2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测：2.5平面向量应用举例
人教版高中数学高一A版必修4同步优化训练 平面向量基本定理
2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,CD =b ，则AM 等于( ) A.21(a -b ) B.21(b -a ) C.21(a +b ) D.21-(a +b ) 答案：C2.如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对解析：平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；C 中的向量λ1e 1+λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的. 答案：A3.如图2-3-1，D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下列命题： ①AD =21-a -b ;②BE =a +21b ;③CF =21-a +21b ;④CF BE AD ++=0. 其中正确命题的序号为_______________________.图2-3-1解析：如图所示，CD AC AD +==-b +21CB =-b 21-a ,+==a +21b ,+==-b -a , =+21=b +21(-b -a )=21b 21-a ,CF BE AD ++=-b 21-a +a +21b +21b 21-a =0.所以应填①②③④.答案：①②③④4.如图2-3-2，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 和MD .图2-3-2解：在ABCD 中，∵+==a +b ,-==a -b , ∴MA =-21AC=-21(a +b )=-21a -21b , =21=21(a -b )=21a -21b ,=21=21a +21b ,-==-21a +21b .10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量,,的终点A,B,C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )A.r =21-p +23q B.r =-p +2q C.r =23p 21-q D.r =-q +2p解析：由3-=，得)(3OC OB OA OC --=-， 即32+-=.∴=21-+23，即r=21-p +23q . 答案：A2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则OP 用OA ,OB 表示为( )A.=+λB.=λ+(1-λ)C.OP =λλ++1 D.OP =λ1OA +λ-11OB 解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)，即=λλ++1OBOA .答案：C3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A,C)，则AP 等于( )A.λ(AD AB +),λ∈(0,1)B.λ(BC AB +),λ∈(0,22) C.λ(AD AB -),λ∈(0,1) D.λ(BC AB -),λ∈(0,22) 解析：∵点P 在对角线AC 上，∴AP 与AC 共线. 又AD AB AC +=,∴AP =λ(AD AB +).当P 与A 重合时,λ=0;当P 与C 重合时,λ=1. 答案：A4.(2006高考安徽卷，理14)在ABCD 中，AB =a ，AD =b ,NC AN 3=,M 为BC 的中点，则MN =_________________(用a 、b 表示). 解析：CN MC MN +==21BC +41CA =21AD +41(BA CB +) =21b +41[-b +(-a )]=41(b -a ). 答案：41(b -a )5.如图2-3-3所示，四边形ABCD 为矩形，且AD=2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 中点，EA =e 1,EF =e 2,以e 1、e 2为基底，表示向量AF 、AB 、AD 及BD .图2-3-3解：∵=e 1,=e 2,∴=e 2-e 1. 依题意有:AD=2AB=DE,且F 为ED 中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形. ∴==e 2-e 1,==e 2. ∴+==e 2-e 1+e 2=2e 2-e 1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，设AB =m,AC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______________,AE=_____________________.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得BD=31BC,BE=32BC，转化为已知向量即可.答案：32m+31n31m+32n2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.答案：x+2y-5=03.如图2-3-4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c,d表示AB和AD.图2-3-4解：设AB=a,AD=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得BN=21b,DM=21a.从△ABN和△ADM中可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+cabdba21,21解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=),2(32),2(32dcbcda即AB=32(2d-c),AD=32(2c-d).4.如图2-3-5所示，在△ABC中，M是边AB的中点，E是线段CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证：FCHFBH==.图2-3-5证明：M为AB中点，MH∥AF，则==x.设AB =a ，AC =b ,MH =2a+x ，AF =a +2x . 又E 为CM 的中点，EF =21MH =24xa+.MC =2a b -,EC =21MC =42ab -.又EF AF AE -==(a +2x)-(24xa +).由AC EC AE =+,(a +2x)-(24x a +)+(42ab -)=b ,2a +23x +2b =b ,3x =b -a ,x =31(b -a ). HF BH ==31(b -a ),而FC =(b -a )32-(b -a )=31(b -a ).∴FC HF BH ==.5.如图2-3-6所示的△OAB 中，OA =a ，OB =b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM =31a ，ON =21b ，设AN 与BM 相交于点P ，用向量a 、b 表示OP .图2-3-6解：OM +=,+=. 设m =,m =，则m OM +==31a +m(b 31-a )=31(1-m)a +m b ,n +==21b +n(a 21-b )=21(1-n)b +n a . ∵a ,b 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-m n n m )1(21)1(31⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.52,51m n ∴=51a +52b . 6.