浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题+扫描版含答案
2020金丽衢十二校第二次联考数学试卷及答案
第 19 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）
对任意非零数列an , 定义数列 f an ，其中 f an 的通项公式为
求
S1 S2 S2
的最大值.
第 21 题图
22．（本小题满分 15 分）
设 a R ，已知函数 f x ex x 6 x a ，函数 g x ex ln x 1 . xx
（Ⅰ）若 a 5 ，求函数 f x 的最小值； （Ⅱ）若对任意实数 x1 和正数 x2 ，均有 f x1 g x2 ≥4a 8 ，求 a 的取值范围.
（Ⅱ）因为
f
an 2nn1 ，所以1
1 a1
4, a1
1 ，又当 n ≥ 2 时，1 4 1
1 an
4n , an
1， 4n 1
所以对任意 n N*
， an
1 .
4n 1
………………………………………10 分
又由1 1 1 an1 Sn1 ，于是 f
bn
Sn
Sn
bn
S n 1
一动点，P 到底面 ABCD 的距离与到直线 AD1 的距离相等，
则 P 点的轨迹是（ ▲ ）
A．直线
B．圆
A
C．抛物线
D．椭圆
B1 P
D
第 9 题图
C B
10. 设集合 S 20, 21, 5, 11, 15, 30, a ，我们用 f S 表示集合 S 的所有元素之和，用 g S
表示集合 S 的所有元素之积，例如：若 A 2 ，则 f A g A 2 ；若 B 2, 3 ， 则
【附加15套高考模拟试卷】浙江省金丽衢十二校2020届高三第二次联考数学(理)试题含答案
,则
a2020
（
）
1
1
1
1
A． 2019 B． 2020 C． 2021 D． 2022
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
9 4
11 4
A． 3 4 B． 2
C． 4 2 D． 2
12．在等比数列 {an } 中，
a2
，
a16
是方程
x2
6x
2
0 的两个根，则
a2 a16 a9
g(x) x6 f (1) cos 4x 3有且只有唯一的零点，则 f (2019) （ ）
A．1 B．-1 C．-3 D．3
4．边长为 的菱形
中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 相交于点 .若
，则
（）
A． B． C． D． 5．读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将 该正方体切割成 27 个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里，搅拌均匀；第五步，从 箱子里随机取一个小正方体．问：取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是（ ）
在 a [1, 0] ，使得不等式 f (x) b 对一切 x R 恒成立，求实数 b 的取值范围．
18．（12 分）已知数列 和 满足，
求 与 ；记数列
的前 项和为 ，求 .
19．（12 分）已知函数 f x ax3 x2 aR 在 x 4 处取得极值．
3
1 确定 a 的值；
2 若 g x f xex ，讨论 g x 的单调性．
的值为（
）
A． 6 或 6 B． 2 C． 2 D． 2 或 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2019-2020学年浙江省金丽衢十二校高三第二次联考
2019-2020学年浙江省金丽衢十二校高三第二次联考数学考试时间：120分钟学校:___________班级:___________姓名:___________学号:___________参考公式:若事件A,B 互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是P ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率(k=0,1,2,···,n)台体的体积公式,其中,分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V=Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公,球的体积公式其中R 表示球的半径(k )=(1−p P n C k n p k )n −k V =(++)ℎ13S 1S 1S 2‾‾‾‾‾√S 2S 1S 2S =4πR 2V =π43R 3一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,集合M={0,1},N={0,3},则=A. {0}B. {3}C. {0，2，3}D.I ={0,1,2,3}N ∩(M )∁I ∅2.双曲线的渐近线方程为A. B. y=±2x C. D. 3－=1x 2y 2y =x 3‾√y =±x 3‾√y =±x 3√33.若实数x ，y 满足约束条件则z=3x+y 的最小值为A. 13B. 3C. 2D. 1{2x －3y +6≥0,y ≥2|x －1|,4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 2B. C. 1D. 4235.设，已知圆和圆,则“m>21”是“圆和圆相交”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件m ∈R :+=1C 1x 2y 2:+−6x −8y +30−m =0C 2x 2y 2C 1C 26.已知函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x),且函的图象如图所示，则f(x)A.有极小值f(2)，极大值f(π)B.有极大值f(2),极小值f(0)C.有极大值f(2)，无极小值D.有极小值f(2)，无极大值D y =sinx ·f ′(x )(x ∈D )7.设0＜a ＜1,,随机变量X 的分布列是Xn n+1P1-a a则随机变量X 的方差D(X)A.既与n 有关，也与a 有关B.与n 有关，但与a 无关C.既与a 无关，也与n 无关D.与a 有关，但与n 无关n∈R 8.设正数数列满足，,,则数列的前10项和属于{}a n ++···+=a 1a 2a n S n ···=S 1S 2S n T n +=1S n T n {}1a nA. (0,500)B. (500,1 000)C.(1 000,2 000)D. (2 000,3 000)9.在三棱锥P—ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠PCB 为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得AD=PD,AE=PE,记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则A.α<β<2γB.β<α<2γC.α<2γ<βD.β<2γ<α10.设，已知平面向量，满足：，且，向量,若存在两个不同的实数x ∈[0,t]，使得,则实数tA.有最大值为2，最小值为B.无最大值，最小值为C.有最大值为2，无最小值D.无最大值，最小值为0t ∈R a b |a |=2|b |=2a ·b=1c =x a +(t －x )b −2a ·c +3=0c 23232二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.复数满足：,其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第____象限；=____.z z ·i =1+i 3‾√|z |12.若二项式展开式中各项系数之和为64，则n=____;其展开式的所有二项式系数中最大的是____.(用数字作答)(－x 23x )n 13.设,b>0,已知函数是奇函数，则a=____;若函数是在上的增函数，则b 的取值范围是____.a ∈R f (x )={sin +2a －1,|x |≤1,2‾√πx 2x +|x |>1,bx ,f (x )R 14.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=4，C=2A ，3a=2c ，则cosA=____;a=____.△ABC 15.设F 是椭圆的右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线3x-4y-12=0的动点，则|PA|-|PF|的最小值为____.+=1x 24y 2316.两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有____种．(用数字作答)12345617.已知函数f(x)=lnx-x+a,g(x)=f(f(x)+3)有4个零点，则实数a 的取值范围为____.三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数f （x ）=4sin （ωx+φ）（ω>0,0<φ<2π）的部分图象如图所示,f （x ）经过（1,0）,当x=-2时,f （x ）取到最小值.(Ⅰ).求ω和φ的值；(Ⅱ).求函数g （x ）=f （x ）+f （x+2）的单调递增区间.19.如图，三棱锥P-ABC 的底面是边长为3的等边三角形，侧棱PA=3,PB=4,PC=5,设点M ，N 分别为PC ，BC 的中点.(Ⅰ).求证：BC ⊥平面AMN;(Ⅱ).求直线AP 与平面AMN 所成角.20.设数列的前n 项和为,满足：.(Ⅰ).求证：数列为等比数列;(Ⅱ).求，并求的最大值.{}a n S n +=(n ∈)a nS n n −1+n n 2N ∗{+}a n 1n (n +1)S n S n 21.已知抛物线上一点到焦点的距离为，过P （-1,0）作两条互相垂直的直线和，与抛物线交于A ，B ，与y 轴交于C ，点Q 满足：,.(Ⅰ).求抛物线的方程；(Ⅱ).求三角形PQC 面积的最小值.y =ax 2M (,5)x 0214l 1l 2l 1l 2=λAP −→−PB −→−=λQA −→−QB −→−22.已知函数有两个不同的极值点.(Ⅰ).求实数a 的取值范围；(Ⅱ).若对任意,存在x ∈［e,+∞）,使得成立，证明：.f (x )=(a >0)lnx x −a √m ∈R |f (x )−m |≥k k <12e √。
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。
参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。
浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题(含答案与解析)_2761
