2021年全国统一高考数学试卷(天津卷)
天津市2021年高考[数学]考试真题与答案解析
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天津市2021年高考[数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，()A B C ⋂⋃=A. B. C. D. {}0{0,1,3,5}{0,1,2,4}{0,2,3,4}【参考答案】C2. 已知，则“”是“”的（ ）a ∈R 6a >236a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【参考答案】A3. 函数的图像大致为（）2ln ||2x y x =+A. B.C. D.【参考答案】B4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分400400为组：、、、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间8[)66,70[)70,74 []94,98内的影视作品数量是（）[)82,86A. B. C. D. 20406480【参考答案】D 5. 设，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===A. B. C. D. a b c <<c a b<<b c a<<a c b<<【参考答案】D6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的323π高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）1:3A. B. C. D. 3π4π9π12π【参考答案】B 7. 若，则（ ）2510a b ==11a b +=A. B. C. 1D. 1-lg 77log 10【参考答案】C8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准22221(0,0)x y a b a b-=>>22(0)y px p =>线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离|CD AB =心率为（ ）A.B.C. 2D. 39. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞则a 的取值范围是（）A. B. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【参考答案】A二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 是虚数单位，复数_____________．i 92i2i+=+【参考答案】4i-【解】.()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-11. 在的展开式中，的系数是__________．6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6x 【参考答案】160【解】的展开式的通项为，6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()636184166122rrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭令，解得，1846r -=3r =所以的系数是.6x 3362160C =12. 轴交于点，与圆相切于点，则____________．y A ()2211x y +-=B AB =【解】设直线的方程为，则点，AB y b =+()0,A b 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，AB ()2211x y +-=()0,1C 1则，解得或，所以，112b -=1b =-3b =2AC =因为.1BC =13. 若，则的最小值为____________．0 , 0a b >>21a b ab ++【参考答案】【解】，0 , 0a b >>212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=当且仅当且，即21a a b =2b b=a b ==所以的最小值为21a b ab ++14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙5615猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【参考答案】①.②.232027【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；564253⨯=则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点DE AB ⊥E ．且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF + ()DE DF DA +⋅____________．【参考答案】①. 1②.1120【解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅，222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当时，的最小值为.310x =()DE DF DA +⋅ 1120三、解答题本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16. 在，角所对的边分别为，已知，．ABC ,,A B C ,,a b c sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求的值；cos C （III ）求的值．sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭【参考答案】（I ）；（II ）（III【解】（I ）因为，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =；b = 2ac ∴==（II ）由余弦定理可得；2223cos 24a b c C ab +-===（III ），，3cos 4C =sin C ∴==，，3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=所以.sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=-⨯=17. 如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中1111ABCD A B C D -点．（I ）求证：平面；1//D F 11A EC （II ）求直线与平面所成角的正弦值．1AC 11A EC （III ）求二面角的正弦值．