几何光学中的矩阵方法
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
第3讲_光线传输矩阵
– 程函(eikonal)方程：
– 光线的传播方向，就是程函 r 变化最快的方向 – 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方 程），其中 s 为光线上某点到另外一点的长度，而 r 是该点的位置矢量 ：
2 r x y z
1 d r rS 1 d N ' 1 1 r ' r S 1 f1 f1 N
4.1 透镜波导光线稳定条件
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
1 0 1 d 1 0 1 d r rS 1 1 S A B rS 1 ' ' ' 1 1 r 0 1 0 1 r C D r S 1 f1 S S f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
• 将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式
1 rs ' (rs 1 Ars ) B
• 可得到递推关系
1 rs ' B (rs 1 Ars ) 1 rs 1 ' (rs 2 ArS 1) B r ' Cr Dr ' S S 1 S
' o
矩阵光学
矩阵光学 魏光辉第一章 矩阵及其运算 1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：111212122212n n m m mn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对角矩阵：ij ii ij a a δ= （对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零） 单位矩阵：ij ij a δ=标量、矢量和张量：三维空间的m 阶张量可以有3m个独立分量，n 维空间的m 阶张量可以有mn 个独立分量。
矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。
电场是一个矢量。
一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m 阶张量可以用n 行1m n-列矩阵表示。
1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：C A B =+矩阵乘法：A 为m p ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为C AB =，C 为m n ⨯矩阵。
其中1,1,2,;1,2,pir ik kr k c a b i m r n ====∑。
若1a n p -=，则B 可以描述P 维空间中的n 阶张量，若m p =，则C 为1a p p-⨯矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。
因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。
矩阵的减法：()1A B A B -=+-⨯； 由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：42232432132410001100130010200140x x x A x x x x x x x ⎡⎤---=⎢⎥+-⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵连乘：A 为m p ⨯矩阵，B 为p q ⨯矩阵，C 为q n ⨯矩阵，则R ABC =，有11qp ij ik kh hj h k r a b c ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑。
（注意：如果矩阵A 和B 中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB 必为零矩阵；但如果C=AB 为零矩阵，则A 和B 不一定为零矩阵。
第三章激光原理光学谐振腔理论(ABCD矩阵)
g1 g 2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
腔的参数 唯一确定 模的基本特征。
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征
傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时 可认为sin tan
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
单位时间内损耗的能量（P）
Q的普 遍定义
E NhV P hV dN
dt
t
N N0e R
Q R
2
nL
c
前面定义 Q 1 2
R 1 2 1 不确定关系
Q
R
1
谐振腔的损耗越小，Q值越高
第二节 共轴球面腔的稳定性条件
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
纵模间隔
q
q1
q
q
1 c
2L
q
c 2L
c 2L
•纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列；
•纵模间隔大小与腔长成反比。
三、光腔的损耗
1、损耗的种类及举例
a.几何偏折损耗； b.衍射损耗；
选择损耗
（有选模作用）
c.腔镜反射不完全引入损耗；
第六节矩阵光学
1-1.54 1 φ2 1 R2 13.5 0 1 0 1 0 1 1 R1 d 2 27 1 n2 1.54
0 1
0 1 B A 1 0.541.35 1 S21 17.53 1 0 D C 1 0 0.052 0.3 17.53 0.3
' Al2 y' ( ' C ) y n2
垂轴放大率：
' Al2 y' ' C y n2
（一般形式2→K）
S B 'B
Al1 B n 1 0
A ' -Al2 C ' n2
1 SB 'B
' -Al2 ' C n2 0
| S21 | BC AD 1
若系统由K个折射面组成，则
S k1 Rk Tk ( k 1) Rk 1T( k 1)( k 2 ) R2T21 R1 B A D C 1 k
B A Sk 1 D C 1 k
行列式
| S k1 | BC AD 1
1 SN1 0 -d 1 N B A D C
N 1
0 1
1 0
N-1
0 1 1 1 2 1 d 1 0 1 0 1 1 1
A、B、C、D由各薄透镜的光焦度和它们间的间隔所决定 并知A为光焦度，这是有普遍意义的，对于同一介质中的 任何光学系统，高斯常数A均为光焦度，如一光学系统由 光焦度为两块薄透镜组成间隔为d则，
y' 与入射光孔u 1 角无关，近轴区象高y' 和 又∵ 近轴区， 物高 y 成正比，与 u 1 大小无关
第3讲_光线传输矩阵.
