初一期末压轴题精编版
(3) (a b) ＝ (a b) 4ab ＝ 72 4 5 ＝29，
2 2
∴ a b ＝ 29 ． 7．(1) ∵ 点 A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝4， ∵ △ABC 为等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝4， ∴ m＝AC＋BC＝8． (2) E(－2.5，0)，或 E(2.5，0)． (3) m 4 ． 8. 解： （1）180 5=900 ， 900 1040 ，所以用水量超过 180.
4、生活中，有人喜欢把传送的便条折成
形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面） ：
B
B A B
①
M
A
②
M
A
③
M
A
P
④
M
B
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为 26cm ，宽为 x cm ，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点 P ） ，试求 x 的取值范围． （2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 P 的长度相等，试求在开始折叠 时起点 M 与点 A 的距离（用含 x 的代数式表示） ．
a b 图1
图2 图3
2、已知：如图，直线 AC∥BD，联结 AB，直线 AC，BD 及线段 AB 把平面分成①，②，③，④四个部分， 规定：线上的点不属于任何部分.当动点 P 落在某个部分时，联结 PA，PB，探究∠PAC，∠APB，∠PBD 的数量关系.（注：有公共端点的两条重合 的射线所组成的角是 0°角） ．． （1）当动点 P 落在第①部分时，写出∠PAC，∠APB，∠PBD 的数量关系，并加以证明； （2）当动点 P 落在第②部分时， （1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立， 请写出它们之间的数量关系； （3）当动点 P 落在第③部分时，请画出图形并直接写出的结论.
8. 随着北京的城市扩张、工业发展和人口膨胀，丰富的地表水系迅速断流、干涸，甚至地下水也超采严 重，缺水非常严重. 为了解决水资源紧缺问题，市政府采取了一系列措施. 2014 年 4 月 16 日北京市发改委 公布了两套北京水价调整听证方案，征求民意. 方案一 第 1 阶梯：户年用水量不超 145 立方米，每立方米水价为 4.95 元 第 2 阶梯：户年用水量为 146-260 立方米，每立方米水价为 7 元 第 3 阶梯：户年用水量为 260 立方米以上，每立方米水价为 9 元 方案二 第 1 阶梯：户年用水量不超 180 立方米，每立方米水价为 5 元 第 2 阶梯：户年用水量为 181-260 立方米，每立方米水价为 7 元 第 3 阶梯：户年用水量为 260 立方米以上，每立方米水价为 9 元 例如，若采用方案一，当户年用水量为 180 立方米时，水费为 145 4.95+(180-145) 7=962.75 . 请根据方案一、二解决以下问题： （1） 若采用方案二，当户年水费 1040 元时，用水量为多少立方米？ （2） 根据本市居民家庭用水情况调查分析，有 93%的居民家庭年用水量在第一阶梯. 因此我们以户年用水量 180 立方米为界，即当户年用水量不超过 180 立方米时，选择哪个方案所缴纳 的水费最少？
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7．在平面直角坐标系中，已知点 A(－2，0)，B(2，0)，若在坐标轴上存在点 C，使 得 AC ＋ BC ＝ m ， 则称点 C 为点 A ， B 的“ m 和点 ” ，例 如当点 C 的 坐标为 (0 ， 0 ) 时 ，有 AC＋BC＝4，则称点 C(0，0)为点 A，B 的“4 和点” ． 请根据上述规定回答下列问题： （1） 若点 C 为点 A，B 的“m 和点” ，且△ABC 为等边三角形，求 m 的值； （2） 点 E 是点 A，B 的“5 和点” ，且点 E 在 x 轴上，则点 E 的坐标为 （3） 若点 A，B 的“m 和点”有且只有 4 个，则 m 的取值范围是 ； ．
（3）i）当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠APB＝∠PBD－∠PAC．……4 分 ii）当动点 P 在射线 BA 上，结论是∠APB＝∠PBD－∠PAC，或∠APB＝∠PAC－∠PBD． ……5 分 iii）当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠APB＝∠PAC－∠PBD． 综上所述，三个角之间的关系是∠APB＝ ∠PAC ∠PBD ．……6 分
（2）解：设甲一周的装修费是 m 万元，乙一周的装修费是 n 万元． 依题意列方程组，得
6m 6n 5.2, 4m 9n 4.8.
------------------------------------------4 分
3 x , 5 解这个方程组，得 y 4 . 15
并说明理由；
l 2 两线外侧运动时， (2)当点 D 在 l1 、 试探索 BAD 、DEF 、ADE 之间的等量关系(点 D 和 B 、
F 不重合)，画出图形，直接写出结论．
l A C E
l
4
3
B D F
l1
l
2
第Hale Waihona Puke 9题图6．图①是一个长为 2m，宽为 2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状 和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
0 5x 26 ------------------------------------------------2 分
26 ．-----------------------------------------------------------------3 分 5 （2） ② 纸条两端超出点 P 的长度相等， 26 5 x 3 ∴ AM x 13 x ． 2 2
E C
第29题图
8 分；
F D
l
2
当点 D 在直线 l2 下方运动时，
BAD DEF ADE .
………………
9 分.
6．(1) (m n) ；
2 2
(m n)2 4mn ；
2
……………………2 分 ……………………3 分
(2) (m n) ＝ (m n) 4mn ；
甲单独做的装修费 乙单独做的装修费
-----------------------------------------------5 分
3 ， 10=6 （万元） 5 4 ， 15=4 （万元） 15
答：从节约开支角度考虑应选乙公司．-----------------------------------------------6 分 4． 解： （1）① 由折纸过程知 ∴ 0 x
m n n
m
m n
n
m
图① 图②
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法 1： 方法 2：
2
； ；
2
（2）直接写出三个代数式 (m n) ， (m n) ， mn 之间的等量关系： ； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 若 a b 7 ， ab 5 ，求 a b 的值．
初一期末复习
解答压轴题汇编
1、在一节数学课上，李老师给出了若干个完全相同的小长方形学具，如图 1，每个小长方形的边长分别为 acm， bcm.方芳和林琳分别用 8 个这样的小长方形拼出了一个大长方形和一个正方形 （如图 2 和图 3） ， 其中琳所拼正方形由于中间留下了一个小正方形的空白. （1）如果林琳所拼图形中空白的小正方形边长等于 3cm，那么请你求出 a，b 的值； （2）如果林琳所拼图形中空白的小正方形边长小于 3cm，且 a，b 均为整数，那么请你求出 a，b 的值.
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P
③ A M ② B ④
P ③
P C ① D
② B A
③ C
F A
C
① D
② B
① D
④
④
图1
图2
图
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3． （1）解：设甲公司的工作效率为 x ，乙公司的工作效率为 y ． 依题意列方程组，得 分
6 x 6 y 1, 4 x 9 y 1.
……………………5 分
……………………2 分 ……………………4 分 ……………………5 分
设用水量为 x 立方米，则 180 5+(x 180) 7=1040 ，解得 x 200 . 所以若采用方案二，当户年水费 1040 元时，用水量为 200 立方米. ………… 3 分 （2） 户年用水量 方案一水费 方案二水费
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5．直线 l1 平行于直线 l 2 ，直线 l 3 、 l 4 分别与 l1 、 l 2 交于点B、F和 A 、 E ，点 D 是直线 l 3 上一动点，
DC // AB 交 l 4 于点 C ． (1)如图，当点 D 在 l1 、 l 2 两线之间运动时，试找出 BAD 、 DEF 、 ADE 之间的等量关系，
C A l l
4
………………
1 分；
………………
2 分；
3 分； 4 分； 5 分.
……………… ………………
3
D B
l1
画图正确，………………
E
第29题图
6 分；
F
l
2
当点 D 在直线 l1 上方运动时，
DEF BAD ADE ，
l A l
4 3
………………
7 分；
B
l1
画图正确，………………
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解答题压轴题汇编答案
1．解：(1)根据题意列方程组，得
3a 5b, 2b a 3.
……2分
解这个方程组，得
a 15, b 9.
七年级下期末真题精选(压轴60题19个考点专练)(原卷版)
七年级下期末真题精选（压轴60题19个考点专练）一．幂的乘方与积的乘方（共1小题）1．（2021春•西湖区校级期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（）A．5B．6C．7D．8二．多项式乘多项式（共1小题）2．（2021春•鄞州区校级期末）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求的值．三．完全平方公式的几何背景（共2小题）3．（2021春•奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（只要写出一个即可）；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．4．（2017春•庆元县期末）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．（1）S甲＝，S乙＝（用含a、b的代数式分别表示）；（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．四．完全平方式（共1小题）5．（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（）A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4五．整式的混合运算（共4小题）6．（2022春•宁波期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1﹣S2值的是（）A．长方形纸片长和宽的差B．长方形纸片的周长和面积C．①和②的面积差D．长方形纸片和①的面积差7．（2021春•镇海区校级期末）下列计算正确的是（）A．a5+a5＝2a10B．a3•2a2＝2a6C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣2ab）2＝4a2b28．（2020春•义乌市期末）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为．9．（2019春•江北区期末）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．六．因式分解的应用（共6小题）10．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．11．（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．12．（2021春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝画出拼图．13．（2021春•婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a2+b2．例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝92﹣72，32＝62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝92+72材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．14．（2018春•鄞州区期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．15．（2016春•慈溪市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你说明这个等式的正确性；（2）若a＝2014，b＝2015，c＝2016，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；（3）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，且xyz＝36．求代数式++﹣﹣﹣的值．七．分式的定义（共1小题）16．（2021春•奉化区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．八．分式的化简求值（共2小题）17．（2021春•鄞州区校级期末）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．18．（2019春•鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）2，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．（2）若m＜0，n＜0，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．九．二元一次方程组的解（共1小题）19．（2021春•奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若2x+y＝8，则a＝2．正确的有几个（）A．1B．2C．3D．4一十．二元一次方程组的应用（共3小题）20．（2019春•北仑区期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；（2）当销售总收入为16760元时，①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值；（3）为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？21．（2018春•宁波期末）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为x厘米，y厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，x＞y）．（1）用含x，y的代数式表示这三块木板的面积；（2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求x，y 的值；（3）如果购买一块长120厘米，宽为（x+y）的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求+的值．22．（2021春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：购票人数1～50人51～100人100以上票价10元/人8元/人5元/人（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？一十一．解分式方程（共1小题）23．（2022春•宁波期末）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝，x2＝．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．一十二．分式方程的应用（共6小题）24．（2021春•奉化区校级期末）商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A 种糖的单价为（）A．50元/千克B．60元/千克C．70元/千克D．80元/千克25．（2021春•婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．26．（2021春•婺城区校级期末）“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900…消费金额p（元）的范围3060100130…获得奖券金额（元）根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8＝360（元），获得优惠额为：450×0.2+30＝120（元）．设购买商品的优惠率＝．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？27．（2021春•奉化区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？28．（2021春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？29．（2015春•杭州期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．一十三．平行线的性质（共15小题）30．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°31．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为．32．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为．33．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．34．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB 上．（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为；（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为；（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为．35．（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN 上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝°，∠PFQ＝°．（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．36．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．37．