚剩班费m（m为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册．某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元．问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，根据题意列出关于x、y的方程，再由x、y为整数即可求出x、y的可能值．解答：解：设该班有x名同学，每本相册的零售价是y元，则xy=（x+12）（y﹣2）①，且整数x满足38＜x＜50②，由①得12y﹣2x﹣24=0，y=+2，xy=+2x③，由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②得x只可能为42或48，此时相应的y为9或10，但m＜400，所以x=42，y=9．故答案为：该班有42名同学，每本相册的零售价是9元．点评：本题考查的是非一次不定方程，解答此类问题的关键是根据题意列出方程，再由x、y均为正整数的条件求解．10．已知正实数a，b，c满足方程组，求a+b+c的值．考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：先把三式相加，再把所得代数式化为两个因式积的形式，由a，b，c为正实数即可求出答案．解答：解：把三式相加得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac+a+b+c=12，即（a+b+c）2+（a+b+c）=12，∴（a+b+c﹣3）（a+b+c+4）=0，∵a，b，c为正实数，∴a+b+c=3．故答案为：3．点评：本题考查的是解非一次不定方程，解答此题时要注意完全平方公式的运用，不要盲目求解．11．设A是给定的正有理数．（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．考点：非一次不定方程（组）；三角形的面积；直角三角形的性质．专题：计算题．分析：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，由若a=b，求得=，可知a≠b；所以设a＜b，x=，y=，z=即可证得结论；（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，代入检验即可证得结论．解答：解：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，若a=b，则2a2=c2，=，这与a，c都是有理数的假定矛盾，故a≠b．不妨设a＜b，取x=，y=，z=，则x，y，z都是有理数，且x2﹣y2==ab=A，y2﹣z2==ab=A．（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，则a，b，c都是有理数，且a2+b2=2（x2+z2）=4y2=c2，ab=（x2﹣z2）=[（x2﹣y2）+（y2﹣z2）]=A．即存在一个三边长a，b，c都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．点评：此题考查了有理数知识与完全平方式的应用．题目难度较大，注意构造符合要求的有理数是解题的关键．12．已知﹣=+3，求整数a，b的值．考点：非一次不定方程（组）．专题：探究型．分析：先把原式化为（1+3a）（1+3b）=16的形式，再用a表示出b，根据a、b均为整数，即可求出a、b的对应值．解答：解：∵原式可化为：（1+3a）（1+3b）=16，∴b=，∴有以下三种情况：当a=1时，b=1；当a=﹣3时，b=﹣1；当a=﹣1时，b=﹣3．点评：本题考查的是解非一次不定方程，能根据题意把b用a表示出来是解答此题的关键．13．如果自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值．考点：非一次不定方程（组）．专题：计算题．分析：根据题意可知：x1，x2，x3，x4，x5都是正整数，所以可设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5，再分别从除了x5其他全是1，至少有2个数大于等于2，至少有3个数大于等于2，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵自然数x i满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，∴x1，x2，x3，x4，x5都是正整数，不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5，若除了x5其他全是1，∴4+x5=x5，∴不可；∴至少有2个数大于等于2，若只有2个数大于等于2，则3+x4+x5=x4x5，即（x4﹣1）（x5﹣1）=4，∴x5=5，x4=2（舍去）或x5=3，x4=3，∴至少有3个数大于等于2，若3个数大于等于2中有2个等于2，则1+1+2+2+x5=4x5，∴x5=2，∴不可；∴至少有3个数大于等于2，3个数大于等于2中只有1个等于2，那么至少还有一个大于等于3，若x5≥6，∴x1x2x3x4x5≥1×1×2×3×6≥36，∴x1+x2+x3+x4+x5≤5×6=30，矛盾，∴x5≤5，其次x1=1，x2=1，x3=1，x4=2，x5=5，成立．∴x5的最大值为5．点评：此题考查了自然数的应用．解题的关键是利用分类讨论思想求解．14．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列）．求这5个数的值．考点：多元一次方程组．专题：计算题．分析：根据题意，设这五个数是a≤b≤c≤d≤e，将和数从小到大重新排列为2、3、4、4、5、5、6、6、7、8．然后根据题意列出关于a、b、c、d、e的五元一次方程组；再来解方程组，解方程组时，先解出整体a+b+c+d+e 的值，然后将方程组的等式代入a+b+c+d+e=12.5中分别解答a、b、c、d、e的值．解答：解：设这五个数是a≤b≤c≤d≤e，将和数从小到大重新排列为2、3、4、4、5、5、6、6、7、8．这样a+b是最小的和，a+c是次小的和，∴a+b=2，a+c=3；同理，d+e是最大的和，c+e是次大的和，∴c+e=7，d+e=8；∴；由①+②+③+④，得a+b+c+d+e=（2+3+4+4+5+6+6+7+8），即a+b+c+d+e=12.5，⑤将①③代入⑤，得d=3.5；⑥将⑥代入④，解得e=4.5；⑦将⑦代入③，解得c=2.5，将其代入②，解得，a=0.5；将其代入①，解得b=1.5．综合上述，这五个数分别是：0.5、1.5、2.5、3.5、4.5．点评：本题考查了多元一次方程组的解法．解答时，通过整体叠加，先求出a+b+c+d+e值，然后再通过“加减消元法”解方程组．这种思维定向，整体考虑可优化解题过程、提高解题速度．15．设有四个数，其中三个数的和分别为17、21、25、30，求这四个数．考点：多元一次方程组．专题：计算题．分析：设4个数分别为a，b，c，d．然后根据题意列出关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组即可．解答：解：设4个数分别为a，b，c，d．则，①+②+③+④，得3（a+b+c+d）=108，即a+b+c+d=36，⑤将①代入⑤，解得，d=15；将②代入⑤，解得，c=8；将③代入⑤，解得，b=7；将④代入⑤，解得，a=6；故这四个数分别是：6、7、8、15．