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面） 1 sin ri' 2 sin ro' ' ' 1ri 2ro ri’ ro ri
1 ' ' ro ri 2
ro’ ri ro
1 0 ro ri 1 ' ' ro 0 ri 2
1 2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri ri ' R ' ri ro ' R
2 ' 1
'
ro’ ri’ ri ro
2 1 1 ' r ri ri 2 R 2
' o
d A 1 f2 d ) f2 1 1 d C [ (1 )] f1 f 2 f2 d d d D [ (1 )(1 )] f1 f1 f2 B d (2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 1 Ars Brs' ' rs 1 ' Crs Drs
rt ri dri ' r ' r ' i t
ro rt ro ' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' 1 f f
d 1 d 1 1 f f
激光原理与技术·原理部分
第3讲 光线传输矩阵
3.0 光线的传播
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
光学原理习题
第一章 几何光学基本原理习题1.1 用费马原理推导光的反射定律1.2 一根长玻璃棒的折射率为1.6350，将它的左端研磨并抛光成半径为2.50cm的凸球面。
在空气中有一小物体位于光轴上距球面顶点9.0cm处。
求：（1）球面的物方焦距和象方焦距；（2）光焦度；⑶象距；⑷垂轴放大率；(5)用作图法求象。
1.3 将一根40cm长的透明棒的一端切平，另一端磨成半径为12cm的半球面。
有一小物体沿棒轴嵌在棒内，并与棒的两端等距。
当从棒的平端看去时，物的表现深度为12.5cm。
问从半球端看去时，它的表现深度为多少？1.4 一透明玻璃小球的半径为1.50cm， 折射率为1.720，将它浸没在折射率为1.360的透明液体中。
若液体中有一束平行光入射到小球上，求这束平行光将向球的另一侧何处聚焦？1.5 一玻璃空盒的两端是共轴球面，一端是半径γ1＝－1.65cm的凹面，另一端是半径γ2＝1.650cm的凸面，两顶点之间的距离为1.850cm。
将盒在空气中密封后放入水中。
一高为1cm 的物体距凹球面的顶点10cm。
求物体经玻璃盒所成的象。
（假设玻璃的厚度可以略去不计）1.6 在一个直径为30cm的球形玻璃鱼缸中盛满水，鱼缸中心处有一尾小鱼。
若鱼缸薄壁的影响可以忽略不计，求缸外面的观察者所看到的鱼的表观位置及垂轴放大率。
1.7 为了把仪器刻度放大3倍，在它上面置一平凸透镜，并让透镜的平面与刻度紧贴。
假设刻度和球面顶点距离为30mm，玻璃的折射率为1.5，求凸面的半径应为多少？1.8 在半径为20cm的凸面镜右侧距顶点5cm处，有一高为2cm的虚物，试求象的位置和大小，并作图。
虚物的位置应在什么范围内才能形成实象？1.9 在单球面折射系统中，除球心而外尚有一对共轭点Ｐ和Ｐ'可用宽光束严格成象（如图），这一对共轭点称为齐明点或不晕点。
试证齐明点的物、象距满足下列关系：S＝(1+n'/n)r; s＝(1+n/n')r1.9图1.10 玻璃棱镜的折射棱角α为60°，对某一波长的光其折射率n为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从α角两侧透过棱镜的最小入射角。
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几何光学中的矩阵方法