如图2-3-7,已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E ，O 是任意一点.求证：4=+++.图2-3-7证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点，∴CE EC AE -==,DE ED BE -==. 在△OAE 中，OE AE OA =+,同理，OE BE OB =+,OE CE OC =+,OE DE OD =+ 以上各式相加，得OE OD OC OB OA 4=+++. 7.证明三角形的三条中线交于一点.证明：如图，令AB =a ,AC =b 为基底，则BC =b -a ,AD =21a +21b ,BE =21b -a .设AD 与BE 交于点G 1，并设1AG =λ,1BG =μ, 则有BG CG -=11=2λa +2λb -b =2λa +22-λb ,AG CG -=11=a -b -μa +2μb =(1-μ)a +22-μb ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.2222,12μλμλ解之，得λ=μ=32. ∴1AG =32. 设AD 与CF 交于点G 2，同理可得1AG =32. ∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF 相交于同一点. ∴三角形的三条中线交于一点. 快乐时光感 想A ：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？B ：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.A：何以见得呢？B：人家大人小孩都会说英语.。
人教版高中数学高一A版必修4单元检测 平面向量(附答案)
数学人教A版必修4第二章平面向量单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式成立的是()A．MN＝NM B．a·0＝0C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a＋b|≤|a|＋|b|2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()A．a＝b B．a·b＝1 C．a＝－b D．|a|＝|b|3．已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则AB·AC等于()A．11 B．5 C．－1 D．－24．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若a∥b，则实数m的值为()A．－1 B．－2 C．1 D．25．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是()A．π6B．π3C．2π3D．5π66．(2011·广东惠州一模)若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于()A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)7．已知M是平行四边形ABCD对角线的交点，下列四式中不能．．化简为AD的是() A．(AB＋CD)＋BC B．(AD＋MB)＋(BC＋CM)C．OC－OA＋CD D．MB＋AD－BM8．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(x a＋b)·(a－x b)的图象是一条直线，则必有() A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＝b9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1) B．(1,0) C．31,22⎛⎫⎪⎝⎭D．(0，－1)10．已知点A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在l上，则关于实数x的方程2x OA ＋xOB＋AC＝0的解集为()A．B．{－1}C ．11{}22--+ D ．{－1,0}二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为__________． 12．已知点A (1,2)，B (3,4)，C (－2,0)，D (－3,3)，则向量AB 在向量CD 上的投影为__________．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ，BC 是腰，AB ＝2CD ，若AB ＝a ，BC ＝b ，则AD ＝__________.14．设O ，A ，B ，C 为平面内四点，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝b·c ＝c·a ＝－1，则|a|2＋|b|2＋|c|2＝__________.15．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP ＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．若点P 的斜坐标为(3，－4)，则点P 到原点O 的距离|PO |＝__________.三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 垂直？ 17．(15分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝1233OA OB +. (1)求证：A ，B ，C 三点共线； (2)求||||AC CB 的值； (3)已知A (1，cos x )，B (1＋cos x ，cos x )，x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f (x )＝22||3OA OC m AB ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭的最小值为32，求实数m的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：D3. 答案：D4. 答案：B5. 答案：C6. 答案：A7. 答案：D8. 答案：B9. 答案：A 10. 答案：A 11. 答案：3212. 答案：513. 答案：12+a b 14．答案：615. 16. 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 垂直，则10(k －3)＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19， 即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直． 17. (1)证明：∵OC ＝1233OA OB +， ∴OC －OA ＝2()3OB OA -，即AC ＝23AB . ∴AC ∥AB .又AC ，AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)解：由(1)得AC ＝23AB ＝2()3AC CB +， ∴13AC ＝23CB .∴AC ＝2CB .∴||||AC CB ＝2.(3)解：AB ＝(1＋cos x ，cos x )－(1，cos x )＝(cos x,0)， ∵x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴cos x ∈[0,1]．∴||AB ＝|cos x |＝cos x .∵AC ＝2CB ，∴OC －OA ＝2()OB OC -．∴3OC ＝2OB OA +＝2(1＋cos x ，cos x )＋(1，cos x )＝(3＋2cos x,3cos x )． ∴OC ＝21cos ,cos 3x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. ∴f (x )＝22||3OA OC m AB ⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭＝1＋23cos x ＋cos 2x －22cos 3m x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(cos x －m )2＋1－m 2，cos x ∈[0,1]．当m ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值1，与已知最小值为32-相矛盾，即m ＜0不合题意；当0≤m ≤1时，当且仅当cos x ＝m 时，f (x )取得最小值1－m 2. 由1－m 2＝32-，得m ＝±2(舍去)；当m ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值2－2m ，由2－2m ＝32-，得m ＝74＞1.综上实数m 的值为74.。