点评：本题考查了四元一次方程组的解法．解答时，先采用整体叠加，计算出整体a+b+c+d=36，然后将方程组中的每一个等式代入其中，即可解出原方程组的解．这种思维定向、整体考虑可优化解题过程、提高解题速度．16．妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如下：为了使买到的花最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束．规格 A B C每束花朵数20 35 50价格（元/束） 4 6 9考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：应用题；分类讨论．分析：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，然后根据题意列出代数式4a+6b+9c=100，再根据4a，6b，100的奇偶性来判断c的奇偶性；最后，对各种花束的花朵数进行比较并作出判断与选择．解答：解：设买A，B，C三种花分别为a，b，c束，则4a+6b+9c=100．因为4a，6b，100都是偶数，所以c是偶数，各种花束的花朵数进行比较：（1）用12元钱可买A种花3束，共60朵；可买B种花2束，共70朵．因此买A种花3束不妨改买B种花，可见买A种花不能多于2束，a≤2；（2）用18元钱可买B种花3束，共105朵；可买C种花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶数，所以c=0；根据以上分析，得4a+6b=100，化简得2a+3b=50．若a=1，则b=16；若a=2，则b不是整数．这个方程符合条件的解只有1个．答：买A种花1束、B种花16束，这时花朵最多，达580朵．点评：本题主要考查了关于一元二次方程的一道应用题，在解答一元二次方程时，要根据实际情况来确定方程的整数解．17．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．解答：解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；（2）当r≠0时，x1+x2=，x1x2=；消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1=7，即（2x1﹣1）（2x2﹣1）=7，∵7=1×7=（﹣1）×（﹣7），∴①，解得，∴1×4=，解得r=；②，解得；同理得：r=，③，解得，r=1，④，解得，r=1．∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根的r值是﹣或1．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．18．已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根；根的判别式；根与系数的关系．分析：根据二次方程根与判别式的关系，可得△≥0；又由关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，可得为整数，即2m+1是一个完全平方数，根据条件12＜m＜40，讨论即可求得m的值．解答：解：∵△=[﹣2（2m﹣3）]2﹣4（4m2﹣14m+8）=8m+4，∵关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个根，∴8m+4≥0，∵关于未知数x的方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根∴=2是整数，又∵12＜m＜40，∴5＜＜9，∵方程有两个整数根必须使为正整数，且m为整数，∴，∴m=24．点评：此题考查了一元二次方程中根与判别式的关系．解题的关键是注意抓住已知条件，利用分类讨论思想求解．19．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题；分类讨论．分析：此题求a，可以首先将x看作已知数，利用一元一次方程的求解方法求得a的值（用含有x的式子表示），然后利用a的取值要求可求得a的值．解答：解：把原方程改为关于a的一次方程（x+2）2a=2x+7（x≠﹣2），解得，a=，∵a≥1，∴≥0，解得：﹣3≤x≤1，∴x=﹣3，﹣1，0，1，把x=﹣3，﹣1，0，1分别代入，得a=﹣1，a=5，a=，a=1．∵a是正整数，∴当a=1或a=5时，方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7=0至少有一个整数解．点评：此题考查了学生对一元一次方程的求解．解题的关键是抓住a的取值要求，根据要求分析求解即可，注意分类讨论思想的应用．20．试求使为整数的正整数解．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：常规题型．分析：若，只要不为有理数即可．解题时还要注意分类讨论．解答：解：设为有理数，但皆不为有理数．因则唯一有理数，矛盾．故，令y+z=2006k12，z+x=2006k22，x+y=2006k32，为正整数，则或2或3．当=3时，可得k1=1，k2=1，k3=1，即可得：x=y=z=1003；当=2时，可得k1=2，k2=2，k3=1或k1=2，k2=1，k3=2或k1=1，k2=2，k3=2，即可得：x=1003，y=1003，z=7021或x=1003，y=7021，z=1003或x=7021，y=1003，z=1003；当=1时，可得k1=3，k2=3，k3=3或k1=4，k2=4，k3=2或k1=4，k2=2，k3=4或k1=2，k2=4，k3=4，即可得：x=y=z=9027或x=y=4012，z=28084或x=z=4012，y=28084或y=z=4012，x=28084．故共有8组解．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，在解答此题的关键是理解“若，只要不为有理数即可”．21．已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根；因式分解的应用；一元二次方程的解；根的判别式．专题：计算题．分析：先将原方程的左边分解因式，然后根据“两个数的乘积是0，其中最少有一个因式是0的”原则来分析；最后由二次方程的根的判别式及整数的奇偶性来解答．解答：解：将方程的左边分解因式，得（x﹣1）【x2+（a+18）x+56】=0，观察易知，方程有一个整数根x1=1，∵a是正整数，∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以或或解得或或而a是正整数，所以只可能或当a=39时，方程（1）即x2+57x+56=0，它的两根分别为﹣1和﹣56．此时原方程的三个根为1，﹣1和﹣56．当a=12时，方程（1）即x2+30x+56=0，它的两根分别为﹣2和﹣28．此时原方程的三个根为1，﹣2和﹣28点评：本题综合考查了一元二次方程的整数根与有理根、因式分解的应用、一元二次方程的解与根的判别式等知识点，是难度比较大的一道题，在解题时，要分类讨论，勿漏解．22．如果f（x）=x2+x，证明方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：首先根据已知得到：4a2+4a=b2+b，然后分别将方程左右两边配方，即可知有一个为正整数时，另一个为无理数，则问题得证．