陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法在解题中的应用拓展资料素材 北师大版选修12
分析法在解题中的应用好多数学问题，条件和结论之间的关系比较复杂，根据既定法则和事实条件，由因导果，一直推究下去，有时会在中途迷失方向，使解题无法进行下去．在这种情况下，可以运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果．一、分析法寻找解题思路解题如果仅局限于由条件到结论的固定思维模式，很容易造成思维过程的单向定势，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯．例１ 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．解析：要证明直线AC 经过原点O ，只要证明原点O 在直线AC 上，也即直线AC 的方程没有常数项．抛物线22(0)y px p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，经过点F 的直线AB 方程可以设为2p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．令22121222y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 则12y y ，是上述方程的两个根，由根与系数的关系，得212y y p =-．∵BC x ∥轴，且点C 在准线2p x =-上， ∴点C 坐标是22p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 从而直线AC 的方程为22112222px y y y p y y p +-=-+，整理，得120px y y -=．显然(00)O ，满足上述方程，故直线AC 经过原点O ．评注：由繁向简的解题习惯促使此类问题用分析法逆推寻找解题思路．二、分析法明确解题途径在已知与结论之间有时需要用分析去衔接，此时，分析过程显得十分的重要．例2 已知(12)i a i n =，，…，都是正数，求证：12n a a a n +++…． 解析：从结论结构出发，寻找条件与结论之间需要的通道：由于(12)i a i n =，，…，均为正数，可将待证结论两边平方，得22221212n n a a a a a a n n ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭……≤． 两边乘以4，得2222121222()4()0n n n a a a a a a n n ⎡⎤+++-+++⎢⎥⎣⎦……≤． 设122()n a a a b n +++=…，22212n a a a a +++=…，2n c n=，则上式正是24b ac ∆=-的形式，由于222120n a a a a =+++>…， 因此可以作出不等式2222121222()()0n n n a a a x a a a x n n++++++++……≥ ①， 其中x ∈R ． 上述不等式又可化为222121110n a x a x a x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…≥， 故不等式①对x ∈R 恒成立．所以，有240b ac ∆=-≤，这就找到了证明不等式的途径，即从222121110n a x a x a x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…≥开始，用顺推的方法证明之．。
高中数第三章推理与证明1.1归纳推理课件北师大版选修12
∵对一切的n∈N＋,an>0,∴a2＝3. 同理可求得a3＝5,a4＝7,猜想出an＝2n－1(n∈N＋).
题型二 几何中的归纳推理
例2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)是由这 样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去, 那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )
解析 观察式子的结构可知：如果不等式的左边是 n 项的和 (n≥2),则不等式左端就为 1＋212＋312＋…＋n12,而右端分母正好是 n,分子是 2n－1,因此可以猜想,n≥2 时,满足的不等式为 1＋212＋ 312＋…＋n12＜2nn－1.
∴第 n 个不等式为：1＋212＋312＋…＋n＋112＜2nn＋＋11.
思考 什么情况下可以进行归纳推理？ 答 若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行 归纳，进而推广到一般情形.
知识点二 归纳推理的特征
归纳推理是由 部分到 ,由整体 到个的别推理. 一般
知识点三 归纳推理结论真假
利用归纳推理得出的结论. 不一定是正确的
知识点四 思维过程流程图
实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论
解析 图(1)是1个小正方体木块, 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块, 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块, 按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个叠放 的图形中小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91. 故选C. 答案 C
反思与感悟 由一组平面或空间图形,归纳猜想其数量的 变化规律,也是高考的热点问题.这类问题颇有智力趣题的 味道,可以激励学生仔细观察,从不同的角度探索规律.解决 这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2) 图形的结构变化规律.