11A A C E --【参考答案】（I ）证明见解析；（IIIII ）.13【解】（I ）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z 则,,,,,,，()0,0,0A ()10,0,2A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()12,2,2C ()10,2,2D 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以，，()2,1,0E ()1,2,0F 所以,,,()11,0,2D F =- ()112,2,0A C = ()12,1,2A E =-设平面的一个法向量为，11A EC ()111,,m x y z =则，令，则，11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪= 12x =()2,2,1m =- 因为，所以，1220m D F =⋅-= 1m D F ⊥ 因为平面，所以平面；1D F ⊄11A EC 1//D F 11A EC（II ）由（1）得，，()12,2,2AC =设直线与平面所成角为，1AC 11A EC θ则111sin cos ,m A C AC m m C A θ⋅====⋅（III ）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，11AAC ()2,2,0DB =-则，cos ,DB m DB m DB m ⋅===⋅所以二面角.11A A C E --13=18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且()222210x y a b a b+=>>F B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交l M y N N BF x 轴于点．若，求直线的方程．P //MP BF l 【参考答案】（1）；（2）.2215x y +=0x y -=【解】（1）易知点、，故(),0F c ()0,Bb BF a ===因为椭圆的离心率为，故，，c e a ==2c =1b ==因此，椭圆的方程为；2215x y +=（2）设点为椭圆上一点，()00,M x y 2215x y +=先证明直线的方程为，MN 0015x xy y +=联立，消去并整理得，，00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 220020x x x x -+=2200440x x ∆=-=因此，椭圆在点处的切线方程为.2215x y +=()00,M x y 0015x x y y +=在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，MN 0x =01y y =00y >010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭直线的斜率为，所以，直线的方程为，BF 12BFb kc =-=-PN 012y x y =+在直线的方程中，令，可得，即点，PN 0y =012x y =-01,02P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，则，即，整理可得，//MP BF MPBF k k =2000002112122y y x y x y ==-++()20050x y +=所以，，因为，，故，，005x y =-222000615x y y +==00y ∴>0y=0x =所以，直线的方程为，即.l 1x y +=0x y -=19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，{}n a {}n b．1324,48b b b =-=（I ）求和的通项公式；{}n a {}n b （II ）记，2*1,n n nc b b n N =+∈（i ）证明是等比数列；{}22n n c c -（ii）证明)*nk n N =<∈【参考答案】（I ），；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.21,n a n n N *=-∈4,n n N b n *=∈【解】（I ）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n a 所以，所以，12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=11a =所以；()12121,n n n n N a a *=+-=-∈设等比数列的公比为，{}n b (),0q q >所以，解得（负值舍去），()221321484q b b b q q b q ==-=--4q =所以；114,n n n b q n N b -*==∈（II ）（i ）由题意，，221441n n n n n b c b =++=所以，22224211442444n n nn n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以，且，220nn c c ≠-212222124424n n n n n nc c c c +++⋅==⋅--所以数列是等比数列；{}22n n c c -（ii ）由题意知，，()()22122222121414242222n n n n n n nn n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-=所以，112nn k k k k -==<设，10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑则，123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+两式相减得，21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--所以，1242n n n T -+=-所以1112422nn k n k k k n --==+⎫=-<⎪⎭20. 已知，函数．0a >()xf x ax xe =-（I ）求曲线在点处的切线方程：()y f x =(0,(0))f （II ）证明存在唯一的极值点()f x （III ）若存在a ，使得对任意成立，求实数b 的取值范围．()f x a b ≤+x ∈R 【参考答案】（I ）；（II ）证明见解析；（III ）(1),(0)y a x a =->[),e -+∞【解】（I ），则，()(1)x f x a x e =-+'(0)1f a '=-又，则切线方程为；(0)0f =(1),(0)y a x a =->（II ）令，则，()(1)0x f x a x e =-+='(1)x a x e =+令，则，()(1)x g x x e =+()(2)xg x x e =+'当时，，单调递减；当时，，单调递增，(,2)x ∈-∞-()0g x '<()g x (2,)x ∈-+∞()0g x '>()g x 当时，，，当时，，画出大致图像如下：x →-∞()0g x <()10g -=x →+∞()0g x >()g x所以当时，与仅有一个交点，令，则，且0a >y a =()y g x =()g m a =1m >-，()()0f m a g m '=-=当时，，则，单调递增，(,)x m ∈-∞()a g x >()0f x '>()f x 当时，，则，单调递减，(),x m ∈+∞()a g x <()0f x '<()f x 为的极大值点，故存在唯一的极值点；x m =()f x ()f x （III ）由（II ）知，此时，max ()()f x f m =)1(1,m a m e m +>-=所以，()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-令，()2()1,(1)x h x x x e x =-->-若存在a ，使得对任意成立，等价于存在，使得，即()f x a b ≤+x ∈R (1,)x ∈-+∞()h x b ≤，min ()b h x ≥，，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-1x >-当时，，单调递减，当时，，单调递增，(1,1)x ∈-()0h x '<()h x (1,)x ∈+∞()0h x '>()h x 所以，故，min ()(1)h x h e ==-b e ≥-所以实数b 的取值范围.