高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.2第1课时程序框图、顺序结构教学案数学教学案

第一课时程序框图、顺序结构预习课本P6～9，思考并完成以下问题(1)程序框图的图形符号有哪些？各自的名称和作用是什么？(2)算法的基本逻辑结构有哪些？(3)顺序结构是怎样定义的？[新知初探]1．程序框图(1)定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．(2)表示：在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)常见的程序框及其功能：图形符号名称功能终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框) 赋值、计算判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明判断框“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个程序框图都必须有起止框( )(2)输入框只能放在输出框之前( )(3)判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号( )解析：(1)正确，任何程序都必须有开始和结束，从而必须有起止框；(2)错误，输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置；(3)正确，判断框只有一个进入点，但一般有两个退出点，其他程序框只有一个进入点和一个退出点．答案：(1)√(2)×(3)√2．下列图形中表示处理框的是( )解析：选B 由处理框的定义知选B.3．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可以分别写在不同的( )A．处理框内B．判断框内C．输入、输出框内D．起、止框内解析：选A 处理框表示的意义为赋值、执行计算语句、结果的传送，故选A，其他选项皆不正确．4．阅读如图所示的程序框图，输入a1＝3，a2＝4，则输出的结果是( )A．12 B．7C．34 D．43解析：选A b＝a1·a2＝3×4＝12.故选A.对程序框的认识和理解[典例] (1)下列说法正确的是( )A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定B.也可以用来执行计算语句C．输入框只能紧接在起始框之后D．长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算(2)任何一个算法都离不开的基本结构是( )A．顺序结构B．条件分支结构C．输出结构D．三个都是[解析] (1)程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，A不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以B不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以C也不正确；由程序框的功能可知D项正确．(2)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构．故选A.[答案] (1)D (2)A程序框图的理解框图符合标准化，框内语言简练化，框间流程方向化．从上到下，从左到右，勿颠倒．起止框不可少，判断框一口进，两口出．顺序结构处处有．[活学活用]在程序框图中，表示判断框的图形符号的是( )解析：选C 四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框．用顺序结构表示算法[典例] 体积，为该问题设计算法，并画出程序框图．[解] 算法一：第一步，a ＝4，c ＝5.第二步，计算R ＝22a . 第三步，计算h ＝ c 2－R 2，S 1＝a 2. 第四步，计算V ＝13S 1h . 第五步，计算h ′＝ c 2－a 24. 第六步，计算S ＝2ah ′.第七步，输出S ，V .程序框图如图所示： 算法二：第一步，a ＝4，c ＝5.第二步，S ＝2ac 2－a 24. 第三步，V ＝13a 2c 2－a 22.第四步，输出S，V.程序框图如图所示：应用顺序结构表示算法的步骤(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；(2)明确解题步骤；(3)数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；(4)用程序框图表示算法过程．[活学活用]已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计一个解决该问题的算法，并画出相应的程序框图．解：算法如下：第一步，输入R，h.第二步，计算V＝πR2h.第三步，输出V.程序框图如图所示：顺序结构的读图问题[典例](1)框图①中x＝4的含义是什么？(2)框图②中y1＝x3＋2x＋3的含义是什么？(3)框图④中y2＝x3＋2x＋3的含义是什么？[解] (1)框图①的含义是初始化变量，令x＝4.(2)框图②中y1＝x3＋2x＋3的含义：该框图是在执行①的前提下，即当x＝4时，计算x3＋2x＋3的值，并令y1等于这个值．(3)框图④中y2＝x3＋2x＋3的含义：该图框是在执行③的前提下，即当x＝－2时，计算x3＋2x＋3的值，并令y2等于这个值．对顺序结构程序框图的识读，首先弄明白程序框图中各程序框的功能，然后按流程线指引的方向从上到下(或从左到右)依次判断即可．[活学活用]1．根据如图所示的程序框图，若输入m的值是3，则输出的y 的值是________．解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，故输出y 的值为13.答案：132．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是________．解析：∵x＝a2＋b2表示点(a，b)到原点(0,0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．答案：计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差[层级一学业水平达标]1．下列关于程序框图的说法正确的是( )A．一个程序框图包括表示相应操作的框、带箭头的流程线和必要的文字说明B．输入、输出框只能各有一个C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观D．在程序框图中，必须包含判断框解析：选A 输入、输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置，所以不一定各有一个，因此B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，所以C选项是错误的；显然D选项是错误．2．在顺序结构中，一定不含有的程序框是( )A．终端框B．输入、输出框C．处理框D．判断框解析：选D 顺序结构中没有判断框．3．阅读程序框图：若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．