金丽衢十二校2024学年高三第二次联考数学试题（考试时间为120分钟，试卷总分为150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. {}22. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z （ ） A. 2B.C.D. 53. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 14. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 25. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ）为A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.最大值2+D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f <D. 1x =-是函数()f x 的极大值点11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13.为C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.13. 某中学A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r ，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：的测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；的（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ， 所以{2}A B = . 故选：D.2. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z 为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出z ，进而求出z . 【详解】设()i,,R z a b a b =+∈，则i,z a b =- 所以23i=32i z z a b +=--，即1,2a b ==，所以z ==.故选：C.3. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 1【答案】A【解析】【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解. 【详解】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()f x f x -=，即()()()()ln e 11ln e 1120x x a x ax a x +-+=++⇒+=，故120a +=，解得12a =- 故选：A4. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题得到1a >或a<0，再利用离心率c e a ==.【详解】由(1)0a a ->，得到1a >或a<0，当1a >时，c e a ====<，当a<0，双曲线2211y x a a -=--，c e a ====<，所以1e <<故选：A.5. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，而πA B C ++=，则π3B =， 由sin ,sin ,sin A BC 成等比数列，得2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22ac a c ac =+-，解得a c =，因此ABC 是正三角形；若ABC 是正三角形，则π3A B C ===，sin sin sin A B C ===， 因此A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，所以“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的充要条件. 故选：C6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ） A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆2C 圆心, 所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等， 故点F 到直线CD 的距离1d = ， 所以直线AB 的方程为：32y = ，所以32A ⎫⎪⎭， 故圆2C 的半径2r AF === ，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A. [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞【答案】B的【解析】【分析】由题意可知1211ln 2x x +=，转化为21222ln 2x x x x -=-+.结合图像构造函数()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈，求出函数值域即为本题答案.【详解】由题意可知1211ln 2x x +=，即122ln 2x x =-，所以21222ln 2x x x x -=-+. 由图像可得(]20,e x ∈，设()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈. 则22()1x h x x x-'=-=，(]0,e x ∈.令2()0x h x x -'==,则2x = 当()0h x '>时(]2,e x ∈，当()0h x '<时()0,2x ∈所以()2ln 2h x x x =-+在()0,2单调递减，在(]2,e 单调递增. 所以()h x 在2x =时取得最小值()242ln 2h =-， 可得2142ln [2,)x x -∈-+∞. 故选：B8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π【答案】A 【解析】【分析】记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、，易得OE OF ==，1EF =，由cos OEF ∠=，即可求出21912r =，由此即可求出答案.【详解】如图所示：记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、， 记外接球半径为r ，的在Rt ABD中，BD =∥OE BD,OE =，在ABC 中，//EF AC ，112EF AC ==, 在Rt OBF中，OF =所以AC 与BD 所成角为OEF ∠，即cos OEF ∠=， 在OEF 中,OE OF ==，1EF =，所以12cos EFOEF OE ∠===解得：21912r =， 所以该外接球的表面积为：219194π4ππ123r =⨯= 故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.2+ D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】())22sin cos sin 2cos 21f x x x x x x =⋅+=+，π2sin 23x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫-=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x图象关于点π6⎛- ⎝中心对称，故B 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2，故C 正确；由5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2,322x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以函数()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误. 故选：BC10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f < D. 1x =-是函数()f x 的极大值点【答案】AB 【解析】【分析】由()()()1xf x x f x '=+，令0x =，即可判断A ；由已知得()()f x f x x x'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即得函数()e x f x c x=+，确定0c =，从而可得()()e xf x x c =+，求导数，即可判断B ；令()(),(0)f x g x x x=>，判断其单调性，即可判断C ；根据极值点与导数的关系可判断D.【详解】由R x ∀∈，()()()1xf x x f x '=+，令0x =，则()()()00100,0f f ∴==+，A 正确； 当0x ≠时，由()()()1xf x x f x '=+得()()()xf x f x xf x -'=，故()()()2f x x f x f x xx'⋅-=，即()()f x f x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()e xf x c x =+（c 为常数），则()()e x f x x c =+， ()00f =满足该式，故()()e x f x x c =+，则()e e x x f x c x '=++，将()()e xf x x c =+代入()()()1xf x x f x '=+中，得()()()e e 1e x x xx c x x x c ++=++，即222e e e e x x x x x xc x x x c cx x ++=+++，而x ∈R ，故0c =，则()e x f x x =，()e e x xf x x ='+，()e e e e (2)x x x xf x x x ''=++=+，故()2e (22)0xf =''--=，B 正确；令()(),(0)f x g x x x=>，()e 0xg x '=>，故()g x 在(0),+∞上单调递增，故()()2121f f >，即()()221f f >，C 错误； 由于()e e x xf x x ='+，令()()0,e 10x f x x '>∴+>，即得1x >-，令()()0,e 10xf x x '<∴+<，即得1x <-，故()f x 在(1),-∞-上单调递减，在(1),-+∞上单调递增， 故1x =-是函数()f x 的极小值点，D 错误， 故选：AB11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）【答案】ACD 【解析】【分析】先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.