（2021春•镇海区校级期末）已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，（1）连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，则∠BED的度数为；②如图2，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，则∠BED的度数为（用含有α，β的式子表示）．（2）如图3，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，则∠FEQ和∠BME的数量关系是．（3）如图4，若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；38．（2021春•慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：①∠BAD的度数；②射线BN过点A时的x的值．（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．39．（2021春•镇海区期末）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝．40．（2020春•奉化区期末）已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．41．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．42．（2021春•越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是．43．（2021春•婺城区校级期末）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．44．（2016春•嵊州市期末）已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．（1）若∠1＝33°，∠APB＝74°，则∠2＝度．（2）若∠Q的一边与P A平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．（3）若∠Q的一边与P A垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．一十四．平行线的判定与性质（共7小题）45．（2021春•奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b 满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线BQ互相平行．46．（2022春•鄞州区期末）如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2．（1）求证：DE∥AC；（2）若∠3＝30°，∠B＝25°，求∠BDE的度数．47．（2021春•奉化区校级期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝，∠C＝．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．提示：过点C作CF∥AB．深化拓展：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为°．48．（2021春•奉化区校级期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠PFD＝130°（已知），∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．即∠EPF＝90°（等量代换）．[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是°．49．（2021春•奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝°．（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．50．（2020春•诸暨市期末）如图，在三角形ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1﹣∠2＝150°，2∠2﹣∠1＝30°．（1）求证：DM∥AC；（2）若DE∥BC，∠C＝50°，求∠3的度数．51．（2019春•拱墅区期末）如图，AD∥EC．（1）若∠C＝40°，AB平分∠DAC，求∠DAB的度数．（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，试说明AE∥BF的理由．一十五．平移的性质（共2小题）52．（2022春•西湖区校级期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．53．（2017春•上虞区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°（1）说明OB∥AC成立的理由．（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）54．（2018春•嘉兴期末）某市抽查部分家庭每月水电费的开支（单位：元），得到下面的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．请根据该直方图，回答下列问题：（1）被抽查的家庭共有多少户？（2）自左至右第二组的频数、频率分别是多少？（3）小明同学说：“由图中信息可知，被抽查家庭的每月水电费最低开支至少是100元”你认为小明的说法对吗？为什么？一十七．条形统计图（共4小题）55．（2021春•奉化区校级期末）某中学举行“庆祝中华人民共和国成立70周年”知识预赛，学生会把成绩x（分）分成五组：A组：50≤x＜60；B组：60≤x＜70；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90；E组：90≤x＜100．统计后绘制成如下两个统计图（不完整）．（1）直接填空：①m的值为；②在图2中，C组的扇形圆心角的度数为．（2）在图1中，画出60≤x＜70所对应的条形图；（3）若学生会计划从预赛中选拔前30名进入复赛，则进入复赛的成绩应不低于多少分？56．（2018春•拱墅区期末）以下是某网络书店1～4月关于图书销售情况的两个统计图：某网络书店1﹣4月销售总额统计图绘本类图书销售额占该书店当月销售总额的百分比统计图（1）求1月份该网络书店绘本类图书的销售额．（2）若已知4月份与1月份这两个月的绘本类图书销售额相同，请补全统计图2．（3）有以下两个结论：①该书店第一季度的销售总额为182万元．②该书店1月份到3月份绘本类图书销售额的月增长率相等．请你判断以上两个结论是否正确，并说明理由．57．（2021春•镇海区期末）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出该校九年级学生总数；（2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？58．（2022春•南浔区期末）某校研究性学习小组以“学生到学校交通工具类型”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的项目有：公共汽车、小车、摩托车、自行车、其它（每位同学仅选一项）．根据调查。
初一下学期数学期末复习压轴题 解答题试卷带答案
初一下学期数学期末复习压轴题 解答题试卷带答案一、解答题1．解方程或不等式（组）（1）24231x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）2151132x x -+-≥ （3）312(2)15233x x x x +<+⎧⎪⎨-≤+⎪⎩ 2．已知，关于x 、y 二元一次方程组237921x y a x y -=-⎧⎨+=-⎩的解满足方程2x-y=13，求a 的值．3．如图，已知AB ∥CD ， 12∠=∠，BE 与CF 平行吗？4．因式分解：（1）16x 2－9y 2（2）(x 2+y 2)2－4x 2y 25．计算：（1）022019()32020-- （2）4655x x x x ⋅+⋅6．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 向下平移3格，再向右平移4格.（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）在图中画出△A′B′C′的高C′D′.7．先化简，再求值：（2a +b ）2﹣（2a +3b ）（2a ﹣3b ），其中a ＝12，b ＝﹣2．8．计算：（1）201()2016|5|2----；（2）（3a 2）2﹣a 2•2a 2+（﹣2a 3）2+a 2．9．解不等数组：3(2)41213x x x x --≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示出它的解集． 10．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝50°，则∠ABX+∠ACX ＝ °；②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝50°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数；③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC ＝140°，∠BG 1C ＝77°，求∠A 的度数．11．已知关于x 、y 的二元一次方程组21322x y x y k +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩(k 为常数)． (1)求这个二元一次方程组的解(用含k 的代数式表示)；(2)若()2421y x +=，求k 的值； (3)若14k ≤，设364m x y =+，且m 为正整数，求m 的值． 12．疫情初期，武汉物资告急，全国一心，各地纷纷运送物资到武汉。
初一数学期末压轴题汇编
初一期末压轴题汇编1．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）．例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3．已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点．（1）d1（点O，线段AB）＝，d2（点O，线段AB）＝；（2）若点C，D表示的数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值；（3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）小于或等于6，直接写出t的取值范围．（t 可以等于0）2．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点，若MN＝（AB+CD），则将e的值称为线段AB，CD的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定e＝0．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．（1）若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，则线段EF，OT的相对离散度是，线段FG，EH的相对离散度是；（2）设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段OS，OT的相对离散度为e＝，求s的值；（3）数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP，OT的相对离散度为e1，线段OQ，OT的相对离散度为e2，当e1＝e2时，直接写出点R所表示的数r的取值范围．3．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}＝x﹣1；若x＜0，则{x}＝﹣x+1．例：{1}＝×1﹣1＝﹣．（1）求{}，{﹣1}的值；（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，试求代数式（a+b）2﹣2a﹣2b的值．4．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为；（2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．5．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+2NP＝k，则称点P为点M，N 的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+2NP＝3，所以点P 是点M，N的“3和点”．（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．①若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为；②若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，则k的值为；（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n（n是大于1的整数）倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；（1）若点A表示数是﹣1，点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示﹣4，，7各数，其中是点A，C的“3倍和谐点”的是；（2）点A表示的数是﹣20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点．①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；②若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数．7．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，请直接写出的值．8．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：7③＝；（）⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何大于等于2的整数c，1©＝1；C.8⑨＝9⑧；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方→2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2→乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：（﹣5）⑥＝；（）⑨＝；（2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为；（3）将（）ⓜ•（）ⓝ（m为大于等于2的整数）写成幂的形式为．9．阅读下面材料，回答问题．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示AB．（一）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（二）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|．③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下几个问题：（1）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是x，且点B与点A在原点的同侧，AB＝3，则x＝．（2）数轴上点A到原点的距离是1，点B表示的数绝对值是3，则AB＝．（3）若点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4、2，设P在数轴上表示的数是x，当|P A|+|PB|＝8时，直接写x的值．10．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n ﹣m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a＝﹣1．①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点是点A、C的双倍绝对点；②若|a﹣c|＝2，则b＝；（2）若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A、C的双倍绝对点，则c的最小值为；（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．11．对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点P′．称这样的操作为点P的“m速移”，点P′称为点P的“m速移”点．（1）当m＝1，n＝3时，①如果点A表示的数为﹣5，那么点A的“m速移”点A′表示的数为；②点B的“m速移”点B'表示的数为4，那么点B表示的数为；③数轴上的点M表示的数为1，如果CM＝2C′M，那么点C表示的数为；（2）数轴上E，F两点间的距离为2，且点E在点F的左侧，点E，F通过“2速移”分别向右平移t1，t2秒，得到点E'，F'，如果E'F'＝2EF，请直接用等式表示t1，t2的数量关系．12．点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：（1）当a＝﹣1，b＝5时，求线段AB的“和谐点”所表示的数；（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，直接写出此时a的值．13．我们把称为二阶行列式，且＝ad﹣bc．如：＝1×（﹣4）﹣3×2＝﹣10．（1）计算：＝；＝；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即＝＝＝＝k，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若k≠1，且＝，求x的值．14．在数轴上，表示数0的点记作点O．点A，B是该数轴上不重合的两点，点B关于点A的联动点定义如下：若射线AB上存在一点C，满足线段AB+AC＝2AO，则称点C是点B关于点A的联动点．如图是点B关于点A的联动点的示意图．当点C与点A重合时，规定AC＝0．（1）当点A表示的数为1时，①点B表示的数为1.5，则其关于点A的联动点C表示的数为；②若点B与O重合，则其关于点A的联动点C表示的数为；③若点B关于点A存在联动点，则点B表示的数x的取值范围是．（2）当点A表示的数为a时，点B关于点A的联动点为C，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为1，则a的取值范围是．15．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC＝2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数﹣1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）如图5，数轴上，点A所表示的数为﹣30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．16．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．17．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a，b互为“等和积数”，其中a叫做b的“等和积数”，b也叫a 的“等和积数”．例如：因为+（﹣1）＝﹣，×（﹣1）＝﹣，所以+（﹣1）＝×（﹣1），则与﹣1互为“等和积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是；（2）有理数1（填“有”或“没有”）“等和积数”；（3）若m的“等和积数”是，n的“等和积数”是，求3m+4n的值．