北师大版数学第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 教学案 选修1-2
高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 教学案 选修1-2一、情景创设1.西汉时期的马王堆女尸,距今已将近2200年，是根据同位素的半衰期的推测的。
2.哥德巴赫，德国数学家。
1742年6月7日，他在写给著名数学家欧拉的一封信中， 提出了两个大胆的猜想：（1）任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和：（2）任何不小于9的奇数，都是3个奇质数之和.这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”.（3）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海归是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海归、蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的.（4）教师从口袋里第一次拿出一块糖，第二次又拿出一块糖，第三次又拿出一块糖，第四次…….二、建构数学归纳推理:归纳推理的一般模式：三、数学应用例1.三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，请猜想：凸n 边形的内角和是练习.⋅⋅⋅++<++<++<,333232,232232,131232由此我们猜想：<a b =-+⋅⋅⋅+++=+++=++=+=)12(53147531353123112.12222n ，猜想，，，例 并证明你的结论.练习.数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系为 .四、小结归纳推理的几个特点：归纳推理的一般步骤：五、课堂检测1.观察直线上的几个点，发现两个点可以确定1条线段，三个点可以确定3条线段，四个点可以确定6条线段，五个点可以确定10条线段，由此可以归纳出什么规律？2.观察下列数的特点:1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是 .3.依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下去，第8个等式为 .六、课后作业书本P 29 2,3,5高中数学教学案第二章 推理与证明第2课时 类比推理一、情景创设1.据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子. 他的思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们功能上是类似的.因此，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.利用平面几何的本定理类比得到立体几何中的基本定理.二、建构数学类比推理：类比推理的一般模式：三．应用数学例1.（1）试根据等式的性质猜想不等式的性质.（2）类比实数中的加法与乘法，他们有哪些类似的性质？练习.试将平面上的圆与空间中的球进行类比。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 走进高考中的“合情推理”拓展资料素材 北师大版选修1-2
走进高考中的“合情推理”法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．惟有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题，考查学生的合情推理能力．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1 （高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)f =________；()f n = _________（答案用n 表示）．解析：(1)1f =，观察上图可知(2)4f =，(3)10f =，(4)20f =，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是(1)2n n +，所以(1)()(1)2n n f n f n +=-+， 所以有2(21)(2)(1)2f f ⨯+-=，3(31)(3)(2)2f f ⨯+-=， 4(41)(4)(3)2f f ⨯+-=，…，(1)()(1)2n n f n f n +--=． 以上各式相加，得2222223344()(1)2n n f n f ++++++++=+… 22222(1234)(1234)2n n +++++++++++=……(1)(21)(1)(1)(2)6226n n n n n n n n ++++++==． 所以应该填：10；(1)(2)6n n n ++． 点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求()f n 的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本知识中的思想或方法来设计题目．2．分析式子，寻找规律例2 （高考湖南卷·理）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2005()f x =（ ）Ａ．sin x Ｂ．sin x - Ｃ．cos x Ｄ．cos x -解析：本题若通过递推关系，将前2020项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sin f x x =，10()()cos f x f x x '==，21()()sin f x f x x '==-，32()()cos f x f x x '==-，43()()sin f x f x x '==，…由此继续求导下去，四个一循环，又200550141=⨯+，所以20051()()cos f x f x x ==．故选（C ）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．１．类比旧知识，推出新结论例3 （高考湖北卷·文）半径为r 的圆的面积2()πS r r =，周长()2πC r r =，若将r 看作(0)+，∞上的变量，则2(π)2πr r '=． ① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0)+，∞上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________________________， ②②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出34()π3V R R =，2()4πS R R =． 所以填：324π4π3R R '⎛⎫= ⎪⎝⎭； 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4 （高考四川卷改编）非空集合G 关于运算?茌满足：（1）对任意的a b G ∈，，都有a b G ⊕∈，（2）存在e G ∈ ，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①Ｇ＝｛非负整数｝，⊕为整数的加法．②Ｇ＝｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③Ｇ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法．④Ｇ＝｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法．其中Ｇ关于运算⊕为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过⊕的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为非负整数集中的０．在②中，要满足a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，显然e G ∉．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为零向量．在④中，此时的0e =，不是二次三项式．故填①③．。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法典例导航课件 北师大版选修1-2
1 证法三：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式 x＋ x ≥2(x>0)使左边向整式型过渡) a b (法一 )∵ ＋ b ＋ ＋ a ≥2 b a a · b＋ 2 b b · a＝2 a a
a b ＋2 b，当且仅当 a＝b 时取等号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
( 法二 ) ∵
1 x1，x2∈0，2且 x1≠x2.
x1＋x2 1 求证：2[f(x1)＋f(x2)]>f 2 .