2014人教A版高中数学必修四 第二章 平面向量 《平面向量的线性运算》基础训练
平面向量的线性运算(基础训练)1、 下列各式正确的就是( )A 、若a r ,b r 同向,则|a +b |=|a |+|b |B 、a b +r r 与|a |+|b |表示的意义就是相同的C 、若a r ,b r不共线,则|a +b |＞|a |+|b |D 、a ab <+r r r 永远成立答案:A 解析:当向量a 与b 不共线时, |a +b |<|a |+|b |;当a 与b 同向时, |a +b |=|a |+|b |,a b +r r表示向量,而|a |+|b |数量。
2、AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r等于( )A 、B 、 0rC 、D 、答案:B解析:AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r =()()000AO OC CA OB BO ++++=+=u u u r u u u r u u r u u u u r u u u r r r r3、下列命题①如果a r ,b r 的方向相同或相反,那么a b +r r 的方向必与a r ,b r之一的方向相同。
②△ABC 中,必有0r ③若0r ,则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。
④若a r ,b r均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等。
其中真命题的个数为( )A 、0B 、1C 、2D 、3答案:B解析:①如果a r ,b r 的方向相同则a b +r r 的方向必与a r ,b r 相同。
如果a r ,b r的方向相反,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,若|a |=|b |,则a +b =0r ,它的方向任意。
②正确。
③若0r ,则A,B ,C 可能三点共线。
④错误4、已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ,b r ,c r,则向量等于( ) A 、a b c ++r r r B 、a b c -+r r r C 、a b c +-r r r D 、a b c --r r r答案:B解析:OD OC CD c BA c OA OB a b c =+=+=+-=-+uuu r uuu r uu u r r uu r r uu r uu u r r r r5、在四边形ABCD 中,设,,AB a AD b BC c ===u u u r r u u u r r u u u r r,则等于( )A 、 a b c -+r r rB 、()b a c -+r r rC 、a b c ++r r rD 、b a c -+r r r答案:A 解析:()DC AC AD AB BC AD =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =a b c -+r r r6、设b r 就是a r的相反向量,则下列说法错误的就是( )A 、a r 与b r 的长度必相等B 、a r ∥b rC 、a r 与b r 一定不相等D 、a r 就是b r的相反向量答案:C解析:若a r 与b r 为0r7、AC uuu r可以写成:①;②;③;④,其中正确的就是( ) A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④答案:D解析:由向量的加法及减法定义可知。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测一.选择题:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．6563B ．65 C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ）矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
人教新课标A版高中数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例同步测试A卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共15题；共30分)
1. （2分） 如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则 的最大值是（ ）
A . 5 N
B . 5N
C . 10N
D . 5 N
12. （2分） 已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）
A . （9，1）
B . （1，9）
C . （9，0）
D . （0，9）
13. （2分） 若 ， 则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
22. （5分） 一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．
23. （5分） 一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
24. （5分） (2016高二上·长沙开学考) 在△ABC中， ．
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使 • 恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、 单选题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
二、 填空题 (共5题；共5分)
人教新课标A版高中数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例同步测试
人教新课标A 版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例 同步测试共 25 题一、单选题1、已知=（1，0），=（x ，1），若•=， 则x 的值为（ ）A. B. 2C.-1D.2、已知三个力 =(-2,-1)，=(-3,2)，=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 ， 则等于（ ）A. （﹣1，﹣2）B. （1，﹣2）C. （﹣1，2）D. （1，2）3、如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）A. 2B. C. D. 44、已知O 是△ABC 内一点，若， 则△AOC 与△ABC 的面积的比值为 （ ）A. B.C.D.5、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P 的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。
