第八讲容斥原理案例
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
容斥原理的应用举例
容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法，它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。
容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想，通过排除重复计数，从而得到准确的计数结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量，|A1| 表示事件 A1 的概率或数量，|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量，以此类推。
容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用，下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。
例子1：求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C，它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素，求这三个集合的并集的元素个数。
根据容斥原理的公式，有：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数，以此类推。
例子2：求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B，它们分别有 |A|、|B| 个元素，要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合，但要满足某个特定的条件，那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。
Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中，|A ∩ B| 表示满足条件的情况。
例子3：求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C，它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C)，求这三个事件的并的概率。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
容斥原理的应用实例
容斥原理的应用实例1. 容斥原理简介容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决涉及多个事件的计数问题。
通过容斥原理，我们可以解决包含并集和交集的复杂计数问题，并得到准确的计数结果。
2. 容斥原理的基本思想容斥原理的基本思想是通过计算集合的交集和并集来确定计数问题的结果，并通过减去交集来消除重复计数。
具体来说，对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。
容斥原理可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|同样地，对于三个集合A、B和C，它们的并集记为A∪B∪C，容斥原理可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|3. 容斥原理的应用实例3.1. 二进制字符串问题假设我们有一个长度为n的二进制字符串，其中1的数量不能超过m个，我们需要计算满足条件的二进制字符串的个数。
解题思路如下：1.首先考虑只有一个限制条件的情况。
假设只有一个限制条件，限制字符串中1的数量不能超过k个。
我们可以用以下公式计算满足条件的字符串的个数：|A1|=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,k)其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.接下来考虑多个限制条件的情况。
假设有m个限制条件，分别为A1,A2, …, Am。
我们可以用容斥原理计算满足这些限制条件的二进制字符串的个数。
根据容斥原理，我们有以下公式：|A1∪A2∪...∪A m|=|A1|+|A2|+...+|A m|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−...−|A m−1∩A m|+|A1∩A2∩...∩A m|3.最后，我们通过计算得到所有可能的组合数，即可得到满足条件的二进制字符串的个数。
3.2. 集合的排列问题假设我们有n个元素，分别属于集合A和集合B。
我们需要计算将这些元素排列成一行，使得集合A中的元素都在集合B中的元素前面的排列方式的个数。
升第八讲容斥原理之重叠问题
第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列・简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理?这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式就是：R总数=沖+丹一』、号重拄这个公式就是两个对象的容斥原理.练一练1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
容斥原理问题经典例题
容斥原理问题经典例题在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。
它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。
下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。
例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。
请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25 ＋ 20 ＝ 75 人。
但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。
所以要减去重复计算的部分：既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。
所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。
所以要再加上 3 人。
综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。
例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。
其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。
请问该校参加课外活动的学生共有多少人？我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋70 ＝ 280 人。
然后减去重复计算的部分：既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。
但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。
因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。
4升5-8第八讲：容斥原理之重叠问题
第八讲:容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”,是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见,他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图,但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献,他的著作-—《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机,当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少,最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除"掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳,两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种,已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能,因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡,如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加,会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次,计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如,如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡,那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳,有20 名参加了拔河,问:及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人?如右图所示，如果要计算三个部分的总数,直接计算 A+B就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20—34=37-34=3（人)答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人.练一练1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题,答对第一题的有33人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又15 人,问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
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|A|=17 |B|=30 |C|=13 |A∩B∩C|=5 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C|=35 所以 |A∩B|+|A∩C|+|B∩C|=30 所求数目= |A|-|A∩B|-|A∩C| +|A∩B∩C| +|B|-|B∩C| |-|A∩B +|A∩B∩C| +|C|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| =60-2×30+3×5=15
70、36。问阴影部分（黄色）的面积是多少？ A．15 B．16 C．14 D．18
11.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投 出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果 三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投 票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为 C等，则下列说法正确的是（ D ）。 A. A等和B等共6幅 B. B等和C等共7幅
120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人)
6.分母是1001的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001 的数。由于 1001=7×11×13 ，所以就 是找不能被7，11，13整除的数。
如图
7的倍数143个 11的倍数91个
13
11 7
13的倍数77个
子一共被剪成了多少段？
59+39-19=79
9.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖 券。按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔； （3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备 的奖品铅笔共有多少支？ 解：(50-16)×2+(33-16)×3+16×5+33×1=242
10. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号 各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫
有10件，小号蓝色衬衫有多少件?