x ＋x 1 2 1 证明： 要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ， 2 2 2 1 1 －1 只需证：lgx －1＋lgx －1>2lg 1 2 x1＋x2 1 1 2 2 －1 只需证：x －1x －1> . x ＋ x 1 2 1 2 1 1 2 2 －1 ∵x －1x －1－ 1 2 x1＋x2
a b a a b b ＋ ( a＋ b)＝a＋b＋ ＋ ≥a ＋ b ＋ b a b a
2
a ab b · ＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2，当且仅当 a＝b 时取等 b a
a b 号，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数 f(x＋1)与 f(x)的图象 1 关于 y 轴对称．求证：f(x＋ )为偶函数． 2
π 已知 α，β≠kπ＋ (k∈Z)，且 2 ①sin θ＋cos θ＝2sin α，②sin θ· cos θ＝sin2β， 1－tan2α 1－tan2β 求证： 2 ＝ 2 . 1＋tan α 21＋tan β
[证明过程] 由①得(sin θ＋cos θ)2＝4sin2α， 即 1＋2sinθcos θ＝4sin2α 把②代入上式并整理得：4sin2α－2sin2β＝1 ③ 1－tan2α 1－tan2β 另一方面，要证 2 ＝ 2 ， 1＋tan α 21＋tan β sin2α sin2β 1－ 2 1－ 2 cos α cos β 只需证 ＝ 2 ， sin2α sin β 1＋ 2 1＋ 2 cos α 2 cos β
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2
设 x1，x2 是(－1，＋∞)上的任意两数，且 x1<x2，则 x1－2 x2－2 f(x1)－f(x2)＝ax1＋ －ax2－ x1＋1 x2＋1 x1－2 x2－2 3x1－x2 ＝ax1－ax2＋ － ＝ax1－ax2＋ . x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1
∵a>1，且x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.
用三段论的形式写出下列演绎推理： (1) 矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方 形的对角线相等； (2)0.33是有理数； (3)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以 2100＋1不能被2整除．
[解题过程] (1)每一个矩形的对角线相等． 正方形是矩形． 小前提 正方形的对角线相等． 结论 (2)所有的循环小数是有理数． 0.33是循环小数． 小前提 0.33是有理数． 结论 (3)一切奇数都不能被2整除． 2100＋1是奇数． 小前提 2100＋1不能被2整除． 结论
解析： 于 y 轴对称．
显然 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关
x2＋1 1 当 x>0 时，f(x)＝lg ＝lg x＋ x . x
1 设 g(x)＝x＋ ，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞) x 上是增函数，∴f(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增 函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
推理．
[证明过程]
(1)连结AC.
(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相 等的两个三角形全等，这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两 个三角形全等， 大前提
△ABC和△CDA的三边对应相等，
高中数学第三章推理与证明1.1.1归纳推理教案(含解析)北师大版选修1_2
1．1 归纳推理归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们都能导电吗？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n}的前四项为2,4,6,8，试写出a n.提示：a n＝2n(n∈N＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．数与式的归纳[例1] (1)1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．[思路点拨] (1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般结论．(2)由函数关系列出前几项，归纳出一般性结论．[精解详析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x[一点通] 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．1．试探究下列一组数列的基本规律：0,2,6,14,30，…，根据规律写出第6个符合规律的数，这个数是( )A ．60B ．62C ．64D ．94解析：选B 这个数列从第二项起，每一项与它前一项的差依次等于2,22,23,24，所以第6个符合规律的数应为30＋25＝62.2．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为( ) A ．1＋122＋132＋142＋152<95B ．1＋122＋132＋142＋152<116C ．1＋122＋132＋142＋152＋162<95D．1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：选D 观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.3．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：选A (1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．4．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)图与形的归纳[例2] 6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36[思路点拨] 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数，注意分析规律，由此规律作出推断．[精解详析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案] B[一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为( )A．76 B．77C．65 D．66解析：选B 归纳可得“梯形数”相邻两项的差依次比前面大1，所以前10个“梯形数”依次是：5,9,14,20,27,35,44,54,65,77.6．由花盆摆成如图所示的图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．解析：前3个图形中花盆数依次为1,7,19，由此归纳这列数的特点为相邻两项的差都是6的整数倍，依次是6，12，…，所以第5个图形中花盆的个数应为19＋18＋24＝61.答案：617．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝______________(用含n的数学表达式表示)．解析：如图，画图可知，f(4)＝5，当n>4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1， 由f (n )－f (n －1)＝n －1，f (n －1)－f (n －2)＝n －2，……f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)1．观察和实验是进行归纳推理的最基本的条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．2．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14D ．100解析：选C ∵13×1＋132＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的 数构成的规律，a 所表示的数是( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f(2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f(3)＝13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f(4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 例谈综合法.