解答：解：∵f（x）=x2+x，又∵4f（a）=f（b），∴4（a2+a）=b2+b，∴4a2+4a=b2+b，∴（2a+1）2=b2+b+1，∴2a+1=±，若b是正整数，∵b2+b+1不是完全平方式，∴是无理数，同理：b+=±，若a是正整数，∵4a2+4a+不是完全平方数，∴是无理数，∴方程4f（a）=f（b）无正整数解a，b．点评：此题考查了一元二次方程的整数根与无理根的知识．解题的关键是配方知识的应用．23．k为什么整数时，方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数？（提示：对系数（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，得k值为3，6，7，9，15．）考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：此题首先需要从（6﹣k）（9﹣k）分为0与不为0讨论，（6﹣k）（9﹣k）为0时，是一元一次方程，根据题意分析可得k的值；再根据（6﹣k）（9﹣k）不为0时，符合一元二次方程的求解方法，分析求解即可．解答：解：如果（6﹣k）（9﹣k）=0，原方程变形为：﹣（117﹣15k）x+54=0，解得：x=，∵方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解是整数，∴k=6或k=7；如果（6﹣k）（9﹣k）≠0，可得：△=[﹣（117﹣15k）]2﹣4×（6﹣k）（9﹣k）×54=9（k﹣15）2；∴x=，可得：x=﹣或x=﹣，∵方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解是整数，∴可得k为3，7，15；∴k值为3，6，7，9，15．点评：此题比较难，易漏答案．注意从系数入手，分为一元一次方程与一元二次方程两种情况，是比较典型的分类讨论的题目，小心不要漏解．24．设a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，则a+b+c的值是多少？考点：一元二次方程的整数根与有理根．分析：因为a•b2•c3=540是积的形式，所以首先可将540分解质因数；再利用分类讨论的方法即可求得．注意此题易得a=5，b=2，c=3，不过要注意c取1的情况，小心不要漏解．解答：解：∵a、b、c是互不相等的自然数，a•b2•c3=540，又∵540=2×2×3×3×3×5，∴可能为：a=5，b=2，c=3，可得a+b+c=10；也可能为：c=1，b=2，a=135，可得a+b+c=138；也可能为：c=1，b=3，a=60，可得a+b+c=64．∴a+b+c的值是：10或138或64．点评：解此题要注意a•b2•c3=540是积的形式，找到将540分解质因数的方法求解是关键．还要注意分析问题要全面，不要漏解．25．已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，根据x1x2＞0，x1′x2′＞0知道x1与x2同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；（2）分别证明b﹣1≤c和c≤b+1，利用根与系数的关系和整数根；（3）根据（2）中b﹣1≤c≤b+1，分别另c=b+1、b、b﹣1进行求解，从而得到所有正确的结果．解答：解：（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，这时﹣b=x1+x2＞0，所以b＜0，此时与b=x1′x2′＞0矛盾，所以x1＜0，x2＜0．同理可证x1′＜0，x2′＜0．（2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤﹣1，x2≤﹣1．由韦达定理c﹣（b﹣1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，所以c≥b﹣1．同理有b﹣（c﹣1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0所以c≤b+1，所以b﹣1≤c≤b+1．（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：（i）c=b+1．由韦达定理知x1x2=﹣（x1+x2）+1，所以（x1+1）（x2+1）=2，所以或解得x1+x2=﹣5，x1x2=6，所以b=5，c=6．（ii）c=b．由韦达定理知x1x2=﹣（x1+x2），所以（x1+1）（x2+1）=1，所以x1=x2=﹣2，从而b=4，c=4．（iii）c=b﹣1．由韦达定理知﹣（x1′+x2′）=x1′x2′﹣1所以（x1′+1）（x2′+1）=2，解得x1′+x2′=﹣5，x1′x2′=6，所以b=6，c=5．综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．26．关于x的方程x2﹣（k+4）x+k2+4=0，其中k为整数．（1）判断是否为该方程的一个根？如果不是，请说明理由；如果是，求出整数k的值并求出该方程的另一个根；（2）如果该方程两个不相等的根均为整数，求整数k的值并求出相应的整数根．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题．分析：（1）首先假设+4是方程的根，则将其代入方程，整理可得关于k的一元二次方程，通过判别式可确定k无实数根，又由k为整数，推得矛盾，所以+4不是该方程的根；（2）首先由求根公式求得x的值，又由方程两个不相等的根均为整数，可得△是平方数，设△=m2，分析求解可知：m2=0，1，4，再依次分析即可求得答案．解答：解：（1）如果+4是该方程的一个根，那么（+4）2﹣（k+4）（+4）+k2+4=0，整理得：k2﹣（+4）k+9+4=0，∴△=（+4）2﹣4×（9+4）=﹣15﹣8＜0，∴+4不是该方程的根．（2）由求根公式得：，∵方程两个不相等的根均为整数，∴8k﹣3k2应该是完全平方数，设8k﹣3k2=m2（m是整数），∴3k2﹣8k+m2=0，∴△=64﹣12m2≥0，即，∴m2=0，1，4，如果m2=0，那么8k﹣3k2=0，得到k=0，原方程有两个相等的根；如果m2=1，那么8k﹣3k2=1，经计算此时k不是整数；如果m2=4，那么8k﹣3k2=4，∵k是整数，∴得到k=2，此时愿方程化为x2﹣6x+8=0，两根分别为2，4；∴当k=2时，原方程有两个不相等的整数根，分别为2，4．点评：此题考查了根与方程的关系，一元二次方程的判别式与求根公式的应用等知识．注意分类讨论思想与反证法的应用是解此题的关键．27．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理．专题：应用题；分类讨论．分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
大学数学习题三答案