[),e -+∞。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学文(天津卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷）_年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷 (选择题共50分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名.准考号.科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式:如果事件A.B互斥,那么球的体积公式如果事件A.B相互独立,那么其中R表示球的半径__61501;柱体(棱柱.圆柱)的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V柱体__61501;Sh是P,那么n次独立重复试验中恰好发其中S表示柱体的底面积,生k次的概率h表示柱体的高一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的(1)设集合N}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)8; (C)7 (D)4(2)已知,则( )(A) 2b_gt;2a_gt;2c; (B) 2a_gt;2b_gt;2c; (C)2c_gt;2b_gt;2a (D)2c_gt;2a_gt;2b(3)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为( )(A) (B) (C) (D)(4)将直线2___61485;y__61483;l__61501;0沿_轴向左平移1个单位,所得直线与圆_2__61483;y2__61483;2___61485;4y__61501;0相切,则实数l的值为(A) __61485;3或7 (B) __61485;2或8 (C)0或10 (D)1或11(5)设为平面,为直线,则的一个充分条件是( )(A) (B)(C) (D)(6)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( )(A) (B) (C) (D)(7)给出下列三个命题:①若,则;②若正整数和满足,则;③设为圆上任一点,圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切其中假命题的个数为( )(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3(8)函数y__61501;A(sinw___61483;j)(w_gt;0,,__Icirc;R)的部分图象如图所示,则函数表达式为 ( )(A)(B)(C)(D)(9)若函数在区间内恒有f(_)_gt;0,则f(_)的单调递增区间为( )(A) (B)(C) (0,__61483;_yen;) (D)(10)设f(_)是定义在R上以6为周期的函数,f(_)在(0,3)内单调递增,且y__61501;f(_)的图象关于直线___61501;3对称,则下面正确的结论是( )(A) f(1.5)_lt;f(3.5)_lt;f(6.5) (B)f(3.5)_lt;f(1.5)_lt;f(6.5)(C) f(6.5)_lt;f(3.5)_lt;f(1.5) (D)f(3.5)_lt;f(6.5)_lt;f(1.5)第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项:1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上(11)二项式的展开式中常数项为__________(用数字作答)．(12)已知,,与的夹角为,以,为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为__________(13) 如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．(14)在数列{an}中,a1__61501;1,a2__61501;2,且N_)则S10__61501;__________(15)设函数,则函数的定义域为__________(16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形若从中任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为__________(用数字作答)三.解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知,,求sina及(18)(本小题满分12分)若公比为c的等比数列的首项且满足(n__61501;3,4,…) (Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求数列的前n项和(19)(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,,侧面与底面ABC所成的二面角为,E.F分别是棱的中点(Ⅰ)求与底面ABC所成的角(Ⅱ)证明∥平面(Ⅲ)求经过四点的球的体积(20)(本小题满分12)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC,塔高BC__61501;80(米),山高OB__61501;220(米),OA__61501;200(米),图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的夹角为a,t试问,此人距山崖的水平地面多高时,观看塔的视角_ETH;BPC最大(不计此人的身高)?(21)(本小题满分14分)已知m_Icirc;R,设P:和是方程的两个实根,不等式对任意实数_Icirc;[-1,1]恒成立;Q:函数在(－_yen;,+_yen;)上有极值求使P正确且Q正确的m的取值范围(22)(本小题满分14分)抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(_0,y0)(_0_sup1;0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(_1,y1).B(_2,y2)两点(P.A.B三点互不相同),且满足(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上(Ⅲ)当__61501;1时,若点P的坐标为(1,__61485;1),求_ETH;PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围_年高考文科数学天津卷试题及答案参考答案一.选择题(每小题5分,共50分)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案CABADCBADB二.填空题(每小题4分,共24分)(11)210; (12); (13); (14)35;(15)(__61485;2,__61485;1)_Egrave;(1,2); (16)．三.解答题(共76分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分)(17)解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得,即①由题设条件,应用二倍角余弦公式得故②由①和②式得,因此,,由两角和的正切公式解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得,解得,即由可得由于,且,故a在第二象限于是,从而以下同解法一(18)解:(Ⅰ)解:由题设,当时,,,由题设条件可得,因此,即解得c＝1或(Ⅱ)解:由(Ⅰ),需要分两种情况讨论,当c＝1时,数列是一个常数列,即 (n_Icirc;N_)这时,数列的前n项和当时,数列是一个公比为的等比数列,即 (n_Icirc;N_) 这时,数列的前n项和①①式两边同乘,得②①式减去②式,得所以(n_Icirc;N_)(19)解:(Ⅰ)过作平面,垂足为．