设开始时点P 的坐标为（-10，10），求5秒后点P 的坐标为 （ ）A.B.C. D.6、若两个非零向量满足， 则向量与的夹角为( )A. B.C.D.7、已知两个力F 1 ， F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20N ，合力与F 1的夹角为30°，那么F 1的大小为（ ）A. 10NB. 10 NC. 20 ND. 10N8、一条渔船以6km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，则这条渔船实际航行的速度大小为（ ）A. 2km/hB. 4km/hC. 2km/hD. 3km/h9、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s10、一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（ ）A.10JB.12JC.14JD.16J11、已知两个力 F1,F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（ ）A.5NB.5NC.10ND.5N12、已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）A.（9，1）B.（1，9）C.（9，0）D.（0，9）13、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a,b）,=（1,-2），则向量的概率为（ ）A. B.C. D.14、一物体在力F(x)=5x+2（x单位为m，F单位为N）的作用下，沿着与力F相同的方向从x=0处运动到x=4处，则力F所作的功是 ( )A.40B.42C.48D.5215、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心二、填空题16、已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是________17、作用于原点的两个力F1=（1，1），F2=（2，3），为使它们平衡，需加力F3=________ ．18、在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ km/h．19、河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是________ km/h．20、一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________ 海里/小时．三、解答题21、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．22、一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．23、一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．24、某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳．（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？25、如图所示，已知在矩形ABCD中，=4，设=a,=b,=c，试求| ++|．参考答案一、单选题1、【答案】D【解析】【解答】∵=（1，0），=（x，1），∴•=（1，0）•（x，1）=x=故选D．【分析】根据两向量的数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标表示出•即可得答案．2、【答案】D【解析】【解答】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．故选D．【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．3、【答案】A【解析】【解答】如图令，由于故,,如图， AB=1，故，,故，同理可求得，所以，所以的最大值为2.选A.【分析】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题。
高一数学人教A版必修四教案：2.5 平面向量的应用 Word版含答案
2.5 平面向量应用举例一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、教学目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB =AB -AD ,=AB +AD ,教师可点拨学生设AB =a ,AD =b ,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与|DB |2.因此有了方法三.方法三:设AB =a ,AD =b ,则=a +b ,DB =a -b ,|AB |2=|a |2,|AD |2=|b |2.∴|AC |2=AC ·AC =(a +b )·(a +b )=a ·a +a ·b +b ·a +b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2.① 同理||2=|a |2-2a ·b +|b |2.② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+|DB |2=2(|a |2+|b |2)=2(|AB |2+|AD |2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略.（三）应用示例图4例1 如图4,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断、、AT 、与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,则=a +b . 由于AR 与共线,所以我们设r =n(a +b ),n ∈R . 又因为=-=a -21b , 与共线,所以我们设=m =m(a -21b ). 因为ER AE AR +=,所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0.由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以AR =31,同理TC =31AC .于是=31AC .所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明:设BE 、CF 相交于H,并设AB =b ,=c ,AH =h , 则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因为⊥AC ,CH ⊥, 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简得h ·(c -b )=0. 所以⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值. 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),BA =(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23ac ).因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以54299||||2222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,∙的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.