【详解】设移动n 次后，点P 在点1111,,,A B C D 的概率分别为,,,n n n n a b c d ， 其中11111110,,,,1424n n n n a b c d a b c d ====+++=， 111111111111111442111442111442111442n n n n n n n n n n n n n n n n a b d c b a c d c b d ad a c b ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩，解得：111+42211142214nn n n n na cb d ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎪⎪⎩， 对于A ，移动两次后，“PC =表示点P 移动两次后到达点1A ，所以概率为2211134228a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，因为()()11,1,0,0,1,1DB DC == ，()()()1110,1,1,1,0,1,1,1,1B A D A A C =--=-=--，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ， 取1y =，可得1,1x z =-=-，所以()1,1,1n =--，而110,0B A n D A n ⋅=⋅= ，11,B A D A ⊄平面1BDC ，所以当点P 位于1B 或1D 时，//PA 平面1BDC ， 当P 移动一次后到达点1B 或1D 时，所以概率为1112423⨯=>，故B 错误； 对于C ，()11,1,1,A C n =--=所以当点P 位于1A 时，PC ⊥平面1BDC ，所以移动n 次后点P 位于1A ，则1111+4222nn a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()11111111=n A BDC n B BDC n C BDC n D BDC E V a V b V c V d V ----⋅+⋅+⋅+⋅12BDC S == ()11,0,1DA = ， 所以点1A 到平面1BDC的距离为11DA n d n ⋅===同理点111,,B C D 到平面1BDC所以111111111111,,03336A BDCB BDCD BDC C BDC V V V V ----======， 所以()11111111111=+0+42234646662n n E V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为偶数，所以()11151=+662245nE V ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，当n 为奇数，所以()11111=66265nE V ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.【答案】 【解析】【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值. 【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知得24lr =，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为4π2L r l =+≥=侧，当且仅当4π2r l =时，即r =，l =.故答案为：13. 某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 【答案】8 【解析】【分析】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有可能情况可得答案.【详解】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课， 按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得 若A 班排课为aabbc ，则B 班排课为bbcaa ， 若A 班排课为bbaac ，则B 班排课为aacbb ，若A 班排课为aacbb ，则B 班排课为bbaac ，或B 班排课为cbbaa ， 若A 班排课为bbcaa ，则B 班排课为aabbc ，或B 班排课为caabb ， 若A 班排课为cbbaa ，则B 班排课为aacbb ， 若A 班排课为caabb ，则B 班排课为bbcaa ， 则共有8种不同的排课方式. 故答案为：8.14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）【答案】5 【解析】【分析】由题意确定P 点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及7n ≥时不符合题意，说明5n =时满足题意，即可得答案.【详解】由题意知点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，则P 点在以12A A 为直径的圆上， 当6n =时，设,,,B C D M 为123456,,,A A A A A A CD 的中点，如图，61||2||2|2|k k PA PB PC PD PB PM ==++=+∑ ，当,PB PM共线且方向时，即,,B P M 三点共线时，1||n k k PA =∑ 取最小值，此时1||2PB BM ==,||，则1||2PM = ，则min 2|2|31PB PM +=->，故6n =时，不满足题意；当5n =时，设,C N 为1235,A A A A 的中点，如图，541|||22|k K PA PC PN PA ==++∑ ，当4,PC PA共线且反向时，51||k K PA =∑ 取最小值，此时4,,,C P N A 共线，144442tan 3672,tan 72 3.13,|tan 72 1.56,||| 1.061tan 36211||22A A C CA PA CA ︒︒︒︒∠===⨯--≈≈=≈，453436||1sin 3610.59,|| 1.060.590.47,A A A A N PN ∠==⨯≈≈≈-=∴ ，则4min |22||120.47 1.06|1PC PN PA ++≈-⨯-=，则当4,PC PA 共线且同向时，必有4max |22|1PC PN PA ++>，故5n =时，存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；当7n ≥时，如图，正七边形的顶点到对边的高h 必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；故n 的最小值为5， 故答案为：5【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n 边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）*1,2n a n n =+∈N（2）22323n T n =-+ 【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由2221n n S a n =+-①所以当2n ≥时，21122(1)1n n S a n --=+--②②-①得：122221n n n a a a n -=-+-，整理得：11,22n a n n -=-≥， 所以*1,2n a n n =+∈N . 【小问2详解】 由（1）知12n a n =+， 所以1111122131321232222n n a a n n n n n n +==-=-++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以122311112222222235572123323n n n T a a a a a a n n n +=+++=-+-++-=-+++ . .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.的（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角. 【答案】（1）证明见解析（2）π3. 【解析】【分析】（1）连接EC 交BD 于N ，连接MN ,根据条件证明MN //PE 即得；（2）先证明PE ⊥平面ABCD ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB 与平面BDM 的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】如图，连接EC 交BD 于N ，连接MN ,由E 是AD 的中点可得11122DE AD BC ===， 易得DEN 与BCN △相似，所以12EN NC =， 又12PM MC =，所以MN //PE ， 又MN ⊂平面,BDM PE ⊄平面BDM ，所以PE //平面BDM ； 【小问2详解】因平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，由PA PD ==，点E 是线段AD 的中点可得,PE AD ⊥又PE ⊂平面PAD ，故得PE ⊥平面ABCD .如图，取BC 的中点为F ,分别以,,EA EF EP为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()()0,0,0,1,0,0E A ，()()()()1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2D B C P --，()11221,2,2,,,3333PC PM PC ⎛⎫=--==-- ⎪⎝⎭ ，则124,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设平面AMB 的法向量为()1111,,n x y z =，由()4240,2,0,,,333AB AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则11111120424333n AB y n AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，故可取()11,0,1n = ； 设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，由()4442,2,0,,,333BD BM ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则2222222220444333n BD x y n BM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可取()21,1,0n =- . 故平面AMB 与平面BDM的夹角余弦值为1212121cos ,2n n n n n n ⋅〈〉===， 所以平面AMB 与平面BDM 的夹角为π3. 17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件） 【答案】（1）2343（2）（i ）证明见解析；（ii ）不可信. 【解析】【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可； （2）（i ）由1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭求出()()50,25E X D X ==，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，()100,0.9X B :，由切比雪夫不等式判断出()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=，进而可得出结论. 