连结,并延长交于,于是为与底面所成的角．∵,∴为的平分线．又∵,∴,且为的中点．因此,由三垂线定理．∵,且,∴．于是为二面角的平面角,即．由于四边形为平行四边形,得．(Ⅱ)证明:设与的交点为,则点为的中点．连结．在平行四边形中,因为的中点,故．而平面,平面,所以平面．(Ⅲ)连结．在和中,由于,,,则≌,故．由已知得．又∵平面,∴为的外心．设所求球的球心为,则,且球心与中点的连线．在中,．故所求球的半径,球的体积．(20)解:如图所示,建立平面直角坐标系,则,,．直线的方程为,即．设点的坐标为,则()由经过两点的直线的斜率公式,．由直线到直线的角的公式得()要使达到最大,只须达到最小．由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时,点的纵坐标为．由此实际问题知,,所以最大时,最大．故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大．(21)解:(Ⅰ)由题设和是方程的两个实根,得+＝且＝－2,所以,当_Icirc;[-1,1]时,的最大值为9,即_pound;3由题意,不等式对任意实数_Icirc;[__61485;1,1]恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得①或②不等式①的解为不等式②的解为或因为,对或或时,P是正确的(Ⅱ)对函数求导令,即此一元二次不等式的判别式若D＝0,则有两个相等的实根,且的符号如下:(－_yen;,)(,+_yen;)++因为,f()不是函数f()的极值若D_gt;0,则有两个不相等的实根和 (_lt;),且的符号如下:_(－_yen;,)(,)(,+_yen;)__61483;+__61485;－+因此,函数f()在＝处取得极大值,在＝处取得极小值综上所述,当且仅当D_gt;0时,函数f()在(－_yen;,+_yen;)上有极值由得或,因为,当或时,Q是正确得综上,使P正确且Q正确时,实数m的取值范围为(-_yen;,1)_Egrave;(22)解:(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为．(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为．①②点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得,于是,故③④⑤又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是,故．由已知得,,则．⑥设点的坐标为,由,则．将③式和⑥式代入上式得,即．所以线段的中点在轴上．(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为．由③式知,代入得．将代入⑥式得,代入得．因此,直线.分别与抛物线的交点.的坐标为,．于是,,．因为钝角且..三点互不相同,故必有．求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足,故当时,;当时,．即。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科) word解析版
1版+微信 ⎨ ⎩⎩ ⎩ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：第Ⅰ卷1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B )棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A , B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A )P (B )球的体积公式V = 4πR 3. 3其中 R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A) (-∞, 2] 【答案】D(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【解析】因为 A = {x -2 ≤ x ≤ 2},所以 A B = {x -2 ≤ x ≤ 1}，选 D.⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2) 设变量 x , y 满足约束条件 ⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y - 2x的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 【答案】A【解析】由 z = y - 2x 得 y = 2x + z 。
【高三】天津市2021年高考数学文科试卷
【高三】天津市2021年高考数学文科试卷2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷分第ⅰ卷（）和第ⅱ卷(非)两部分,共150分.考试用时120分钟.第ⅰ卷1至2页,第ⅱ卷3至5页.在答题前，考生必须在答题卡上填写自己的姓名和录取证号码，并将考试条形码粘贴在指定位置答题时，考生必须回答？试卷上的答案写在答题纸上，考试结束后无效，请将试卷和答题纸一起退回祝各位考生考试顺利!第一卷注意事项：1.选择每个小问题的答案后，用铅笔涂黑答题卡上相应问题的答案标签（如果需要更改），用橡皮擦擦干净，然后选择？其他答案标签2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式：如果事件a,b互斥,那么棱镜v=sh的体积公式，其中s表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.如果事件a和B相互独立，则球的体积公式其中R是球的半径一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）如果集合a={x∈ Rx≤ 2} ，B={x∈ Rx≤ 1} 那么(a)(b)[1,2](c)[－2,2](d)[－2,1]（2）让变量X和y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为(a)－7(b)－4（c） 1（d）2(3)右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为（a） 7（b）6(c)5(d)4（4）如果设置了，则“”是“”的(a)充分而不必要条件（b）必要条件和不足条件(c)充要条件（d）既不是充分条件，也不是必要条件(5)已知过点p(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（a）（b）1(c)2(d)（6）区间上函数的最小值为(a)(b)（c）（d）0(7)已知函数是定义在r上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（a）（b）(c)(d)（8）如果满足实数a和B，则设置函数，然后(a)(b)（c）（d）2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12个子主题，总分110分二．题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.（9） I是一个虚单位复数（3+I）（1-2i）=(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.（11）如果抛物线的拟线性通过双曲线的焦点，且双曲线的偏心率为2，则双曲线方程为(12)在平行四边形abcd中,ad=1,,e为cd的中点.若,则ab的长为.（13）如图所示，在与圆AB//DC相连的梯形ABCD中，穿过点a的圆的切线和CB的延长线在点E相交。