∵AB ⊥,∴AB ·=0.∵-=-=-=,,, ∴)()(-∙-=∙ =AC AB AQ AB AC AP AQ AP ∙+∙-∙-∙ =-a 2-+·=-a 2+·(-) =-a 2+21PQ ·=-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,∙最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).∴∙=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-=∴cx-by=a2cosθ.∴CQBP∙=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, CQBP∙最大,其最大值为0.（四）知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为AB·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C 出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3mm a +).当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3mm a +),故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变. 点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可.（五）课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.（六）作业。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修4全集第二章2.5平面向量应用举例
第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例A 级 基础巩固一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F 4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)． 答案：D2．平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD→＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：由题意知a －b ＝d －c ，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：D3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )A ．100焦耳B ．50焦耳C ．503焦耳D ．200焦耳解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)． 答案：B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →. 所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2， 即14AC →2＝1. 所以|AC →|＝2，即AC ＝2.答案：B5．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC ＝23. 答案：C二、填空题6．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝100－25＝75＝53(km/h)．答案：5 37．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是________．。
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1 → → 1→ 1→ 1 → ＝ BC－BA － BC＝－ BA－ BC， 4 3 4 12 → → → → 1→ 而BE＝BA＋AE＝BA＋ BC， 3 1→ → ∴EF＝－ BE. 4 又∵它们有公共点 E，∴B、E、F 三点共线．
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向量方法在物理中的应用 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行
1000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的
南偏西60°，并且A、C两地相距2000 km，求飞机从B地 到C地的位移． 分析：物理学科中矢量及 矢量的运算． 解析：如右图所示，设A 在东西基线和南北基线的交点 处．
( ) | | | |
点评： 用向量方法论证平面几何中的垂直问题， 主要是通过证线段所在向量的数量积为零． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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跟踪训练 2．求证：证明菱形的两条对角线互相垂直．
分析：通过证两对角线所在向量的数量积为零．
解析：证明：如图所示，在菱形ABCD中，AB＝AD， → → ∴AB2＝AD2 → → 2＝ → → 2，化简得 OB－OA OD－OA →2 →2 → → →2 →2 → → OB ＋OA －2OA· OB＝OD ＋OA －2OA· OD， → → 又OB＝－OD，上式可化为： → → → → → → → → → OA· OB－OA· OD＝OA· OB－OD ＝OA· DB＝0. 所以菱形的对角线互相垂直．
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基础梳理 一、向量方法在几何中的应用 1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的等价条件：a∥b⇔________⇔_______. 2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等， 常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔_______⇔_______.
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解析：(1)WN＝N· s＝Nscos〈N，s〉 ． ∵cos〈N，s〉＝0，∴WN＝0. 1 2 (2)W 合＝ΔEkA＝ mv ， 2 而 v2t－v20＝2as 代入数据得 W 合＝16 N.
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向量 加法和减法 向量 数量积
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思考应用 2．你能利用向量解决物理上的常见问题吗？试一试： 滑块A和B叠放在倾角为30°的斜面上，A的质量为2 kg，它 们一起以4 m/s2的加速度从静止开始下滑，在下滑2 m的过程 中，求：
(1)支持力对A做的功； (2)合外力对滑块A做的功．
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用向量方法证明垂直问题 用向量方法证明：直径所对的圆周角是直角． → → 分析：通过证明BA· CA＝0. 解析：证明：如图所示， → → → → → → ， BA· CA＝(BO＋OA)· OA －OC → → → ＝ → ， ∵BO＝OC且 OA OC → → →2 →2 ∴BA· CA＝OA －OC ＝0. ∴∠BAC＝90° .