解析：先确定①处的执行框是给x赋值，然后倒着推，b＝15时，2a－3＝15，a＝9，当a＝9时，2x＋1＝9，x＝3.答案：x＝34．根据所给的程序框图，如图所示，输出的结果是________．解析：由X＝Y，得X＝2；由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z ＝2.答案：2[层级二 应试能力达标]1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是( )A ．一个算法只含有一种逻辑结构B ．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C ．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D ．一个算法可以同时含有上述三种逻辑结构解析：选D 一个算法中含有哪种逻辑结构，主要看解决什么样的问题及解决问题的方法，顺序结构、条件结构和循环结构这三种逻辑结构在一个算法中可以同时出现．2．如图所示的程序框图，已知a 1＝3，输出的结果为7，则a 2的值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为输出的结果为7，所以b ＝7，又b ＝b 2，所以原b ＝14，即a 1＋a 2＝14.又a 1＝3，所以a 2＝11.3．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是( )解析：选A B 选项应该用处理框而非输入、输出框，C 选项应该用输入、输出框而不是处理框，D 选项应该在出口处标明“是”和“否”．4．阅读如图所示的程序框图，若输入x ＝3，则输出y 的值为( )A ．33B ．34C ．40D ．45解析：选 B x ＝3，a ＝2×32－1＝17，b ＝a －15＝2，y ＝ab＝17×2＝34，则输出y 的值为34.5．如图的程序框图表示的算法的运行结果是________． 解析：p ＝9，∴S ＝99－59－69－7＝6 6. 答案：666．已知点P (x 0，y 0)，直线l ：x ＋2y －3＝0，求点P 到直线l 的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．解析：应填上点到直线的距离公式．答案：d ＝|x 0＋2y 0－3|57．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框.答案： 8．利用梯形的面积公式计算上底为4，下底为6，面积为15的梯形的高．请设计出该问题的算法及程序框图．解：根据梯形的面积公式S ＝12(a ＋b )h ，得h ＝2S a ＋b，其中a是上底，b是下底，h是高，S是面积，只要令a＝4，b＝6，S＝15，代入公式即可．算法如下：第一步，输入梯形的两底a，b与面积S的值．第二步，计算h＝2Sa＋b.第三步，输出h.该算法的程序框图如图所示：9．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面问题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.第二课时条件结构预习课本P10～12，思考并完成以下问题(1)什么是条件结构？(2)条件结构有几种形式？[新知初探]1．条件结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．2．条件结构的程序框图的两种形式及特征名称形式一形式二结构形式特征两个步骤A，B根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A[小试身手]1．下列关于条件结构的说法中正确的是( )A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C．条件结构中的两条路径可以同时执行D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的解析：选B 条件结构只能执行判断框中的两条路径之一．2．下列问题的算法宜用条件结构表示的是( )A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边求斜边C．解不等式ax＋b>0(a≠0)D．计算100个数的平均数解析：选C A、B、D只需顺序结构即可．3．根据如图所示的程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( ) A．框1中填“是”，框2中填“否”B．框1中填“否”，框2中填“是”C．框1中填“是”，框2中可填可不填D．框2中填“否”，框1中可填可不填解析：选A 成绩不低于60分时输出“及格”，即x≥60时满足条件，故框1填“是”，框2填“否”．4．如图所给的程序框图描述的算法的运行结果是( )A．－5 B．5C．－1 D．－2解析：选A ∵x＝－1<0，∴y＝3×(－1)－2＝－5.与条件结构有关的读图问题[典例] (1)如图所示的程序框图，其功能是( )A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值C．求a，b中的最大值D．求a，b中的最小值(2)对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如程序框图所示，则3⊗2＝________.[解析] (1)取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b中的最大值．(2)由于a＝3，b＝2，则a≤b不成立，则输出a＋1b＝3＋12＝2.[答案] (1)C (2)2条件结构读图的策略(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．[活学活用]1．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A．求a，b，c三数中的最大数B ．求a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 经判断框中a >b 处理后a 是a ，b 中的较小者，经判断框a >c 处理后，a 是a ，c 中的较小者，结果输出a ，即a 是a ，b ，c 中的最小数．2．如图，函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，若输入的x 值为3，则输出的h (x )的值为________．解析：由框图可知，当x ＝3时，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，∴f (3)＜g (3)，∴h (3)＝g (3)＝9，故输出的值为9.答案：9 条件结构的算法与框图的设计 [典例] 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >0，1x 2，x <0，设计一个算法的程序框图，计算输入x 的值，输出y 的值．[解] 根据题意，其自然语言算法如下：第一步，输入x .第二步，判断x >0是否成立，若是，则输出y ＝1x，结束算法；若不是，则判断x <0是否成立，若是，则输出y ＝1x2，结束算法；若不是，也结束算法．