18．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．根据以上材料，解决下列问题：（1）M2（9653）的值为，M2（58）+M2（9653）的值为；（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．如M2（124）＝100，M2（630）＝010，因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝110，所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124与630满足“模二相加不变”．①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有个．19．阅读材料，并回答问题钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2点钟，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问2点钟之前4小时几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“㊀”表示钟表上的减法．（注：我用0点钟代替12点钟）由上述材料可知：（1）9⊕6＝；2㊀4＝．（2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立．（3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a ＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例，并结合反例加以说明．20．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3*2＝3．（1）对于数阵A，2*3的值为；若2*3＝2*x，则x的值为；（2）若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a*a＝a；条件二：（a*b）*c＝a*c；则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：（填“是”或“否”）；②已知一个“有趣的”数阵满足1*2＝2，试计算2*1的值；③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a*b＝b*a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．21．阅读下面材料：小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD，如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明：已知：如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补．（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余．（保留画图痕迹）（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．22．已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，∠EFD＝60°，过点E的直线l从与直线AB重合开始，以2°/秒的速度绕点E逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90°），直线l与直线CD交于点G．（1）如图1，当t＝20时，请直接写出∠FEG的度数．（2）已知∠MFN＝90°，射线FM与射线FD重合，射线FN在直线CD的上方，∠MFN以1°/秒的速度绕点F逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90°），射线FN交直线AB于点P．①如图2，猜想∠APN与∠CGE之间的数量关系，并证明．②在旋转过程中，直线EG交直线NF于点H，Q为直线EG上且位于点E上方的一点，射线EK为∠QEF的角平分线，若2∠EHF＝∠AEK+48°，请直接写出此时t的值．23．如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．（1）如图1，一边OM为射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP 时，求α的度数．24．如图1，在平面内，已知点O在直线AB上，射线OC、OE均在直线AB的上方，∠AOC＝α（0°＜α＜30°），∠COE＝2α，OD平分∠COE，∠DOF与∠AOC互余．（1）若∠AOE：∠BOE＝1：5，则∠α＝°；（2）当OF在∠BOC内部时，①若α＝20°，请在图2中补全图形，求∠EOF的度数；②判断射线OF是否平分∠BOD，并说明理由；（3）若∠EOF＝4∠AOC，请直接写出α的值．25．对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OP n﹣1，OP n是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l 的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度．（1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；（2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OP n﹣1，OP n是∠MON关于射线l的一个基准射线族．①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值；②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．26．已知：点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD，且∠ABC＝∠BAC．（1）如图1，求证：DE∥PQ；（2）如图2，点K为AB上一点，连接CK，若∠EAC＝2∠ACK，求∠AKC的度数；（3）在（2）的条件下，点F在直线DE上，连接FK，且∠DAB＝∠AFK+∠KCB，若∠FKA＝∠AKC，求∠ACB的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算）27．已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，①依题意补全图1；②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE ＜180°）28．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT 落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是；（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．29．已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC 靠近OB的三等分线．（1）若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为．（2）当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．30．对于同一平面内的∠AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“牛线”．（1）图1中，OC平分∠AOB，则射线OC∠AOB的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）（2）当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的∠AOB与∠BOC的关系．（3）已知：如图2，在平面内，∠AOB＝60°，若射线OC绕点O从射线OB的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线OA绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA 的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1°的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．初一期末压轴题汇编参考答案1．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）．例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3．已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点．（1）d1（点O，线段AB）＝1，d2（点O，线段AB）＝3；（2）若点C，D表示的数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值；（3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）小于或等于6，直接写出t的取值范围．（t 可以等于0）解：（1）d1（点O，线段AB）＝OA＝1﹣0＝1，d2（点O，线段AB）＝OB＝3﹣0＝3，故答案为：1，3；（2）∵点C，D表示的数分别为m，m+2，∴点D在点C的右侧，CD＝2，当CD在AB的左侧时，d1（线段CD，线段AB）＝DA＝1﹣（m+2）＝2，解得：m＝﹣3，当CD在AB的右侧时，d1（线段CD，线段AB）＝BC＝m﹣3＝2，解得：m＝5，综上所述，m的值为﹣3或5；（3）当t＝0时，点C表示的数为0，点D表示的数为﹣2，则d2＝5，当0＜t≤1时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣2+2t，则d2＝5﹣2t＜6，当1＜t≤2时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣2t﹣2，则d2＝3﹣（﹣2﹣2t）≤6，解得：t≤，当2＜t≤3时，点C表示的数为2t，点D表示的数为6t﹣16，则d2＝19﹣6t≤6，解得：t≥，当3＜t≤4时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣8t+26，则d2＝8t﹣23≤6或2t﹣1≤6，解得：t≤，当t＝5时，点C表示的数为10，点D表示的数为4，则d2＝AC＝10﹣1＝9＞6，当4＜t≤5时，点C表示的数为2t（8＜2t≤10），点D表示的数为10t﹣46，（﹣6＜10t﹣46≤4），∴0≤BD≤9，7≤AC≤9，∴d2＞6，不符合题意，综上所述，d2（线段CD，线段AB）小于或等于6时，0≤t≤或≤t≤．2．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点，若MN＝（AB+CD），则将e的值称为线段AB，CD的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定e＝0．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．（1）若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，则线段EF，OT的相对离散度是，线段FG，EH的相对离散度是0；（2）设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段OS，OT的相对离散度为e＝，求s的值；（3）数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP，OT的相对离散度为e1，线段OQ，OT的相对离散度为e2，当e1＝e2时，直接写出点R所表示的数r的取值范围．解：（1）∵点E，F表示的数分别是﹣3，﹣1，∴EF＝2，EF的中点M对应的数为﹣2．∵数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2，∴OT＝2，OT的中点N所对应的数为1．∴MN＝3．∵MN＝（EF+OT），∴3＝（2+2）．∴e＝；∵数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，∴FG＝4，FG的中点J对应的数为1，EH＝8，EH的中点K对应的数为1，∴JK＝0，∴e＝0．故答案为：；0；（2）设线段OS，OT的中点为L，K，∵数轴上点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数为2，∴OS＝s，OT＝2．∴点L，K在数轴上表示的数为，1，∴LK＝|1﹣|．∵线段OS，OT的相对离散度为e＝，∴|1﹣|＝×（s+2）．∴s+2＝|4﹣2s|．解得：s＝或s＝6．答：s的值为或6．（3）r≥2．理由：数轴上点P，Q在数轴上对应的数为m，n，∵数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），∴m＞0，n＞0，且m≠n．∵点R是线段PQ的中点，∴点R所表示的数r＝．设线段OP，OT的中点为M，N，则M对应的数为，N点对应的数为1，∵线段OP，OT的相对离散度为e1，∴|﹣1|＝（m+2）．∴e1＝．同理可得：e2＝．∵e1＝e2，∴．①当m﹣2＞0，n﹣2＞0时，解得：m＝n，∵点P，Q不重合，∴m≠n，舍去；②当m﹣2＜0，n﹣2＜0时，解得：m＝n，同样，不合题意舍去；③当m﹣2＞0，n﹣2＜0时，解得：mn＝4．④当m﹣2＜0，n﹣2＞0时，解得：mn＝4．综上，mn＝4．∵m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2≥0，∴（m﹣n）2+4mn≥4mn．∴（m+n）2≥16．∴≥4．即≥4．∴≥2．即r≥2．3．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}＝x﹣1；若x＜0，则{x}＝﹣x+1．例：{1}＝×1﹣1＝﹣．（1）求{}，{﹣1}的值；（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，试求代数式（a+b）2﹣2a﹣2b的值．解：（1）{}＝﹣1＝﹣，{﹣1}＝＝；（2）a＞0，b＜0，{a}＝{b}，即a﹣1＝﹣+1，解得：a+b＝4，故（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b）＝42﹣8＝8．4．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为﹣1；（2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为5；（3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是﹣4≤m≤﹣3；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．解：（1）点M表示的数＝＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5；故答案为：5；（3）①点B表示的数范围﹣3≤B≤﹣1，m的取值范围﹣4≤m≤﹣3；故答案为：﹣4≤m≤﹣3；②点A表示的数为t﹣5；点C表示的数为3t﹣3，根据题意可知，点O为点A与点B的平衡点，∴点B表示的数为5﹣t，∵点B在线段CD上，当点B与点C相遇时，t＝2，当点B与点D相遇时，t＝6，∴2≤t≤6，且t≠5，综上所述，当2≤t≤6且t≠5时，点O可以为点A与点B的“平衡点”．5．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+2NP＝k，则称点P为点M，N 的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+2NP＝3，所以点P 是点M，N的“3和点”．（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．①若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为1；②若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，则k的值为或16；（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．解：（1）AB＝2﹣（﹣2）＝4，①点C表示的数为2﹣{5﹣[2﹣（﹣2）]}＝1．故答案为：1；②点D在AB之间，∵AD＝2BD，∴BD＝4×＝，∴k＝4+＝；点D位于点B右侧，∵AD＝2BD，∴BD＝4×＝4，∴AD＝2×4＝8，∴k＝8+2×4＝16．故k的值为或16；（2）①当点T位于点E左侧，即t＜a时，显然不满足条件．②当点T在线段EF上，即a＜t＜a+4时，∵EF＝4，∴ET+TF＝4．又∵点T是点E，F的“6和点”，∴ET+2FT＝6，∴ET＝FT＝2，即点T是线段EF的中点，∴t＝a+2．③当点T位于点F右侧，即t＞a+4时，∵EF＝4，∴ET﹣FT＝4，又∵点T是点E，F的“6和点”，∴ET+2FT＝6，∴FT＝，∴t＝a+4+＝a+．综上，t的值为a+2或a+．6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n（n是大于1的整数）倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；（1）若点A表示数是﹣1，点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示﹣4，，7各数，其中是点A，C的“3倍和谐点”的是B1，B2；（2）点A表示的数是﹣20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点．①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；②若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数．解：（1）∵[5﹣（﹣4）]÷[﹣1﹣（﹣4）]＝3，∴B1是点A，C的“3倍和谐点”，∵（5﹣）÷[﹣（﹣1）]＝3，∴B2是点A，C的“3倍和谐点”，∵[7﹣（﹣1）]÷（7﹣5）]＝4，。
（完整版）七年级下册期末压轴题数学试题及解析（一）