2021年天津高考数学试卷
2021年天津高考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知集合A={x∣√(x−1)<√3x∈N}，则集合A中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：首先解不等式√(x−1)<√3，由于平方函数在[0+∞)上是单调递增的，可以对两边平方得到x−1<3，即x<4。
考虑到x是自然数，所以x的取值范围是{123}。
因此，集合A中元素的个数为3。
答案：C2、若复数z满足(1+i)z=2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数¯z为()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i解析：已知(1+i)z=2i，要求出z，我们可以将等式两边同时除以(1+i)。
为了消去分母中的虚数部分，我们可以同时乘以(1-i)，即共轭复数。
这样，我们有：z=(2i)/(1+i)=(2i(1-i))/((1+i)(1-i))=(2i-2)/2=-1+i。
因此，z的共轭复数¯z为-1-i。
答案：D3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7=10，则S8的值为()B.35C.40D.56解析：在等差数列{an}中，由等差数列的性质知，任意两项的和等于它们中间项的两倍，即a2+a7=2a5。
给定a2+a7=10，则2a5=10，得a5=5。
前8项和S8可以用等差数列的求和公式表示为：S8=8/2*(a1+a8)。
由于a8=a5+3d且a2=a5-3d（其中d为公差），我们可以用a5来表示a1和a8：a1=a5-4da8=a5+3d。
因此，S8=4*(a5-4d+a5+3d)=4*(2a5-d)。
但由于a2+a7=2a5，d在此情况下抵消，所以S8=4*2a5=8*5=40。
答案：C4、已知函数f(x)=√(4-x^2)/(x-1)，则函数的定义域为()A.[-22]B.(-21)∪(12]C.[-21)∪(12]D.(-∞-2]∪[2+∞)解析：函数f(x)有两部分需要考虑：分子中的√(4-x^2)和分母中的(x-1)。
2021年天津市高考数学试卷(学生版+解析版)
2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7108．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．2021年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．80【解答】解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π【解答】解：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【解答】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次方程最多有两个零点，∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝4﹣i．【解答】解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．【解答】解：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．【解答】解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．【解答】解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为1；（+）•的最小值为．【解答】解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＝＝．（3）由（2）可得sin C＝＝，∴sin2C＝2sin C cos C＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2C cos﹣cos2C sin＝．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．【解答】解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）e m﹣m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m （m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。
B。
C。
D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。
20 B。
40 C。
64 D。
805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。
-1 B.lg7 C。
1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。
(精校版)2021年天津卷理数高考试题文档版(含答案)
22 2 - = > > 5 0.5 ⎪⎝⎭ ⎩普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页， 5.已知抛物线 y 2= 4x 的焦点为 F ，准线为l ，若l 与双曲线 x a 2y 2 b 21 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A第Ⅱ卷 3-5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
和点 B ，且| AB |= 4 | OF |（ O 为原点），则双曲线的离心率为 祝各位考生考试顺利！A. B. C. 2D.注意事项：第Ⅰ卷6.已知 a = log 2 ， b = log 0.2 ， c = 0.50.2，则 a , b , c 的大小关系为1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案A. a < c < bB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b标号。
7.已知函数 f (x ) = A sin(ωx +ϕ)( A > 0,ω> 0,|ϕ|< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