解：设小号和蓝色分别为两个事件A和B，
小号占50%，蓝色占75%，则： 100=50+75+10- |A∩B|，得： |A∩B| =35。
【2004年山东真题】某单位有青年员工85人， 其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑 车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳 的有（ ）人
A.57
B.73
C.130
D.69
|B|=62
解：设A={自行车}，B={游泳}， |A|=68
全体 A B A B
85= |A|+|B|- |A∩B|+12 |A∩B|= (68＋62+12) -85= 57
容斥原理
在计数时，先把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计 算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 “容”就是“相容”和“包含”的意思，“斥”
就是“相斥”和“排除”的意思。所以，容斥
原理又称包含与排除，或者排除法。
容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类， 那么，A类与B类元素个数总和= A类元素个数+ B 类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
A
A∩B
B
A B A B A B
1. 某班学生每人家里至少有空调和电脑两
种电器中的一种，已知家中有空调的有41
人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，
这个班有学生多少人？
解：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-A∩B∣ =39+37-25=51(人)
2.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那
17
18
15
6
6
5
2
学生人数=17+18+15-6-6-5+2+4=39人
5．某大学有外语教师120名，其中教英语
的有50名，教日语的有45名，教法语的有
40名，有15名既教英语又教日语，有10名
既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教
法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，
则不教三门课的外语教师有多少名?
1001-【143+91+77-13-11-7+1】=720
7.【国考2010-47】某高校对一些学生进 行问卷调查。在接受调查的学生中，准备 参加注册会计师考试的有63人，准备参加
英语六级考试的有89人，准备参加计算机
考试的有47人，三种考试都准备参加的有
24人，准备只选择两种考试都参加的有46
x
24
英语89
y
计算机47
z
x+z+y=46
63+89+47-(x+24)+(y+24)+(z+24)]-24+15=120
8.【2005年中央A类真题】对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球 赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，
38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜
欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢
9. 某班有35个学生，每个学生至少参加英语小
组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小
组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文 小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果 有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生 只参加了一个小组？ A.15 B.16 C.17 D.18
17
30
英 5
语
数13
总数为32人，在第一次考试中有26人及格，
在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，
都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的
人数是( A．22
解： |A|=26
)。 B．18
|B|=24
C．28
D．26
|A|+|B|=26＋24＝50；
|A∪B|=32-4＝28， |A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|=50-28＝22
设X为只参加了一个小组 Y为只参加了两个小组 X+Y+5=35 17+30+13-Y（因为多加了一次）-2×5（因 为多加了两次）=35 Y=15 X=15
10.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、
160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放
在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、
A
M
O
B
12.如下图所示，在长方形内画出一些直 线，已知边上有三块面积分别是13，35， 49．那么图中阴影部分的面积是多少？
A 解：SABC+SCDE+（13+49+35） 49 35 D
=S长方形+S阴影
SABC = SCDE = 1/2S长方形 S阴影 = 13+49+35 =97
E
13
B
小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有
24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和
音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个
小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有 7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加 课外小组的同学共有多少人？
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-B∩C|+|A∩B∩C|
么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
15
4
12
3. 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高 两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参 加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学 生有多少人？
解：设A={跑步}，B={跳高}，要求|A∩B|
|A∪B| =48 |A|=37 |B|=40
|A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|
=37+40-48=29
4．求不超过20的正整数中是2的倍数或3 的倍数的数共有多少个。
解：设A={20以内2的倍数}，B={20
以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的 倍数个数，即求∣A∪B∣。 |A|=10 |B|=6 |A∩B|=3
|A∪B|= =10+6-3=13
二. 三集合类型 容斥原理2 如果被计数的事
物有A、B、C三类，
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B||A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
三集合 A
A∩B
A∩B∩ C
B
A∩C
B∩ C
C
A1
4
2B
1+5+4+7=A 2+4+6+7=B
7 5
C3
3+6+5+7=C
6
1. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个
C
13.如图所示，长方形ABCD的两条边长分别 为8ｍ和6ｍ，四边形OEFG（绿色）的面积
是4ｍ2，则阴影部分的面积为？
A.32 ｍ2 B.28 ｍ2 C.24 ｍ2 D.20 ｍ2
蓝+黄=3/4整个面积 黄+绿= 1/4整个面积 蓝-绿=2/4整个面积 蓝=24+4=28
思考题 1．有128位旅客，其中25人既不懂英语、 又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语， 请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？ 2．六一班有学生46人，其中会骑自行车 的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又 会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会 游泳的有多少人？
5. 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有