一、解答题1．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t 型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”．已知点A（2，1）和点B（4，1）．（1）将点A（2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为．（2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是．②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是．（3）已知点C（6，1），D（8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是时，B'M的最小值保持不变．2．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．3．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）4．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．5．（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论．（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为．6．已知：AB//CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．（1）如图1，求证：GF//EH；（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．7．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．（1）观察一个等比列数1，1111,,,24816，…，它的公比q＝；如果a n（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，a n＝；（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…①等式两边同时乘以2，得2S ＝2+4+8+16++32+…+231…②由② ﹣ ①式，得2S ﹣S ＝231﹣1即（2﹣1）S ＝231﹣1所以 3131212121S -==-- 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，请用含a 1，q ，n 的代数式表示a n ；如果这个常数q ≠1，请用含a 1，q ，n 的代数式表示a 1+a 2+a 3+…+a n ．8．对于有理数a 、b ，定义了一种新运算“※”为：()()223a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩※ 如：532537=⨯-=※，2131313=-⨯=-※． （1）计算：①()21-=※______；②()()43--=※______；（2）若313m x =-+※是关于x 的一元一次方程，且方程的解为2x =，求m 的值； （3）若3241A x x x =-+-+，3262B x x x =-+-+，且3A B =-※，求322x x +的值． 9．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷⋯÷个 （a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”． （初步探究）（1）直接写出计算结果：2③=___，（12）⑤=___；（2）关于除方，下列说法错误的是___A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1ⓝ=1；C ．3④=4③；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）④=___； 5⑥=___；（-12）⑩=___．（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于___；（3）算一算：212÷(−13)④×(−2)⑤−(−13)⑥÷33 10．下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）观察发现：1n(1)n =+__________1111122334n(1)n ++++=⨯⨯⨯+ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把112拆成两个分子为1的正的真分数之差，即112= ；②把112拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112= ； （ 3 ）定义“⊗”是一种新的运算，若1112126⊗=+，11113261220⊗=++，111114*********⊗=+++，求193⊗的值． 11．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<______位数；（2）由32768的个位上的数是8________，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64_____________ (3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：________=12．已知，在计算：()()12++++N N N 的过程中，如果存在正整数N ，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N 为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为2349++=没有进位，30313293++=没有进位；15和91都不是“本位数”，因为15161748++=，个位产生进位，919293276++=，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．106（ ）；111（ ）；400（ ）；2015（ ）．（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是 ，最小的“本位数”是 ．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？13．如图，已知点()2,A a ，点()6,B b ，且a ，b 2(2)0b -=．（1）求点A 、B 的坐标；（2）如图1，点()P m n ,是线段AB 上的动点，AE x ⊥轴于点E ，PH x ⊥轴于点H ，BF x ⊥轴于点F ，连接PE 、PF ．试探究m ，n 之间的数量关系；（3）如图2，线段AB 以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段11A B ．若线段11A B 交y 轴于点C ，当三角形1A CO 和三角形1B CO 的面积相等时，求移动时间t 和点C 的坐标．14．如图，已知AM //BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点,C D ．（1）当60A ∠=︒时，ABN ∠的度数是_______；（2）当A x ∠=︒，求CBD ∠的度数（用x 的代数式表示）；（3）当点P 运动时，ADB ∠与APB ∠的度数之比是否随点P 的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，请直接写出14DBN A +∠∠的度数．15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，三角形OAB 的边OA 、OB 分别在x 轴正半轴上和y 轴正半轴上，A （a ，0），a 是方程22132a a +--=的解，且△OAB 的面积为6．（1）求点A 、B 的坐标；（2）将线段OA 沿轴向上平移后得到PQ ，点O 、A 的对应点分别为点P 和点Q （点P 与点B 不重合），设点P 的纵坐标为t ，△BPQ 的面积为S ，请用含t 的式子表示S ；（3）在（2）的条件下，设PQ 交线段AB 于点K ，若PK =83，求t 的值及△BPQ 的面积．16．学校准备购进一批篮球和足球，已知2个篮球和6个足球共需480元；3个篮球和4个足球共需470元．（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元；（2）学校准备购进两种球共50个，并且篮球的数量不少于足球数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．17．在平面直角坐标系中，点(,1)A a ，(,3)B b 满足关系式2(1)|2|0++-=a b ．（1）求a ，b 的值；（2）若点(3,)P n 满足ABP △的面积等于6，求n 的值；（3）线段AB 与y 轴交于点C ，动点E 从点C 出发，在y 轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F 从点(8,0)-M 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，问t 为何值时有2ABE ABF S S =，请直接写出t 的值．18．如图1，已知，点A (1，a )，AH ⊥x 轴，垂足为H ，将线段AO 平移至线段BC ，点B (b ，0)，其中点A 与点B 对应，点O 与点C 对应，a 、b 满足24(3)0a b -+-=．（1）填空：①直接写出A 、B 、C 三点的坐标A (________)、B (________)、C (________)； ②直接写出三角形AOH 的面积________．（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．19．学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346．张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5×5的正方形风格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为a ij，（其中，i、j＝1，2，3，4，5），规定A i＝16a i1＋8a i2＋4a i3＋2a i4＋a i5．（1）若A1表示入学年份，A2表示所在年级，A3表示所在班级，A4表示编号的十位数字，A5表示编号的个位数字．①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号；②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案；（2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示入学年份加8，A2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数，A3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A4表示、个位数字用A5表示．例如：2018年9年级5班的39号同学，其加密后的身份识别图案中，A1＝18＋8＝26，A2＝9－6＋5＝8，A3＝9×2－3－5＝10，93＋2＝95，所以A4＝9，A5＝5，所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3所示．图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号．20．某企业用规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一或裁法二,裁剪出甲型与乙型两种板材(单位：cm)．（1）求图中a、b的值；（2）若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪,裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面,做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个(接缝处的长度忽略不计)．①一共可裁剪出甲型板材 张，乙型板材 张；②恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子多少个？21．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x x y -==-，（x 、y 为正整数） ∴01220x x >⎧⎨->⎩，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423x y =-=∴2x+3y=12的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩ 问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： .（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值为 . （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？22．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．①问（1）班有多少人得满分？②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？23．在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标满足x ﹣2y +3＝0，则我们称点P 为“健康点”：若点Q （x ，y ）的坐标满足x +y ﹣6＝0，则我们称点Q 为“快乐点”．（1）若点A 既是“健康点”又是“快乐点”，则点A 的坐标为 ；（2）在（1）的条件下，若B 是x 轴上的“健康点”，C 是y 轴上的“快乐点”，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若P 为x 轴上一点，且△BPC 与△ABC 面积相等，直接写出点P 的坐标．24．学校组织270名同学和7名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为45人/辆，小客车载客量为30人/辆（1）学校准备租用7辆客车，有几种租车方案?（2）在（1）的条件下，若大客车租金为400元/辆，小客车租金为300元/辆，哪种租车方案最省钱?（3）学校临时增加10名学生和4名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有1名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有20人，请你帮助设计租车方案25．阅读材料：关于x ，y 的二元一次方程ax+by=c 有一组整数解00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax+by=c 的全部整数解可表示为00x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为0069x y =⎧⎨=⎩，则全部整数解可表示为61997x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）． 因为61909+70.t t ->⎧⎨>⎩，解得96719t -<<．因为t 为整数，所以t =0或-1． 所以该方程的正整数解为69x y =⎧⎨=⎩和252x y =⎧⎨=⎩ ． （1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：253x t y t θ=+⎧⎨=+⎩（t 为整数），则θ= ； （2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；（3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．26．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x] ．例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．那么，x=[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]= ，[－6.5]= ；（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是；（3）如果[5x－2]=3x+1，那么x的值是；（4）如果x=[x]+a，其中0≤a＜1，且4a= [x]+1，求x的值．27．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x ﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y ﹣1＝0是“友好方程”．（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程32y k+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．28．某超市投入31500元购进A、B两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）（1）该超市购进A、B两种饮料各多少箱？（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？（3）若超市计划盈利16200元，且A类饮料售价不变，则B类饮料销售价至少应定为每箱多少元？29．如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD（1）求点C 、D 的坐标，并描出A 、B 、C 、D 点，求四边形ABDC 面积；（2）在坐标轴上是否存在点P ，连接PA 、PC 使S △PAC ＝S 四边形ABCD ？若存在，求点P 坐标；若不存在，请说明理由．30．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程()22144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 27m n =,若),P m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）（3，0）；（2）①P 1；②42-≤≤-t 或1t =；（3）13t ≤≤ 【分析】（1）根据“l 型平移”的定义解决问题即可． （2）①画出线段A 1B 1即可判断．②根据定义求出t 最大值，最小值即可判断．（3）如图2中，观察图象可知，当B ′在线段B ′B ″上时，B 'M 的最小值保持不变，最小值为2．【详解】（1）将点A （2，1）进行“l 型平移”后的对应点A '的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）；（2）①如图1中，观察图象可知，将线段AB 进行“﹣l 型平移”后得到线段A 'B '，点P 1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是P1，故答案为：P1；②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣4≤t≤﹣2或t=1．故答案为：﹣4≤t≤﹣2或t=1．（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为2，此时1≤t≤3．故答案为：1≤t≤3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．2．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．【详解】解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如图3，过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．3．（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条件可得到PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°，即可求解；（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．