⎛ π⎫ ⎛ 3π⎫来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g (x ).若 g (x )的最小正周期为 2π ，且 g 4 ⎪ = ， 则 f 8 ⎪ =参考公式：· 如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( A B ) = P ( A ) + P (B ) . · 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P ( AB ) = P ( A )P (B ) .A. -2B. -C. ⎧x 2 - 2ax + 2a ,x 1,D. 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭· 圆柱的体积公式V = Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. 8.已知 a ∈ R ，设函数 f (x ) = ⎨ ⎩x - a ln x ,x > 1, 若关于 x 的不等式 f (x ) 0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为· 棱锥的体积公式V = 1Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高.3A. [0,1]B. [0, 2]C. [0, e ]第Ⅱ卷D. [1, e ]一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.1.设集合 A = {-1,1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x∈ R |1 x < 3} ，则( A C ) B =9. i 是虚数单位，则的值为 .A. {2}B. {2, 3}⎧x + y - 2 ≤ 0,C. {-1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}⎛1 ⎫8⎪x - y + 2 ≥ 0, 2.设变量 x , y 满足约束条件则目标函数 z = -4x + y 的最大值为 10. 2x - 8x 3 ⎪ 是展开式中的常数项为.⎨⎪ ⎪⎩ y -1, -1,11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，A.2B.3C.5D.63.设 x ∈ R ，则“ x 2- 5x < 0 ”是“ | x -1|< 1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.⎧x = 2 + 2 cos θ,12.设 a ∈ R ，直线 ax - y + 2 = 0 和圆 ⎨y = 1+ 2 s in θ （θ为参数）相切，则 a 的值为 .(x +1)(2 y +1)4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A.5B.8C.24D.2913.设 x > 0, y > 0, x + 2 y = 5 ，则 的最小值为 .14. 在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC , AB = 2 3,AD = 5, ∠A = 30︒ ， 点 E 在线段 CB 的延长线上， 且AE = BE ，则 BD ⋅ AE = .352 5 - i 1+ i2 5 xyx 2513 6 4 2 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知b + c = 2a ， 3c sin B = 4a sin C .（Ⅰ）求cos B 的值；若| ON |=| OF | （ O 为原点），且OP ⊥ MN ，求直线 PB 的斜率.19.（本小题满分 14 分）设{a n }是等差数列， {b n }是等比数列.已知 a 1 = 4,b 1 = 6 ，b 2 = 2a 2 - 2,b 3 = 2a 3 + 4 . （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；⎛π⎫ （Ⅱ）求sin 2B + ⎪ 的值.⎝⎭ （Ⅱ）设数列{c }满足c = 1, c ⎧1, 2k < n < 2k +1 , = ⎨ 其中 k ∈ N *. n 1 n b , n = 2k ,⎩ k16.（本小题满分 13 分）2 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同（i ）求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式； 2n学每天到校情况相互独立.（ii ）求∑ a i c i(n ∈ N ).*（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. i =120.（本小题满分 14 分）设函数 f (x ) = e xcos x ,g (x ) 为 f (x )的导函数.17.（本小题满分 13 分）如图， AE ⊥ 平面 ABCD ， CF ∥ AE , AD ∥BC ，AD ⊥ AB , AB = AD = 1,AE = BC = 2 . （Ⅰ）求 f (x )的单调区间；⎡π π⎤⎛ π ⎫ （Ⅱ）当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时，证明 f (x ) + g (x ) - x ⎪ 0 ；（Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；⎣ 4 2 ⎦⎝ 2 ⎭⎛π π⎫ （Ⅲ）若二面角 E - BD - F 的余弦值为 1 3，求线段CF 的长.（ Ⅲ ） 设πx n 为 函 数 u (x ) = f (x ) -1e -2n π在 区 间 2m + , 2m π+ ⎪ ⎝⎭ 内 的 零 点 ， 其 中 n ∈ N ， 证 明2n π+ 2 - x n < sin x .- cos x 02019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A18.（本小题满分 13 分）7.A8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.x2y 2π 3设椭圆+ a2 b2= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为.59. 10. 2811.412.413. 4 14. -1（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余315 33 5 +74 - 2 h 3 2 + 4 h24 ⎧⎪n ⋅CE n ⎝ ⎭ ⎧⎪m ⋅ 3 8 2 4 1 20 弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分. bc题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.（ Ⅰ ） 解： 在 △ABC 中， 由正弦定理sin B =， 得 b sin C = c sin B ， 又由 3c sin B = 4a sin C ， 得sin C依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB ，A D ，A E 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如 3b sin C = 4a sin C ， 即 3b = 4a . 又 因 为 b + c = 2a ， 得到 b = a 3 ， c = 2a 3. 由 余 弦 定 理 可 得 图），可得 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 2, 0), D (0,1, 0) ， E (0, 0, 2) .设CF = h (h >>0) ，则 F (1, 2, h ). cos B = a 2 + c 2 - b 2 = 2 a 2 + 4 a 2 - 16 a 29 9 2 ⋅ a ⋅ 2 a3= - 1 . 4 （Ⅰ）证明：依题意， AB = (1, 0, 0) 是平面 ADE 的法向量，又 BF = (0, 2, h ) ，可得 BF ⋅ AB = 0 ，又因为直线 BF ⊄ 平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE .（ Ⅱ ） 解 ： 由 （ Ⅰ ） 可 得 sin B = = 15 4 ， 从 而 sin 2B = 2 s in B cos B = - 15 ， 8（Ⅱ）解：依题意， BD = (-1,1, 0), BE = (-1, 0, 2), BD = 0, CE = (-1, -2, 2) .⎧-x + y = 0,7设 n = (x , y , z ) 为平面 BDE 的法向量，则 ⎨ 即 ⎨-x + 2z = 0, 不妨令 z = 1，cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故8⎪⎩n ⋅ BE = 0, ⎩ ⎛ π⎫ π π 7 1 可得 n = (2, 2,1) .因此有cos CE , n ⋅ 4 = = - . sin 2B + 6 ⎪ = sin 2B cos 6 + cos 2B sin 6 = -16.⨯ - ⨯ = - ， 8 2 8 2 16| C E || n | 9所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 4.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.9BD = 0,⎧-x + y = 0, 2（Ⅲ）解：设 m = (x , y , z ) 为平面 BDF 的法向量，则 ⎨m⋅ 即⎨2 y + hz = 0, （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，故3⎩⎪ BF = 0, ⎩ ⎛ 2 ⎫⎛ 2 ⎫k ⎛ 1 ⎫3-k不妨令 y = 1，可得 m = ⎛1,1, - 2 ⎫ .X ~ B 3, ，从而P ( X = k ) = C k , k = 0,1, 2, 3 . h ⎪ 3 ⎪ 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ 所以，随机变量 X 的分布列为⎝ ⎭ ⎝ ⎭由题意，有 cos 〈m , n 〉 = | m ⋅ n | == 1 ，解得h = 8 .经检验，符合题意.随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 3⨯= 2 . 3（ Ⅱ ） 解 ： 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7 ： 30 之 前 到 校 的 天 数 为 Y ， 则⎛ 2 ⎫ ， 且所以，线段CF 的长为 | m || n | 37 8 .7Y ~ B 3, ⎪⎝ ⎭M = {X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0} .由题意知事件{X = 3,Y = 1} 与{X = 2,Y = 0} 互斥，且事件{X = 3}与{Y = 1}，事件{X = 2}与{Y = 0}均相互独立，从而由（Ⅰ）知P (M ) = P ({X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0}) = P ( X = 3,Y = 1) + P ( X = 2,Y = 0)= P ( X = 3)P (Y = 1) + P ( X = 2)P (Y = 0) = ⨯ + ⨯ = .27 9 9 27 24317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问1 - cos2 B X 0 123P1 272 9 4 98 2718.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。
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2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =，{}0,2,4C =，则()A B C =（A ）{}0（B ）{}0,1,3,5 （C ）{}0,1,2,4 （D ）{}0,2,3,42.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.函数2ln 2x y x =+的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70，[)70,74，，[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量为（A ）20（B ）40（C ）64 （D ）805.设3.0log 2=a ，4.0log 21=b ，3.04.0=c ，则a 、b 、c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）b c a <<6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3π32，两个圆锥的高之比为3:1，则这两个圆锥的体积之和为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π9 （D ）π12 7.若1052==ba，则=+ba 11 （A ）1- （B ）7lg （C ）1 （D ）10log 78.已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的右焦点与抛物线px y 22=（0>p ）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于B A 、两点，交双曲线的渐近线与D C 、两点，若AB CD 2=,则双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）39.设R a ∈,函数a x ax a x a x a x x f ≥<⎩⎨⎧+++--=,5)1(2),22cos()(22ππ,若)(x f 在区间）（+∞,0内恰好有6个零点，则a 的取值范围是（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125492，， （B ）⎥⎦⎤⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125247，，（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛3411492，， （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛3411247，，二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10.i 是虚数单位，复数922ii++=______. 11在361(2)x x+的展开式中，6x 的系数是_____.12.若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切与点B ，则||AB =____. 13.若0,0,a b >>则21++ab a b 的最小值为_____. 14.甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。
已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为56和35，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_____;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______.15. 在边长为1的等边三角形ABC 中。