程序框图如图所示： 设计条件结构框图的思路(1)先设计算法，再把算法步骤转化为框图的形式．(2)凡是先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，都必须引入判断框，采用条件结构．(3)在画出条件结构的框图后，可通过检查各条件分支与已知描述情况是否对应来判断所画框图是否正确．[活学活用]设计程序框图，输入x的值，求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x <0的值．解：算法如下：第一步，输入x 的值．第二步，判断x 的大小．若x ≥0，则y ＝x 2；否则，y ＝－x 2.第三步，输出y 的值．程序框图如图：条件结构的实际应用 [典例] 收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x 立方米，应缴纳水费y 元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．[解] y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1.2x ，0≤x ≤7，1.9x －4.9，x >7.算法设计如下：第一步，输入每月用水量x (x ≥0)．第二步，判断输入的x 是否超过7，若x >7，则应缴纳水费y ＝1.9x －4.9；否则应缴纳水费y ＝1.2x .第三步，输出应缴水费y .程序框图如图所示： 设计程序框图解决实际问题的步骤(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；(2)概括题意写出表达式；(3)设计算法步骤；(4)根据算法步骤画出程序框图．[活学活用]某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．解：设费用用y (元)表示，人数用x 表示，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，x ≤3，5＋1.2x －3，x ＞3.算法如下：第一步，输入x .第二步，若x ≤3，则y ＝5；否则执行第三步．第三步，y ＝5＋1.2(x －3)．第四步，输出y .程序框图如图所示：[层级一 学业水平达标]1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是()A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对解析：选B 此逻辑结构是条件结构．2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的相反数．②求面积为6的正方形的周长．③求三个数a ，b ，c 中的最大数．④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥0，x ＋2，x ＜0的函数值．其中不需要用条件结构来描述其算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 语句①不需要对x 进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x 的取值范围，所以需要用到条件结构来描述算法．3．一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为8时，输入的x 的值为________．解析：由y ＝x 2－1＝8，得x ＝±3<5，而由y ＝2x 2＋2＝8，得x ＝±3<5，不合题意，故输入的x 的值为3或－3.答案：±34．如图所示的程序框图，输入x ＝2，则输出的结果是________． 解析：通过程序框图可知本题是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞1，x ＋1，x ≤1的函数值，根据x ＝2可知y ＝2＋2＝2.答案：2[层级二 应试能力达标]1．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入x 的值与输出y 的值相等，则这样的x 的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ≤2时，y ＝x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1；当2<x ≤5时，y ＝2x －3＝x ，解得x 3＝3；当x >5时，y ＝1x＝x ，解得x ＝±1(舍去)，故x 的值可以为0,1,3.2．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为( )A ．－3,0B ．－3，－5C ．0，－5D ．－3,0，－5解析：选A 由框图知，当x ＝－3,0时，输出的y 值均为0.3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝x 3＋x解析：选D 由框图可知，当输入的函数f (x )为奇函数且存在零点时，才可输出f (x )，由选项可知，仅f (x )＝x3＋x 同时满足这两个条件，故选D.4．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥2，2－x ，x <2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图①处应为( )A ．x <2?B ．x >2?C ．x ≠2?D ．x ＝2?解析：选 A 框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故①应为x <2？，故选A.5.已知函数f (x )＝|x －3|，以下程序框图表示的是给定x 值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．解析：由f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3，x ≥3，3－x ，x <3及程序框图知，①处可填x <3？，②处应填y ＝x －3.答案：x <3？ y ＝x －36．如图所示的算法功能是________．解析：根据条件结构的定义，当a ≥b 时，输出a －b ；当a ＜b 时，输出b －a .故输出|b －a |.答案：计算|b －a |7．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.53ω，ω≤50，50×0.53＋ω－50×0.85，ω>50，其中ω(单位：kg)为行李的质量．设计程序框图，输入行李质量，计算费用c (单位：元)．解：程序框图如下：8．用程序框图表示解方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数)的算法．解：算法设计如下：第一步，输入a ，b 的值．第二步，判断a ＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x ＝－b a，输出x ，结束算法． 第三步，判断b ＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．程序框图为：。