【详解】解：（1）①PM⊥MN，理由见解析：∵AB//CD，∴∠APM=∠PMQ，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∴PM⊥MN；②过点N作NH∥CD，∵AB//CD，∴AB// NH∥CD，∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，∵PA平分∠EPM，∴∠EPA=∠MPA，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠EPA +∠MNH=90°，即∠ENH +∠MNH=90°，∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°，∵∠MNQ=20°，∴∠MNH=35°，∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°，∴∠EPB=180°-55°=125°，∴∠EPB的度数为125°；（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠APM +∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠PMQ -∠QMN=90°，∴∠APM -∠QMN=90°；当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，∴∠APM+90°-∠QMN=180°，∴∠APM -∠QMN=90°；综上，∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键．4．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；∠BME，进而可求解．（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝12×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．5．（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D；（3）(n-1)•180°【分析】（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD；（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…∠F n-1+∠D；（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论．【详解】解：（1）过点E作EF//AB，∴∠B=∠BEF．∵∠BEF+∠FED=∠BED，∴∠B+∠FED=∠BED．∵∠B+∠D=∠E（已知），∴∠FED=∠D．∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）．∴AB//CD．（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥GH ∥CD ，∴∠B =∠BEM ，∠MEF =∠EFN ，∠NFG =∠FGH ，∠HGD =∠D ，∴∠BEF +∠FGD =∠BEM +∠MEF +∠FGH +∠HGD =∠B +∠EFN +∠NFG +∠D =∠B +∠EFG +∠D ， 即∠E +∠G =∠B +∠F +∠D ．由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等， ∴∠E 1+∠E 2+…∠En =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠F n -1+∠D ． 故答案为：∠E 1+∠E 2+…∠E n =∠B +∠F 1+∠F 2+…∠F n -1+∠D ． （3）如图，过点M 作EF ∥AB ，过点N 作GH ∥AB ，∴∠APM +∠PME =180°， ∵EF ∥AB ，GH ∥AB ， ∴EF ∥GH ，∴∠EMN +∠MNG =180°， ∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依次类推：∠1+∠2+…+∠n -1+∠n =(n -1)•180°． 故答案为：(n -1)•180°． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E 点作AB （或CD ）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形． 6．（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-，证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详解】 （1）证明：//AB CD ，CEH EHB ∴∠=∠， GFB CEH ∠=∠，GFB EHB ∴∠=∠，//GF EH ∴；（2）解：902FME α∠=︒-，理由如下：如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，//AB CD ，//MQ CD ∴，AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠， FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠， FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，2FGE FME ∴∠=∠，由（1）知，//GF EH ，180FGE GEH ∴∠+∠=︒，GEH α∠=，180FGE α∴∠=︒-，2180FME α∴∠=︒-，902FME α∴∠=︒-．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．7．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111n a a a -- 【分析】（1）12÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可；（2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案； （3）根据（1）（2）的结果得出规律即可． 【详解】解：（1）12÷1＝12，a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12）n ﹣1＝112n -， 故答案为：12，1712，112n -； （2）设S ＝3+32+33+ (323)则3S ＝32+33+…+323+324，∴2S ＝324﹣3，∴S ＝24332- （3）a n ＝a 1•qn ﹣1，a 1+a 2+a 3+…+a n ＝()11111n a a a --．【点睛】 本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．8．（1）①5；②2-；（2）1；（3）16．【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；(2)根据2x =，讨论3和 m 的两种大小关系，进行计算；(3)先判定A 、B 的大小关系，再进行求解．【详解】（1）根据题意：∵21>-，∴()()212215-=⨯--=※，∵43-<-，∴()()()243434223--=--⨯-=-+=-※． （2）∵2x =，∴31325m =-+⨯=※，① 若3m >，则235m ⨯-=，解得1m =，②若3m <， 则2353m -⨯=，解得3m =-(不符合题意)， ∴1m =．（3）∵()()323224162210A B x x x x x x x -=-+-+--+-+=--<，∴A B <， ∴()3232224162333A B A B x x x x x x =-=-+-+--+-+=-※， 得380x x +-=，∴3222816x x +=⨯=．【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．9．初步探究：（1）12，8;（2）C ；深入思考：（1）213，415，82；（2）21n a -；（3）-5. 【分析】初步探究：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；深入思考：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；（3）先按照除方的定义将每个数的圈n 次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得出答案.【详解】解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=12 （12）⑤=11111822222÷÷÷÷= （2）A ：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A 错误; B ：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1，故选项B 错误；C ：3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，3④≠4③，故选项C 正确； D ：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D 错误；故答案选择：C.深入思考：（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3) ÷(-3)=213 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=415 （-12）⑩=8111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=21n a - （3）原式=()4252621111442711233---÷⨯-÷-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1144981278⎛⎫÷⨯--÷ ⎪⎝⎭=23--=-5【点睛】本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.10．（1）111n n -+；1n n +；（2）①1341-；②112424+；（ 3 ）14． 【分析】（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；（2）①先变形为111234=⨯，再利用（1）中的规律解题；②先变形为121224=，再逆用分数的加法法则即可分解；（3）按照定义“⊗”法则表示出193⊗，再利用（1）中的规律解题即可． 【详解】解：（1）观察发现：()11n n =+111n n -+， 1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ ＝11111111223341n n -+-+-+⋯+-+ ＝111n -+ ＝1n n +； 故答案是：111n n -+；1n n +. （2）初步应用： ①111234=⨯=1134-； ②121112242424==+； 故答案是：1134-；112424+. （ 3 ）由定义可知：193⊗＝11111111112203042567290110132++++++++ =455111111611311412-+-+-+⋯+- =13211- =14. 故193⊗的值为14． 【点睛】考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．11．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；（2）继续分析求出个位数和十位数即可；（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．【详解】解：（1）由103=1000，1003=1000000，∵1000＜32768＜100000，∴10100，∴故答案为：两；（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，∴2划去32768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，∵27＜32＜64，∴3040．∴3．故答案为：2，3；（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，∴10100，∴∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，∴4划去13824后面的三位数824得到13，因为23=8，33=27，∵8＜13＜27，∴2030．∴；由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，∴10100，∴∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，∴8，划去110592后面的三位数592得到110，因为43=64，53=125，∵64＜110＜125，∴4050． ∴；故答案为：24，-48．【点睛】此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．12．（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）36（个）．【分析】（1）根据“本位数”的定义即可判断；（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000；（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336⨯⨯=（个）．【详解】解：（1）106107108321++=有进位；111112113336++=没有进位；4004014021203++=有进位；2015201620176048++=有进位；故答案为：×，√，×，×．（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336⨯⨯=（个）．【点睛】本题考查了新定义计算题，准确理解新定义的内涵是解题的关键．13．（1）2,4,6,2A B ；（2）210m n +=；（3）2t =，点C 的坐标为()0,3【分析】（1）由题意易得40,20a b -=-=，然后可求a 、b 的值，进而问题可求解；（2）由（1）及题意易得4,4,2AE EF BF ===，然后根据APE PEF PBFAEFB S SS S =++四边形建立方程求解即可；（3）分别过点11,A B 作1A P y ⊥轴于点P ，1B Q y ⊥轴于点Q ，由题意易得()()1122,4,62,2A B t t --，然后可得11A P B Q =，进而可求t 的值，最后根据（2）可得三角形1B CO 的面积为3，则问题可求解．【详解】解：（1）∵()2420a b -+-=， ∴40,20a b -=-=，∴4,2a b ==，∴点()2,4A ，点()6,2B ；（2）由（1）可得点()2,4A ，点()6,2B ，∵AE x ⊥轴于点E ，PH x ⊥轴于点H ，BF x ⊥轴于点F ，∴////AE PH BF ，4,624,2AE EF BF ==-==，∵()P m n ,，∴2,,6EH m PH n HF m =-==-，∵APE PEF PBF AEFB S SS S =++四边形，且()12AEFB S AE BF EF =+⋅四边形， ∴()()()1111424424262222m n m ⨯+⨯=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-， 化简得210m n +=；（3）分别过点11,A B 作1A P y ⊥轴于点P ，1B Q y ⊥轴于点Q ，如图所示：∵线段AB 以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段11A B ，时间为t ，∴()()1122,4,62,2A B t t --，∵三角形1A CO 和三角形1B CO 的面积相等，∴111122A P OCB Q OC ⋅=⋅， ∴11A P B Q =，∴2262t t -=-，解得：2t =，∴()()112,4,2,2A B -，由（2）可得三角形11A B O 的面积为1124221242622AEFB S -⨯⨯-⨯⨯=--=四边形，。
七年级上册数学 压轴题 期末复习试题及答案解答doc
七年级上册数学 压轴题 期末复习试题及答案解答doc一、压轴题1．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M ，N 所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M 处，让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动（即棋子从点M 出发沿数轴向右运动，当运动到点N 处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M 处，随即沿数轴向右运动，如此反复⋯）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.解决如下问题：（1）如果4t =，那么线段13Q Q =______；（2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______；（3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值.2．如图，在数轴上的A 1，A 2，A 3，A 4，……A 20，这20个点所表示的数分别是a 1，a 2，a 3，a 4，……a 20．若A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A 19A 20，且a 3＝20，|a 1﹣a 4|＝12．（1）线段A 3A 4的长度＝ ；a 2＝ ；（2）若|a 1﹣x |＝a 2+a 4，求x 的值；（3）线段MN 从O 点出发向右运动，当线段MN 与线段A 1A 20开始有重叠部分到完全没有重叠部分经历了9秒．若线段MN ＝5，求线段MN 的运动速度．3．已知∠AOB ＝110°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ．（1）如图1，当OB 、OC 重合时，求∠AOE ﹣∠BOF 的值；（2）如图2，当∠COD 从图1所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t ＜10），在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF 的值是否会因t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF ＝14°时，t ＝ 秒．4．如图，数轴上点A表示的数为4-，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)>．()1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______；()2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______；()3求当t为何值时，1PQ AB2=？()4若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长．5．已知，如图，A、B、C分别为数轴上的三点，A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，C点在B点左侧，C点到A点距离是B点到A点距离的4倍．（1）求出数轴上B点对应的数及AC的距离．（2）点P从A点出发，以3单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒．①当P点在AB之间运动时，则BP＝．（用含t的代数式表示）②P点自A点向C点运动过程中，何时P，A，B三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t．③当P点运动到B点时，另一点Q以5单位/秒的速度从A点出发，也向C点运动，点Q到达C点后立即原速返回到A点，那么Q点在往返过程中与P点相遇几次？直．接．写．出．相遇时P点在数轴上对应的数6．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P 到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．问题解决：(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)；(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t(t>0)．①当b=4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2；②若0<t≤3时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6，求b 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（2，8），点N 的坐标为（2，6），将线段MN 向右平移4个单位长度得到线段PQ （点P 和点Q 分别是点M 和点N 的对应点），连接MP 、NQ ，点K 是线段MP 的中点．（1）求点K 的坐标；（2）若长方形PMNQ 以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A 、B 、C 、D 、E 分别是点M 、N 、Q 、P 、K 的对应点），当BC 与x 轴重合时停止运动，连接OA 、OE ，设运动时间为t 秒，请用含t 的式子表示三角形OAE 的面积S （不要求写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接OB 、OD ，问是否存在某一时刻t ，使三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．8．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()225350a b ++-=．点P 从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动，并持续在A ，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动． （1）填空：a = ，b = ；（2）求运动了多长时间后，点P ，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P ，Q 停止运动时，点P 所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P 和点Q 一共相遇了几次．（直接写出答案）9．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。