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平 面 向 量
2.5 平面向量应用举例
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1．体会向量方法在几何问题中的应用． 2．体会向量方法在物理中的应用．
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A．钝角三角形
C．直角三角形
B．锐角三角形
D．等腰直角三角形
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→ → ＝ → → ， 3．四边形ABCD中，若 AB ＋AD AB－AD 则下列 判断正确的是( A )
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A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是正方形 C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形 D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形 4．△ABC的顶点A(－2,3), B(4，－2)，重心G(2，－1) (4，－4) ． 则C点的坐标为________
分析：设AD，BE交于一点H，然后证H点在 CF上．
解析：设 AD，BE 交于一点 H， → → → BC＝a，CA＝b，CH＝h， → → 则BH＝a＋h，AH＝h－b,
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→ → ∵BH⊥AC， ∴(a＋h)· b＝0.① 同理∴(h－b)· a＝0.② ①＋②得 h· b＋h· a＝0， → → ∴CH· BA＝0. ∴三条高线 AD，BE，CF 相交于一点．
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跟踪训练
3．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行
驶的速度大小为( C A．v1－v2 C．|v1|－|v2| ) B．v1＋v2 D.
|v1| |v2|
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→ → 依题意，AB的方向是北偏西 60° ，|AB|＝1000 km； → → AC的方向是南偏西 60° ，|AC|＝2000 km，所以∠BAC＝60° . 过点 B 作东西基线的垂线，交 AC 于点 D，则△ABD 为正三角形，所以 BD＝AB＝CD＝1000 km， 1 ∠CBD＝∠BCD＝ ∠BDA＝30° . 2 所以∠ABC＝90° . 3 BC＝ACsin 60° ＝2000× ＝1000 3(km)， 2 → |BC|＝1000 3 km. 所以，飞机从 B 地到 C 地的位移大小是 1000 3 km， 方向是南偏西 30° .
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一级训练
1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面角为θ， 则对物体所做的功为( D )
A．|F|· s B．Fcos θ· s
C．Fsin θ· s
D．|F|cos θ· s
2．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( D )
A．10 m/s C．4 6 m/s
B．12 m/s D．2 26 m/s
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1．用向量解决平面几何问题，往往是利用向量的 平行四边形法则和三角形法则及坐标运算，结合平面图 形的性质解题，解决的一般问题是平行、垂直的问题． 2．平面向量为解决物理问题又提供了方法，解题 时先将物理问题转化为数学问题再用向量知识解决，一 般涉及力、位移、速度、加速度等量．
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二、向量方法在物理中的应用 1．力、速度、加速度、位移是________．
2．力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的 ________运算，运动的叠加也用到向量的合成．
3．动量mv是________． 4．功即是力F与所产生的位移s的________．
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自测自评 1．▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2,1)， B(－1,3)，C(3,4)，则顶点D的坐标为( B ) A．(2,1) C．(1,2)
→
B．(2,2) D．(2,3)
→
AB＝a，AC＝b，且a· 2．已知△ABC， b<0，则 △ABC的形状( A )
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思考应用 1．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什 么？
解析：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如 距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
(
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点评：在证明有关三点共线问题时，我们可以考虑 → → → → 证EF＝λBE成立；若已知EF＝λBE成立，则 B、E、F 三点 共线成立，这是在解析几何中告诉点共线，长度关系，坐 标关系的一个重要条件．
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跟踪训练 1．如图，已知△ABC的三条 高是AD，BE，CF，用向量方法证 明：AD，BE，CF相交于一点．
3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝______.
4．求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线 性运算、向量模的公式＝________. 1.a＝λb x1y2－x2y1＝0 2.a· b＝0 x1x2＋y1y2＝0