【小问1详解】记事件A 为抽到一件合格品，事件B 为抽到两个合格品，()()222701003022100100C C C 161301,C 330C 330P AB P A -==== ()()()16123.30143P AB P B A P A ===∣ 【小问2详解】（i ）由题：若1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()50,25E X D X == 又()()1001001C100,2k P X k P X k ⎛⎫====- ⎪⎝⎭所以()1025(0252P X P X ≤≤=≤≤或()175100)50252X P X ≤≤=-≥ 由切比雪夫不等式可知，()225150252525P X -≥≤= 所以()102550P X ≤≤≤；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则()100,0.9X B :， 所以()()90,9E X D X ==，由切比雪夫不等式知，()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 的标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.【答案】（1）22:19x L y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率为k ，联立直线():3AD y k x =+和椭圆方程，得到()22,,D x y 联立直线:1BC y kx =-和椭圆方程()11,,C x y 由于AD //BC ，所以MP DP PNPC=，可得点()00,P x y ，利用消元法可得点P 的轨迹方程，即可得证. 【小问1详解】由已知得：3,a c ==1b =，所以椭圆22:19x L y +=【小问2详解】设直线,AD BC 的斜率为()()()112200,,,,,,k C x y D x y P x y .则直线():3AD y k x =+，直线:1BC y kx =-，得()10,3,,0M k N k ⎛⎫⎪⎝⎭联立()223,99y k x x y ⎧=+⎨+=⎩得()222219548190kxk x k +++-=，易知Δ0>.由222819319k x k --⨯=+，得22232719k x k -=+，于是()2226319k y k x k =+=+.同理：211221891,1919k k x y k k -==++ 由于AD //BC ，所以MP DP PN PC =，即20200023271911819k x x k k x x k k--+=--+，得0331x k =+①，同理0331ky k =+②，由①②得00330x y +-=， 故点P 在直线330x y +-=上运动.【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出直线,AD BC 的方程，联立直线方程和椭圆方程，得到点,C D 的坐标，从而得解.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）10lim(1)e xx x →+=（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为区间[]0,a 上k 阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造()()=ln h x g x ，再结合()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=即可得到结果；（3）通过换元令令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭，再通过构造函数()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，根据题干中函数()f x 为区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的k 阶无穷递降函数的定义证出()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，即可证明结论.【小问1详解】 设()()373282x F x f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于()731082F =-<， 所以()2x f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭不成立， 故()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数.【小问2详解】设()1(1)xg x x =+，则()()()ln 11ln ln 1x g x x x x+=+=， 设()()ln 1x h x x+=，则0001ln(1)1lim ()lim lim 11x x x x x h x x →→→++===，所以0lim ln ()1x g x →=，得1lim(1)e xx x →+= 【小问3详解】的.令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭， 即证23tan sin π1,0,2t t t t ⋅⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭， 记()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则238tan sin 222t tt f t ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()2233224cos tan sin 1218tan sin 1tan 1tan 22222tf t t t t t t t t t t f ⋅=⋅==>⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭， 即有对任意π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均有()2t f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()22n t t f t f f ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为00sin limlim cos 1x x xx x→→==，所以33233sin sin tan sin 12222lim lim lim lim lim 12cos cos 22222n n n n n n n n n n n n n n n t t t t t f t t t t t →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥===⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.。
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学上学期第二次联考试题(含解析)
金丽衢十二校2020学年高三第二次联考数学试题一、选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）.1.会合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【分析】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B?A，A?B；即B正确．应选：B．2.点和是双曲线的两个焦点，则（）A.B.2 C.【答案】D【分析】【剖析】依据双曲线方程可求焦距，即可得.【详解】由可知所以，则，所以.【点睛】此题主要观察了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.3.复数，，则（）A.5B.6C.7D.【答案】D【分析】【剖析】依据复数模的性质知，即可求解.【详解】因为，，所以应选D.【点睛】此题主要观察了复数模的性质，属于中档题.4.某几何体的三视图以下图（图中单位：），则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】试题剖析：由三视图可知，该几何体的直观图为一个直立的圆锥和一个倒立的圆锥构成，其表面积为，选B.考点：1.三视图； 2.表面积.5.已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】A【分析】试题剖析：依据已知题意，因为直线平面，直线∥平面，假如两个平面平行，则必定能知足，可是反之，假如，则对于平面可能是订交的，故条件能推出结论，但是结论不可以推出条件，应选A考点：本试题主假如观察了立体几何中点线面的地点关系运用。
评论：解决该试题的重点是利用面面平行的性质定理和线面平行、垂直的性质定理来娴熟的判断其地点关系，同时联合了充足条件的观点，来判断命题的条件和结论之间的关系运用，属于基础题。
6.甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程同样的门数为，则为（）A.1.2 B.1.5 C.1.8 D.2【答案】C【分析】【剖析】由已知得=1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出.【详解】由已知得=1,2,3，,,,所以,应选C【点睛】此题主要观察了失散型随机变量，失散型随机变量的希望，属于中档题.7.函数的图像大概为（）A.B.C.D.【答案】A【分析】【剖析】依据函数分析式联合所给图象，采纳清除法即可选出.【详解】函数定义域为，当时，，，故清除选项B,D，当时，，，故清除C,所以选 A.【点睛】此题主要观察了指数函数的性质与图像，无穷趋近的思想，属于中档题.8.已知，，和为空间中的4个单位向量，且，则不行能等于（）A.3B. D.【答案】A【分析】【剖析】依据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.【详解】因为而，所以因为，，，是单位向量，且，所以不共线，所以，应选A.【点睛】此题主要观察了向量与不等式的关系，波及向量的共线问题，属于难题.9.正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化状况是（）A.向来增大B.向来减小C.先增大后减小D.先减小后增大【答案】D 【分析】【剖析】利用无穷迫近的思想，当，有，当，有，当恰好使得正三棱锥变成正四周体时，二面角之和记为，利用的值，可剖析出，即可选出答案.【详解】当（比0多一点点），有；当，有；当恰好使得正三棱锥变成正四周体时，二面角之和记为，则，于是，所以，即，所以与的变化状况相切合的只有选项.【点睛】此题主要观察了无穷迫近的极限思想，二面角，余弦二倍角公式，属于中档题.10.数列知足：，，则的值所在区间为（）A. B. C. D.【答案】【分析】A【详解】因为，所以可得：所以.【点睛】此题主要观察了数列的递推关系，不等式的性质，属于中档题.二、填空题。
浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan 2sin θθθ-=6．在三角形ABC 中，7,AB =MN BC ⋅=（）A ．14B ．157．在平行四边形ABCD 中，角形A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD 所成角的正弦值为（）A ．64B ．338．设正数()1,2,3i x i =满足1x +222250i j j i x x x x +-≤，则乘积1x A ．5027B ．2二、多选题9．已知函数()()sin f x x ϕ=+-A ．π8B ．π410．某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，其频率分布直方图如图所示，其中支出在A ．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3B ．样本中消费支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间11．设点00(,)P x y 在圆22:1O x y +=上，圆Γ方程为()()22001x x y y -+-=，直线l 方程为y kx =.则（）A ．对任意实数k 和点P ，直线l 和圆Γ有公共点B ．对任意点P ，必存在实数k ，使得直线l 与圆Γ相切C ．对任意实数k ，必存在点P ，使得直线l 与圆Γ相切D ．对任意实数k 和点P ，圆O 和圆Γ上到直线l 距离为1的点的个数相等12．已知递增数列{}n a 的各项均为正整数，且其前n 项和为n S ，则（）A ．存在公差为1的等差数列{}n a ，使得142023S =B ．存在公比为2的等比数列{}n a ，使得32023S =C ．若102023S =，则4285aD ．若102023S =，则10208a 三、填空题四、解答题-的体积；(1)求三棱锥D BCE--的余弦值.(2)求二面角B CD E20．某公司生产一种大件产品的日产为的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立知生产一件产品的利润如下表：等级一等二等利润（万元/每件）0.80.6(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；。
2020届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考技术试卷及答案
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2020届浙江省金丽衢十二校高三下学期第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次联考技术试卷
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2020届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考技术试卷
浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学试题
金丽衢十二校2020学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合{}2A x R x x =∈<，集合{}11B x R x =∈-<，则AB =（ ）A. ()0,2B. ()1,2C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ∅2. 已知点A 、B 在平面α的两侧，则点A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A. 9B. 6C. 5D. 44. 若实数x ，y 满足约束条件，4304307y x x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，则1011z x y =+的最小值为（ ）A. 74B. 73C. 70D. 05. 过原点O 作曲线()()222166800a x y a x y a +-++=≠的切线OA ，OB ，则cos AOB ∠=（ ） A.35B.45C.725D.24256. 已知0a >，0b >，则“100ab ≥”一个充分不必要条件是（ ）A.1115a b +≤ B. 20a b +≥C.10ln ln a ba b--≤D. 22200a b +≥7. 已知函数()f x 的大致图象如下，下列选项中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A. x x eB. 1x x e +C. 2x xe e --D. x x x xe e e e --+-8. 正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A. 25B. 26C. 27D. 59. 如图，已知正方体1111ABCD A BC D -中，P 为平面11AB D 内一动点，P 到底面ABCD 的距离与到直线1AD 的距离相等，则P 点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 抛物线D. 椭圆10. 设集合{}20,21,5,11,15,30,S a =---，我们用()f S 表示集合S 的所有元素之和，用()g S 表示集合S的所有元素之积，例如：若{}2A =，则()()2f A g A ==；若{}2,3B =，则()23f B =+，()23g B =⨯．那么下列说法正确的是（ ）A. 若0a =，对S 的所有非空子集i A ，()i f A 的和为320B. 若0a =，对S 的所有非空子集i B ，()i f B 的和为640-C. 若1a =-，对S 的所有非空子集i C ，()i g C 的和为1-D. 若1a =-，对S 的所有非空子集i D ，()i g D 的和为0第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11. 设复数z 满足：13z z i =++（i 是虚数单位），则z =_________． 12. 已知()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++，则017a a a +++=_________，6a =_________．13. 函数()3cos sin f x x x =-，()0,x π∈的值域为_________，若()2f x =-，()0,x π∈，则cos 2x =_________．14. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有ξ篇，则随机变量ξ的期望()E ξ为_________．15. 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，23AB CD ==，2AD =，若EF 在线段AB 上运动，且1EF =，则CE CF ⋅的最小值为_________．16. 函数(),,x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若存在实数0x ，使得对于任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥，则实数a 的取值范围是_________；若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是_________．17. 设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：30a <，且56160S S +=，则11S 的最小值为_________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若12cos cos 2sin sin A B A B +=，求角C ；（Ⅱ）若()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，求角C ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，2CD =，6PD =．（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．20. 对任意非零数列{}n a ，定义数列(){}n f a ，其中(){}n f a 的通项公式为()12111111n n f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（Ⅰ）若n a n =，求()n f a ；（Ⅱ）若数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前n 项和为n S ，且()()12n n n f a +=，1n n n b a S +⋅=．求证()43n f b <． 21. 如图，设()0,P t ，t R ∈，已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，直线PF 与抛物线交于A ，B两点()AF BF <，点C （不同于原点）在抛物线上，PC 不平行于x 轴，且PC 与抛物线有且只有一个公共点．当t =22时，12AF BF =．（Ⅰ）求p值；（Ⅱ）若CA ，CB 分别与x 轴交于D ，E ，设ADF ，BEF 和ABC 的面积分别为1S ，2S ，S ，求122S S S ⋅的最大值． 22. 设a R ∈，已知函数()()()6xf x e x x a =+--，函数()ln 1xx g x e x x=--．（注：e 为自然对数底数）（1）若5a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意实数1x 和正数2x ，均有()()1248f x g x a +-≥，求a 的取值范围．金丽衢十二校2020学年高三第二次联考答案BDAAC ADDAC【答案】5【答案】 (1). 16- (2). 20-【答案】 (1). )2,3⎡-⎣ (2). 3- 【答案】 (1).23 (2). 95【答案】154【答案】 (1). 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2). ()0,1【答案】88 【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）34C π=． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；10 【答案】（Ⅰ）()()*1n f a n n =+∈N ；（Ⅱ）证明见解析．【答案】（Ⅰ）2p =；（Ⅱ）116． 【答案】（1）29-；（2）35,e ⎡⎤-⎣⎦．。
浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