(完整版)七年级下学期数学期末压轴题精选
图1AB CDE N图2BDN七年级下学期数学期末压轴题精选1. 如图1，已知AB ∥CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间 （1）如图1，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ，若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ， 2∠E 与∠G 互余，求∠AME 的大小.（2）如图2，在（1）的条件下，若点P 是EM 上一动点，PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ， PI ∥NH ,当点P 在线段EM 上运动时， 求∠IPQ 的度数.图1图2xy yxO FDEO HBACBAC2. 在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24. （1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ； （2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间 满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠， BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.FABC DEN3. 如图，AC ∥BD ,点D 在点B 的右侧，BE ⊥AB ,∠EBD 、∠ACD 的平分线交于点F (点F 不与点B 、C 重合). ∠ABD = m ，∠ACD = n .（1）若点A 在点C 的右侧，求∠BFC ,并直接写出12BFC ABEABD ACD∠-∠∠+∠的值；（2）将（1）中的线段CD 沿BD 方向平移，当点C 移动到点A 的右侧时，求∠BFC ,并直接写出∠BFC 、∠ABD 、∠ACD 之间的关系.4. 如图，MN ∥AB ,点C 、D 在直线MN 上运动，∠CBD 的平分线交射线AC 于点E .（1）当点D 在点C 的右侧运动时，①若∠ACB =∠A ，求AEBCDB∠∠②若∠ACB 比∠A 大30°，AEBCDB∠∠的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，请探究∠AEB 与∠CDB（2）当点D 在点C 的左侧运动时，若∠ACB =∠A ，请直接写出∠AEB 与∠CDB 之间的关系.图2图1xy DE F BCO AGH图1图25. 线段AB 是直角三角形ABC 的斜边，将ABC ∆放置在平面直角坐标系中，线段AB 交y 轴于点D . （1）如图1，若点C 与点O 重合，已知(,)(,)A t a B t b -、，且a b +=D 的坐标；（2）如图2，将ABC ∆沿着AC 方向平移，边AB 、BC 交平行于y 轴的直线于E 、F ，直线EF 交x 轴于点G , 点H 是边AC 上一点，连接FH ，①若∠CFH +∠CFE =200°，请写出∠AOD 与∠HFE 之间的关系，并证明你的结论；②若12+2002CFH CFE ∠∠=，请直接写出∠AOD 与∠HFE 之间的关系.6. 如图1，CD ∥AB ,12ABF EBF ∠=∠, CF 平分∠DCE , ∠F 的2倍与∠E 的余角的和为108°.（1）求∠ABE 的度数；（2）如图2，点G 、H 分别是CD 、BE 上一点，3BHI GHI ∠=∠, GJ ∥HI , GK 平分∠DGH ,下列结论：①KGJHGJ∠∠的值为定值，②KGJ HGJ ∠-∠的值为定值，有且只有一个结论正确，请判断，并求出其定值.。
人教版七年级数学下压轴题培优期末复习专题含答案精编版
人教版七年级数学下压轴题培优期末复习专题含答案精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】人教版2018年七年级数学期末复习专题--压轴题培优已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B.（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系?? ；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A．B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF.（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由.已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A=25°,∠APC=70°时，求∠C的度数；（2）如图②,当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点）,∠A．∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论．（3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时,（2）中的结论还成立吗？如果成立,说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．如图1,在平面直角坐标系中,A（a,0）是x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB=16．⊥y轴,交y轴负半轴于B（0,b）,且(a-3)2+|b+4|=0,S四边形AOBC（1）求C点坐标；（2）如图2,设D为线段OB上一动点,当AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P,求∠APD的度数．（3）如图3,当D点在线段OB上运动时,作DM⊥AD交BC于M点,∠BMD、∠DAO的平分线交于N点,则D点在运动过程中,∠N的大小是否变化？若不变,求出其值,若变化,说明理由．已知BC∥OA,∠B=∠A=100°.试回答下列问题：（1）如图1所示,求证：OB∥AC；（2）如图2,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF.试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。
初一下数学期末压轴题
期末复习解答压轴题专项训练1．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．（1）如图1，若∠CDE=25°，∠DEB=80°，则∠ABE的度数为________；（2）如图2，BG平分∠ABE，GB的延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【思路点拨】（1）过点E作ES∥CF，根据CF∥AK，则ES∥CF∥AK，运用平行线的性质计算即可．（2）延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．（3）过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．【解题过程】（1）解：如图1，过点E作ES∥CF，∵CF∥AK，∴ES∥CF∥AK，∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，∴∠CDE+∠ABE =∠DES+∠SEB=∠DEB，∵∠CDE=25°，∠DEB=80°，∴∠ABE =∠DEB-∠CDE=80°-25°=55°．故答案为：55°．（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，∵CF∥AK，BG平分∠ABE，∴∠EMB=180°-∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=1∠MDF，2∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，∠MDF−∠DHB)，∴∠DEB=(180°-∠MDF) +2∠HBN=180°-∠MDF+2×(12∴∠DEB=180°-∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB，∵∠DEB−∠DHB=60°，∴∠DEB=180°-2(∠DEB-60°)，∴3∠DEB=300°，解得∠DEB=100°．（3）解：过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，∵∠DEB=100°，∴∠EBM-∠NDE=40°，∵EQ∥DN，∴∠DEQ=∠NDE，∴∠EBM =40°+∠DEQ，∵EQ∥DN，DN∥BP，∴EQ∥BP，∴∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，∴40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，∴40°+∠DEB+∠PBM =180°，∴∠PBM =180°-100°-40°=40°，∴∠PBM 的度数不变，值为40°．2．（2022春·广西南宁·七年级统考期末）综合与实践：问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度数，小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC问题解决：（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为°；问题迁移：如图2，AB∥CD，点P 在射线OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β．（2）当点P 在B，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β 之间有何数量关系？请说明理由；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，如果点P 在B，D 两点外侧运动时（点P 与点O，B，D 三点不重合）请你直接写出当点P 在线段OB 上时，∠APC 与α，β 之间的数量关系，点P 在射线DM 上时，∠APC 与α，β 之间的数量关系．【思路点拨】（1）根据平行线的性质，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC；（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；【解题过程】解：(1)如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，∴∠APC=25°+37°=62°；故答案为：62；(2)∠APC与α,β之间的数量关系是：∠APC=α+β；理由：如图，过点P作PE//AB交AC于点E，∵AB//CD，∴AB//PE//CD,∴α=∠APE,β=∠CPE,∴∠APC=∠APE+∠CPE=a+β；(3)如图3，所示，当P在射线DM上时，过P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∴∠APC=∠1−∠PCD，∴∠APC=α−β，∴当P在射线DM上时，∠APC=α−β；如图4所示，当P在线段OB上时，同理可得：∠APC=β−α，∴当P在线段OB上时，∠APC=β−α．故答案为：∠APC=β−α；∠APC=α−β.3．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a+b−4)2=0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)求a、b的值；(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD=20°，求∠BAC的度数；(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【思路点拨】（1）根据|a−3b|+(a+b−4)2=0，可得a−3b=0，且a+b−4=0，进而得出a、b的值；（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BCD=90°﹣∠BCA=90°−(180°−2t)=2t−90°=20°可得t的值，根据∠BAC=45°−(180°−3t)=3t−135°可得∠BAC；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A 射线转到AN之后，分别求得t的值即可．【解题过程】（1）∵|a−3b|+(a+b−4)2=0．又∵|a﹣3b|≥0，(a+b−4)2≥0．∴a=3，b=1；（2）设A灯转动时间为t秒，如图，作CE//PQ，而PQ//MN,∴PQ//CE//MN,∴∠ACE=∠CAN=180°−3t°，∠BCE=∠CBD=t°，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°−3t=180°−2t，∵∠ACD=90°，∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°−(180°−2t)=2t−90°=20°，∴t=55°，∵∠CAN=180°−3t，∴∠BAC=45°−(180°−3t)=3t−135°=165°−135°=30°；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．依题意得0<t<150①当0<t<60时，3t=(30+t)×1，解得t=15；②当60<t<120时，3t−3×60+(30+t)×1=180，解得t=82.5；③当120<t<150时，3t−360=t+30，解得t=195>150(不合题意)综上所述，当t=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．4．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°．(1)填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“>”“<”或“=”）；(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【思路点拨】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【解题过程】（1）解：过P点作PQ∥AB，∴∠PNB=∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN，故答案为：=（2）①∵ON∥EF，PM∥EF，∴PO∥PM，∴∠ONM=∠NMP，∵∠PMN=60°，∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵AB∥CD，∴∠NOM=∠ANO=60°，∴α=∠NOM=60°；②点N在G的右侧时，如图②，∵PM∥EF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=12∠ANM=30°+12α，∵AB∥CD，∴∠MON=∠ANO=30°+12α；点N在G的左侧时，如图，∵PM∥EF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°−(60°+α)]=60°−12α，∴∠MON=60°−12α，综上所述，∠MON的度数为30°+12α或60°−12α．5．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末）已知：如图，直线a∥b，AC⊥BC于点C，连接AB且分别交直线a、b于点E、F．（1）如图①，若∠DEF和∠EFG的角平分线EM、FM交于点M，请求∠M的度数；（2）如图②，若∠EDC的角平分线DM分别和直线b及∠FGC的角平分线GQ的反向延长线交于点N和点M，试说明：∠1+∠2=135°；(3)如图③，点M为直线a上一点，连结MF，∠MFE的角平分线FN交直线a于点N，过点N作NQ⊥NF交∠HFM 的角平分线FQ于点Q，若∠DEA记为β，请直接用含β的代数式来表示∠MNQ+∠HFQ．【思路点拨】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得∠DEF+∠GFE=180°，∠DEM=12∠DEF；∠GFM=12∠GFE，即∠DEM+∠GFM=12(∠DEF+∠GFE)=90°，过点M作直线l∥a交AB于点H，可得∠HME=∠DEM,∠HMF=∠GFM，进而可得∠EMF=∠HME+∠HMF=∠DEM+∠GFM=90°．（2）过点C作直线l∥a，由平行线的性质可得∠FGC+∠4=180°,∠EDC+∠5=180°，由题意得∠4+∠5=90°，可得∠FGC+∠FGC=270°，由角平分线的定义可得∠6+∠7=12(∠FGC+∠FGC)=135°，由a∥b得∠6=∠3=∠2，由对顶角相等可得∠7=∠1，可得∠1+∠2=135°；（3）由题意可知∠MEF=∠DEA=β，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠HFE=180°−β，∠EFN=∠MFN=12∠MFE=x，∠HFQ=∠MFQ=12∠HFM=y，，进而可得x+y=180°−β2，由a∥b，NQ⊥NF∠HFN+∠MNF=180°，∠QNF=90°，即∠MNQ+∠QNF+∠MFN+∠MFQ+∠HFQ=180°，可得∠MNQ= 90°−x−2y，进而可求∠MNQ+∠HFQ．【解题过程】（1）∵a∥b，∴∠DEF+∠GFE=180°．∵EM、FM分别平分∠DEF和∠GFE，∴∠DEM=12∠DEF；∠GFM=12∠GFE，∴∠DEM+∠GFM=12(∠DEF+∠GFE)=90°，过点M作直线l∥a交AB于点H，∵a∥b，∴l∥b，∴∠HME=∠DEM,∠HMF=∠GFM，∴∠EMF=∠HME+∠HMF=∠DEM+∠GFM=90°．