习题三1． 确定下列函数的单调区间： (1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5) e (0,0)n xy x n n -=>≥； 解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n xn x x n y nxx x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈， 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加. 故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞. 2. 证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x -++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos x f x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+3. 试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()c o s 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4. 求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) ln(1)y x x =-+； 解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x = 解: 1y '=,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)y =；解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =； 解: e (cos sin )x y x x '=-, 令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±± . 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()2k k y x +++=-.(10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )xx xy x x x x x -''==,令0y '=，得驻点e x =.当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e(e)e y =. (11) 2e exxy -=+；解: 2e e x xy -'=-,令0y '=，得驻点ln 22x =-. ln 222e e ,0x x x y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=(12) 232(1)y x =--； 解: y '=，无驻点. y 的定义域为(,)-∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y '<，当x <1时， 0y '>，故有极大值为(1)2y =.(13) 1332(1)y x =-+； 解: y '=无驻点.y 在1x =-处不可导，但y '恒小于0，故y 无极值.(14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点.5. 试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值. 证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(cos cos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞； 解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) ()[5,1]f x x x =∈-；解：10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545. 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 8. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,b b y y a a ⎛⎫==⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9.求数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大的项.解：令1000y x =+,y '=== 令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为10002000a =.10. 已知a >0，试证：11()11f x x x a=+++-的最大值为21a a ++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a ⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2ax =，且422a f a⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++. 11. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.h =时，其体积为最大. 12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =. 13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<'=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 14. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a时方盒容积最大. 15. 判定下列曲线的凹凸性：(1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2) y =sinh x ；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x =+> ；解：23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4) y =x arctan x . 解：2arctan 1x y x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =. 当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) y =x e －x；解：(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=-令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.(4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).17. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭;证明：令 ()n f x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭.2e e (2)e ()2x yx y x y ++>≠ ;证明：令f (x )=ex()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y ++<.