例谈综合法在解题中的应用综合法是一种常用的解题思考方法，它是一种从已知到未知的逻辑推理方法。
具体说，就是从题设中的已知条件或已证的命题出发，经过一系列的逻辑推理，最后推出所要求证的结论成立。
在中学数学中，综合法在不等式、几何、三角、解析等证明中有着广泛的应用。
举例说明。
例1.已知R n m b a ∈,,,，求证：m n n m n m n m b a b a b a +≥+++。
.证明：=+-+++)()(m n n m n m n m b a b a b a m n n m n m n m b a b b a a -+-++))((n n m m b a b a --=因为n n m m b a b a --与同号，且b a =时二式都为0，m n n m n m n m b a b a b a +≥+∴++。
例2已知],0(πα∈，求证：αααcos 1sin 2sin 2-≤。
证明：αααααααcos 1sin cos sin 4cos 1sin 2sin 2--=--ααααcos 1)1cos 4cos 4(sin 2---=αααcos 1)1cos 2(sin 2---=，因为],0(πα∈，0)1cos 2(,0cos 1,0sin 2≥->-≥∴ααα，0cos 1sin 2sin 2≤--∴ααα， ∴αααcos 1sin 2sin 2-≤。
例3设ABCD 是空间四边形，CD CB AD AB ==,，求证：BD AC ⊥。
证明：设BD 的中点为E ，连结CE AE ,。
因为AD AB =，BD AE ⊥∴， 同理BD CE ⊥， 又E CE AE = ， AB CDEAEC BD 平面⊥∴，又AEC AC 平面⊂AC BD ⊥∴。
例4过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为π43的直线，交抛物线于B A ,两点。
求证：p AB 4||=。
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3.1归纳与类比
归纳推理
教材依据
“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：
1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理
教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学
教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等
教学过程：
1.创设情景：
1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”
思考：整个过程对你有什么启发？
教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……
2.探求研究:
探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）
探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？
探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试
证明。
教师指导，合作交流，归纳：
22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，
3
2
E E E =棱柱棱台棱锥＝，
1F F F 棱柱棱台
棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解
结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,
称为归纳推理(简称归纳).
说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析
例1：在数列{
}n a 中，()*1121,,2
n
n n a a a n N a +==∈+
猜想这个数列的通项公式？ 解析：先由学生计算：
234521222
,,,32456
a a
a a ===== 归纳：*2
()1
n
a n N n =
∈+ 说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；
⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.
例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长； 任务二：归纳、猜想一般性结论。
归纳 猜想
5.分层练习：
1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？ 2．观察下列式子，归纳结论：
32111==，332129(12)+==+，333212336(123)++==++
333321234100(1234)+++==+++………………
问：3333
123?n ++++=L 3．右图中5个图形及相应点的个数 的变化规律,试猜测第n 个图形中有 点；
4．已知数列{}n a 中，*111,()1n
n n
a a a n N a +==
∈+且，试归纳这个数列的通项公式。
答案：1．金属导电;2．3
3
3
3
2
123(123)n n ++++=+++⋅⋅⋅+L ;
3．2
1n n -- ; 4．*1
()n a n N n
=∈. 6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理?
2归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。
布置作业：
（补充）：{}1.n n n n n n a n S a S na a =-已知的前项和与满足：，试归纳出其通项公式 拓展延伸：
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；
(2) (3) (4)
(5)
(1) 面积一定时，圆的周长最小
2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：
⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更；
⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；
科学家猜想;火星上也可能有生命存在。
说明：以上两练习使用的是类比推理。
目的是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。
教后反思：
⑴要实现数学新知识的建构学习，教师要创设适当的情境，情境应符合实际.包括生活场景的实际，数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。
⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了以学生为本的现代教育观；同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教，促进全体的参与。
附：板书设计。