（2）过点C作直线l∥a，∵a∥b，∴l∥b，∴∠FGC+∠4=180°,∠EDC+∠5=180°.又∵∠4+∠5=90°∴∠FGC+∠FGC=270°又∵GQ、DM分别平分∠FGC和∠EDC，∴∠6+∠7=12(∠FGC+∠FGC)=135°∵a∥b，∴∠6=∠3=∠2又∵∠7=∠1∴∠1+∠2=135°．（3）∠MNQ +∠HFQ =β2．理由如下：由题意可知∠MEF =∠DEA =β， ∵a ∥b ，∴∠MEF +∠HBE =180°，即∠HFE =180°−β， ∵FN 平分∠MFE ，FQ 平分∠HFM ，∴∠EFN =∠MFN =12∠MFE =x ，∠HFQ =∠MFQ =12∠HFM =y ，∴∠HFE =180°−β=2(∠EFN +∠MFQ )=2(x +y )，即x +y =180°−β2，∵a ∥b ，NQ ⊥NF∴∠HFN +∠MNF =180°，∠QNF =90°，则∠MNQ +∠QNF +∠MFN +∠MFQ +∠HFQ =180°， ∴∠MNQ =90°−x −y −y =90°−x −2y ，∴∠MNQ +∠HFQ =90°−x −2y +y =90°−x −y =90°−180°−β2=β2．6．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．（1）导入：如图①，已知AB∥CD∥EF ，如果∠A =26°，∠C =34°，那么 ∠AEC = °；（1）发现：如图②，已知AB∥CD，请判断∠AEC与∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；（3）运用：(i)如图③，已知AB∥CD，∠AEC=88°，点M、N分别在AB、CD上，MN∥AE，如果∠C=28°，那么∠MND=°；(ii)如图④，已知AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，ME、NE分别平分∠AMF和∠CNF．如果∠E=116°，那么∠F=°；(iii)如图⑤，已知AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，MF、NG分别平分∠BME和∠CNE，且EG∥MF．如果∠MEN=α，那么∠EGN=．(用含α的代数式表示)【思路点拨】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠AEF,∠C=∠FEC，进而根据∠AEC=∠AEF+∠CEF，即可求解；（2）过点E作EF∥AB，根据（1）的方法即可求解；（3）（i）由（2）可得∠AEC=∠A+∠C=88°，∠C=28°，得出∠A=60°，根据∠MND=180°−∠BMN，即可求解；（ii）由“猪蹄模型”，可得∠E=∠AME+∠CNE=116°，∠F=∠BMF+∠DNF，根据角平分线的性质得出∠AME=12∠AMF,∠CNE=12∠CNF，继而根据∠F=∠BMF+∠DNF=128°，即可求解；（iii）如图所示，延长GE交AB于点H，设∠ENG=β，∠HME−θ，根据平行线的性质得出∠MHE=∠BMF=180−θ2=90°−θ2，α=θ+2β，根据∠EGN=∠GNC+∠AHE=∠GNC+∠AMF，即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，∵AB∥CD∥EF∴∠A=∠AEF,∠C=∠FEC∵∠A=26°，∠C=34°，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠B=26°+34°=60°∴∠AEC=60°故答案为：60．（2）∠AEC=∠A+∠C,如图所示，过点E作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+∠C；（3）解：（i）由（2）可得∠AEC=∠A+∠C=88°，∠C=28°，∴∠A=60°，∵MN∥AE，∴∠BMN=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠MND=180°−∠BMN=180°−60°=120°，故答案为：120．（ii）解：如图所示，∵AB∥CD由“猪蹄模型”，可得∠E=∠AME+∠CNE=116°，∠F=∠BMF+∠DNF；∵ME、NE分别平分∠AMF和∠CNF∴∠AME=12∠AMF,∠CNE=12∠CNF∴∠AMF+∠CNF=116°×2=232°∴∠MBF+∠DNF=360°−232°=128°，∴∠F=∠BMF+∠DNF=128°,故答案为：128．（iii ）解：如图所示，延长GE 交AB 于点H ，设∠ENG =β，∠HME −θ∵MF 、NG 分别平分∠BME 和∠CNE ，∴∠BMF =12∠BME =12(180°−θ)=90°−θ2,∠CNE =2∠ENG =2β，∵HG∥MF∴∠MHE =∠BMF =180−θ2=90°−θ2，∵AB∥CD∴∠MEN =∠AME +∠CNE ，∴α=θ+2β∴∠EGN =∠GNC +∠AHE =∠GNC +∠AMF =β+θ+90°−θ2=β+90°+θ2=90°+α2．7．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E 在射线DA 上，点F 、G 为射线BC 上两个动点，满足∠DBF =∠DEF ，∠BDG =∠BGD ，DG 平分∠BDE ．(1)如图1，当点G在点F右侧时，①试说明：BD∥EF；②试说明∠DGE=∠BDG−∠FEG；(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B−∠DNG=∠EDN，求∠B的度数．【思路点拨】（1）①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则AB∥BC，可得∠DEF ＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明BD∥EF；②过点G作GH∥DB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；（2）过点G作GK∥DB交AD于K，则KG∥EF，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE ＝∠BDG＋∠FEG；（3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α∠PDE=180∘−4α，∠PDM=180°−α，由角平分线的定义可得∠PDN=∠MDN=12∠PDM=90∘−α2，然后分别求出∠EDN=72α−90∘，∠DNG=32α，∠B−∠DNG=∠EDN进行求解即可．【解题过程】（1）证明：①∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴BD∥EF；②过点G作GH∥DB交DA于点H，由①得BD∥EF，∴GH∥DB∥EF，∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；（2）解：过点G作GK∥DB交AD于K，同理可证BD∥EF，∴KG∥EF，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）解：设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180∘−∠BDE=180∘−4α，∠PDM=180°−α，∵DN平分∠PDM，∴∠PDN=∠MDN=12∠PDM=90∘−α2，∴∠EDN=∠PDN−∠PDE=90∘−α2−(180∘−4α)=72α−90∘，∠GDN=∠MDN−∠MOG=90∘−α2−α=90∘−32α，∵DG⊥NG，∴∠DGN=90∘，∴∠DNG=90∘−∠GDN=90∘−(90∘−32α)=32α，∵DE∥BF，∴∠B=∠PDE=180∘−4α，∵∠B−∠DNG=∠EDN，∴180∘−4α−32α=72α−90∘，∴α=30∘，∴∠B=180∘−4α=60∘．8．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【思路点拨】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．【解题过程】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．9．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=的值．∠DCH，求∠ABM∠GBM【思路点拨】（1）先根据平行线的性质可得∠GAD=∠BGA，再根据角平分线的定义可得∠BAG=∠GAD，然后根据等量代换即可得证；（2）过点F作FM∥BC于M，先根据平行线的性质可得∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，从而可得∠BAG−∠GFC=∠MFC，则∠BCF=∠MFC=45°，再根据角平分线的定义即可得证；（3）设∠ABC=4x(x>0)，则∠ABP=3x，∠PBG=x，先根据平行线的性质可得∠BAD=180°−4x，从而可得∠BGA=90°−2x，再根据平行线的性质可得∠BCH=∠BGA=90°−2x，从而可得∠PBM=∠DCH= 2x，然后分①点M在BP的下方和②点M在BP的上方两种情况，根据角的和差可得∠ABM和∠GBM的值，由此即可得．【解题过程】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA．（2）证明：如图，过点F作FM∥BC于M，∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，由（1）已证：∠BAG=∠BGA，∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC，即∠BAG−∠GFC=∠MFC，又∵∠BAG−∠GFC=45°，∴∠MFC=45°，∴∠BCF=45°，又∵∠BCD=90°，∴CF平分∠BCD．（3）解：设∠ABC=4x(x>0)，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x，∵AD∥BC，∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−4x，由（1）已得：∠BGA=∠BAG=12∠BAD=90°−2x，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°−2x，∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°−(90°−2x)=2x，由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在BP的下方时，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM−∠PBG=2x−x=x，∴∠ABM∠GBM =5xx=5；②如图，当点M在BP的上方时，∴∠ABM=∠ABP−∠PBM=3x−2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM =x3x=13；综上，∠ABM∠GBM 的值是5或13．10．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：（1）如图，AB∥CD∥EF，分别就图1、图2、图3写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB∥CD，则∠A+∠C+∠AFC=度；（3）在图5中，若A1B∥A n D，请你用含n的代数式表示∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出∠A＋∠C＋∠AFC的度数；（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；【解题过程】解：（1）如图1：∠A＋∠C＝∠AFC，如图2：∠A−∠C＝∠AFC，如图3：∠C−∠A＝∠AFC，如图1说明理由如下：∵AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠AFE，∠C＝∠EFC，∴∠A＋∠C＝∠AFE＋∠EFC，即∠A＋∠C＝∠AFC；（2）如下图：过F作FH∥AB，∴∠A＋∠AFH＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥FH，∴∠C＋∠CFH＝180°，∴∠A＋∠AFH＋∠C＋∠CFH＝360°，即∠A＋∠C＋∠AFC＝360°；故答案为：360；（3）如下图：AB∥CD，过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠A＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠C＝180°，∴∠A＋∠AEG＋∠GEF＋∠EFH＋∠HFC＋∠C＝180°×3，即∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C＝540°；综上所述：由当平行线AB与CD间没有点的时候，∠A＋∠C＝180°，当A、C之间加一个折点F时，∠A＋∠AFC＋∠C＝2×180°；当A、C之间加二个折点E、F时，则∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C＝3×180°；以此类推，如图5，A1B∥A n D，当A1、A5之间加三个折点A2、A3、A4时，则∠A1+∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝4×180°；…当A1、A n之间加n个折点A2、A3、…A n−1时，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…∠A n＝（n-1）×180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋⋯＋∠n的度数是（n-1）×180°．11．（2022春·黑龙江·七年级统考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如图1，当点G在F右侧时，求证：BD//EF；(2)如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE=∠BDG+∠FEG；(3)如图3，在(2)的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠DBF−∠DNG=∠EDN，则∠DBF的度数是多少．【思路点拨】（1）通过证明∠DBF=∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∠PDM=180°-α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠DBF-∠DNG=∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B=180°-4α，结论可求．【解题过程】（1）证明：∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=∠ADG，又∵∠BDG=∠BGD，∴∠ADG=∠DGB，∴AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∵∠DBF=∠DEF，∴∠DBF=∠EFG，∴BD//EF；（2）证明：过点G作GH//BD，交AD于点H，如图，由（1）可知：BD//EF，∴GH//EF，∴∠BDG=∠DGH，∠GEF=∠HGE，∵∠DGE=∠DGH+∠HGE，∴∠DGE=∠BDG+∠FEG；（3）解：设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°−4α，∴∠PDM=180°−α，∵DN平分∠PDM，∴∠PDN=∠MDN=90°−12α，∴∠EDN=∠PDN−∠PDE=90°−12α−(180°−4α)=72α−90°，∴∠GDN =∠MDN −∠MDG =90°−12α−α=90°−32α， ∵DG ⊥ON ，∴∠DNG =90°，∴∠DNG =90°−(90°−32α)=32α，∵DE//BF ，∴∠DBF =∠PDE =180°−4α，∵∠DBF −∠DNG =∠EDN ，∴180°−4α−32α=72α−90°，解得：α=30°，∴∠DBF =180°−4α=60°．12．（2022春·河北衡水·七年级校考期末）【发现】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ．(1)当∠EAC ＝∠ACE ＝45°时，AB 与CD 的位置关系是______；当∠EAC ＝50°，∠ACE ＝40°时，AB 与CD 的位置关系是______；当∠EAC +∠ACE ＝90°，请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；(2)【探究】如图2，AB ∥CD ，M 是AE 上一点，∠AEC ＝90°保持不变，移动顶点E ，使CE 平分∠MCD ，∠BAE 与∠MCD 存在怎样的数量关系？并说明理由，(3)【拓展】如图3，AB ∥CD ，P 为线段AC 上一定点，Q 为直线CD 上一动点，且点Q 不与点C 重合．直接写出∠CPQ +∠CQP 与∠BAC 的数量关系．【思路点拨】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．【解题过程】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；∠MCD＝90°，理由如下：（2）解：∠BAE+12过点E作EF∥AB，如图所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝1∠MCD，2∠MCD＝90°；∴∠BAE+12（3）解：分两种情况分类讨论，第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．13．（2022春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校考期末）（1）如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB ＝∠CED．请说明AB∥CD的理由．（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°．求∠DEB 的度数．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，AB∥CD，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出∠PBM的度数；若改变，请说明理由．【思路点拨】（1）由∠ACB=∠CED，得AC∥DF，可得∠A=∠DFB，又∠A=∠D，进而可得结论；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．【解题过程】（1）∵∠ACB=∠CED，∴AC∥DF，∵∠A =∠D ， ∴∠DFB =∠D ， ∴AB ∥CD ；（2）如图2，作EM ∥CD ，HN ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥HN ∥CD ，∴∠1+∠EDF =180°，∠MEB =∠ABE ， ∵BG 平分∠ABE ， ∴∠ABG =12∠ABE ，∵AB ∥HN ， ∴∠2=∠ABG ， ∵CF ∥HN ， ∴∠2+∠β=∠3， ∴12∠ABE +∠β=∠3， ∵DH 平分∠EDF ， ∴∠3=12∠EDF ， ∴12∠ABE +∠β=12∠EDF ，∴∠β=12（∠EDF -∠ABE ），∴∠EDF -∠ABE =2∠β， 设∠DEB =∠α，∵∠α=∠1+∠MEB =180°-∠EDF +∠ABE =180°-（∠EDF -∠ABE ）=180°-2∠β， ∵∠DEB 比∠DHB 大60°，∴∠α=180°-2（∠α-60°） 解得∠α=100°∴∠DEB 的度数为100°；（3）∠PBM 的度数不变，理由如下：如图3，过点E 作ES ∥CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，∵BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ， ∴∠EBM =∠MBK =12∠EBK ， ∠CDN =∠EDN =12∠CDE ，∵ES ∥CD ，AB ∥CD ， ∴ES ∥AB ∥CD ，∴∠DES =∠CDE ，∠BES =∠ABE =180°-∠EBK ，∠G =∠PBK ， 由（2）可知：∠DEB =100°， ∴∠CDE +180°-∠EBK =100°， ∴∠EBK -∠CDE =80°， ∵BP ∥DN ， ∴∠CDN =∠G ，∴∠PBK =∠G =∠CDN =12∠CDE ，∴∠PBM =∠MBK -∠PBK =12∠EBK -12∠CDE =12（∠EBK -∠CDE ）=12×80°=40°．