金丽衢十二校2019学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I N M =I ð（ ）A. {0}B. {3}C. {0，2，3}D. ∅ 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为集合}{0,1,2,3I =，集合{0,1},{0,3}M N ==，所以{}2,3I M =ð，{}()3I N M =I ð故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.双曲线2231x y -=的渐进线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y =D. 3y x =±【答案】C【解析】【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，求得,a b ，写出其渐进线方程. 【详解】因为双曲线的标准方程为：22113x y -=，所以1a b ==，所以双曲线的渐进线方程为b y x a=±=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件236021x y y x -+⎧⎨-⎩……，则z =3x +y 的最小值为（ ） A. 13 B. 3 C. 2D. 1 【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，根据z 的几何意义求解即可.【详解】22,12|1|22,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩Q∴该不等式组对应的平面区域，如下图所示3z x y =+可化为3y x z =-+平移直线3y x =-，当直线过点(0,2)A 时，z 取最小值即min 3022z =⨯+=故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 2B. 23C. 1D. 4 【答案】A【解析】【分析】将三视图还原可得一个以俯视图为底面直三棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案.【详解】解：将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱， 所以112222V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图求体积，根据已知分析出几何体形状，是解答的关键.5.设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=，则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 的【解析】【分析】根据题意先求出两圆心的距离12C C ，再利用圆C 1和圆C 2相交列不等式121212||r r C C r r -<<+求出m 的范围，即可得答案.【详解】解：由已知圆2C ：()()22345x y m -+-=-，若圆C 1和圆C 2相交，则121||5C C <==<，解得2141m <<，“21m >”是“2141m <<”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查充分性和必要性的判断，关键是熟练判断圆与圆的位置关系，是基础题.6.已知函数f （x ）的定义域为D ，其导函数为()f x '，函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f （x ）（ ）A. 有极小值f （2），极大值f （π）B. 有极大值f （2），极小值f （0）C. 有极大值f （2），无极小值D. 有极小值f （2），无极大值【答案】D【解析】【分析】 通过sin x 的正负取值以及'sin ()x f x ⋅的正负取值，可判断函数()f x 在定义域D 上的单调性，进而可判断极值的取值情况．【详解】解：当()0,x π∈，sin 0x >，当()(),0,2x πππ∈-U ，sin 0x <则由图像可得当(),2x π∈-时，()0f x '≤，当()2,2x π∈时，()0f x '≥，故函数()f x 在(),2π-上单调递减，在()2,2π上单调递增，则由图像可得函数f （x ）在定义域D 上，先减后增，有极小值f （2），无极大值.故选：D.【点睛】本题考查导函数的图像和原函数单调性之间的关系，考查函数在某点取得极值的条件，考查学生识图用图能力，是基础题.7.设01,a n R <<∈，随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D （X ）（ ）A. 既与n 有关，也与a 有关B. 与n 有关，但与a 无关C. 既与a 无关，也与n 无关D. 与a 有关，但与n 无关【答案】D【解析】【分析】根据分布列计算()E X n a =+，再计算()2D X a a =-，得到答案. 【详解】根据分布列得到()()()11E X n a n a n a =-++=+，故()()()()()()2223232112D X a n E X a n E X a a a a a a a =--++-=-+-+=-. 故选：D.【点睛】本题考查了根据分布列求方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设正数数列{}n a 满足12n n a a a S +++=L ，21n n S S S T =L ，1n n S T +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于（ ）A. (0,500)B. (500,1000)C. (1000,2000)D. (2000,3000) 【答案】A【解析】【分析】由已知可得211n n S S S S =-L ，对n 赋值分别求出123,,S S S ，猜想n S ，然后验证，进而可求出n a ，从而可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和.【详解】因为21n n S S S T =L ，1n n S T +=，所以211n n S S S S =-L ，当1n =时，111S S =-，所以112S =， 当2n =时，1221S S S =-，即22112S S =-，所以223S =， 当3n =时，12331S S S S =-，即33113S S =-，所以334S =， 猜想：1n n S n =+，则11n T n =+，代入已知检验等式21n n S S S T =L ，1n n S T +=成立， 所以当2n ≥时，2211111(1)(1)n n n n n n n a S S n n n n n n ---+=-=-==+++，又1112a S ==， 所以1(1)n a n n =+，所以1(1)n n n a =+， 所以12101111223910330(0,500)a a a +++=⨯+⨯++⨯=∈L L . 故选：A.【点睛】本题主要考查数列和的概念及知n S 求n a ，属于中档题.9.在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则（ ）A. 2αβγ<<B. 2βαγ<<C. 2αγβ<<D. 2βγα<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出三棱锥P ABC -，作PH ⊥平面ABC ，即可得直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角，由三角形边角关系即可判断大小.【详解】三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，作出几何关系如下图所示：作PH ⊥平面ABC ，连接,,DH EH AH ，则PDH ∠即为直线PD 与平面ABC 所成角α,即sin sin PH DPDH P α∠==， 则PEH ∠即为直线PE 与平面ABC 所成角β,即sin sin PH EPEH P β∠==， 则PAH ∠即为直线PA 与平面ABC 所成角γ,即sin sin PH A PAH P γ∠==， 且α，β，γ0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.因为PCB ∠为钝角，,AD PD =所以PE PD <，则PH PH PD PE<，所以sin sin αβ<，即αβ<， 由E 在线段AC 上，平面PBC ⊥平面ABC ，所以EAP V 为钝角三角形，AEP ∠为钝角；AEH △为钝角三角形，AEH ∠为钝角； 由余弦定理可知222cos 02EA EP PA AEP EA EP+-∠=<⋅，因为AE PE =， 所以222EP PA <. 而22sin 22sin cos 2PH AH PH AH PA PA PAγγγ⨯==⨯⨯= 22sin sin 2PH AHPH AH AH AH PE PE PE AEPE ββ⨯<=⨯=⋅=⋅， 即sin 2sin AH AEγβ<⋅，因AEH ∠为钝角，所以1AH AE >，所以sin 2sin γβ>，即2γβ>， 综上可知2αβγ<<，故选：A【点睛】本题考查了直线与平面夹角的作法与大小比较，关键是找到直线与平面夹角，再由边角关系比较即可，属于难题.10.设t ∈R ，已知平面向量,a b r r 满足：||2||2a b ==r r ，且1a b ⋅=r r ，向量()c xa t x b =+-r r r ，若存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r ，则实数t （ ）A. 有最大值为2，最小值为32 B. 无最大值，最小值为32 C. 有最大值为2，无最小值D. 无最大值，最小值为0 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得出2223,3a c x t c x t ⋅=+=+r r r ，从而将方程2230c a c -⋅+=r r r 化为2236230x x t t -+-+=，利用二次函数零点的分布求出t 的范围，即可得出答案. 【详解】设向量,a b r r 的夹角为θ ||||cos 2cos 1a b a b θθ⋅===r r r r Q ，1cos 2θ∴= [0,]θπ∈Q ，3πθ∴= ()2()()43a c xa t x b a xa t x b a x t x x t ⋅=+-⋅=+-⋅=+-=+r r r r r r r r 222222[()]2()()c xa t x b x a x t x a b t x b =+-=+-⋅+-⋅r r r r r r r 22222242223x xt x t xt x x t =+-+-+=+ 存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r即存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2236230x x t t -+-+= 即22()3623f x x x t t =-+-+在[0,]t 内有两个不同的零点 .22(0)0230()048300026016f t t f t t t t t t ⎧⎧-+≥⎪⎪⎪-+≥⎪⎪⇒∆>⎨⎨<<⎪⎪-⎪⎪<-<>⎩⎪⎩……，解得3,22t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 则实数t 的最小值为32，无最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，利用二次函数零点分布求参数范围，属于中档题. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.复数z满足：1,z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第______象限；|z |=______.【答案】 (1). 四 (2). 2【解析】【分析】根据条件得到z =，根据复数的除法运算整理为z a bi =+的形式，即可求解.【详解】因为1,z i ⋅=所以z i === 所以z对应的点的坐标为)1-， 故z 对应的点位于复平面的第四象限，因为z i =，所以2z =.故答案为：四；2.【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，复数模长的计算，考查运算能力，属于基础题.12.若二项式23()nx x -展开式中各项系数之和为64，则n =______；其展开式的所有二项式系数中最大的是______（用数字作答）【答案】 (1). 6 (2). 20【解析】【分析】取1x =得到264n =，解得6n =，再计算二项式系数最大值得到答案.