(3) ln ln ()ln(0,0,)2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.18. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a aθθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d yx=，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>ππ33θ-<<时，22d 0d yx >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d yx<,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,32a ⎛⎫ ⎪⎝⎭及3,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，y ''=令0y ''=，得1,22x x x =-==当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈-时0y ''>；当(2x ∈时0y ''<；当(2)x ∈+∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，11(2)44---. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.20. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=. 21. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22. 试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ， 只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k，法线方程为18y x k=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k=±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故k ==. 23. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果00()0,()0f x f x '''==，而0()0f x '''≠，试问x =x 0是否为极值点?为什么？又00(,())x f x 是否为拐点？为什么？答：因00()()0f x f x '''==，且0()0f x '''≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη''''''''''=+-=-，故()f x ''在0x 左侧与0()f x '''异号，在0x 右侧与0()f x '''同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24. 作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x =+； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，当→∞时，→0，故=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,⎛ ⎝(0，0)， 4⎭，作图如上所示.(2) f (x )=x －2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y ′=0，可得x =±1， 令y ″=0，可得x =0. 列表讨论如下：又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim [()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) ()1x f x x=+；解：函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x xy x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加； 当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少； 当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少； 当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=， 且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦， 故曲线另有一斜渐近线y =x －1.综上所述，曲线图形为：(4)2(1)e x y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1.令0y ''=，得1x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加； 当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当(,1[1)x ∈-∞++∞ 时，0y ''>，曲线是凹的；当[1x ∈-时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1),(1)22A B ---+， 又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族,,,,01e cxAy x A B C B -=-∞<<+∞>+建立了动物的生长模型.(1) 画出B =1时的曲线()1ecxAg x -=+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x --'=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++ 当x >0时，()0,()g x g x ''<在(0，+∞)内是凸的. 当x <0时，()0,()g x g x ''>在(－∞，0)内是凹的. 当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2) 计算g (－x )+g (x )，并说明该和的意义；解：()()1e 1ecx cxA Ag x g x A --+=+=++. (3) 证明：曲线1e cxAy B -=+是对g (x )的图像所作的平移.证明：∵()1e 1e e c x T cx cTA Ay B B -+--==++取e1cTB -=，得ln BT c=即曲线1e cxA yB -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln BT c=个单位的平移. 26. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r tA A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅= 28. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t ty y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=29. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 30. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min －1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h 时，横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V h h t t=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt-=⋅. 故有d 320.5d ht=⋅，得d d h t =3·min －1). 31. 某人走过一桥的速度为4km ·h －1，同时一船在此人底下以8 km ·h－1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈ (km ·h －1)32. 一动点沿抛物线y =x 2运动，它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s －1，求动点在点(2，4)时，沿y 轴的分速度. 解： d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅= 当x =2时，d 6212d yt=⨯= (cm ·s －1). 33. 设一路灯高4 m ，一人高53m ，若人以56 m ·min －1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则 53456yy t=+化简得 d 7280,40,40d yy t y t t===(m ·min －1). 即人影的长度的增长率为常值.34. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/2 2.(1)y k y ''=='+35. 计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率.解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+36. 计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率.解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+37. 求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径.解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y xk x y x ''==='++1sec R x k ==.38. 求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t tt t x x a t t t===--，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t t t--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t ==+-且当t =t 0时， 023sin 2k a t =. 39. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+ 令0k '=，得π2x =为唯一驻点. 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<. 所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==. 40. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,1 1.x x x x y x y x ===='==''=-=- 故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y -++=.41. 一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s －1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ， 23/2(1)5000y R y '+==''飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅=== (牛顿) 故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).42. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=- 令()0L q '=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43. 设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出：C (q )=0.01q 3－0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？解：(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =-+-=-+-'=-+- 令()0L q '=，得 231206000q q -+=即 2402000q q -+=得20q =-舍去) 2034.q =+≈此时， 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格，且应提高5元.44. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0)解：y ′=a 即为边际函数.弹性为：1Ey ax a x Ex ax b ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y a ax b γ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx弹性为： 1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bx ab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为： 11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax a x xγ-== 45. 设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？ 解：因弹性的经济意义为：当自变量x 变动1%，则其函数值将变动%Ey Ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46. 国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。