14．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图①，AB ，BC 被直线AC 所截，点D 是线段AC 上的点，过点D 作DE ∥AB ，连接AE ，∠B =∠E =60°.(1)请说明AE∥BC；(2)将线段AE沿着直线．．AC平移得到线段PQ，连接DQ．①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E=180°，利用等量代换得到∠BAE+∠B=180°，即可证出AE∥BC；（2）①过点D作DM∥PQ，则DM∥AE，根据平行线的性质即可得到答案；②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF′∥AE交AB于点F′，根据平行线的性质即可得到答案．【解题过程】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E=180°，又∵∠B=∠E，∴∠BAE+∠B=180°，∴AE∥BC．（2）解：①解：过点D作DM∥PQ，如图所示：∵AE∥PQ，∴DM∥AE，∴∠E=∠EDM，∠Q=∠MDQ，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ=90°，∴∠E+∠Q=∠EDM+∠MDQ=90°，而∠E=60°，∴∠Q=90°−60°=30°．故答案为：30°．②当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=1∠Q，2∵∠E=60°，∴∠EDF=180°−60°=120°，∠Q=180°−∠Q，∴∠QDF=120°+12∴∠Q=40°；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF′∥AE交AB于点F′，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF′∥PQ，∴∠QDF′=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∠Q，∴∠EDQ=12∵∠E=60°，∴∠EDF′=180°−60°=120°，∴180°−∠Q+1∠Q=120°，2∴∠Q=120°；综上所述：∠Q的度数为40°或120°．故答案为：40°或120°．15．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）对于各位数字均不为零的三位自然数m=abc，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”．例如m=327，∵3+2+7=12，12÷2=6，∴327是“对偶数”；又如n=136，∵1+3+6=10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”．将m的百位数字放在其个位数字后得m1=bca，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2=cab．记F(m)=m+m1+m2．111(1)判断248，933是否是“对偶数”，并说明理由；(2)已知“对偶数”n=100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18F(n)+2(a−4)能被7整除，求出所有满足条件的n．【思路点拨】（1）根据“对偶数”的定义直接判断即可；（2）先表示出F(n)，进而得出F(n)=a+b+4，即可得出18F(n)+2(a−4)=7(2a+2b+9)+6a+4b+ 1，进而得出(6a+4b+1)是7的倍数，可推导6a+4b+1=21或35或49，最后分类讨论即可求出答案．【解题过程】（1）解：248不是“对偶数”，933是“对偶数”，理由如下：∵对于248，2+4+8=14，14不能被4整除，∴248不是“对偶数”，∵对于933，9+3+3=15，15能被3整除，∴933是“对偶数”；（2）∵n=100a+10b+4，∴n1=b4a=100b+40+a，n2=4ab=400+10a+b，∴F(n)=n+n1+n2111=100a+10b+4+100b+40+a+400+10a+b111=a+b+4，∴18F(n)+2(a−4)=18(a+b+4)+2(a−4)=20a+18b+64=7(2a+2b+9)+6a+4b+1，∵18F(n)+2(a−4)能被7整除，∴(6a+4b+1)是7的倍数，∵1≤a+b≤9，且a、b为整数，∴1≤a≤8，1≤b≤8，∴11≤6a+4b+1≤53，∴6a+4b+1=14或21或28或35或42或49，∵6a+4b=2(3a+2b)，即为偶数，∴6a+4b+1是奇数，∴6a+4b+1=21或35或49，①当6a+4b+1=21时，b=5−32a，∵a、b为整数，∴a=2，b=2，∴n=224，∵2+2+4=8，8能被2整除，∴224是“对偶数”，符合题意；②当6a+4b+1=35时，b=17−3a2，∵a、b为整数，∴a=1，b=7或a=3，b=4或a=5，b=1，当a=1，b=7时，n=174，1+7+4=12，12不能被7整除，故174不是“对偶数”，不符合题意；当a=3，b=4时，n=344，3+4+4=11，11不能被4整除，故344不是“对偶数”，不符合题意；当a=5，b=1时，n=514，5+1+4=10，10能被1整除，故514是“对偶数”，符合题意；③当6a+4b+1=49时，b=12−3a，2∵a、b为整数，∴a=4，b=6或a=6，b=3，当a=4，b=6时，n=464，4+6+4=14，14不能被6整除，故464不是“对偶数”，不符合题意；当a=6，b=3时，n=634，6+3+4=13，13能被3整除，故634不是“对偶数”，不符合题意；综上所述，所以满足条件的n为224或514．16．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足√a−b+2+|b−8|=0．（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．【思路点拨】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【解题过程】解：（1）∵√a−b+2+|b−8|=0，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴S△ODQ=12OQ×|x D|=12t×4=2t，S△ODP=12OP×|y D|=12（8−2t）×3=12−3t，∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．17．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(1,b)，a，b满足|a+b−1|+√2a−b+10=0，连接AB交y轴于C．(1)直接写出a=______，b=______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于D(4,0)，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Q(x,y)在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13，求点Q横坐标x的取值范围．【思路点拨】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a，b；（2）过点B作BM⊥x轴于M，设OC=m，由三角形面积关系得出12OA⋅OC+12(OC+BM)⋅OM=12AM⋅BM，求出m=3，过点B作BN⊥y轴于N，由三角形面积关系得出12×3×CP+12CP=12，求出CP即可；（3）连接DQ，过点Q作QR⊥x轴，分点Q在第二象限，点Q在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．【解题过程】（1）解：∵√a+b−1+|2a−b+10|=0，又∵√a +b −1⩾0，|2a −b +10|⩾0，∴ {a +b −1=02a −b +10=0 ，解得：{a =−3b =4 ，故答案为：-3，4．（2）过点B 作BM ⊥x 轴于M ，设OC =m ，∵三角形AOC 的面积+四边形OCBM 的面积=三角形ABM 的面积，∴ 12OA ⋅OC +12(OC +BM)⋅OM =12AM ⋅BM ，即12×3m +12(m +4)×1=12×4×4，解得：m =3，点C 的坐标为(0,3)，过点B 作BN ⊥y 轴于N ，∵三角形ABP 的面积=三角形ACP 的面积+三角形BCP 的面积，∴ 12OA ⋅CP +12BN ⋅CP =12，即12×3×CP +12CP =12，∴CP =6，∴点P 的坐标为(0,−3)或(0,9)．（3）点B 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A ，∵点D 向左平移4个单位长度后的对应点正好在y 轴上，∴点D 平移后的对应点恰好是点E(0,−4)，连接DQ ，过点Q 作QR ⊥x 轴，如图所示：∵AE ∥BD ，∴三角形ADQ 的面积=三角形ABQ 的面积，当三角形ABQ 的面积=13三角形ABD 的面积时，QR =13y B =43，当点Q 在第三象限时，∴ 12(x +3)×43+12(43+4)(−x)=12×4×3，解得：x =−2，当点Q 在第二象限时，∴ 12×3×4+12(3−x)×43=12(−x)×163，解得：x =−4，∴当三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13时，点Q 的横坐标x 的取值范围是−4⩽x ⩽−2，且x ≠−3．18．（2022秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(−1，0)、(3，0)，现同时将点A 、B 向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 、CD ．(1)写出点C 、D 的坐标并求出四边形ABDC 的面积；(2)在x轴上是否存在一点F，使得△DFC的面积是△DFB面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系．【思路点拨】（1）根据点的平移规律可得C，D的坐标，然后利用平行四边形的面积计算即可求出四边形ABDC的面积；（2）根据△DFC的面积是△DFB面积的2倍，得BF=12CD=2，即可求出点F的坐标；（3）当点P在线段DB延长线上运动时，当点P在线段BD的延长线上时，当点P在线段BD上运动时，作PQ∥AB，分别根据平行线的性质和平行线间的传递性求解即可．【解题过程】（1）∵点A，B的坐标分别为(−1，0)、(3，0)，将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，∴点C(0，2)，点D(4，2)，AB=4，AB∥CD，AB=CD，∴OC=2，四边形ABDC是平行四边形，∴S四边形ABDC=4×2=8；（2）存在，理由：设F坐标为(m，0)，∵△DFC的面积是△DFB面积的2倍，∴12×CD×OC=2×12BF×OC，即4=2|m−3|，解得m=5或1，∴P点的坐标为(5，0)或(1，0)；（3）①当点P在线段BD上时，如图，作PE∥CD，由平移可知：CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；即∠OPC=∠PCD+∠POB；②当点P在线段BD的延长线上时，如图，作PE∥CD，由平移可知：CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠BOP−∠DCP=∠EPO−∠EPC=∠CPO；即∠OPC=∠POB−∠PCD；③当点P在线段DB的延长线上时，如图，作PE∥CD，由平移可知：CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP−∠BOP=∠EPC−∠EPO=∠CPO；即∠OPC=∠PCD−∠POB；综上，∠OPC=∠PCD+∠POB或∠OPC=∠POB−∠PCD或∠OPC=∠PCD−∠POB．19．（2022春·湖南长沙·七年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD．(1)若A(−3,0)、B(−2,−2)，C(0,2)，直接写出点D的坐标；(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M(2,0)，两个动点E(a,2a+1)、F(b,−2b+3)．请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，在直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【思路点拨】(1)根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等；(2) 根据EF∥OM，EF=OM，O(0,0)，M(2,0)，得出2a+1=−2b+3，|a−b|=2，解答即可．(3) 分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解.【解题过程】（1）解：设D(x,y)，∵将线段AB平移至线段CD，A(−3,0)、B(−2,−2)，C(0,2)，∴x−0=−2−(−3)，y−2=−2−0，∴x=1，y=0，∴D(1,0)；。
B卷必刷北师大七年级下期末B卷专题(2套精编)(压轴题训练,名校直升,B卷强化)
B 卷期末专项训练(一)(共50分)一、填空题(每小题4分，共20分)21、若二次三项式2542+-ax x 是一个完全平方式，则a = 。
22、若4323++kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为 。
23、如图，已知AB//CD, F 为CD 上一点，∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF ，若6°<∠BAE<15°,∠ C 的度数为整数，则∠C 的度数为 。
24、新定义运算"◎"，对于任意有理数a , b ,都有a ◎b =12-+-b ab a ,例如:3◎5=2155332-=-+⨯-.若任意投掷一枚印有数字1～6的质地均匀的骰子，将朝上的点数作为x 的值，则代数式)3(-x ◎)3(x +的值为非负数的概率是 。
25、如图，在△ABC 中，点D, E 都在BC 上，满足CD=BE=41BC,点F 在AB 上，满足AF=FB,点G 在AC 上,若S △DGF = 22,S △EGF = 24,则△ABC 的面积为 。
二、解答题(共30分)26、(8分）阅读理解，并完成下面问题:我们知道，任意一个正整数c 都可以进行这样的因式分解:q p c ⨯=(p ，q 是正整数），在c 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称q p ⨯是c 的最佳分解，并规定:()qp F c =(其中q p ≤)。
例如:12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为|1-12|>|12-6|>|3-4|，所以3×4是12的最佳分解，所以 ()4312=F 。
（1）如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数，若m 是一个完全平方数，求()m F 的值;（2）如果一个两位正整数t ，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数t为"吉祥数"，求符合条件的所有"吉祥数";F的最小值.（3）在（2）中的所有"吉祥数"中，求()t27、（10分）小刘从家里骑自行车出发，去镇上超市途中碰到妹妹甜甜走路从镇上回家，小刘在超市买完东西回家，在回去的路上又碰到了甜甜，便载甜甜一起回家，结果小刘比正常速度回家的时间晚了3分钟，二人离镇的距离s(千米）和小刘从家出发后的时间(分钟)之间的关系如图所示.（假设二人之间交流时间忽略不计）（1）小刘家离镇上的距离是 ;（2）小刘和甜甜第一次相遇时离镇上的距离是多少?（3）小刘从家里出发到回家所用的时间是多少?28、(12分)已知两个全等的等腰直角△ABC, △DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°, E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE, EF分别交线段CA, CB(或它们所在直线)于点M, N。
浙教七年级下数学期末压轴题训练精编版
浙教七年级下数学期末压轴题训练精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】七年级下期末压轴题训练1．我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元． 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140t ，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t ；如果进行精加工，每天可加工6 t ，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售．方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多?为什么?2、操作与探究 如图，已知△ABC ， （1）画出∠B 、∠C 的平分线，交于点O ；（2）过点O 画EF ∥BC ，交AB 于点E ，AC 于点F ；（3）写出可用图中字母表示的相等的角，并说明理由；（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A ，∠BOC 的度数；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A ，∠BOC 的度数；（5）根据（4）的解答，请你猜出∠BOC 与∠A 度数的大小关系这个结论对任意一个三角形都成立吗？为什么？3、.用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x 宽为y ，⑴正方形的边长可以表示为 ；⑵用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果。
⑶设长方形长大于宽试说明正方形与长方形面积哪个大。
（提示，可以将⑵的结果分解因式后分析）4、某人从一鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2b a 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）A ．a ＞b 有素B ．a ＜bC ．a ＝bD ．与ab大小无关5、如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为 ．（2）画出小鱼向左平移3格后的图形（不要求写作图步骤和过程）．6. 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?7.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。