D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 与点E ，DF ∥AB交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为_____;()DE DF DA +⋅的最小值为_____. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分14分）在ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin :sin :sin 2:1:2A B C =．2b =．（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，(1)求证：1//D F 平面11A EC ;(2)求直线1AC 与平面11A EC 所成的角的正弦值; (3)求二面角11A AC E --的正弦值.18. （本小题满分15分）已知椭圆22x a+221(0)y a b b =>>的右焦点为F ,上顶点为B，离心率为5BF =(1)求椭圆的方程；(2)直线 l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过 N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ，若M P BF //，求直线l 的方程.19.（本题满分15分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b -=. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记*21,n n nc b n N b =+∈. （i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明nk =<20. (本小题满分16分)已知0>a ,函数xe x ax xf ⋅-=)(.(1) 求函数)(x f y =在点))0(,0(f 处的切点的方程； (2) 证明)(x f 存在唯一极值点;(3) 若存在a ,使得b a x f +≤)(对于任意的R x ∈成立，求实数b 的取值范围.2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =，{}0,2,4C =，则()A B C =（A ）{}0（B ）{}0,1,3,5（C ）{}0,1,2,4 （D ）{}0,2,3,4 【思路分析】考查集合的运算，要看清楚题目是取交集还是并集． 【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）由{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =得{}1AB =，所以(){}{}{}10,2,40,1,2,4A B C ==，选C ．【归纳总结】此类型题较为基础，考查学生对集合基本运算的掌握情况． 2.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【思路分析】要把236a >这一条件进行整理或化简，进而判断是充分还是必要条件．【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）236a >等价于66a a >⇔>或6a <，故66a a >⇒>，即236a >，但66a a >⇒>/，因此6a >”是“236a >的充分不必要条件．【归纳总结】本题考查充分条件与必要条件，可以借助口诀：“小充分大必要”，提升做题速度． 3.函数2ln 2x y x =+的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）【思路分析】先判断函数2ln 2x y x =+的奇偶性，然后取特殊值即可得到正确选项．【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）易得2ln 2x y x =+为偶函数，故可排除A ，C 选项，当2x =时，ln 2042y =>+，故可排除D 选项．即答案选B ． 【归纳总结】判断函数的大致图像，一般步骤是判断奇偶性、单调性，然后结合特殊值的情况加以确定图像．4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70，[)70,74，，[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量为（A ）20 （B ）40 （C ）64 （D ）80【思路分析】要求分布在区间[)82,86人数，只需要知道总人数及该区间的频率就可以算出． 【解析】（河南洛阳刘友友老师解析）由频率分布直方图可得评分在区间[)82,86内的频率为：0.05040.2⨯=，所以影视作品数量为：0.240080⨯=，选D ．【归纳总结】频率分布直方图的纵截距是频率/组距，千万别忽略组距而导致计算错误． 5.设3.0log 2=a ，4.0log 21=b ，3.04.0=c ，则a 、b 、c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）b c a << 【思路分析】【解析】（甘肃庆阳柳广社解析） 01log 3.0log 22=<=a ，15.0log 4.0log 4.0log 2221=->-==b ，14.04.0003.0=<=<c ，∴b c a <<，故选D.【归纳总结】6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3π32，两个圆锥的高之比为3:1，则这两个圆锥的体积之和为（A ）π3 （B ）π4 （C ）π9 （D ）π12【思路分析】先画出圆锥与球的轴截面，在旋转轴PS 上找出球心，据球心O 到P 、S 、A 点距离均相等即可得。
【解析】（甘肃庆阳柳广社解析）如图所示：由球的体积为3π32，可得该球的半径2=R ,由题意得，两个圆锥的高S O ′、P O ′分别为1和3， PS 为球O 的直径，PAS Δ∴为直角三角形，又PS A O ⊥′, 3∴=′S O 可得截面圆半径所以这两个圆锥的体积之和为()ππ413)3(312=+⋅⋅=V ,故选 B. 【归纳总结】本题主要考查圆锥与其外接球相关知识，包括空间想象能力和化归转化能力，属于中等题。
7.若1052==ba，则=+ba 11 （A ）1- （B ）7lg （C ）1 （D ）10log 7【思路分析】利用指数式和对数式的关系解出a 和b ，然后结合对数换底公式等运算性质即可求解。
【解析】（甘肃庆阳柳广社解析）1052==ba，10log ∴2=a ，10log 5=b ，15lg 2lg 10log 110log 111∴52=+=+=+ba ，故选 C.【归纳总结】本题考查指数式和对数式的相关运算性质，属于基础题。
8.已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的右焦点与抛物线px y 22=（0>p ）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于B A 、两点，交双曲线的渐近线与D C 、两点，若AB CD 2=,则双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3【思路分析】统一用a 、b 、c 表示出CD 和AB 间的等式，最后转化成a 、c 间的关系求e.【解析】（甘肃庆阳柳广社解析）根据题意知抛物线准线方程为c x -=，∴ab AB 22=，a bc CD 2=， AB CD 2=，∴b c 2=，又 222b a c +=，∴b a =，∴双曲线的离心率2==ace ，故选A. 【归纳总结】本题考查抛物线与双曲线图像及其简单的性质，属于中等题。