数学3 考研经济应用题(导数和微分在经济学中的简单运用)
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
数学竞赛试题3
ED CB A PCB AMF E DCB A实验班数学竞赛试题4（2012年5月9）一、填空题：（每题4分）1、 在直角平面坐标系2，已知点P （a,b ）（a b ≠）,设点P 关于直线y=x 的对称点为Q ，点P 关于原点的对称点为R ，则△PQR 的形状是 2、 方程1x y xy ++=的整数解的组数为3、 设a 、b 、c 是三角形三边长，且222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形形状有以下说法：①是等腰三角形，②是等边三角形，③是锐角三角形，④是直角三角形，其中正确的说法的个数为4、 关于x 的不等式组13222x x x x a+⎧>-⎪⎨⎪+<+⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是5、 在高速公路上，从3千米开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是6、 如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ,∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC,连接AE,则∠DBC 的度数为7、 若a 、b 满足26a b +=，设s a b =-，则S 的取值范围是 8、 若22221,1,1a b c d ad bc +=+=-=-，则ab+cd=9、 等腰直角△ABC 中，AC=BC=2,D 是斜边的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE ⊥DF,设x=DE+DF,则x 的取值范围是10.如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连接MF,则MF 的长为11.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，P 是BC 边上点B 、C 外的任意一点，则2AP PB PC +∙=12、在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，且AB=13，CD=8，AD=12，那么点A 到BC 的距离是 。
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∙台湾通行证
∙身份证
∙户口本
1. 行李
寄舱行李每人限寄一件，以20kg(44磅)为限；手提行李每人限带一件，体积以不超过14×22×9英吋为准。
2. 海关
所有国际性的违禁品皆列为严禁品之列，新鲜蔬果、腌渍之鱼、肉类禁止带入。
免税品包括
洋酒一瓶、香烟一条、香水少量、自用品适量。
3. 货币、消费
货币单位是新台币，种类有：2000、1000、500、200、100元五种纸币；50、20、10、5、1
元五种硬币。
人民币、港币及美元在市面上无法通用，仅能兑换新台币使用(人民币尚无法兑
换)。
如须兑换新台币可在机场内银行柜台、市区银行或住宿饭店柜台兑换。
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汇率：港币换率约 1HK / 4NT、人民币换率约 1RMB / 4NT、美元约 1US / 32NT，惟汇率每
日浮动不定，须依当日公告。
4. 入境旅客携入货币规定
新台币：入境旅客携带入境，以新台币六万元为限。
美金：入境旅客携带外币入境不予限制，
但超过等值美金一万元者，应于入境时向海关申报；入境时未经申报，其超过部分应予没入。
人民币：入境旅客携带人民币逾二万元者，应于入境时自动向海关申报；超过部分，自行封
存于海关，出境时准予携出。
大部份的信用卡是可使用的，在多数银行、国际观光饭店，旅
行支票也可兑现。
5. 交通工具
机场到台北：目前行驶桃园机场之客运巴士计有6家：分别是台汽公司、建明客运、大有巴
士、长航通运、统联公司及桃园客运公司。
每日皆有固定班次往返于桃园机场与台北市区及
全台各大城市。
单程票价新台币110至120元之间，车程约60分钟。
台湾车辆与中国大陆一
样是靠右行驶，以机车为交通工具的民众甚多，故过马路须小心左右来车和遵守交通规则。
在公共汽车、地铁及游览车内严禁吸烟，并须保持车厢内整洁。
出租车：全台各地统一，车
身均为黄色。
台北市起跳价新台币70元(1.5公里)每行驶超过350公尺加收5元，服务质量
颇高。
捷运系统(地铁)：台北市的捷运系统主要连接台北市周遭的卫星城市。
由于多地震，
故捷运多为地上工程。
目前已开通木栅线、淡水线、板桥、南势角、新店线，是目前台北市最便捷的大众运输交通工具。
6. 国际电话
公用电话或酒店电话均可直拨002接国际台。
若想要相关数据，可打电话到电信局查询，电话是：02-23212535。
打回大陆请拨拨002+86+城市码(如北京为10)+对方电话号码，若仍有任何疑问可以拨免付费电话：0800-080-100。
以深圳为例：002+86+755+12345678有办理国际漫游的手提式电话，可在台湾使用。
7. 饭店设备
一般旅馆之设备齐全，浴室内如毛巾、牙膏、牙刷、香皂、吹风机一应俱全，旅客对室内用品，如：毛巾、烟灰盅等物品，感觉有纪念价值，可直接向旅馆洽购；冰箱内之饮料、食品如有取用，在退房时需向柜台结帐。
部份旅馆设有收费频道，如有观赏亦应在退房时一并付费结帐。
8. 税及小费
台湾的货品税通常已包含在定价当中，不须另外再加。
购物后，商家多会给予统一发票，以为凭证。
在台湾并没有给小费的习惯，但在旅馆、餐厅消费，大都会收取10%的服务费，其它则没有硬性规定，不过当您接受到良好服务时，如果您愿意给服务人员一些小费，相信他们会非常高兴。
9. 语言
以普通话为主，闽南话亦颇普遍，部份地区亦用客家话。
10. 天气
台湾天气大致与香港相若，南部则较热，高山则较凉，雨伞应自行备用。
平地冬天最冷约6度，夏天最热约38度，夏季偶有台风，高山东季会下雪(5-6月平均25度，7-8月平均30度) 11. 服装
衣服以轻便为主，但冬季北部会下毛毛雨，多需雨衣。
阿里山上气温较低，需备外套。
台北、台东等多处地方均有温泉，可备泳衣。
12. 电压
台湾电压为110伏特，周波60，交流电，插座为扁头二脚式，部份旅馆有220伏特设备，惟旅客应自备转换插头及转压器备用。
13. 水质
水龙头的水不能生喝，需经煮沸过。
14. 餐饮
团体均在指定之餐厅内用餐，大部份餐厅均禁止吸烟；早餐则在住宿酒店内用餐，如果是自助式，恳请适量取用，切勿浪费；用餐如需饮料如啤酒、汽水等，使用由餐厅提供的，请自行付费；自备酒水类，餐厅、酒店可能会收取开瓶费或服务费。
15. 治安
台湾的治安相当良好，但贵重物品及个人证件，仍建议自行妥善保管，在公共场所应提高警觉，以防扒窃。
16. 邮寄服务
所有邮局都提供邮寄用品与服务，邮筒为红色与绿色。
红色为限时专送及航空邮件，绿色为平信。
17. 观光团体
依台湾有关规定，所有观光游客均不得私自脱队行动。
18. 土产
台湾各地区均有不同的特产，质量优异，可适量采购纪念，如猫眼石、珍珠、茶叶、灵芝、玉辟邪、牛肉干、凤梨酥等。
另外服饰、化妆品亦较香港便宜。