【详解】取1x =得到(13)64-=n ，解得6n =；故二项式系数为6r C ，当3r =时，二项式系数最大为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：6；20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在看考查学生的计算能力和应用能力. 13.设R,0,a b ∈>已知函数()21,12,1x a x f x b x x x π+-≤=⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a =______；若函数()f x 是R 上的增函数，则b 的取值范围是______.【答案】 (1).12(2). 1,1⎤⎦ 【解析】【分析】由()00f =可算出12a =，由函数()f x 是R 上的增函数可得b y x x =+在()1,+∞上单调递增且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值，然后即可求出b 的取值范围.【详解】因为()f x 是奇函数，定义域为R所以()0210f a =-=，解得12a =因为函数()f x 是R 上的增函数 所以b y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以1b ≤且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值12b π≤+，解得1b ≥-综上：b的取值范围是1,1⎤⎦ 故答案为：12；1,1⎤⎦ 【点睛】本题考查的是分段函数的奇偶性和单调性，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =4，C =2A ，3a =2c ，则cosA =______；a =______.【答案】 (1).34(2). 165 【解析】【分析】 由正弦定理可知3sin 2sin 2A A =，结合二倍角的正弦公式可求出3cos 4A =；由余弦定理结合32a c =可得22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，从而可求出165a =或4，由22C A π=<可排除4a =这一情况，进而可得正确答案. 【详解】解：由正弦定理知，sin sin a c A C=，因为32a c =，2C A =， 所以3sin 2sin24sin cos A A A A ==，即3cos 4A =； 由余弦定理知，2222216cos 28b c a c a A bc c+-+-==，因为32a c =， 所以22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，整理得，2536640a a -+=，解得165a =或4.因为3cos 42A =>，所以4A π<，则22C A π=<.当4a =时，6c =， 则2222224461cos 22448a b c C ab +-+-===-⨯⨯，此时2C π>不符合题意，因此165a =. 故答案为: 34;165【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了二倍角公式.本题的关键是由正弦定理边角互化求出cos A .本题的易错点是未对a 的结果进行取舍.15.设F 是椭圆22143x y +=上右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA PF -的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】根据椭圆方程可知()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-.根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==，则()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-， 即PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值即可，利用图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，利用点到直线的距离公式求出AF '的值，进而可得出结论.【详解】解：Q F 是椭圆22143x y +=上的右焦点， 24a =，23b =， ∴2221c a b =-=，即()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-. 根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==. ∴4PF PF '=-，()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-. 则PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值，根据图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，则3AF '==. 则此时44341PA PF AF ''+-=-=-=-.所以PA PF -的最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，考查点到直线的距离公式，考查数形结合能力，属于中档题. 16.两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有______种.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】对于不相邻的问题，运用插空的方法，先排出红球，再将黑球插空在红球的空隙之中，再将白球插在红球和黑球的空隙中可得答案.【详解】第一步：先将两个相同红球，排成一排，只有一种排法，第二步：情况1:再在两个红球的空隙中插入一个黑球，剩下的一个黑球有122C =种排法， 再将两个相同的白球插在红球和黑球的空隙中有2510C =种排法，所以由分步乘法原理得共有21020⨯=种排法，所以情况1共有20种排法；情况2：两个黑球分别放在红球的两侧，有1种方法，再将1个白球放于两个红球之间，剩下的1个白球再在红球和黑球之间插空，有14C 4=种方法，因此对于情况2共有4种排列方法；情况3：两个黑球一起放在红球的一侧，有2种方法，再分别在相邻的红球和相邻的黑球之间各放一个白球，只有一种放法，因此情况3共有2种放法；情况4：两个黑球一起放在红球之间，有1种放法，再在两个黑球之间放一白球，红球和黑球的空隙中再插入1个白球，共有4种放法，因此情况4共有4种放法；根据分类计数原理可得：所有的放球方法共有20+4+2+430=种方法；故答案为：30.【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的,对于较难问题，我们可以采取分步来做,不相邻的问题运用插空法，属于中档题.17.已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x ff x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()21,2e -【解析】【分析】利用导数求得函数()f x 的单调性与最值，得到10a ->，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，得出()13f x x +=有两个零点，再结合()23f x x +=，得出22x a <+，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()ln f x x x a =-+，可得()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递递减， 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()11f a =-，要使函数()f x 有零点，则10a ->，可得1a >，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，令()0g x =，即()()30f f x +=，则()13f x x +=，即()13f x x =-，则()13(3,1)f x x =-∈--有两个零点，又由()23f x x +=，即()23f x x =-，只需231x a -<-，即22x a <+，即(2)ln(2)20f a a +=+-<，解得22a e <-，综上可得：实数a 的取值范围是()21,2e -.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性，以及合理应用函数性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()()4sin 0,02x x f ϕωϕπω=+><<的部分图象如图所示(),f x 经过()1,0，当2x =-时(),f x 取到最小值.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数()()()2g x f x f x =++的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）6π=ω，116πϕ=. （Ⅱ）[]123,123k k -+，k Z ∈.【解析】【分析】（Ⅰ）根据图像中特殊点的位置，先求周期，进而求出ω的值，再代入特殊点，根据特殊点的对应关系可求出ϕ的值. （Ⅱ）根据题意求出()g x 的解析式，然后利用整体思想的应用求出函数的单调区间.【详解】解：（Ⅰ）由图像可知，34T =，∴ 12T =，则2=126ωππ=； 又()4s =16in 0f πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴5+k 6πϕπ=.因为在1x =处为上升零点，且02ϕπ<<，所以116πϕ=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()6114sin 6x x f ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，11()4sin 4sin 6666x x g x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8sin cos 666x x πππ==， 解22262x k k πππππ-≤≤+得：123123k x k -≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是[]123,123k k -+，k Z ∈.【点睛】本题考查根据三角函数的图像求解析式，考查三角函数式的恒等变换以及正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.19.如图，三棱锥P ABC -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱3,4,5,PA PB PC ===设点M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：BC ⊥面AMN ；（Ⅱ）求直线AP 与平面AMN 所成角.