几何光学是基于几何学研究光学的基本方法。
几何光学，尤其是矩阵方法在研究光学系统成像时有着巨大的优势。
本文通过论述矩阵方法在几何光学中的应用，介绍描述傍轴光线成像的光学ABCD矩阵。
同时进一步将矩阵方法拓展至非傍轴光线，得到描述任意光线成像的严格ABCD矩阵。
在光学研究中，当光波长远小于研究对象的尺寸时，通常会利用几何光学方法来研究光线的传播。
几何光学中光线的传播遵循三个基本定律：1. 光在自由空间中沿直线独立传播；2. 光的折射定律；3. 光的反射定律。
虽然几何光学忽略了光的波动性，无法解释干涉、衍射等物理现象，但是其在光学系统成像性质的研究中有着巨大的优势。
光学系统成像的核心是光学系统变换。
1840年C. Gauss建立了高斯光学，用来研究理想光学系统傍轴成像（即满足傍轴近似的光线的成像）性质。
傍轴近似下，光线与光学系统中心轴的夹角很小，可以使用小角近似关系，。
在这种近似下，光学系统变换退化为线性变换，因此可以用矩阵方法来进行描述。
矩阵方法最初是由R. A. Sampson引入几何光学，用来处理几何像差等问题错误！未找到引用源。
之后矩阵方法拓展至研究非傍轴成像，为非傍轴成像的研究提供了新的方法。
本文分为两部分，第一部分着重于傍轴近似下的矩阵方法，介绍ABCD矩阵对光学系统变换的描述。
第二部分拓展至包括非傍轴光线的任意光线的传播，介绍并推导严格ABCD矩阵。
一傍轴光线成像与矩阵
上述结论基于傍轴近似，研究的是理想光学系统的傍轴成像。
然而实际成像系统中，非傍轴光线成像造成的影响往往是不可忽略的。
非傍轴光线与傍轴光线往往不是成像于同一点，即非傍轴光线与傍轴光线成像之间存在差异，称之为几何像差。
实际成像中，我们需要关注成像质量，即需要去衡量几何像差的大小。
这种情况下，傍轴ABCD矩阵是无法解决的。
我们需要引入可以描述非傍轴光线的ABCD矩阵，即严格ABCD矩阵。
二任意光线成像与严格ABCD矩阵
对于任意光线的成像，我们希望同样能够用矩阵进行描述，同时能够保持与傍轴ABCD矩阵相似的形式。
因此我们尝试去除傍轴近似，来得到严格的变换关系，即严格ABCD矩阵错误！未找到引用源。
对于共轴光学系统，光线成像依旧可以分成自由空间传播、折射与反射三种情况。
首先我们讨论折射情况。
从几何学的角度，我们首先作出入射光线与折射光线所在直线。
设折射点为，在入射光线所在的直线上作，在折射光线所在直
线上作，同时作到半径的垂线，如错误！未找到引用源。
可以看出，球面折射和自用空间传播的严格ABCD矩阵与傍轴ABCD矩阵保持了形式上的一致性。
特别的，当光线传播过程中满足傍轴近似是，严格ABCD 矩阵（22）和（26）会退化为傍轴ABCD矩阵（11）和（6）。
由于严格ABCD 矩阵不仅仅依赖光学系统本身的几何性质，还依赖于入射光线的光线矢量，因此我们无法通过直接的矩阵乘法得到复杂系统的严格ABCD矩阵。
然而我们可以利用严格ABCD矩阵对几何光学中光线的严格传播进行模拟。
三总结
矩阵方法是几何光学中处理光学系统成像的基本方法。
本文对当前几何光学中常用的矩阵方法进行了介绍与总结。
传统的傍轴ABCD矩阵方法可以很好的描述高斯光学中的相关问题，放大率、拉格朗日-赫姆霍兹不变式等都可以由傍轴ABCD理论直接得出。
然而由于傍轴ABCD矩阵的使用需要满足傍轴近似，非傍轴光线成像中的几何像差无法由传统傍轴ABCD得出。
严格ABCD矩阵在保持了傍轴ABCD矩阵的同时，能够描述非傍轴光线的严格传播，虽然在形式上难以进行直接的计算，然而在计算机技术蓬勃发展的今天，严格ABCD矩阵为计算机模拟光线的严格传播提供了有效的理论基础。
综上所述，矩阵方法是处理几何光学中光学系统成像的有效工具。