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30°【解析】【分析】（Ⅰ）根据边长关系可以计算PB BC ⊥，由传递性可得MN BC ⊥，再根据等边三角形的性质可知AN BC ⊥，由此可证明. （Ⅱ）利用BC ⊥面AMN 的关系，过P 做面AMN 的垂线PQ ，则PAQ ∠为所求角，根据长度关系可求出角的正弦值，进而求出角的大小.【详解】（Ⅰ）因为3BC =，4,5,PB PC ==所以PBC ∆为直角三角形，由勾股定理逆定理可知PB BC ⊥，所以MN BC ⊥，在等边三角形ABC 中，N 为BC 中点，所以AN BC ⊥，又PB BC B ⋂=，所以BC ⊥面AMN .（Ⅱ）延长NM 到Q ，使NM MQ =，连接PQ ，AQ ，于是四边形PQNB 为平行四边形.所以PQ BN P ， 根据前一问的结论可知PQ ⊥面AMN ，所以PAQ ∠直线直线AP 与平面AMN 所成角.在直角三角形PAQ 中，312sin 32PQ PAQ AP ∠===，所以30PAQ ∠=︒.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面角的求法，考查线面角的定义，熟练掌握线面角的定义是解题的关键，本题属于中档题.20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：()*21N n n n a S n n n -+∈+=.（Ⅰ）求证：数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求S n ，并求S n 的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1112n n S n =-+，1180. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题得21n n n a S n n -+=+，①，1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥ ②，两式相减得1112(1)(1)n n a a n n n n -⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭，即得数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求出11121n n a n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，再利用分组求和裂项相消法求出n S ；分析得到当5n ≥时，1n n S S ->，当4n ≤时，1n n S S -≤，即得n S 的最大值为4S 得解.【详解】解：（Ⅰ）因为21n n n a S n n-+=+，① 1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥， ② 由①-②可得， 当2n ≥时，122122n n n n a a n n n n ----=-+-， 所以122122(1)n n n n a a n n n n --++--=-+-， 所以1222122(1)n n n n a a +n n n n n n --+--=-++-， 所以1222212(11)(1)(1)n n n a a +=+n n n n n n n n n -----=-+-+- 整理得，1112(1)(1)n n a a n n n n-⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭， 所以11(1)112(1)n n a n n a n n-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+-， 又11122a +=，所以1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为首项公比均为12的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n n a n n +=+， 所以111112(1)21n n n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以1111111122231n n S n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ， 故有1112n n S n =-+， 因为111(1)12(1)(1)2n n n n n a n n n n +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 令(1)()12n n n f n +=-，则1(1)(2)(1)()2n n n f n f n ++-+-=， 所以(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <=>>L ，又()10f =，()40f >，()50f <，所以当5n ≥时，0n a <即1n n S S ->，当4n ≤时，0n a ≥即1n n S S -≤，因此n S 的最大值为4111151680S =-=. 【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查分组求和裂项相消法求和，考查公式法求和，考查数列n S 的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2y ax =上一点()0,5M x 到焦点的距离为214，过()1,0P -作两条互相垂直的直线1l 和2l ，其中斜率为()0,k k >1l 与抛物线交于A ，B ，2l 与y 轴交于C ，点Q 满足：,.AP PB QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求抛物线的方程；（2）求三角形PQC 面积的最小值.【答案】（1）2y x =； （2）12【解析】【分析】 （1）根据抛物线定义，()0,5M x 到焦点的距离等于到其准线的距离，求得抛物线方程；（2）应用设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式，将点,Q C 的纵坐标均用k 表示出来，再表示出,PQ PC ，从而表示出三角形的面积，再求最值.【详解】解：（1）抛物线2y ax =化为标准方程为：21x y a=，其准线为14y a =-， 则1215()44a --=，得1a =,故抛物线的方程为2y x =. （2）由题1:(1)l y k x =+,21:(1)l y x k =-+，则1(0,)C k -， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，则2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩，得20x kx k --=， 则12x x k +=，12x x k =-.由AP PB λ=u u u r u u u r ,则1122(1,)(1,)x y x y λ---=+,得12y y λ=-, QA QB λ=u u u r u u u r ,则10102020(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,得1020y y y y λ-=-, 故101220y y y y y y --=-,得120122y y y y y =+ 又221212()y y x x k ==,21212(2)2y y k x x k k +=++=+,则20222k y k k=+,0||PQ ==2222k k k =+,||PC = 又PQC S ∆12PQ PC =⋅⋅2212k k k +=+, 令()g k =2212k k k++，0k > 则2222(1)()(2)k k g k k k --+'=+=22112(22(2)k k k k +---+则()g k在递减，在1()2++∞递增，故当12k +=时，()g k的最小值为12g ⎛+= ⎝⎭12， 故三角形PQC【点睛】本题考查了抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式化简等常用技巧，表示出三角形的面积公式后，表达式较复杂，可利用导数工具求最值. 22.已知函数())0f x a =>有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意R,m ∈存在[),,x e ∈+∞使得()f x m k -≥成立，证明：k < 【答案】（Ⅰ）1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求得'()f x ，令()'0f x =，得到2ln 20a x x --+=，设2()ln 2a g x x x=--+， 利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，列出不等式组，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到()210a g e e=->，把对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立，转化为()()0022f x b f x k -≤≤，化简()0f x == 令()2ln ()x h x e x e x=<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由函数())0f x a =>，则'2ln 2())a x f x x a --+=>， 令()'0f x =，可得2ln 20a x x--+=， 设2()ln 2a g x x x =--+，则'22()a x g x x -=，令()'0g x =，解得2x a =， 列表如下：所以()g x 的极大值为()()21ln 2g a a =-，又因为()2220a g e e =-<， 所以函数()f x 有两个不同的极值点等价于()0(2)0g a g a <⎧⎨>⎩，解得12e a <<， 因此实数a 的取值范围为1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()210a g e e =->， 设()g x 的较大零点为0x ，则()20,x e e∈， 且()0,x e x ∈，()'0f x >；()0,x x ∈+∞，()'0f x <，所以()f x 在()0,e x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，从而()f x 有最大值为()0f x ，又当x e ≥时，()0f x >，故可设函数()f x 的值域为()(0,b f x ⎤⎦，其中0b ≥，由题意：对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立， 等价于()()0022f x b f x k -≤≤， 而()0f x =，且()000022ln 2x a a x x x -=-=，所以()0f x ==20e x e <<， 令()2ln ()x h x e x e x=<<，则'21ln ()0x h x x -=<， 所以()h x 在()2,e e 上单调递减， 所以1()()h x h e e <=，故()0f x < 因此()02f x k ≤<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。